База задач ФизМатБанк
| 74644. Среда однородно деформируется из состояния с нулевыми напряжениями в состояние, в котором она находится в равновесии под действием системы напряжений, задаваемой тензором sjk (j, k = 1, 2, 3). Деформация описывается соотношениями Xi = ai + aijaj, где аj — координаты материальной точки Р в ненапряженном состоянии, Xi — ее координаты в деформированном равновесном состоянии, aij — константы равновесного состояния. В этом новом состоянии производится еще одна бесконечно малая деформация таким образом, что координаты Xi переходят в хi, где хi = Xi + bijXj (bij — бесконечно малые величины, произведениями которых можно пренебречь, и достаточно малые, чтобы тензор напряжений при новой деформации изменялся незначительно). Конечное состояние может быть связано с исходным состоянием выражениями следующего вида: xi = ai + (aij + dаij)аj. Показать, что dаij = bij + bipapj. Показать также, что если начальное деформированное состояние можно достаточно точно описать тензором бесконечно малой деформации ejk, то его изменение при дальнейшей деформации будет 2dеjk = bjk + bkj. Кроме того, показать, что изменения компонент тензора конечной деформации задаются следующим образом: dhij = (dki + aki)deki (dij + aij) = JkidekiJij, где deki определено выше, а Jik — значения градиентов деформации в исходном деформированном состоянии. |
| 74645. В условиях, описанных в задаче 4.4, рассматривается в начальном деформированном состоянии единичный куб с гранями, параллельными координатным осям. Показать, что механическая работа последующей бесконечно малой деформации единичного объема, соответствующего этому состоянию, равна dW1 = sijdeij. Исходя из этого соотношения, показать, что работа, приходящаяся на единицу массы при бесконечно малой деформации, равна dW = sijdeij/p, где р — плотность данной среды. Показать также, что если работа W, приходящаяся на единицу массы при конечной деформации, заданной тензором hij, взята как функция hij, то компоненты тензора напряжений задаются выражениями sij = pJikJji dW/dhkl. |
| 74646. Показать, что если среда деформируется при постоянной энтропии, то по теории бесконечно малых деформаций sij = csij, kl e kl. |
| 74647. Используя основные термодинамические определения упругих постоянных второго порядка, найти число этих упругих постоянных и соотношения между ними для кристаллов кубической симметрии. |
| 74648. К материалу с кубической симметрией при температуре Т0 изотермически прикладывается напряжение в направлении [100] и измеряются деформации е11, e22, е33, вызванные этим напряжением. Состояние с нулевыми напряжениями при температуре Т0 принимается за начальное. Деформации достаточно малы, так что можно применять теорию бесконечно малых деформаций. При температурах Т0 + dT, близких к Т0, изотермически прикладываются напряжения таким образом, чтобы общие деформации, включая термические деформации (возникшие за счет изменения температуры), оставались такими же, как и раньше. Показать, что необходимая для этого компонента напряжения s11 меняется с изменением температуры по следующему закону: ds11/dT = -a/s11T + 2s12T, где sijT - изотермические коэффициенты упругой жесткости, а - коэффициент линейного термического расширения и все коэффициенты вычислены при T = Е0. Далее показать, что скорость изменения энтропии S на единицу массы при изменении компоненты деформации е11 при постоянной температуре равна p0(dS/de11)т = a/s11T + 2s12T. |
| 74649. Кристалл кубической симметрии подвергнут гидростатическому сжатию р при постоянной в течение всего эксперимента температуре Т0. Показать, что зависимость между давлением и объемом при малых давлениях есть dV/V0 = -3(s11T + 2s12T)p, где s11T, s12T — изотермические коэффициенты упругой податливости, dV — приращение первоначального объема V0. Показать также, что если давление скачком меняется от р до нуля, то сразу устанавливается температура Т0 + dT, где dT = -3T0ap/Csp0; здесь а — коэффициент линейного расширения, р0 — плотность в ненапряженном состоянии, а Сs — удельная теплоемкость при постоянном напряжении. Вычислить эту величину для КСl, подвергнутого давлению 10^9 дин/см2 при 300°К (а = 3,7*10^-5 град^-1, Сs = 6,86*10^6 эрг*г^-1 град^-1; р0 = 1,98 г*см^-3). |
| 74650. В матричном обозначении свободная энергия на единицу массы материала кубической симметрии как функция компонент конечной деформации имеет вид PoF = ####. Показать, что связь между объемом и гидростатическим давлением р для такого кристалла при таком порядке точности задается соотношением -р = у^-1/3 [a/2(y^2/3 - 1) + b/4(у^2/3 - 1)2], где y = V/V0, a = c11 + 2c12, b = 1/2(с111 + 6c112 + 2c123). Показать, что если V = V0 + dV, то с учетом изменений объема второго порядка -p = 1/3a(dV/v0) + 1/9(b - 3a/2)(dV/V0)^2. |
| 74651. Решить уравнение распространения упругих волн бесконечно малой амплитуды для пьезоэлектрического твердого тела кубической симметрии, если направление распространения a) [100]; б) [110]. Были получены следующие результаты для скорости акустических волн в кристалле InSb при 20°С (табл. 4.11.1): ####. Показать, что хотя InSb не является пьезоэлектриком, приведенные результаты согласуются в пределах экспериментальной ошибки с результатом, который можно ожидать от пьезоэлектрического кристалла. Определить три упругие постоянные, характеризующие этот материал (плотность InSb можно принять равной 5,7747 г*см^-3). |
| 74652. Теплоемкость при постоянном объеме Cv для некоторого элемента в кристаллическом состоянии при 100°С равна 16 дж*г-атом^-1*град^-1. Найти величину Cv при -100°С. |
| 74653. В предположении, что функция Дебая с характеристической температурой, равной 280 °К, дает точное значение теплоемкости кристаллического хлористого натрия, вычислить его энтропию S при 10, 25 и 50 °К. |
| 74654. Значения теплоемкости при низких температурах для кристаллического германия приведены в табл. 5.3.1. Таблица 5.3.1 ####. Воспользовавшись данными табл. 5.3.1, вычислить Q0C — предельную характеристическую температуру Дебая при 0 °К, и сравнить ее с Q0эл, вычисленной по скорости звука (4,26*10^5 см*сек^-1) при низких температурах. (Объем грамм-атома германия при 0 °К можно считать, равным 13,606 см3.) |
