База задач ФизМатБанк
| 74119. Рассмотрим реакцию 1 + 2 -- > 3 + 4. По определению лабораторной называется система отсчета, в которой Р2 = 0. Системой центра масс (ц.м.) называется система отсчета, в которой Р1ц.м + P2ц.м = 0. Доказать, что: а) Eполн = (m1|2 + m2|2 + 2m2E1)^1/2, б) E1 = [(Eполн)2 + m1|2 - m2|2]/2Eполн, в) P1 = m2P1/Eполн, г) yц.м. = (E1 + m2)/Еполн (vц.м. — скорость ц.м. в лабораторной системе отсчета, уц.м. = (1 - v2ц.м.)^-1/2), д) vц.м. = P1/(E1 + m2). |
| 74120. Рассмотрим упругое столкновение частицы с массой m1, со стационарной частицей с массой m2 < m1. Пусть Vмакс - максимальный угол рассеяния частицы m1. При нерелятивистских расчетах sin Vмакс = m2/m1. Доказать, что этот результат остается в силе и при релятивистских расчетах. |
| 74121. Двигатели ракеты создают постоянное ускорение 1g (относительно мгновенно сопутствующей ракете инерциальной системы отсчета). Ракета стартует из состояния покоя вблизи поверхности Земли. Как далеко улетит ракета от Земли (расстояние измеряется в земной системе отсчета) за 40 земных лет? Как далеко она улетит за 40 лет, измеряемых в системе отсчета, связанной с ракетой? б) Вычислить собственное время, которое потребуется пассажирам космического корабля, чтобы удалиться от Земли на расстояние 30 000 св.лет к центру Галактики. Предполагается, что первую половину пути космический корабль разгоняется с ускорением 1g, а вторую половину пути — тормозится с ускорением 1g. в) Какая доля начальной массы ракеты может приходиться на полезный груз в п. «б»? Предполагается, что космический корабль обладает идеальными двигателями, способными превращать массу покоя в излучение со 100 % эффективностью и выпускать идеально коллимированные пучки фотонов. |
| 74122. До какой максимальной энергии может разогнать электроны циклотрон, работающий на постоянной частоте с ускоряющим потенциалом V? |
| 74123. Открыто новое поле Fц(xv), сообщающее частице с массой m, находящейся в точке x4, 4-ускорение aц = duц/dт = m^-1Fц(xv). (Обращаем внимание читателя на то, что Fц не зависит от uv). Доказать, что существование такого поля противоречит специальной теории относительности. |
| 74124. Два события разделены пространственноподобным интервалом. Доказать, что: а) существует лоренцевская система отсчета, в которой они одновременны; б) ни в одной лоренцевской системе отсчета они не происходят в одной и той же точке. 2) Два события разделены времениподобным интервалом. Доказать, что: а) существует система отсчета, в которой они происходят в одной и той же точке; б) ни в одной лоренцевской системе отсчета они не одновременны. |
| 74125. Найти 4 линейно-независимых изотропных вектора в пространстве Минковского. Можно ли найти 4 изотропных вектора, которые были бы ортогональны? |
| 74126. Доказать, что из всех непространственноподобных векторов данному изотропному ненулевому вектору ортогональны лишь кратные ему векторы. |
| 74127. З.4. Доказать, что сумма двух векторов может быть пространственноподобной, изотропной или времениподобной независимо от того, являются ли эти два вектора пространственноподобными, изотропными или времениподобными. |
| 74128. Доказать, что площадь поперечного сечения параллельного пучка света инвариантна относительно преобразований Лоренца. |
| 74129. Доказать, что ED^цц и EDцц не инвариантны относительно преобразований координат, а сумма EDц^ц инвариантна. (Тензор D задан своими компонентами Dцv.) |
| 74130. Тензор Fab антисимметричен по двум своим индексам. Доказать, что Fц^a,v Fva = -Fцa,b Fab. |
