База задач ФизМатБанк
| 63109. Предположим, что магнитный момент может принимать любое из дискретных значений gцBm, определяющих его проекцию на направление магнитного поля H (магнитное квантовое число m может быть равно J, J - 1, J - 2, ..., - J + 1, - J). Вычислить намагниченность М системы, состоящей из n таких магнитных моментов в единице объема. Вычислить магнитную восприимчивость X в слабом поле при высоких температурах (gцBJH << kТ). Исследовать случаи J = 1/2 и J ---> оо (цB ---> 0 и gцBJ ---> ц0). Предполагать, что взаимодействие между магнитными моментами пренебрежимо мало. |
| 63110. Какое количество энергии (в ваттах) необходимо сообщить черному телу в виде куба объемом 1 см3, помещенному в откачанный сосуд, чтобы поддерживать его температуру постоянной и равной соответственно 500, 800 и 1000° К? Предполагается, что стенки сосуда являются черным телом и имеют температуру 300° К. Замечание. Черное тело (абсолютно черное тело) поглощает все падающее на него излучение. Энергия, излучаемая с единицы площади его поверхности в единицу времени в телесный угол dW под углом Q к нормали к поверхности (фиг. 42), равна J(w,T,Q) dw dW = cu (w,T) dw cos Q dW/4п; здесь с — скорость света, Т — абсолютная температура черного тела и u (w, Т) - плотность энергии. |
| 63111. В сосуде объемом V, находящемся в контакте с термостатом при температуре Т, создан вакуум. Показать, что давление на стенки сосуда, обусловленное тепловым излучением внутри него, равно 1/3 от плотности энергии u теплового излучения. |
| 63112. Цилиндр радиусом R и длиной L вращается вокруг оси с постоянной угловой скоростью w. Найти распределение плотности идеального газа в цилиндре. Пренебречь действием гравитационного поля. Вычисления провести в классическом случае, предполагая, что система находится в тепловом равновесии при температуре Т. (Указание. Гамильтониан, описывающий движение во вращающейся системе координат, равен H* = H - wL, где H — гамильтониан в покоящейся системе координат и L — момент количества движения системы. Использовать каноническое распределение для H*.) |
| 63113. В теории относительности компоненты импульса и энергия точечной массы m связаны соотношениями: pi = mvi/ |/1 -(v/c)2 (i = x,у,z) и e = mc2/ |/1-(v/c)2, где с - скорость света, v = |/ v2x + v2y + v2z - скорость и vx, vy и vz - компоненты скорости точечной массы. Показать, что распределение Максвелла — Больцмана приводит к соотношению (1/2 mv2i / |/1 - (v/c)2) = 1/2 kT. |
| 63114. Обозначим обобщенные координаты, описывающие состояние системы с 3N степенями свободы, через q1, q2, ..., q3N. Пусть Xj - сила, соответствующая координате qj. (Если гамильтониан системы H, то Xj = - dH/dqj.) Показать, что E qjXj = -3NkT, где Т - абсолютная температура. Это — теорема вириала. В частности, если газ, состоящий из N молекул, потенциал взаимодействия которых равен U (q1, q2, ..., q3N), помещен в сосуд объемом V, то теорема вириала принимает следующий вид: pV = NkT - 1/3 E qj dU/dqj, где р - давление, которое оказывают молекулы газа на стенки сосуда. Здесь q1, q2, ..., q3N - декартовы координаты, определяющие положение этих N молекул. |
| 63115. Груз, имеющий массу m, закреплен в средней точке нити длиной I (фиг. 41) и вращается вокруг оси, соединяющей концы нити. Система находится в контакте с окружающим пространством при температуре Т. Вычислить натяжение X, действующее между концами нити в зависимости от расстояния х между ними. |
| 63116. Идеальный газ, состоящий из N частиц массой m (подчиняющийся классической статистике), заключен в бесконечно высокий цилиндр, помещенный в однородное гравитационное поле, и находится в состоянии теплового равновесия. Вычислить классическую статистическую сумму, свободную энергию Гельмгольца, среднюю энергию и теплоемкость системы. |
| 63117. Показать, что флуктуация энергии в каноническом распределении определяется формулой (Е - E)2 = kТ2Сv, где Т - абсолютная температура и Сv - теплоемкость при постоянном объеме. Тем же способом доказать следующее соотношение: (E - E)3 = k2 { T4(dCv/dT)v + 2T3Cv }. Показать, в частности, что для идеального газа, состоящего из N одноатомных молекул (без учета их внутренней структуры), эти соотношения можно свести к следующим: (E - E)2/E2 = 2/3N, (E - E)3/E3 = 8/9N2. |
| 63118. Пусть пространственное распределение частиц с зарядом е определяется плотностью числа частиц n(r). Если внешнее поле характеризуется потенциалом фвн, то полная потенциальная энергия равна U = #### . Предполагая, что энтропия системы определяется выражением S = ####, найти уравнения, которым удовлетворяют плотность n(r) и статический потенциал ф(r) в равновесном состоянии. |
| 63119. Предположим, что система из N частиц, каждая из которых может находиться только в двух квантовых состояниях с энергиями ± e0 (например, система спинов), переведена каким-либо способом в состояние, полная энергия которого Е положительна. К какому результату мы придем, если приведем эту систему в контакт с газовым термометром? |
| 63120. Показать, что для идеального газа вне зависимости от статистики справедливо соотношение p = 2/3 Eкин/V, где Екин - его полная кинетическая энергия. |
| 63121. Доказать для идеального газа следующие соотношения для большого канонического распределения: 1) (N - N)^2 = kT d/dц N, 2) (N - N)^2 = N (в классической статистике), 3) (nт - nт)^2 = nт(1 ± nт) (в квантовой статистике), где знак «плюс» относится к статистике Бозе, знак «минус» — к статистике Ферми. |