| 74655. Упругие постоянные LiF при 0 °К, полученные экстраполяцией от температуры жидкого гелия, равны: с11 = 12,46*10^11, с12 = 4,24*10^11, с44 = 6,49*10^11 дин*см^-2. Воспользовавшись этими данными и таблицами [9], вычислить Q0эл для LiF. Плотность принять равной 2,644 г*см^-3. |
| 74656. По данным табл. 5.5.1 для твердого криптона вычислить (с точностью до 1 %) характеристическую температуру QC(Т) при условии постоянного объема V = V (0 °К). Таблица 5.5.1 ####. |
| 74657. Воспользовавшись значениями теплоемкостей при постоянном объеме для чистого германия из табл. 5.6.1, оценить нулевую энергию колебаний. Таблица 5.6.1 ####. |
| 74658. Вычислить нулевую колебательную энергию Ez твердого криптона, если дано, что QooC = 65 °К и QooS = 59 °К. Определить статическую энергию решетки E0, если теплота сублимации dHсубл при 0 °К равна 2666 кал*г-атом^-1. |
| 74659. Оценить расширение статической решетки кристаллического КСl, вызванное нулевыми колебаниями, используя следующие данные (у(n) — параметры Грюнайзена, X — сжимаемость): y(-3) = 0,34, y(0) = 1,45, у(-2) = 0,87, у(2) = 1,65, y(-1) = 1,21, y(4) = 1,41, Еz = 1040 кал*моль^-1, V(0 °К) = 36,7 см3*моль^-1, Хт (0 °К) = Xs (0 °К) = 5,08*10^-12 см2*дин^-1. |
| 74660. Проанализировать температурную зависимость коэффициента теплового расширения а = 1/l(dl/dT)р для Nal, используя данные табл. 5.9.1 из работы [10], точность которых не ниже 5 %. Таблица 5.9.1 ####. |
| 74661. Определить второй момент v2 в распределении частот решетки кристаллического кремния из данных табл. 5.10.1. В значения теплоемкости поправка на ангармонические эффекты уже введена. Таблица 5.10.1 ####. |
| 74662. Показать, что один из приведенных ниже моментов частотного распределения КСl несовместим с тремя другими: v = 3,63*10^12 сек^-1, v2 = 1,45*10^25 сек^-2, v4 = 1,75*10^50 сек^-4, v6 = 5,90*10^75 сек^-6. |
| 74663. В табл. 5.12.1 даны значения характеристической температуры Дебая, измеренные для кристаллов трех химических элементов в функции температуры. Показать, что частотные распределения для двух из этих элементов имеют одинаковый вид. Таблица 5.12.1 ####. |
| 74664. Найти вид температурной зависимости характеристических температур Дебая QC(Т) и QM(T) в области 0° < Т < 300 °К для решетки кристаллической меди [QM(T) — характеристическая температура, соответствующая фактору Дебая — Валлера] при значениях моментов частотного распределения vD(n) = (n + 3/3 vn)^1/n, данных в табл. 5.13.1. Таблица 5.13.1 ####. |
| 74665. На основе значений теплоемкости кристаллического льда из табл. 5.14.1 вывести общие свойства частотного распределения решетки. Таблица 5.14.1 ####. |
| 74666. Что можно сказать об электронном вкладе Сэл в теплоемкость Сp на основании значений теплоемкости меди (табл. 5.15.1)? Таблица 5.15.1 ####. |
| 74667. Из табл. 5.16.1 значений коэффициента линейного расширения металлического ванадия определить электронный и колебательный вклады в коэффициент линейного расширения а. Таблица 5.16.1 ####. Вычислить электронный и колебательный вклады в постоянные Грюнайзена уэл и уколеб при 1 °К, используя следующие дополнительные данные: Сэл = 9,2*10^-3 Т дж*г-атом^-1*град^-1, Сколеб = 3,0*10^-5 Т3 дж*г-атом^-1*град^-1, XТ = 6,37*10^-13 см2*дин^-1, V = 8,32*см3*г-атом^-1. |
| 74668. Оценить энтальпию образования вакансий hs в твердом криптоне, если для него заданы следующие значения теплоемкостей в области ниже тройной точки (115,78 °К) (табл. 5.17.1). Таблица 5.17.1 ####. |
| 74669. В табл. 5.18.1 приведены значения теплоемкости кристаллического германия, в которые внесена поправка на V = V(0°K) Таблица 5.18.1 ####. Сравнить эти данные с Cv (гармонической), вычисленной в пределах допустимой точности данных (±0,2 %) из QooC = 401 °К [V = V(0°К)], и затем показать, что dС = Сv - Cv гарм = 3NkAТ (А = const), б) Показать, что при высоких температурах A = -(d ln vg/dТ)v, где vg — среднее геометрическое значение частоты. При условии, что Voo = 0,77 ±0,03, вычислить в процентах изменение vg при нагревании кристалла от 100 до 700 °К. Сравнить полученный результат со значением среднего частотного сдвига 100*dv/v = (-4,5 ±0,6) %, полученным из нейтронных спектроскопических измерений [11]. V(100°К) = 13,60 см3 г-атом^-1, V(700°К) = 13,74 см3 г-атом^-1. |
| 74670. По приведенным в табл. 5.19.1 данным для четырех образцов LiF разной толщины определить температурную зависимость теплопроводности К в пределе при T -- > 0°K. Показать, что теплопроводность зависит также от размеров образца. Таблица 5.19.1 ####. |
| 74671. Определить вид температурной зависимости теплопроводности К твердого аргона при температурах выше 10 °К по данным табл. 5.20.1. Вероятная ошибка этих данных составляет ±5 %. Таблица 5.20.1 ####. |
| 74672. Измерения теплопроводности особо чистого калия проводились вплоть до температур порядка 2°К [12]. Используя результаты табл. 5.21.1, разделить вклады в электронное тепловое сопротивление от фононного рассеяния и от дефектов. Таблица 5.21.1 ####. |
| 74673. На основании химических представлений рассмотреть, как зависит от температуры предел растворимости одного вещества в другом для твердого раствора. |
| 74674. Исследование твердых растворов замещения показывает, что в твердом растворе растворимость одного элемента в другом становится весьма ограниченной, если атомные диаметры обоих элементов различаются больше чем на 15 %. (Атомным диаметром элемента считается кратчайшее расстояние, на которое могут сблизиться два атома в кристалле.) Это называется правилом размерного фактора Юм-Розери для твердых растворов замещения. Показать, что действительно в бесконечной изотропной матрице наличие изотропной несогласующейся сферы неприемлемо, если ее равновесный размер отличается больше чем на 15 % от размера полости, в которую она внедряется. |
| 74675. Вычислить равновесную концентрацию а) дефектов Шоттки, б) дефектов Френкеля в кристалле. Дефект Шоттки — это вакансия, образующаяся, когда атом уходит со своего места в решетке на наружную поверхность кристалла. Дефект Френкеля — вакансия, образующаяся, когда атом, уходя со своего места в решетке, переходит в межузельное положение. Эти два типа дефектов изображены на рис. . |