| 74131. В системе отсчета с координатами хц инвариантный линейный элемент имеет вид ds2 = habdx^adx^b. Доказать, что если координаты подвергнуть преобразованию хц -- > xц, то линейный элемент примет вид ds2 = gцv - dx^цdx^v, и выразить gцv через частные производные dxц/dxv. Доказать также, что если U и V — два произвольных 4-вектора, то U*V = UaVbhab = UaVbgab. |
| 74132. Доказать, что определитель метрического тензора g = det(gцv) не является скаляром. |
| 74133. Доказать, что если Лав и Лав — две матрицы, преобразующие компоненты тензора из одной системы координат в другую, то матрица ЛayЛab также задает некоторое преобразование координат. |
| 74134. Дан тензор Kab. Можно ли проверить, является ли он прямым произведением двух векторов Kab = AаВb? Можно ли записать ход проверки в безындексных обозначениях? |
| 74135. Доказать, что в общем случае тензор второго ранга в n-мерном пространстве нельзя представить в виде прямого произведения двух векторов, но его можно представить в виде суммы нескольких прямых произведений двух векторов. |
| 74136. Геометрический «объект» с двумя индексами, Хцv, определен как «прямая сумма» двух векторов: Xцv = Aц + Вv. Можно ли считать Xцv тензором? Существует ли закон, позволяющий преобразовывать X в новую систему координат, т.е. получать Xцv из Xцv? |
| 74137. Доказать, что тензор второго ранга F, антисимметричный в одной системе координат (Fцv = -Fцv), антисимметричен во всех системах координат. Доказать, что контравариантные компоненты тензора F также антисимметричны (Fцv = -Fvц). Доказать также, что симметричность тензора второго ранга инвариантна относительно выбора системы координат. |
| 74138. Пусть Ацv — антисимметричный тензор (Ацv = -Аvц), a Sцv — симметричный тензор (Sцv = Svц). Доказать, что AцvSцv = 0. Вывести следующие два тождества, справедливые для произвольного тензора Vцv: VцvAцv = 1/2(Vцv - Vvц)Aцv, VцvSцv = 1/2(Vцv + Vvц)Sцv. |
| 74139. Сколько независимых компонент существует у тензора Tab... r-го ранга, не обладающего никакими симметриями, в n-мерном метрическом пространстве? б) Сколько независимых компонент существует у тензора Тab..., симметричного по s индексам? в) Сколько независимых компонент существует у тензора Tab..., антисимметричного по а индексам? |
| 74140. Определим квадратные и круглые скобки, содержащие некоторые наборы индексов, следующим образом: ####. Суммы берутся по всем перестановкам п чисел 1, 2,..., р, а коэффициент (-1)п равен +1 или -1 в зависимости от того, четна или нечетна перестановка п. У величины V могут быть и другие индексы, не входящие в число р индексов a1, a2,..., ap, но введенные нами скобочные операции действуют лишь на явно выписанные индексы. Индексы п1, п2,..., пр означают те числа, в которые переходят 1, 2,..., p под действием перестановки п. Например, ####, или, что то же, ####. а) Пусть F — антисимметричная, Т — симметричная и V — произвольная величины. Пользуясь приведенными выше определениями, вычислить в явном виде V[цv], F[цv], F(цv), T[цv], T(цv), V[aby], T(ab,y), F[ab,y]. б) Вывести следующие формулы: ####. в) Пользуясь «скобочными обозначениями», доказать, что из соотношения Fцv = Av.ц - Aц.v следует соотношение Fab,v + Fbv,a + Fva,b = 0. (Половина уравнений Максвелла!) |
| 74141. Доказать, что для любого тензора X с двумя индексами Xab = X(ab) + X[ab], где скобки () и [ ] означают соответственно симметризацию и антисимметризацию заключенных в них индексов. Доказать также, что в общем случае Yaby =/= Y(aby) + Y[aby]. |
| 74142. Доказать, что дельта-символ Кронекера dцv — тензор. |
| 74143. Доказать, что существует единственный с точностью до умножения на постоянную тензор eabyd, полностью антисимметричный по всем своим 4 индексам. Обычно его выбирают так, что в координатах Минковского е0123 = 1. Каковы компоненты тензора e в общей системе координат с метрикой gцv? |