| 63122. Показать, что если среднее по времени от X = dH (р, q, x)/ dх равно фазовому среднему (1.13) (эргодическая теорема), то величина W0(E,x) инвариантна при квазистатическом адиабатическом процессе, в котором х меняется очень медленно. |
| 63123. Если частицу со спином 1/2 поместить в магнитное поле H, ее энергетический уровень расщепится на два: -цН и +цH, которым соответствуют магнитные моменты ц и -ц, параллельный и антипараллельный магнитному полю (фиг. 10). Предположим, что система, состоящая из N таких частиц, находится в магнитном поле H и поддерживается при температуре Т. Найти флуктуацию (М — М)2 полного магнитного момента М спиновой системы. |
| 63124. Рассмотрим систему, состоящую из N частиц. Разделим все квантовые состояния индивидуальных частиц на группы, каждая из которых содержит состояния с почти одинаковой энергией. Пусть энергия частицы в j-й группе есть ej, а число состояний в ней равно Cj (фиг. 19). Тогда состояние всей системы можно описать, задавая совокупность чисел частиц Nj в каждой группе. 1. Показать, что термодинамический вес состояния, заданного совокупностью {Nj}, равен в зависимости от статистики частиц W {Nj} = П (Nj + Cj - 1)!/ Nj! (Cj - 1)! (Б.Э.). или W {Nj} = П Cj!/Nj! (Cj - Nj)! (Ф.Д.) 2. Предполагая, что вся система находится в контакте с термостатом при температуре T, найти наиболее вероятную совокупность среди {Nj} и получить отсюда распределение Бозе (1.91) или Ферми (1.90) как вероятность того, что каждое состояние индивидуальной частицы занято. 3. Предполагая, что энергия всей системы Е постоянна (микроканонический ансамбль), получить те же результаты, что и в п. 2. |
| 63125. Рассмотрим адсорбирующую поверхность, содержащую N узлов, каждый из которых может адсорбировать одну молекулу газа (фиг. 18). Предположим, что поверхность находится в контакте с идеальным газом, химический потенциал которого равен ц (последний определяется давлением р и температурой T). Предполагая, что адсорбированная молекула имеет энергию — е0 (если принять за нуль энергию свободной молекулы), определить коэффициент адсорбции Q, т. е. отношение числа адсорбированных молекул к числу адсорбирующих узлов. (Использовать большой канонический ансамбль.) Найти, в частности, связь между Q и р в случае одноатомных молекул. |
| 63126. Если n атомов идеального кристалла, состоящего из N атомов (1 << n << N), перемещены из узлов решетки внутри кристалла в узлы, расположенные на поверхности, то кристалл становится неидеальным с дефектами типа дефектов Шоттки (фиг. 17, б). Пусть w — энергия, необходимая для перемещения атома из кристалла на его поверхность. Показать, что в равновесии при температуре T, удовлетворяющей условию w >> kТ, имеет место соотношение n/N + n = e^-w/kT, или, если пренебречь эффектами, связанными с изменением объема кристалла, n ~ Ne^-w/kT. |
| 63127. Определить число состояний W0 (Е) для системы из N осцилляторов и показать, что эта система является нормальной в смысле, указанном в § 6. |
| 63128. Пусть N атомов расположены регулярно таким образом, что образуют идеальный кристалл. Если n атомов (1 << n << N) из узлов решетки переместить в междоузлия, то мы получим неидеальный кристалл с n дефектами типа дефектов Френкеля(фиг. 17, а). Число N' междоузельных положений, которые может занять атом, имеет тот же порядок величины, что и N. Пусть w — энергия, необходимая для перемещения атома из узла решетки в междоузлие. Показать, что в равновесии при температуре Т, при которой w >> kТ, справедливо следующее соотношение: n2/ (N - n) (N'- n) = e^-w/kT, или n ~ |/ NN'e^-w/2kT. |
| 63129. Пользуясь элементарной молекулярной кинетической теорией, вывести уравнение Пуассона pVy = const для квазистатического адиабатического процесса в идеальном газе. (Указание. Обратить особое внимание на ту роль, которую играют межмолекулярные столкновения.) |
| 63130. Показать, что если плотность газа, состоящего из частиц с массой m, достаточно низка, а температура достаточно высока, так что средняя длина волны де Бройля много меньше среднего расстояния между частицами, то можно пользоваться статистикой Больцмана с хорошей степенью точности вне зависимости от того, какой статистике подчиняются частицы, Ферми или Бозе. |
| 63131. Пусть рs — вероятность того, что система находится в состоянии s с энергией Еs. Показать, что если энтропия выражается формулой S = - k E ps ln ps, то те значения рs, при которых S имеет максимальное значение при условии, что средняя энергия системы равна Е, подчиняются каноническому распределению. |
| 63132. Определить, какой статистике, Ферми или Бозе, подчиняются следующие частицы: а-частица, 3Не, молекула Н2, позитрон, ион 6Li+ и ион 7Li+. |
| 63133. Рассмотрим одноатомный идеальный газ из N молекул, заключенных в объеме V. Пользуясь Т — ц-распределением, показать, что число молекул n, находящихся в небольшом элементе объема v, определяется распределением Пуассона Pn = e^-n (n)^n/nl. |
| 63134. Показать, что в Т — р-распределении величина G(T, р, N) = - kTlnY, где Y — статистическая сумма, равна свободной энергии Гиббса. |
| 63135. Имеются идеальный газ, состоящий из N одноатомных молекул, и система из N осцилляторов. Предполагая, что эти системы обладают каноническим распределением при температуре T, найти наиболее вероятное значение Е*полной энергии Е рассматриваемых систем и показать, что полученное выражение согласуется со средним значением Е в каноническом распределении. |