| 74676. Сверхструктуры обычно состоят из доменов, границы которых можно увидеть в электронный микроскоп. Соприкасающиеся домены отличаются друг от друга либо по своей природе, либо по степени порядка дальнодействия. С помощью простых статистических рассуждений рассчитать зависимость этого порядка от температуры для сплава АВ с ОЦК структурой. |
| 74677. Вывести законы Фика для диффузии внедренных атомов в разбавленных твердых растворах. Первый закон Фика: J = -D dc/dx. Второй закон Фика: dc/dt = d/dx(D dc/dx). Здесь J — поток диффундирующих атомов, D = 1/2 b2f — коэффициент диффузии, f — частота перескоков диффундирующего атома из одного межузельного положения в другое, b — расстояние, на которое он перескакивает, dc/dх — градиент концентрации, t — время. Считая, что диффузия есть простой процесс случайных блужданий, записать уравнение для частоты перескоков f. Указать границы применимости этого допущения. |
| 74678. Как влияют на диффузию: а) структура кристалла, б) температура, в) действующее касательное напряжение? |
| 74679. Миграцию малых пор можно изучать непосредственно с помощью электронной микроскопии. Считая, что скорость миграции определяется поверхностной диффузией, показать, что беспорядочная миграция сферической поры должна происходить с коэффициентом диффузии, обратно пропорциональным четвертой степени радиуса поры. Как зависит скорость миграции от радиуса поры? |
| 74680. Задачи теории упругости решаются обычно проще через смещения, чем через деформации. Рассматривается поле упругих смещений краевой дислокации в бесконечной и упруго изотропной среде. Один из способов образования краевой дислокации заключается в том, чтобы удалить слой материала и склеить вместе две получившиеся грани (рис. ). Возникшие при этом упругие смещения все параллельны плоскости, нормальной к линии дислокации, и их легко определить [13], рассматривая соотношения между краевой и клиновидной дислокациями. На рис. положительная клиновидная дислокация сделана так, что сначала (а) удален клин АОВ с малым углом W, а затем грани АО и ВО соединены и склеены (б). Для отрицательной клиновидной дислокации сделали радиальный надрез (г), вдоль АО вдвинули клин с малым углом W и снова склеили. Если сделать радиальный разрез по ОС (б), то материал разойдется (в), образуя щель COD с углом W, а напряжения уничтожатся. Результат получается такой же, как если бы сектор ВОС был просто повернут как жесткое целое из своего начального положения на рис. ,а. Если теперь в щель COD вдвинуть клин с углом W, то ничего не изменится: тело остается ненапряженным, но тем не менее формально есть положительная клиновидная дислокация вдоль OA и отрицательная клиновидная дислокация вдоль ОС. Это означает, что поле напряжений отрицательной клиновидной дислокации вдоль любого радиуса уравновешивает поле напряжений от положительной клиновидной дислокации вдоль любого другого радиуса, т.е. 1) их поля напряжений равны и противоположны, 2) поле напряжений клиновидной дислокации цилиндрически симметрично. Утверждение (1) означает, что напряжения, получающиеся от двух смещений uw+ и -uw-, равны. Иначе говоря, они могут отличаться только смещением всего тела как жесткого целого. Если образуются две клиновидные дислокации с общей вершиной О и одним общим направлением (как OA на рис. ,а,г), то uw+ = -uw-. При этом создается положительная клиновидная дислокация, а затем отрицательная клиновидная дислокация, вершина которой сдвинута вниз на небольшое расстояние d = OO' (рис. ,д). Один из способов добиться этого таков: 1) разрезать материал вдоль AО, ВО; 2) сдвинуть клин вниз так, чтобы вершина его оказалась в точке О', и снова склеить материал вдоль АО'; остается ненапряженное тело, содержащее радиальную щель с параллельными краями шириной b = Wd; 3) замкнуть и склеить щель. В результате замыкания щели с параллельными краями шириной b образуется краевая дислокация с вектором Бюргерса величиной b. Очевидно, что uе(х, y) = uw+ (х, у) + uw- (х, y + d) = uw+ (х, y) - uw+ (х, у + d). Выразив это в дифференциальной форме и подставив b = Wd, получим ue = -b/W d/dy uw+... (6.8.1). Иначе говоря, поле напряжений краевой дислокации можно получить из поля напряжений клиновидной дислокации простым дифференцированием. Используя координатную систему рис. ,е, показать, что упругие смещения, создаваемые краевой дислокацией, будут u = ####, v = ####. Здесь v — коэффициент Пуассона. |
| 74681. Напряжения, создаваемые дислокацией, обратно пропорциональны расстоянию от ее ядра. Например, в случае краевой дислокации напряжения, выраженные через функцию напряжения Эри X, будут sх = d2X/dу2, sy = d2X/dx2, тxy = d2X/dz dy. Так как функция X линейно связана со смещением u (см. задачу 6.8), то можно подставить X вместо u. Решение будет следующим: sx = -Dу(Зх2 + у2)/(x2 + y2), sу = Dy(х2 - у2)/(x2 + y2)2, тxy = Dx(х2 - y2)/(x2 + y2), где D = цb/2п(1 - v). В ядре дислокации напряжения должны стремиться к бесконечности. Чтобы исключить их, Франк [14] предположил, что в некоторых материалах может оказаться выгодным, чтобы ядро дислокации было полым. Исследовать эту возможность для краевой и винтовой дислокаций. Предположить далее, что из-за упругого взаимодействия между дислокациями и растворенными атомами у материала в ядре дислокации температура плавления ниже, чем у матрицы. При каких условиях можно ожидать, что материал в ядре дислокации будет плавиться? |
| 74682. На основании простых энергетических соображений показать, что при соблюдении закона Гука упругая деформация тела под действием поверхностных сил не зависит от наличия в нем стационарных дислокаций. Насколько необходимо предположение о соблюдении закона Гука? Оценить примерно, какая плотность стационарных дислокаций необходима, чтобы материал вел себя, как упругий, но предварительно деформированный на 1 %. |