| 74144. Доказать, что в локально ортонормированной системе координат eabyd = -eabyd. Как выглядит аналогичное соотношение в произвольной системе координат с метрикой gцv? |
| 74145. Вычислить eцvps e^цvps. |
| 74146. Доказать, что для любого тензора Aab eabyd АaцАbvАyLАds = ецvLs det|Aab|, где |Aab| — матрица с компонентами Aab. |
| 74147. Доказать, что четыре вектора u, v, w, х линейно-независимы в том и только том случае, если u л v л w л х # 0. Доказать также, что произведение u л v л w л х четырех линейно-независимых векторов u, v, w, х с точностью до константы совпадает с полностью антисимметричным тензором е. (Произведение u л v двух векторов по определению равно их антисимметризованному прямому произведению, т.е. u л v = u x v - v x u.) |
| 74148. Пусть F — антисимметричный тензор второго ранга с компонентами Fцv. Построим по F другой антисимметричный тензор второго ранга*F (так называемый тензор, дуальный тензору F), определив его следующим образом:*F = 1/2 e^цvabFabeц x ev. Доказать, что*(*F) = -F. |
| 74149. Доказать, что VsV^s = -1/3!(*V)aby(*V)^aby. |
| 74150. Тензор dц...L p...s задан соотношением ####. Доказать, что если число верхних (или нижних) индексов больше 4, то этот тензор тождественно равен нулю. |
| 74151. Доказать, что dцv Lx = -1/2 e^цvps eLxps, и обобщить это соотношение на случай тензоров dц...v L...x других рангов. |
| 74152. Доказать, что если антисимметричный тензор раb является бивектором (т.е. рab = A[аВb]), тo рabруd + рayрdb + рadрbу = 0 (соотношения Плюккера). |
| 74153. Определим в 4-пространстве 3-мерный элемент объема на гиперповерхности ха = ха(а, b, с) как d3Eц = (1/3!) х eцaby dadbdc [d (хa, xb, ху)/d(а, b, с)], где последний множитель представляет собой якобиан 3 x 3. Вычислить компоненты элемента объема d3Eц для пространственноподобной гиперповерхности х0 = const, параметризованной так, что x1 = a, x2 = b, х3 = с. |
| 74154. Доказать, что инвариантный собственный элемент объема в 4-мерном пространстве определяется соотношением dV = (-g)^1/2 d4x, где дифференциал d4x = dxdydzdt вычислен в системе координат с метрикой gцv. |
| 74155. Доказать, что собственный 3-мерный элемент объема наблюдателя, движущегося с 4-скоростью u, имеет вид d3V = (-g)^1/2 u0d3x и является скалярным инвариантом. |
| 74156. Какой вид имеет инвариантный элемент объема контравариантного импульса d4P в 3-мерном импульсном пространстве? Какой вид имеет инвариантный 3-мерный элемент объема на «массовой оболочке», т.е. при наложении ограничения (-P*P)^1/2 = m? |
| 74157. По данным наблюдений группа из N частиц занимает в 6-мерном фазовом пространстве объем dxdydzdPxdPy x dPz, в силу чего плотность частиц N в фазовом пространстве определяется соотношением N = Ndx dy dz dPxdPydPz. Доказать, что плотность частиц N лоренц-инвариантна, т.е., что все наблюдатели получат для N одно и то же числовое значение. |
| 74158. Векторное поле Ja(xц) удовлетворяет уравнению Jа,a = 0, а его компоненты Ja на больших расстояниях от начала координат убывают быстрее, чем r^-2. а) Доказать, что величина int J0d3x постоянна по времени. б) Доказать, что интеграл int J0d3x — скаляр, т.е. что int J0d3x = int J0'd3x'. |
| 74159. Найти магнитное поле В от текущего по бесконечной проволоке тока l, используя для этого соответствующие преобразования Лоренца и суперпозицию электрических полей, создаваемых распределенными вдоль бесконечной прямой зарядами. |
| 74160. Доказать, что для электрического и магнитного полей величины В2 - E2 и Е*В инвариантны относительно замены переменных и преобразований Лоренца. Существуют ли какие-нибудь инварианты, не сводящиеся к алгебраическим комбинациям этих двух инвариантов? |