| 63136. Показать, что статистическая сумма большого канонического ансамбля классического идеального газа из одноатомных молекул имеет вид E = e^Lf. Какой смысл имеют величины f и L? |
| 63137. Показать, что в случае однородного распределения температуры давление газа в однородном гравитационном поле уменьшается с высотой согласно формуле р (z) = р (0) ехр (- mgz/kT), где m — масса молекулы. |
| 63138. Рассмотрим идеальный газ, состоящий из N частиц, подчиняющихся классической статистике. Пусть энергия частицы e пропорциональна импульсу р, е = ср. Найти термодинамические функции такого идеального газа, не учитывая внутренней структуры частиц. |
| 63139. Для осциллятора, имеющего массу m и угловую частоту w, вычислить статистическую сумму 1) классически и 2) квантово-механически, а также 3) найти температурную зависимость внутренней энергии, энтропии и теплоемкости системы, состоящей из N таких осцилляторов. |
| 63140. Система состоит из N осцилляторов, частота колебаний которых равна v. Рассматривая эту систему классически, 1) найти число состояний системы; 2) используя полученный результат, вывести соотношение между энергией и температурой системы. |
| 63141. Имеется одномерная цепочка, состоящая из n ( >>1) элементов (фиг. 16). Пусть длина каждого элемента равна а и расстояние между концами цепочки х. Найти энтропию этой цепочки как функцию х и получить связь между температурой цепочки Т и силой (натяжением), которое необходимо, чтобы удержать концы ее на расстоянии x, предполагая, что элементы могут свободно поворачиваться в соединениях. |
| 63142. Пользуясь принципом возрастания энтропии, доказать, что при чрезвычайно медленном изменении координаты х в квазистатическом адиабатическом процессе энтропия S (х) не меняется. (Указание. Рассмотреть dS/dt как функцию dx/dt.) |
| 63143. Пусть рассматриваемая система помещена в сосуд с теплонепроницаемыми стенками и закрыта сверху подвижным поршнем, на который помещен груз весом w (фиг. 15). Полагая, что вся система, включая груз, является изолированной, вывести, пользуясь микроканоническим ансамблем, соотношение p = - (dE/dV)S. Применить эту формулу к идеальному одноатомному газу и доказать уравнение состояния р = 3/2 (E/V). |
| 63144. В сосуде объемом V содержится N молекул газа. Пусть n — число молекул в части сосуда, имеющей объем v. Считая, что в состоянии теплового равновесия вероятность обнаружения определенной молекулы в объеме v равна v/V, 1) найти распределение вероятностей f (n) для числа n; 2) вычислить n и (n - n)2; 3) показать, пользуясь формулой Стирлинга, что если N и n достаточно велики, то распределение f (n) приближенно является гауссовым; 4) показать, что в пределе v/V ---> 0 и V ---> оо при N/V = const распределение f (n) приближается к распределению Пуассона f(n) = е^-n (n)^n/n. |
| 63145. Нить с привязанным к ней свинцовым шариком массой m медленно втягивается вверх через небольшое отверстие (фиг. 14). Определить работу, производимую над системой в течение этого процесса, и найти изменение энергии и частоты маятника в этом «адиабатическом процессе», предполагая, что амплитуда маятника достаточно мала. |
| 63146. Найти число квантовых состояний для частицы, находящейся в сосуде в форме куба с ребром длиной l, и сравнить его с объемом классического фазового пространства. Найти также плотность состояний. |
| 63147. Какой вид имеет поверхность постоянной энергии в фазовом пространстве для осциллятора с частотой v? Найти объем фазового пространства Г0 (Е), соответствующий энергиям меньше Е. Найти далее число квантовых состояний W0 (Е) с энергией меньше Е для этого осциллятора и показать, что для больших значений энергии Е Г0 (E)/h ~ W0 (E). |
| 63148. Для находящейся в состоянии теплового равновесия системы из N осцилляторов (N >> 1) с полной энергией Е найти вероятность того, что один из осцилляторов имеет квантовое состояние n. 2. Показать, что для идеального газа из N одноатомных молекул с полной энергией Е в состоянии теплового равновесия вероятность того, что данная частица имеет энергию е = р2/2m, пропорциональна ехр (- e/kТ). |
| 63149. Точечная масса m движется в интервале 0 < x < l и отражается от стенок при х = 0 и х = I. 1. Изобразить траекторию точечной массы в фазовом пространстве (x, р). 2. Найти объем фазового пространства Г0 (E), соответствующий энергиям меньше Е. 3. Показать, что значение Г0 (Е) остается постоянным при медленном движении стенки х = I (адиабатическая инвариантность). 4. Переходя к квантовой механике, найти число квантовых состояний W0 (E) с энергией меньше Е и сравнить его с Г0 (Е). |
| 63150. Разреженный газ находится в сосуде объемом V при давлении р. Предполагая, что молекулы газа имеют максвелловское распределение по скоростям, вычислить скорость истечения газа в вакуум из небольшого (площадью A) отверстия в сосуде. Приняв стенку с отверстием за плоскость у - z, найти распределение молекул газа, вылетающих из отверстия, по скоростям в x-направлении. |
| 63151. Имеется печь, содержащая газ при высокой температуре. Через маленькое окошко в печи с помощью спектрометра наблюдают спектральные линии молекул газа. Наблюдаемые спектральные линии уширены (допплеровское уширение). Показать, что соотношение между интенсивностью спектральной линии l и длиной волны L, имеет следующий вид: I(L) ~ exp { - mc2(L - L0)^2 / 2L02kT }. Здесь Т — температура печи, с — скорость света, m — масса молекулы и L0 — длина волны спектральной линии покоящейся молекулы. |