| 74683. Вывести формулу Пича — Кёлера для силы F = bjsij x dl, действующей на сегмент dl линии дислокации с вектором Бюргерса bj, обусловленной приложенным напряжением sij. Проиллюстрировать применение этой формулы для случая сдвигового усилия, приложенного параллельно вектору Бюргерса и действующего на скользящую дислокационную петлю. |
| 74684. Вычислить равновесное расстояние между двумя частичными дислокациями в ГЦК металле. Показать, что на две частичные дислокации, соединенные дефектом упаковки, однородное напряжение может действовать с противоположными силами, а чтобы полностью разделить две частичные дислокации, это однородное напряжение должно иметь величину ~ 2|/6 у/а (здесь у — энергия дефекта упаковки на единицу площади, а — параметр решетки). |
| 74685. Показать, что скорость пластического сдвига для кристалла, деформирующегося путем скольжения по единственной системе скольжения, определяется выражением y = b 1/V int v*n dl. Здесь b — вектор Бюргерса скользящих дислокаций, a (1/V) int v*n dl — произведение суммарной длины скользящих дислокаций в единице объема на их среднюю скорость. Вычислить отсюда скорость пластической деформации одноосного растяжения. |
| 74686. Дислокации, скользящие по пересекающимся системам скольжения, могут упруго притянуться друг к другу. Каков при этом выигрыш в энергии? Выведите выражение для напряжения, необходимого, чтобы разорвать такой узел и позволить дислокациям продолжать двигаться самостоятельно. Будет ли это выражение одинаковым для ОЦК и ГЦК металлов? |
| 74687. Прямое наблюдение в электронный микроскоп показывает, что в ГЦК сплавах, у которых мала удельная энергия дефектов упаковки, не встречаются узлы такого типа, как в задаче 6.14. Вместо этого растянутые пересекающиеся дислокации просто прорезают одна другую. На основании схемы получающейся конфигурации атомов рассчитать энергию, необходимую для образования такого пересечения. |
| 74688. Всякий раз, когда дислокация переползает, поглощая точечный дефект, высвобождается некая энергия величиной порядка энергии образования точечного дефекта Ef. Поэтому, если имеется пересыщение точечными дефектами, то существует тенденция к переползанию дислокаций, а со стороны избыточных (превышающих равновесную концентрацию) точечных дефектов на дислокацию действуют напряжения. Вычислив изменение свободной энергии, отнесенное к поглощенному точечному дефекту, показать, что это напряжение s = kT/b3 ln c/c0, где k — постоянная Больцмана, Т — абсолютная температура, b — вектор Бюргерса переползающей дислокации, а с и c0 — соответственно реальная и равновесная концентрации точечных дефектов. Оценить величину этого напряжения для алюминия, закаленного от 600°С до комнатной температуры, и сравнить ее с пределом текучести при комнатной температуре. |
| 74689. Равновесной формой смешанной дислокации в кристалле, пересыщенном точечными дефектами, является геликоид, ось которого параллельна вектору Бюргерса. Объяснить это. Показать, что знак геликоида зависит от природы имеющихся точечных дефектов. |
| 74690. Энергия кристалла, пересыщенного вакансиями, может понизиться,если избыточные вакансии коалесцируют, образуя пору. Показать, что такая пора должна зарождаться в форме сферы, а затем, когда она дорастет до критического размера, ее энергия уменьшится, если ей удастся преобразоваться в диск и захлопнуться, образуя призматическую дислокационную петлю. В некоторых материалах выпадение дисков происходит на трансляционных двойниках, потому что сокращение двойника ведет к высвобождению избыточной энергии. Образовавшиеся при этом призматические дислокационные петли сдерживают скольжение частичных дислокаций, заканчивающихся на трансляционных двойниках. Вывести выражение для величины возрастающего сопротивления скольжению. |
| 74691. Отожженные ГЦК кристаллы часто содержат дислокационные сетки, в которых прямолинейные дислокации встречаются друг с другом только по тройным узлам. Используя критерий Франка, утверждающий, что алгебраическая сумма векторов Бюргерса в узле должна быть равна нулю, показать, что возможны два типа таких узлов. Дать объяснение этим двум типам узлов, учитывая растянутые дислокации, и показать, как можно применить геометрию одного из них для измерения удельной энергии дефекта упаковки. |
| 74692. На поверхностях разлома хрупких твердых тел часто видны характерные следы ряби, располагающиеся на одинаковых расстояниях порядка 1 мкм. Полагая, что эти следы создаются колебаниями конца трещины при ее взаимодействии со сдвиговыми волнами, рассчитать скорость вершины продвигающейся трещины. Изломы, при которых видна рябь, часто сопровождаются звучанием. Это наводит на мысль [16], что сдвиговые волны в данном случае генерируются самим процессом разрушения. Существует ли верхний предел для скорости продвижения вершины трещины? |
| 74693. Чтобы сравнивать пригодность различных материалов для данного частного применения, удобно пользоваться понятием коэффициента качества (добротности). Пусть некий диэлектрик собираются применить для накопления электрической энергии. Проводимость s диэлектрика принимается равной нулю, но пробивное напряжение предполагается конечным. Показать, что максимальная энергия, которую можно накопить в конденсаторе с таким диэлектриком, зависит от объема диэлектрика и пробивного напряжения, но не зависит от геометрии конденсатора. В общем случае проводимостью диэлектрика пренебрегать нельзя. Вывести выражение для добротности в двух случаях: s = 0 и s # 0. Результатами можно пользоваться, чтобы сравнивать применимость различных диэлектриков для накопления энергии. |
| 74694. Шар из диэлектрического материала помещен в однородное электрическое поле Е0. Вычислить: а) напряженность поля внутри малой сферической полости в центре шара; б) поле в лоренцевой полости внутри диэлектрика. (Считать, что структура диэлектрика такова, что поляризация внутри лоренцевой полости непосредственно не влияет на поле в самой полости.) Определить количественное различие этих двух результатов. Какой степени электростатического экранирования можно достичь с помощью оболочки из диэлектрической керамики с еr = 5000? |