| 74161. В некотором электромагнитном поле электрический вектор Е образует угол v0 с вектором магнитного поля В, причем угол v0 инвариантен для всех наблюдателей. Чему равен угол v0? |
| 74162. Доказать, что для электромагнитного поля величина E2 - |S|2, где E — плотность энергии, а S — вектор Пойнтинга, лоренц-инвариантна. |
| 74163. Доказать, что при (B*E) + (B2 - Е2)2 =/= 0 всегда найдется преобразование Лоренца, переводящее B и E в параллельные векторы (E' х В' = 0). |
| 74164. Предположим, что E*B = 0. Доказать, что при В2 - Е2 > 0 существует преобразование Лоренца, обращающее в нуль электрическое поле (E = 0), а при В2 - E2 < 0 — преобразование Лоренца, обращающее в нуль магнитное поле (В = 0). Что можно утверждать, если, кроме того, выполняется условие В2 - E2 = 0? |
| 74165. Частицы в некоторой системе отсчета обладают зарядами ei, 3-скоростями vi и движутся по траекториям x = zi(t). Вектор 4-тока обладает компонентами J0 = ####. Доказать, что его можно представить в виде J^ц = E int ekd4[xa - zak(т)]uцk dт, где uцk — 4-скорость k-и частицы. |
| 74166. Записав в явном виде компоненты тензора F, доказать, что уравнения Fab,y + Fby,a + Fya,b = 0, F^ab,b = 4пJa сводятся к уравнениям Максвелла v*B = 0, B + v x E = 0, v*E = 4пр, E - v x B = -4пJ. |
| 74167. Доказать, что если Fцv — тензор электромагнитного поля, то уравнения Максвелла в вакууме можно представить в виде Fцv,v = 0 и*Fцv,v = 0 (*Fцv означает тензор, дуальный тензору Fцv; см. задачу 3.25). |
| 74168. Выписав при ц = 0 компоненту уравнения для 4-силы Лоренца duц/dт = (e/m)Fцbub, устанавливающую связь между Fцv и Ei, Вi, вывести соотношение dP0/dt = ev*E. |
| 74169. Вывести соотношение между dP/dt и векторами E, В из пространственных компонент уравнения 4-силы Лоренца (P — пространственная часть 4-вектора Р). |
| 74170. Частица с зарядом q и массой m, пролетая по лаборатории со скоростью vex, попадает в однородное поле Е, направленное вдоль оси у. Найти траекторию у(х), по которой частица будет двигаться в дальнейшем. |
| 74171. Частица с зарядом q, массой m движется по круговой орбите радиуса R в однородном поле Веz. а) Выразить В через R, q, m и угловую частоту w. б) Скорость частицы постоянна, поскольку поле В не производит работы над частицей, однако наблюдателю, движущемуся со скоростью bех, скорость частицы не кажется постоянной. Чему равна компонента u0' 4-скорости, измеренная этим наблюдателем? в) Вычислить du0'/dт и тем самым dP0'/dт. Объяснить, каким образом может изменяться энергия частицы (поле В не производит работы над частицей). |
| 74172. Небольшая пробная частица (с массой m и положительным зарядом q) обращается по круговой орбите вокруг «неподвижного» (т. е. очень массивного) тела с положительным зарядом Q. Для удержания частицы на орбите приложено постоянное магнитное поле В, перпендикулярное плоскости орбиты. В инерциальной системе, в которой центральное тело покоится, пробный заряд описывает окружность в плоскости, перпендикулярной полю В, с циклической частотой w. Выразить отношение заряда пробной частицы к ее массе через w, R, В и Q. |
| 74173. Доказать, что тензор энергии-импульса электромагнитного поля в отсутствие зарядов имеет нулевую дивергенцию (т.е. T^цv,v = 0). |
| 74174. Доказать, что тензор энергии-импульса электромагнитного поля имеет нулевой след. |
| 74175. Пусть T^цv — тензор энергии-импульса электромагнитного поля. Доказать, что ТцaТav = dцv [(E2 - В2)2 + (2E*В)2]/(8п)2. |
| 74176. Записать закон Ома J = sE в инвариантном виде через Jц, Fцv, s и uц (4-скорость проводящего элемента). |