| 63152. Пусть в идеальном газе имеется некоторый элемент поверхности. Предположив, что благодаря проникновению молекул газа через этот элемент поверхности происходит перенос импульса, найти формулу для определения давления, которое оказывают обе стороны поверхности друг на друга (метод Лоренца). Предполагать, что молекулы газа имеют максвелловское распределение по скоростям. |
| 63153. Определить электропроводность однородного металла при температуре T, предполагая, что уравнение Больцмана для сильно вырожденного электронного газа имеет вид df/dt + v*df/dx - eE*df/dp = -f - f0/т, где - е — электрический заряд электрона, р — импульс. Равновесная функция распределения представляет собой распределение Ферми f0(e), где е = е (р) — энергия электрона. Предполагается, что электрическое поле Е однородно и что время релаксации т зависит только от Т и е [ т. е. т зависит от р только через е (р) ]. В частности, вычислить электропроводность в случае, когда е(р) есть квадратичная функция е = р2/2m*, где m*— эффективная масса. |
| 63154. Объяснить закон Дальтона для смеси идеальных газов на основе элементарной кинетической теории газов. |
| 63155. Оценить величину теплопроводности электронного газа в металле, опираясь на следующие допущения: а) все электроны движутся с одинаковой скоростью v; б) каждый электрон изотропно рассеивается (например, примесями в металле) через интервалы времени т, одинаковые для всех электронов; в) после рассеяния энергия каждого электрона точно равна средней энергии u (приходящейся на один электрон) электронного газа в точке, где произошло рассеяние. |
| 63156. Для разреженного газа с максвелловским распределением молекул по скоростям найти среднее время свободного пробега, т. е. среднее время между двумя последовательными столкновениями некоторой молекулы. При этом рассматривать молекулу как упругую сферу радиусом а. Найти также среднюю длину свободного пробега, т. е. среднее расстояние, которое пролетает молекула за время свободного пробега. С помощью полученных формул определить значения соответствующих величин для азота N2 (считая а = 1,90 А) при нормальных условиях (0° С и 1 атм). |
| 63157. Показать, что n-частичная функция распределения (5.38) удовлетворяет уравнению ####, где U {n} = E ф(ri, rj) (n = 2, ..., N). |
| 63158. Показать, что если полумакроскопическая переменная а описывает состояние малой подсистемы I рассматриваемой системы, то распределение флуктуации этой переменной может быть записано в виде P(a') = Ce^-Wмин(a*,a')/kT*, где Wмин(а*, а') соответствует минимальной работе, которую следует совершить, чтобы перевести подсистему I из равновесного состояния а*в состояние а*+ а' при учете взаимодействия с остальной частью системы, а Т*— значение температуры в состоянии равновесия, т. е. температура подсистемы II. |
| 63159. Пространство между плоскими параллельными пластинами конденсатора заполнено ионным раствором. Пластины обладают некоторой разностью потенциалов V0, причем после зарядки конденсатор отсоединен от источника. Получить выражение для распределения пространственного заряда, существующего в системе, достигшей теплового равновесия. Предполагать для простоты, что разность потенциалов мала, т. е. что eV0 << kТ. |
| 63160. Бинарный сплав типа АВ при температурах ниже критической температуры Тс образует сверхструктуру. Вывести выражение для свободной энергии в виде функции от X — параметра дальнего порядка [см. (5.12)]. Подробно исследовать поведение полученного выражения вблизи критической точки Тс. Показать, что уравнение, определяющее X ниже точки Тс, имеет вид (5.17). (Воспользоваться приближением Брэгга — Вильямса. Учитывать только взаимодействие ближайших соседей. Предполагается, что решетку можно разложить на две подрешетки а и b, расположенные таким образом, что каждый узел одной из подрешеток окружен атомами, принадлежащими другой подрешетке.) |
| 63161. Рассмотреть ферромагнитный кристалл, каждый атом которого обладает магнитным моментом gцBS. Предположить, что между каждым атомом и его ближайшими соседями существует обменное взаимодействие -2JSj*Sl с положительным обменным интегралом J (индексы j, I отмечают положение каждого спина в решетке). Это взаимодействие при достаточно низких температурах обусловливает параллельную ориентацию спинов. Такая простейшая модель ферромагнитного кристалла обычно называется моделью Гейзенберга. Вывести парамагнитную восприимчивость X как функцию от Т при высоких температурах и выразить температуру Кюри Тс через J, S = |S| и число ближайших соседей z. Воспользоваться приближением молекулярного поля. |
| 63162. Рассмотрим идеальный бозе-газ, представляющий собой систему из N частиц, находящихся в объеме V. Обозначим через N0 число частиц в нижнем одночастичном состоянии (импульс р = 0), а через N' — число частиц в более высоких состояниях (р = / = 0). Показать, что при температурах, лежащих ниже некоторого критического значения Tс, величина N0 сравнима с N и что химический потенциал ц в этой области равен нулю (бозе-эйнштейновская конденсация). |
| 63163. Показать, что химический потенциал газа фотонов равен нулю. |
| 63164. Рассмотрим полупроводник n-типа, в котором примесные уровни лежат на расстоянии ED от дна зоны проводимости. Обозначим через ND, nD и n соответственно число доноров, число донорных уровней и число электронов проводимости (в единице объема). Получить соотношение n(ND - nD)/nD = 1/2 Nc e^-ED/kT, где Nc = 2 (2пm*kT/h2)^3/2, m*— эффективная масса электронов проводимости. Выяснить его физический смысл. Предполагается, что примесный уровень не может быть занят двумя электронами одновременно и что электроны проводимости представляют собой невырожденную систему. |