| 74695. Чтобы определить время релаксации т полярного диэлектрика (при заданной температуре), в некотором интервале частот проведены измерения е''. Из полученных результатов выяснилось, что т соответствует частоте значительно большей, чем предсказывает теория для указанного интервала частот. Показать, что если наблюдаемая частотная зависимость описывается функцией e" = (L - Mf2)f (f — частота), то т2 = M/4п2L. Если диэлектрик обладает заметной электропроводностью, то для построения графика зависимости e" от f удобно использовать логарифмический масштаб. Почему это так? |
| 74696. В камере, в которой создан вакуум, находится некоторое количество двухатомных молекул. К ней приложено внешнее электрическое поле Е0. Показать, что результирующая поляризация системы молекул зависит от ориентации молекул по отношению к полю. Если молекулы газа полярные, эффект ориентации при помощи сильного электрического поля можно сделать более заметным, особенно при низких температурах. Оптические показатели преломления такого газа для света, поляризованного перпендикулярно к направлению преимущественной ориентации осей молекул и параллельно этому направлению, — различны. Вывести выражение для разности показателей преломления, предполагая, что «длина» двухатомной молекулы l и что у обоих атомов, входящих в эту молекулу, электронная поляризуемость одинаковая. (Этот пример демонстрирует принцип действия ячейки Керра.) |
| 74697. К конденсатору приложено переменное напряжение постоянной амплитуды. Конденсатор заполнен полярным диэлектриком. Время релаксации т при данной температуре известно. Вывести выражение для тепловых потерь в зависимости от частоты и показать, что максимальное значение e" приходится на частоту wрел (wрел = 1/т — частота релаксации), при которой потери составляют половину своего максимального значения. Может показаться, что это удобный прямой метод определения частоты релаксации wрел, но на самом деле для использования на практике он не слишком хорош. Почему? |
| 74698. Пусть в плазме при низком давлении концентрация свободных электронов равна n. Показать, что частотная зависимость диэлектрической проницаемости плазмы описывается формулой er = 1 - ne/4пf2mе0, где f — частота электромагнитного поля (w = 2пf). Рассмотреть, как распространяется через эту плазму электромагнитное излучение различных частот. С этим явлением весьма сходны явления в некоторых материалах, обладающих электропроводностью. Применить полученный результат к металлическому натрию и сравнить с экспериментально наблюдаемыми значениями критическое значение частоты, при которой er становится равной нулю. |
| 74699. Пусть производится измерение диэлектрической проницаемости воды, а затем той же воды после ее превращения в лед. Температура образца понижается от нескольких градусов выше 0°С до нескольких градусов ниже 0°С. Если при температуре ниже 0°С не принять необходимых предосторожностей, то можно получить совершенно противоречивые результаты. Вкратце объяснить, почему это так. б) Пластины конденсатора сделаны из материала с высокой диэлектрической проницаемостью, толщина их 0,5 мм. К сожалению, обкладки прилегают не плотно и в некоторых местах между обкладками и диэлектриком есть зазоры толщиной порядка 1 мкм. Определить количественно влияние этих зазоров на результирующую емкость, пробивное напряжение конденсатора и постоянную времени. Объяснить качественно, как изменятся эти характеристики, если конденсатор сжать так, чтобы уменьшить ширину зазоров. |
| 74700. Плоскопараллельный конденсатор заполнен изолирующим жидким диэлектриком. В диэлектрике неизбежно присутствуют частицы примеси, и это может привести к электрическому пробою. а) Пусть малая сферическая частица примеси, обладающая электропроводностью, соприкасается с одной из пластин конденсатора и захватывает заряд, достаточный для того, чтобы ее собственный потенциал уравновесил потенциал электрода. Показать, что время, которое потребуется для того, чтобы эта частица дошла до второй обкладки, обратно пропорционально квадрату приложенного напряжения и не зависит от размера частицы. б) Пусть к одной из обкладок прилипло маленькое полусферическое инородное тело с очень высокой диэлектрической проницаемостью. Показать, что напряженность электрического поля в вершине полусферы примерно втрое больше, чем средняя напряженность в конденсаторе. Разобрать, какие практические затруднения возникнут, если присутствуют непроводящие примеси, и сопоставить приложенное напряжение со временем, которое должно пройти до пробоя. |
| 74701. Определить характер распространения электромагнитной волны при переходе из вакуума в диэлектрик, обладающий малыми потерями. Отражение электромагнитных волн от идеально проводящих поверхностей в принципе можно довести до нулевого, нанося на эти поверхности покрытия надлежащей толщины из диэлектрика с малыми потерями. Пусть для некоторых применений выбраны значения е' = 400, а длина волны в вакууме равна 3 см. Какая минимальная толщина диэлектрика предотвратит отражения при нормальном падении и какой проводимостью должен в этом случае обладать диэлектрик? [Поглощение электромагнитной волны, проходящей через материал с малыми потерями, т. е. с проводимостью s << e'e0w, пропорционально ехр(-kd) для толщины d; здесь k = 1/2 s|/цц0/e'e0.] |
| 74702. Молекулы вещества (ХО)Н2С - СН2(ОХ) состоят из двух идентичных групп СН2ОХ, соединенных между собой единственной связью С-С. Каждая подгруппа — СН2ОХ полярна с моментом, равным 2,5 D (D — единица дипольного момента — дебай), ориентированным под углом 45° к направлению единственной углеродной связи. Приближенное значение er для этого вещества в газообразном состоянии при комнатной температуре и атмосферном давлении равно 1,01. Оптическое измерение показателя преломления дает результат: n = 1,0005. Определить взаимную ориентировку подгрупп. |
| 74703. Отдельные противоположно заряженные ионы двух типов чередуются попеременно в бесконечно длинном прямом ряду. Расстояния между соседними ионами все строго одинаковы. Вывести выражения для локальных полей у каждого типа иона, предполагая, что электронные поляризуемости ионов различны. Определить условия, при которых этот ряд ионов обнаруживает сегнетоэлектрические свойства. (Следует иметь в виду, что сумма ряда S = E 1/n3, где n — целое число, равна S ~ 1,202.) |