| 74177. Для заряженной частицы вывести из действия int JцAцd4x - m int dт, где Jц — 4-ток, Ац — 4-вектор потенциала и dт2 = -hаb dxa dxb, выражение для 4-силы Лоренца. |
| 74178. Доказать, что переход к дуальному тензору F -- >*F сопровождается преобразованиями Е -- > -В и В -- > Е. б) Доказать, что если тензор F удовлетворяет уравнениям Максвелла для вакуума, то дуальный тензор*F и тензор e*aF = F cosa +*F sinа при произвольном а также являются решениями уравнений Максвелла. (Преобразование F -- > e*aF называется «дуальным поворотом».) |
| 74179. Если считать, что эстетика призвана играть немаловажную роль при выводе физических законов, то из соображений симметрии уравнения Максвелла следовало бы записать в виде Fцv,v = 4пJц,*Fцv,v = 4пKц. Каков физический смысл величины К? |
| 74180. В пространстве-времени Минковского существует электромагнитный ток Jц(xv). Доказать, что величина Fцv(xa) = 4/пi int ####, где rb = xb - xb, удовлетворяет уравнениям Максвелла. (Начать удобнее с построения функции Грина для уравнения пAц = -4пJц.) Каким запаздывающим граничным условиям соответствует это решение? |
| 74181. Вывести уравнение для конвективной скорости изменения со временем магнитного поля, «вмороженного» в идеально проводящую жидкость, выразив ее через расхождение мировых линий, поперечный сдвиг и вращение жидкости. (Определения этих величин даны в задаче 5.18.) |
| 74182. Вычислить в инерциальной системе отсчета S ненулевые компоненты тензора энергии-импульса для следующих систем. а) Для группы частиц, движущихся относительно системы отсчета S с одной и той же скоростью b = bex. Плотность массы покоя этих частиц, измеренная в сопутствующей им системе отсчета, равна р0. Предполагается, что плотность частиц очень велика, и приближенно их можно рассматривать как некую сплошную среду. б) Для кольца из N одинаковых частиц с массой m, вращающегося против часовой стрелки в плоскости ху вокруг неподвижной точки S и описывающего круги радиуса а с угловой частотой w. (Ширина кольца много меньше а.) Силы, удерживающие частицы на орбите, не входят в тензор энергии-импульса. Предполагается, что число N достаточно велико для того, чтобы частицы можно было считать распределенными по кольцу непрерывно. в) Для двух колец из частиц, описанных в п. б. Одно кольцо вращается по часовой стрелке, другое — против часовой стрелки; они описывают круги одного и того же радиуса а. Частицы не сталкиваются и не взаимодействуют никаким другим способом. |
| 74183. Какой вид имеет тензор энергии-импульса для газа с собственной (т. е. измеренной в локальной системе покоя газа) плотностью N невзаимодействующих частиц с массой m, если все частицы обладают одинаковой скоросью v, но движутся изотропно? (Задачу требуется решить без предположения о том, что v << с.) |
| 74184. В системе покоя идеальной жидкости ее тензор энергии-импульса, если его записать через плотность массы-энергии р и давление р, имеет диагональный вид Tцv = ####. Найти тензор энергии-импульса элемента объема жидкости с собственной плотностью р, давлением р, движущийся с 4-скоростью u. |
| 74185. Найти тензор энергии-импульса однородного магнитного поля. Чему равен усредненный тензор энергии-импульса, если поле В статично, но «хаотично», т.е. направление поля В изменяется, но так, что поле в среднем остается изотропным? |
| 74186. Площадь поперечного сечения стержня равна A, а масса, приходящаяся на единицу его длины, равна ц. Записать тензор энергии-импульса внутри стержня, к которому приложено растягивающее усилие F. (Предполагается, что F равномерно распределено по поперечному сечению стержня.) |