| 63165. Рассмотрим собственный полупроводник, у которого ширина запрещенной зоны равна EG. Пусть n и р обозначают соответственно плотность электронов проводимости и дырок. Предполагая, что электроны и дырки ведут себя как свободные частицы с эффективными массами mе и mh, получить соотношение n = p = 2 { 2п(memh)^1/2 kT/h2 }^3/2 e^-EG/2kT. Показать, что энергия Ферми для электронов имеет вид ц = 1/2 EG + 3/4 kT ln mh/me. Энергия отсчитывается от дна валентной зоны и предполагается, что выполняется условие EG >> kТ. Вычислить значение n ( = р) для случая, когда EG = 0,7 эв, Т = 300° К, mh = me = m. |
| 63166. Рассмотрим молекулу идеального газа АВ и реакцию диссоциации АВ <--> А + В. Пусть nА, nB и nАВ — концентрации (числа молекул в единице объема) каждого сорта молекул. Вывести закон действующих масс: nAB/nAnB = K(T) = VfAB/fAfB e^w0/kT = [ (mA + mB)h2/2пmAmBkT ]^3/2 j0AB/j0Aj0B e^w0/kT. Здесь fА , . . — молекулярные статистические суммы, V — объем сосуда, j0A — статистические суммы для внутренних степеней свободы каждой молекулы. Энергия для каждой молекулы отчитывается от энергии ее основного состояния (без учета энергии нулевых колебаний), так что величина w0 = е0А + e0B - е0АВ представляет собой разность начальных значений энергии. |
| 63167. Вычислить энергию Ферми ц и внутреннюю энергию Е идеального ферми-газа, состоящего из частиц со спином 1/2, с точностью до членов порядка T4 в случае достаточно сильного вырождения. |
| 63168. Показать, что при достаточно низких температурах удельная теплоемкость идеального ферми-газа равна Cv = 1/3 п2k2T D(ц), где D(e) — одночастичная плотность состояний. |
| 63169. Используя формулу суммирования Эйлера — Маклорена, получить высокотемпературное разложение вращательной части статистической суммы r (T) (3.8) для гетероядерных двухатомных молекул. Вычислить величину r (Т) при Т = 300,4° К для НСl (Qr = h2/2Ik = 15,02° К) и найти отклонение от классического значения T/Qr. |
| 63170. Вычислить свободную энергию Гельмгольца, энтропию и молярную теплоемкость при постоянном давлении для углекислого газа СO2 при 0° С и давлении 1 атм. Использовать формулу для идеального газа и следующие данные: молекулярный вес М = 44,010, момент инерции (молекула считается линейной О — С — О) I = 71,67*10^-40 г*см2, частоты нормальных колебаний v1 = 667,3 = v2, v3 = 1383,3, v4 = 2439,3 см^-1. Электронная конфигурация основного состояния молекулы СO2 есть 1 E+g и, следовательно, состояние невырождено. Замечание. Частоты v1 и v2 соответствуют колебаниям изгиба; v3 — колебанию, в котором две связи С — О колеблются в противофазе, a v4 — в фазе (фиг. 61). |
| 63171. Определить число состояний W (Е) при заданной полной энергии по статистической сумме ZN (b) системы N осцилляторов, имеющих характеристическую угловую частоту w. Пользуясь асимптотической оценкой при больших N, вычислить энтропию S (Е). |
| 63172. Для идеального газа, состоящего из N двухатомных молекул с постоянным электрическим дипольным моментом ц, компонента результирующего момента М = E цi вдоль произвольного направления z (фиг. 39) задана в интервале от Мz до Мz + dМz. Соответствующий фазовый объем (число состояний) равен W (Mz)dMz. Показать, что для больших N справедлива следующая асимптотическая оценка: ln W(Mz) ~ N [ const + ln(shx/x) - ex], где Mz/Nц = e и х = L^-1(e) (L — функция Ланжевена, L^-1 — обратная ей функция). В частности, в области Mz/Nц << 1, W(Mz) ~ const*exp [ - 3Mz2/(2Nц2) ]. Получить это приближенное соотношение. |
| 63173. Найти координатное представление матрицы плотности р = ехр (- bH) (H = р2/2m) для одной свободной частицы с массой m. Вычислить ее предельное значение при L ---> оо, предполагая, что волновая функция частицы периодична в кубе объемом L3. [ Волновая функция ф (x, у, z) удовлетворяет периодическим граничным условиям, т. е. ф (х + L, у, z) = ф (x, у, z); аналогичные соотношения имеют место для переменных у и z. ] |
| 63174. Электромагнитные волны в полости, имеющей объем V, находятся в равновесии с окружающей ее оболочкой при температуре Т. Найти связь между интенсивностью излучения, выходящего из небольшого отверстия в стенке этой полости, и длиной волны излучения (формула излучения Планка). |
| 63175. В твердых телах атомы колеблются с небольшими амплитудами относительно их положения равновесия. Дебай аппроксимировал эти нормальные колебания упругими колебаниями изотропной сплошной среды и предположил, что число колебательных мод, т. е. нормальных колебаний g (w) dw, угловые частоты которых лежат в интервале от w до w + dw, равно g(w) = { V/2п2 (1/c3l + 2/c3t) w2 = 9N/w3D w2 (w < wD) 0 (w > wD). Здесь сl и ct — скорости продольных и поперечных волн. Частота Дебая wD определяется из условия int g(w) dw = 3N, где N — число атомов и, следовательно, 3N — число степеней свободы. Вычислить на основе этой модели удельную теплоемкость твердого тела. Изучить температурную зависимость ее как при высоких, так и при низких температурах. |
| 63176. Показать, что электрическая поляризация Р идеального газа, состоящего из N двухатомных молекул с постоянным электрическим дипольным моментом ц, определяется выражением P = N/V ц {cth (цE/kT) - kT/цE }, где V — объем газа и Е — внешнее электрическое поле. Доказать, что при |цE| << kT диэлектрическая проницаемость газа равна е = 1 + 4п N/V ц2/3kT. (При этом не учитывается индуцированная поляризация молекул, и электрическое поле, действующее на молекулы, предполагается равным внешнему полю Е.) |