| 74704. В идеально непроводящий кристалл введена примесь в количестве один примесный атом на каждые 10^6 атомов основного вещества. Каждый атом примеси вносит по одному носителю тока с зарядом, равным заряду электрона. Пусть число атомов основной решетки кристалла (на единицу объема) равно 10^28 м^-3. Установлено, что при частоте 1 Мгц примесные носители зарядов вносят в е" вклад dе" = 10. Определить коэффициент диффузии примеси и проводимость вещества. Применить результат для грубой оценки величины e" (при частоте 1 Мгц) германия, обладающего собственной проводимостью. |
| 74705. Поляризация титаната бария (ВаТiO3) при некоторой температуре составляет около 0,25 к/м2. Какова напряженность электрического поля в пластинке из титаната бария, вырезанной перпендикулярно к сегнетоэлектрической оси? Какова окончательная напряженность поля после некоторого времени выдержки на воздухе? Зная, что титанат бария обладает кубической симметрией с параметром решетки около 4 А, определить величину дипольного момента на одну элементарную ячейку. Если бы наблюдаемая поляризация была обусловлена просто сдвигом относительных положений ионов титана, то какова была бы амплитуда этого сдвига? Как правило, в диэлектрических явлениях ионная поляризация играет относительно малую роль. Почему в титанате бария она столь существенна? |
| 74706. Основные параметры пьезоэлектрика можно связать друг с другом двумя уравнениями S = Ed + sET, D = eTE + Td. Доказать, что постоянная d в этих выражениях одинакова. Две противоположные грани кубика из пьезоэлектрического материала металлизованы и соединены проводом (электрически закорочены). Куб медленно деформируется внешним давлением, а затем соединительный провод размыкается и давление снимают. Показать, что высвобождаемая в этой системе электростатическая энергия в k2 раз больше механической энергии, затраченной на сжатие, причем k2 = d2/SEeT. Тот же куб использовали для двух измерений диэлектрической проницаемости: при первом измерении куб механически фиксирован (зажат), при втором — свободен. Показать, что разность измеренных диэлектрических проницаемостей равна k2eT. Как при этом можно практически осуществить механическое зажатие? |
| 74707. Сегнетоэлектрический материал можно использовать, чтобы стабилизировать его собственную температуру вблизи его температуры Кюри, а значит, и температуру окружающей среды, если приложить к нему переменное электрическое поле достаточно большой интенсивности. Непосредственно ниже точки Кюри Тс поляризация насыщения Рнас некоторого сегнетоэлектрика с идеально прямоугольной петлей гистерезиса линейно зависит от температуры с коэффициентом 0,1 к*м^-2*град^-1. Коэрцитивная сила Ес, обусловленная доменной структурой сегнетоэлектрика и его внутренним полем, более или менее постоянна, вплоть до напряженности порядка 10^5 в*м^-1. Допустим, что частота переменного поля равна 50 гц. Считая, что характерная прямоугольная петля гистерезиса сохраняется, найти скорость выделения тепла, если температура падает ниже Тс. |
| 74708. Рассмотреть электрон, движущийся по круговой орбите вокруг ядра с зарядом +е. Используя формулу для силы Лоренца, получить выражение для силы, действующей на электрон в присутствии магнитного поля H, и показать, что круговая частота электрона равна w = -еН/2mc ±[(eH/2mc)2 + e2/mr3]^1/2. Оценить величину каждого из слагаемых правой части уравнения и сделать соответствующие приближения для расчета ларморовской частоты. |
| 74709. Рассчитать значение r2 для электрона в атоме водорода в основном состоянии. Сравнить эту величину с квадратом радиуса боровской орбиты электрона в атоме водорода. Рассчитать диамагнитную восприимчивость моля атомарного водорода. |
| 74710. Рассчитать диамагнитную восприимчивость моля газообразного гелия в основном состоянии. Использовать атомную волновую функцию Ф(r1, r2) = Z'3/пa0|3 exp(-Z'(r1 + r2)/a0). |
| 74711. Атом со сферически симметричным распределением электронного заряда помещен во внешнее поле Н. Показать, что индуцированный диамагнитный ток создает в точке, где находится ядро, поле dH = -eH/3mc2 фE(0), где фE(0) — электростатический потенциал в этой точке. |
| 74712. Записать классическую статистическую сумму Z для электронного газа в виде интеграла и показать, что по классической теории магнитная восприимчивость такого газа равна нулю. |
| 74713. Пусть магнитное поле Н направлено вдоль оси z. Показать, что для каждого из следующих трех видов выбора векторного потенциала: а) Ах = -1/2 Ну, Aу = 1/2 Hx, Az = 0; б) Ах = -Hу, Аy = 0, Az = 0; в) Ах = 0, Ay = Hx, Az = 0 мы получим одно и то же значение для магнитного момента свободного электронного газа. |
| 74714. Рассмотреть свободный электронный газ в магнитном поле H, задаваемом векторным потенциалом, для случаев, указанных в задаче 8.6. Пусть Lx и Ly — размеры образца металла в направлениях х и у соответственно. Рассчитать кратность вырождения уровней гармонического осциллятора в предположении, что центр осциллятора находится в объеме металла. |
| 74715. Для парамагнитного одноатомного газа (число атомов на 1 см3 равно N, L = 0, S = 1/2) найти населенность обоих уровней в поле Н при температуре Т. Рассчитать величину результирующей намагниченности. Вычислить эти величины для N = 10^22 см^-3, H = 25 кэ, Т = 300 и 4°К. |
| 74716. Для газа, описанного в задаче 8.8, рассчитать свободную энергию Гиббса G = E - TS (где S — энтропия) для случая, когда большинство атомов находится в наинизшем энергетическом состоянии. Найти значение магнитной восприимчивости X, воспользовавшись тем, что в случае термодинамического равновесия свободная энергия Гиббса G минимальна. |
| 74717. Для случая нулевого поля найти магнитную восприимчивость системы частиц двух типов 1 и 2; каждый тип частиц имеет дублетный спиновый уровень (т. е. подсистема частиц данного типа идентична системе, рассмотренной в задачах 8.8 и 8.9). (Внутренняя энергия подсистемы 1 равна E1, а подсистемы 2 — E2, причем E1 > E2, разность E1 - E2 обозначим dE.) |
| 74718. Волновые функции пятикратно вырожденного состояния Зd-электрона могут быть выбраны в следующем виде: Ф1 = xz f(r), Ф2 = yz f(r), Ф3 = xy f(r), Ф4 = (x2 - у2) f(r), Ф5 = (3z2 - 1) f(r). В случае ромбической решетки внутрикристаллическое поле, описываемое потенциалом вида V = Ах2 + Ву2 + Сz2, снимает вырождение. Найти новые энергетические уровни Зd-электрона после снятия вырождения. Показать, что в этом случае момент количества движения обращается в нуль. Рассмотреть также случай, когда поле кристаллической решетки имеет тетрагональную симметрию (А = В). |
| 74719. Рассмотреть парамагнитный газ, состоящий из одинаковых молекул, в предположении, что каждая молекула обладает постоянным магнитным моментом ц и что при наложении магнитного поля Н возможны любые ориентации магнитного момента относительно направления поля. Рассчитать намагниченность в общем случае и в случае, когда выполняется условие цH/kT << 1. |
| 74720. Показать, что магнитная восприимчивость порошка, состоящего из ориентированных произвольным образом кристаллов, описывается формулой Х = 1/3(Х1 + Х2 + Х3), где Х1, X2, Х3 — главные восприимчивости кристалла. |
| 74721. Рассмотреть матричные элементы < Фi|V|Фj > потенциала внутрикристаллического поля V для волновых функций Зd-электрона и разложить V по сферическим гармоникам типа Anm rn Pm|m| (cos Q) e^imФ. Разложить сначала по сферическим гармоникам произведение Ф1*Фj и показать, что члены с n > 4 отсутствуют. Тем самым будет показано, что матричные элементы для n > 4 равны нулю. Показать также, что матричные элементы для нечетных значений n равны нулю. |
| 74722. Показать, что для парамагнитного материала, который подчиняется закону Кюри, разность удельных теплоемкостей задается соотношением Cн - Cм = CH2/T2, а следовательно, теплоемкость системы спинов может быть записана в виде Сн = (b + СН2)/Т2, где С — постоянная Кюри, а b = СмТ2. |
| 74723. Расщепление на два дублета основного состояния хромо-калиевых квасцов, Cr2(SO4)3K2SO4*24H2O при нулевом поле соответствует температуре Q0 = 0,25°К. Построить график температурной зависимости удельной магнитной теплоемкости в интервале температур ниже 1 °К. Сравнить удельную теплоемкость данной соли с удельной теплоемкостью какого-либо металла в том же температурном интервале. Рассчитать температуру такой соли после выключения поля H = 15*10^3 э, если начальная температура соли 1,5 °К. |
| 74724. По теории Казимира и дю Пре частотная зависимость вещественной X' и мнимой X" частей восприимчивости парамагнетика имеет вид X' = Xs + Xт - Xs/1 + w2т1, X'' = (Xт - Xs)wт1/1 + w2т1, где Xт и Xs — изотермическая и адиабатическая восприимчивости, т1 — время спин-решеточной релаксации, w — круговая частота. Построить график зависимости X''/Xт от Х'/Хт. Для хорды с началом в точке пересечения окружности с осью Х'/Хт найти выражение для tg ф, где ф — острый угол, составляемый хордой с осью X'/Хт. |
| 74725. Крамерc и Крониг показали, что вещественная X' и мнимая X" части полной восприимчивости не являются независимыми, а связаны следующими соотношениями: X'(w0) = 2/п int wX''(w)dw/w2 - w0^2 + X'(oo), X''(w0) = -2/п int w0X'(w)dw/w2 - w0^2. Показать, что формулы Казимира — дю Пре (см. задачу 8.17) удовлетворяют этим соотношениям. |
| 74726. Показать, что у парамагнетика, атомы или молекулы которого могут находиться в нескольких энергетических состояниях с энергиями Ei, время спин-решеточной релаксации т1 определяется выражением 1/т1 = nE Pij dEij^2/E dEij^2, где суммирование ведется по всем значениям i и j; Рij — вероятность перехода между уровнями i и j; dEij — разность энергий уровней i и j; n — число заселенных уровней. |
| 74727. При S = 1 рассчитать энергию уровней и расщепление в нулевом поле для системы, описываемой спиновым гамильтонианом Hs = цBg||HzSz + цBg|(HxSx + HySy) + D[Sz^2 - 1/3S (S + 1)], где g|| и g| — параллельная и перпендикулярная компоненты g-фактора для аксиального кристаллического поля, a D — константа кристаллического поля. |
| 74728. Для H||z и S = 1 рассчитать энергию уровней для системы, описываемой спиновым гамильтонианом Hs = цBH*gS + D[Sz^2 - 1/3 S(S + 1)] + Ec(Sx^2 - Sy^2), где член Ec(Sx^2 - Sy^2) определяет расщепление в нулевом поле, обусловленном внутрикристаллическим полем более низкой симметрии, чем аксиальная. |
| 74729. Ион Cu2+ в октаэдрической позиции (окруженный шестью молекулами Н2O) находится в своем основном состоянии, т.е. в состоянии, когда имеет место расщепление внутрикристаллическим полем, как показано на рис. (там же выписаны угловые части волновой функции для каждого состояния). Вычислить параллельную и перпендикулярную компоненты g-фактора через константу спин-орбитальной связи. |
| 74730. Пусть спиновый гамильтониан парамагнитной соли задан выражением Hs = g||цBHzSz + g|цB(HxSx + HySy) + ASzJz + В(SxJx + SyJy), где А и В — постоянные сверхтонкого взаимодействия. Для случая H||z, S = 1 и J = 1 составить детерминанты для расчета энергетических уровней. |
| 74731. Настоящая задача основана на интересном опыте [17]. Предположим, что ядерное спин-спиновое взаимодействие в кристалле LiF соответствует эффективному полю Hss = 30 э. Предположим также, что кристалл помещают в поле, равное 100 э, при температуре 5°К. Кроме того, предположим, что за время, малое по сравнению со временем спин-спиновой релаксации, происходит неадиабатическое изменение поля до -100 э. Тогда спин-спиновая температура ядер Tss останется равной 5 °К, но зеемановская температура ядер Тz будет равной -5°К. Считая, что поле H = -100 э поддерживается постоянным, рассчитать конечную равновесную спиновую температуру ядер. (При расчете следует пренебречь ядерным спин-решеточным взаимодействием, которое в этой системе является весьма дальнодействующим.) Какой будет конечная спиновая температура ядер при выключенном поле? Какой будет указанная температура, если поле вновь достигнет величины 100 э? |
| 74732. Исходя из модели молекулярного поля, построить теорию ферромагнетизма полуклассическим путем, т. е. воспользоваться функцией Ланжевена L(y). Показать, что для Т/Тс < 1 (где Тс — температура Кюри) состояние, для которого выполняется соотношение М(Т)/М(0) # 0, является стабильным. |