| 63177. Классическая система находится в контакте с термостатом при температуре Т° К. Показать, 1) что средняя кинетическая энергия на одну степень свободы равна (1/2) kТ и 2) что выполняется соотношение qi dV/dqj = kTdij (dij = { 1(i = j) 0 (i = / = j)) (закон равномерного распределения энергии) при условии, что потенциальная энергия V обращается в +оо на границах области изменения координат qj. |
| 63178. Доказать следующее соотношение для большой статистической суммы E (T, ц, V): pV = kT ln E. |
| 63179. Пользуясь большим каноническим ансамблем, доказать, что функция распределения для идеального квантового газа имеет вид f(e) = 1/e^b(e - ц) ± 1, где знак «минус» относится к статистике Бозе — Эйнштейна, а знак «плюс» — к статистике Ферми — Дирака. Получить также выражение для энтропии (1.94а) и формулу для свободной энергии Гельмгольца. |
| 63180. Если частицу со спином 1/2 поместить в магнитное поле H, ее энергетический уровень расщепится на два: -цН и +цH, которым соответствуют магнитные моменты ц и -ц, параллельный и антипараллельный магнитному полю (фиг. 10). Предположим, что система, состоящая из N таких частиц, находится в магнитном поле H и поддерживается при температуре Т. Пользуясь каноническим распределением, определить внутреннюю энергию, энтропию, удельную теплоемкость и полный магнитный момент М системы. |
| 63181. Предположим, что две системы I и II находятся в тепловом контакте с термостатом при температуре T, причем существует некий механизм, позволяющий системам обмениваться частицами. Получить выражение для вероятности распределения (N l, N ll) частиц в системах I и II, выразив ее через статистические суммы Z l (N l, Т) и Z ll (N ll, Т), и вывести условия, которым удовлетворяет наиболее вероятное распределение. |
| 63182. Показать, что система, находящаяся в контакте с термостатом и источником частиц, обладает числом частиц N и энергией Е с вероятностью, определяемой в классическом случае #### и в квантовом случае ####. |
| 63183. Имеется более двух систем А, В, С, ..., которые почти не зависят друг от друга. Предположим, что системы слабо взаимодействуют друг с другом, так что их можно рассматривать как составную систему А + В + С ... . Показать, что статистическая сумма Za+b+... и свободная энергия Fa+b+ ... определяются соответственно формулами Za+b+... = ZaZb ..., Fa+b+ ... = Fa + Fb + ..., где Za, Zb, ... — статистические суммы отдельных систем. |
| 63184. Применить каноническое и Т — р-распределения в классической статистической механике к идеальному газу, состоящему из N одноатомных молекул, и найти соответствующие термодинамические функции. |
| 63185. Предположим, что две системы, нормальные с точки зрения статистической термодинамики, обладают числом состояний, равным (1.24а). Доказать, что при установлении теплового контакта между двумя системами справедливы следующие утверждения: 1) Если начальные температуры были Т1 и Т2 (T1 > Т2), то тепловой поток через контакт будет направлен от системы 1 к системе 2 и энтропия возрастет на величину d'Q (Т2^-1 - T1^-1). 2) Если обе системы находятся в тепловом равновесии друг с другом, то энтропия составной системы S1+2 равна сумме энтропии подсистем S1 и S2. 3) Флуктуации энергии подсистемы 1 или подсистемы 2 в состоянии теплового равновесия (Е1 - Е*1)2 или (Е2 - E*2)2 определяются формулой kТ2/(С1^-1 + С2^-1), где Е*1 и E*2 — средние значения (наиболее вероятные значения) энергий систем 1 и 2 и С1 и С2 — их теплоемкости. |
| 63186. Имеется система, состоящая из N независимых частиц. Каждая частица может находиться только на одном из двух энергетических уровней — е0, e0. Определить термодинамический вес Wм макроскопического состояния с энергией Е = Me0 (М = - N, ..., N) и обсудить статистико-термодинамические свойства системы в области Е < 0, в частности вывести соотношения между температурой, энергией и теплоемкостью. |
| 63187. Идеальный газ, состоящий из N точечных молекул, заключен в сосуд объемом V. Найти число состояний (фазовый интеграл) W0(Е) в классическом случае и, пользуясь им, получить уравнение состояния. [ Указание: объем Сn единичной сферы в n-мерном пространстве равен п^N/2 / Г (n/2 + 1). ] |
| 63188. Уровни энергии осциллятора с частотой v имеют вид е = 1/2 hv, 2/3 hv, ..., (n + 1/2) hv, ... . Если система состоит из N почти невзаимодействующих осцилляторов, то энергия ее равна E = 1/2 Nhv + Mhv (M — целое число). 1) Найти термодинамический вес WM и 2) установить связь между температурой системы и энергией Е. |
| 63189. Давление, оказываемое газом на стенки сосуда, можно рассматривать как усредненный по времени импульс, который передают стенке молекулы газа, сталкиваясь с ней и отражаясь от нее. Исходя из этого, вычислить давление и показать, что оно равно p = 2/3 ne (формула Бернулли), где n — среднее число молекул в единице объема и е — средняя кинетическая энергия молекулы. |
| 63190. Пусть дана подсистема с некоторой массой (с определенным числом молекул), принадлежащая большой однородной системе. а. Показать, что вероятность обнаружить отклонение а' величины а от ее равновесного значения а*можно представить в виде Р (а') = С ехр [ 1/2kT*(dpdV - dTdS) ] , где Т*— температура в равновесном состоянии. При этом предполагается, что отклонение а' не слишком велико и что распределение вероятностей можно считать гауссовым. Указание. Воспользоваться соотношением, определяющим минимальную работу Wмин = dU - T*dS + p*dV, и применить его к процессу, в котором изменения dU, dS и dV заданы, а T*и р*представляют собой равновесные температуру и давление. Затем разложить dU до членов второго порядка по dS и dV. б. Полагая параметр а равным V и T, найти dV2, dVdT и dT2. в. Найти dр2. |
| 63191. Рассмотреть флуктуации числа молекул N1 растворенного вещества в небольшой части двухкомпонентного раствора, содержащей определенное число N0 молекул растворителя. Применив результаты к разбавленным растворам, вывести соотношение между флуктуацией величины и осмотическим давлением. Температуру можно считать постоянной и ее флуктуациями пренебречь. |
| 63192. Показать, что в стационарном состоянии давления рА и рB разреженного газа, заключенного в двух камерах А и В, разделенных пористой перегородкой, удовлетворяют соотношению pA/РB = |/ TA/TB, где ТА и ТB — соответственно температуры в двух камерах. Рассмотреть, что произойдет, если обе камеры соединить трубой С, как показано на фиг. 138. (Указание. Рассмотреть равновесие газа, протекающего через малые отверстия в пористой перегородке.) |
| 63193. Оценить коэффициент вязкости разреженного газа, исходя из следующих допущений: а. Скорость теплового движения всех молекул одинакова. б. При столкновениях с другими молекулами, происходящих через равные промежутки времени т, каждая молекула рассеивается изотропно. в. Средняя скорость молекулы непосредственно после столкновений равна скорости V потока газа в точке, где произошло столкновение. (Указание. Скорость молекулы является векторной суммой скорости потока и скорости теплового движения. Вязкие силы возникают в результате обмена импульсом между слоями, в которых скорость потока различна.) |
| 63194. Пусть зеркало, размер которого меньше средней длины свободного пробега молекул, подвешено на тонкой проволоке в разреженном газе, имеющем температуру Т и давление р, и вращается с угловой скоростью w. Показать, что на зеркало действует момент сил — ew, причем коэффициент трения e равен e = 2mvpI/skT, где v = |/ 8kT/пm, I — момент инерции, s — масса единицы поверхности зеркала, m — масса молекулы газа. |
| 63195. Найти электропроводность металла, вычисляя среднюю скорость электронов в предположении, что каждый электрон через равные промежутки времени т испытывает изотропное рассеяние (на примесях). |
| 63196. Для невырожденных электронов в полупроводнике можно считать, что функция распределения f0 в уравнении Больцмана совпадает с распределением Максвелла — Больцмана. Вычислить электропроводность для этого случая, полагая e(р) = р2/2m*, т = A |v|s, где A > 0 и s > - 7 — постоянные. |
| 63197. Вычислить тензор электропроводности однородного металла в однородном статическом магнитном поле H, предполагая, что e(р) = р2/2m*, где m*— эффективная масса. |
| 63198. Найти среднюю флуктуацию отклонения от прямой линии для каждой точки струны, натянутой с постоянным натяжением между двумя фиксированными точками, как показано на фиг. 139. При этом считать, что отклонение мало по сравнению с длиной струны. (Указание. Разложить отклонение e(х) в ряд Фурье и рассматривать фурье-коэффициенты отклонения A1, А2, ..., как обобщенные координаты, описывающие отклонения.) |
| 63199. Показать, что число молекул NA, находящихся в макроскопической области VA жидкости, удовлетворяет соотношению ####, где n — средняя плотность числа молекул, g(В) — радиальная функция распределения (или корреляционная функция), определяемая соотношением (5.36). Кроме того, показать, что n int {g(R) - 1} dR = nkTxT - 1, где xT — изотермическая сжимаемость. |
| 63200. Пусть частица движется вдоль оси х таким образом, что в течение каждого интервала времени т она может с равной вероятностью сместиться на отрезки +а или -а. При этом вероятность того, что частица, начавшая свое движение из точки ха, через время t = nт достигнет точки уа, определяется уравнением Смолуховского Рn(х|у) = E Pn-1(x|z) P1(z|y), n > 1, где P1(x|y) = 1/2dy,x-1 + 1/2dy,x+1, P0(x|y) = dx,y. Найти Рn(х|у) путем решения уравнения Смолуховского. В частности, рассмотреть асимптотическую форму решения при очень больших n. [ Указание. Ввести величину E Pn(x|y) ey = Qn(e) и решить уравнение для Qn, а затем определить Рn(х|у) как коэффициенты разложения Qn (e) по степеням e. ] |
| 63201. Компонента скорости v микроскопической частицы (например, коллоидной частицы), взвешенной в жидкости с температурой Т, удовлетворяет уравнению движения mdv/dt = - ev + F(t), где m — масса частицы, e — коэффициент трения, F(t) — флуктуирующая часть силы, с которой молекулы жидкости действуют на частицу. Пусть F(t) является стохастической переменной, и пусть ее среднее значение и корреляционная функция соответственно равны F(t) = 0, F(t)F(t') = 2ekTd(t - t'). В этих предположениях найти среднее значение и корреляционную функцию компоненты скорости v частицы. Кроме того, вычислить среднеквадратичное смещение частицы за достаточно большой интервал времени (t >> m/e). (Указание. Решить приведенное дифференциальное уравнение и выразить v через F.) Замечание. Приведенное выше уравнение движения микроскопической частицы называется уравнением Ланжевена, а тепловое движение такой частицы называется броуновским движением ). |