| 74733. Показать, что в случае J = 1/2, g = 2 удельная теплоемкость в интервале температур 0 < T < Tс связана со спонтанной намагниченностью соотношением Csp = ####. Исходя из этого, показать, что вблизи точки Кюри (Т ~ Тc) Csp = 3/2(3 - 2Tc/T)Nk. |
| 74734. Рассмотреть одномерную цепочку из N атомов, каждый из которых имеет спин S = 1/2. В этом случае обменный гамильтониан Гайзенберга имеет вид H = -2Je ESiSj, (9.3.1) где Je — обменный интеграл. Найти условие, при котором волновая функция X = E cwXw является собственной функцией уравнения Шредингера с гамильтонианом (9.3.1). Здесь функции Xw имеют вид Xw = Ха1Ха2... Ха(w-1) XbwXa(w+1)... XaN, Ха и Хb — спиновые волновые функции Xa = (10), Хb = (01). Пользуясь этим результатом, вывести дисперсионный закон для спиновых волн в ферромагнетике. |
| 74735. Применить классическое уравнение движения гироскопа без затухания dG/dt = T (где G — угловой момент, T — вращающий момент) для случая, когда действуют только обменные силы. Рассмотреть линейную цепочку атомов, каждый из которых имеет cпин S = 1/2, и сделать аппроксимацию на случай S = |/S(S + 1). Используя схему на рис. , показать, что для малых значений k уравнение движения приводит к дисперсионному закону для спиновых волн hw = Jek2a2. |
| 74736. Показать, что из теории спиновых волн следует невозможность существования двумерной ферромагнитной решетки. |
| 74737. В теории ферромагнетизма, основанной на модели коллективизированных электронов, принимается, что энергию электрона на незаполненном Зd-уровне можно записать в виде E = h2k2/2m*±NwMцB, где m*— эффективная масса, Nw — постоянная молекулярного поля. Здесь первый член есть кинетическая энергия электрона, а второй — энергия обменного взаимодействия между электронами, записанная в приближении молекулярного поля. Найти выражение для намагниченности при температуре абсолютного нуля Т = 0°К. Найти условие существования спонтанной намагниченности, т.е. М # 0, при T = 0°K, а также условие равенства E = 1 (E = M/NцB). |
| 74738. В теории ферромагнетизма Вонсовского — Зинера принято, что локализованные непарные Зd-электроны одного иона «подмагничивают» 4s-электроны (электроны проводимости), а эти электроны в свою очередь «подмагничивают» другие ионы. Предположим, что s — d-взаимодействие может быть описано в приближении молекулярного поля и что взаимодействием между Зd-электронными оболочками и 4s-электронами можно пренебречь. Показать, что если намагниченность ионных остовов подчиняется закону Кюри, то температура Кюри Тс определяется соотношением Tc = XпаpaCNw^2, где Хпара — паyлиевская восприимчивость электронов проводимости, Nw —- постоянная молекулярного поля. |
| 74739. Пусть система состоит из двух частиц, положение которых фиксировано. Каждая частица имеет постоянный магнитный момент, равный ц; магнитный момент может быть ориентирован только вдоль положительного или отрицательного направлений оси z. Между частицами действуют силы обменного взаимодействия, так что полная энергия системы равна либо +с (когда два момента параллельны), либо -с (когда они антипараллельны), причем с = const. На систему действует внешнее магнитное поле H, направленное вдоль оси z. Чтобы объяснить магнитное поведение некоторого твердого магнетика, примем в качестве его теоретической модели ансамбль систем описанного выше типа, т. е. магнитных частиц. Пусть в единице объема содержится N таких систем. Предполагается, что отдельные системы такого ансамбля не взаимодействуют друг с другом и с окружающей средой, исключая небольшие взаимодействия, достаточные для установления термодинамического равновесия. Вывести точную формулу для намагниченности М такого магнетика, находящегося в термодинамическом равновесии при произвольной температуре Т в поле с напряженностью H. Вывести и обсудить приближенные выражения для намагниченности для следующих частных случаев: ####. |
| 74740. Рассмотреть образец монокристалла железа, вырезанный в форме плоского диска, поверхности которого параллельны кристаллографической плоскости (001). Предположим, что диск помещен в магнитное поле H, приложенное в плоскости (001) под углом Q к направлению [100]. Допустим также, что поле настолько велико, что весь объем образца занимает один магнитный домен; намагниченность домена М составляет угол ф с направлением [100]. Найти условия равновесия образца. Рассчитать вращающий момент для случая бесконечно протяженного поля. Рассчитать также вращающий момент для диска, вырезанного параллельно плоскости (110). |
| 74741. Показать, что когда к ферромагнетику приложено напряжение s, то выполняется соотношение 1/l (dl/dH)s = (dM/ds)н, (9.10.1) где l — длина образца, М — намагниченность. |
| 74742. Рассчитать магнитный потенциал однородно намагниченной сферы радиуса а в точке, находящейся на расстоянии r от центра сферы, для случаев r > а и r < a. Используя полученные результаты, вычислить для сферы размагничивающий фактор D. |
| 74743. Рассчитать энергию однородно намагниченного образца объемом v1, имеющего форму эллипсоида, внутри которого имеется полость объемом v2. Дипольный момент образца равен M(v1 - v2). |
Сборники задач
| Задачи по общей физике Иродов И.Е., 2010 |
| Задачник по физике Чертов, 2009 |
| Задачник по физике Белолипецкий С.Н., Еркович О.С., 2005 |
| Сборник задач по общему курсу ФИЗИКИ Волькенштейн В.С., 2008 |
| Сборник задач по курсу физики Трофимова Т.И., 2008 |
| Физика. Задачи с ответами и решениями Черноуцан А.И., 2009 |
| Сборник задач по общему курсу физики Гурьев Л.Г., Кортнев А.В. и др., 1972 |
| Журнал Квант. Практикум абитуриента. Физика Коллектив авторов, 2013 |
| Задачи по общей физике Иродов И.Е., 1979 |
| Сборник вопросов и задач по физике. 10-11 класс. Гольдфарб Н.И., 1982 |
| Все задачники... |
Статистика решений
| Тип решения | Кол-во |
| подробное решение | 62 245 |
| краткое решение | 7 659 |
| указания как решать | 1 407 |
| ответ (символьный) | 4 786 |
| ответ (численный) | 2 395 |
| нет ответа/решения | 3 406 |
| ВСЕГО | 81 898 |
Форма связи
fizmatbank@ya.ru
Мы в WhatsApp
Мы в Telegram