| 63202. Вычислить теплопроводность металла, предполагая, что в уравнении Больцмана, электрическое поле положено равным нулю, а вместо него введен однородный и стационарный градиент температуры. Рассмотреть случай е (р) = р2/2m*(m*— эффективная масса) и т = Av8, где A > 0 и s > - 7 — постоянные. |
| 63203. Найти силу сопротивления, действующую на сферу, движущуюся с постоянной скоростью в разреженном равновесном газе с температурой Т. Предполагается, что радиус сферы много больше радиуса молекул газа, но много меньше их длины свободного пробега. Столкновения между сферой и молекулами газа считать идеально упругими (поверхность сферы гладкая). |
| 63204. Пусть молекулы с эффективным радиусом а и постоянным моментом ц взвешены в жидкости с коэффициентом вязкости h, и пусть функция f(Q, ф, t) описывает распределение ориентации диполей. Изменение функции f под действием электрического поля Е(t) определяется уравнением df/dt = B/sinQ d/dQ { sinQ(df/dQ + цE(t) sinQ/kT f) } + B/sin2Q d2f/dф2, где В = kТ/8пha3 — коэффициент вращательной диффузии, Т — температура жидкости, а полярные углы (Q, ф) определяют ориентацию диполей относительно полярной оси, за которую принято направление электрического поля. Найти комплексную диэлектрическую проницаемость, считая | цE(t) | << kТ. Указание. Если электрическая индукция D(t) связана с электрическим полем Е(t) (которое следует считать равным нулю при t ---> - оо) линейным уравнением вида D(t) = eooE(t) + int ф(t - t') E(t') dt', то комплексная диэлектрическая проницаемость e(w) определяется как фурье-образ функции релаксации ф(t) e(w) = eoo + int ф(t) e^-iwt dt. Решить приведенное уравнение для f и вычислить электрическую поляризацию. |
| 63205. Вывести выражения для коэффициентов объемной и сдвиговой вязкостей и теплопроводности разреженного газа, для которого уравнение Больцмана имеет вид df/dt + vx df/dx + vy df/dy + vz df/dz = - f - f0/т, где f0 — локально равновесное распределение, т. е. распределение Максвелла, соответствующее локальной плотности числа частиц n(х), локальной температуре Т(x) и локальной скорости потока V(x). Здесь х = (х, у, z) — радиус-вектор, a v = (vx, vy, vz) — вектор скорости. Предполагается, что время релаксации т является функцией от | v - V |. Полученные выражения вычислить для случая т = А |v - V|^s, где А > 0 и s > - 9 — постоянные. |
| 63206. Иногда при рассмотрении движения электрона в молекуле, находящейся в разреженном газе, можно пользоваться представлением о гармоническом осцилляторе, уравнение движения которого имеет вид dx/dt = p/m, dp/dt = -mw20x - eE(t), где x и р — соответственно радиус-вектор и импульс электрона в молекуле, m — масса, - е — заряд электрона, w0 — характеристическая угловая частота, E(t) — внешнее электрическое поле. Показать, что среднее значение f (x, р, t) функции распределения электронов f (x, р, t), полученное путем усреднения по времени и по всем возможным положениям осциллятора в моменты столкновений, удовлетворяет уравнению df/dt + p/m*df/dx + { -mw20x - eE(t) }*df/dp = - f - f0/т. При этом предполагать, что столкновения между молекулами происходят через среднее время т свободного пробега и что функция распределения электронов после столкновения сразу переходит в равновесную функцию распределения f0(x, р, t). |
| 63207. Пусть столкновительный член уравнения Больцмана для системы электронов имеет вид (6.9), а оператор D определяется следующим образом: (df/dt)столк = - Df = - f(v) int W(v,v') dv' + int W(v',v) f(v') dv', где W(v,v') dv' — вероятность перехода электрона, имевшего скорость v, в состояние, в котором его скорость лежит в интервале v',v' + dv' (для простоты считаем столкновения упругими). Решить кинетическое уравнение Больцмана с точностью до членов первого порядка по E, принимая в качестве начального условия, что при t = - оо функция распределения электронов равна равновесной функции f0, а Е = 0. Показать, что общее выражение для плотности электрического тока в момент времени t имеет вид ji(t) = E int El(t') dt'Фli(t - t') (i, l = x, y, z), где Фli(t) = { ji(t) ji(0) }/kT. Здесь { ji(t) ji(0) } — корреляционная функция электрического тока, который в форме флуктуации существует в равновесной системе электронов. Испольвуя этот результат, выразить статическую и динамическую электропроводности через корреляционную функцию. |
| 63231. Показать, что если уравнение состояния имеет вид р = р(Т, V), то справедливо соотношение рар = kаv, где ар = (dp/dT)v/p — тепловой коэффициент давления при постоянном объеме, av = (dV/dT)p/V — коэффициент теплового расширения при постоянном давлении, k = - V (dp/dV)т — изотермический объемный модуль упругости. |
Сборники задач
| Задачи по общей физике Иродов И.Е., 2010 |
| Задачник по физике Чертов, 2009 |
| Задачник по физике Белолипецкий С.Н., Еркович О.С., 2005 |
| Сборник задач по общему курсу ФИЗИКИ Волькенштейн В.С., 2008 |
| Сборник задач по курсу физики Трофимова Т.И., 2008 |
| Физика. Задачи с ответами и решениями Черноуцан А.И., 2009 |
| Сборник задач по общему курсу физики Гурьев Л.Г., Кортнев А.В. и др., 1972 |
| Журнал Квант. Практикум абитуриента. Физика Коллектив авторов, 2013 |
| Задачи по общей физике Иродов И.Е., 1979 |
| Сборник вопросов и задач по физике. 10-11 класс. Гольдфарб Н.И., 1982 |
| Все задачники... |
Статистика решений
| Тип решения | Кол-во |
| подробное решение | 62 245 |
| краткое решение | 7 659 |
| указания как решать | 1 407 |
| ответ (символьный) | 4 786 |
| ответ (численный) | 2 395 |
| нет ответа/решения | 3 406 |
| ВСЕГО | 81 898 |
Форма связи
fizmatbank@ya.ru
Мы в WhatsApp
Мы в Telegram