| 74187. Веревка с массой на единицу длины ц разрывается под действием статической нагрузки F. До какого максимального значения можно довести величину статической нагрузки F, не нарушая «слабое» условие энергии, согласно которому компонента Т00 тензора энергии-импульса должна быть положительна для всех наблюдателей? Сколь близок стальной трос к этому теоретическому максимуму статической нагрузки? |
| 74188. На концы бесконечно тонкого стержня длины 2а насажены точечные массы m. Центр стержня закреплен неподвижно в лабораторной системе отсчета, а сам стержень вращается вокруг центра с релятивистской угловой скоростью w (последнее означает, что линейная скорость wl концов стержня сравнима с с). Масса стержня равна нулю. Найти тензор энергии-импульса Tцv для стержня и точечных масс. |
| 74189. Плоский конденсатор состоит из двух больших пластин площадью А, перпендикулярных оси х и разделенных небольшим промежутком d. Конденсатор заряжен так, что между его обкладками возникло однородное электрическое поле Е (неоднородностью поля на краях обкладок можно пренебречь). «Электростатическая масса» конденсатора в его системе покоя составляет E2Ad/8п. Доказать, что электростатическая энергия уменьшается, если конденсатор движется в направлении оси х! Учтем теперь, что обкладки конденсатора необходимо удерживать на расстоянии d друг от друга. Предположим, что им не дает сблизиться идеальный газ с собственной плотностью р0. Доказать, что полная энергия конденсатора (электростатическая энергия + энергия газа) возрастает с увеличением скорости движения вдоль оси х точно так же, как энергия материальной точки. |
| 74190. Рассмотрим систему дискретных частиц с зарядом qi и массой mi, взаимодействующих посредством электромагнитных сил. Исходя из явного вида тензора энергии-импульса Tцv для частиц, доказать, что полный тензор энергии-импульса Tцv (системы частицы плюс поле) сохраняется: Tцv,v = 0. |
| 74191. Спектральная интенсивность lv излучения служит мерой интенсивности излучения вблизи частоты v в заданном направлении. По определению она равна потоку энергии, соответствующему единичному интервалу частот вблизи частоты v и приходящемуся на единичный телесный угол. Доказать, что величина lv/v3 лоренц-инвариантна. |
| 74192. Излучение, испускаемое звездой, изотропно в ее системе покоя. Светимость звезды (количество световой энергии, излучаемой в единицу времени) равна L. В некоторый момент времени звезда (по измерениям, произведенным с Земли) находится на расстоянии R и движется со скоростью v, образующей угол Ф с лучом зрения наблюдателя, который следит за звездой с Земли. Выразить поток излучения (количество световой энергии, испускаемой за единицу времени единичной площадкой на поверхности звезды), приходящий к наблюдателю на Земле, через R, v и Ф, вычисленные в тот момент, когда излучение было испущено звездой. |
| 74193. Сферическая частица с массой m рассеивает все падающее на нее электромагнитное излучение изотропно в своей системе покоя. Пусть А — эффективное сечение рассеяния частицы. Вывести уравнение движения частицы в постоянном поле излучения с интенсивностью S (энергией, переносимой в единицу времени через единичную площадку) и решить его для случая, когда частица первоначально покоилась (эффект Пойнтинга — Робертсона). |
| 74194. Черная сфера, изготовленная из теплопроводящего материала и снабженная термометром, движется со скоростью v через поле излучения абсолютно черного тела с температурой T0. Что показывает термометр? |
| 74195. В электронном газе с температурой T << mec2/k фотон с энергией Е << mес2 претерпевает столкновения и комптоновское рассеяние. Доказать, что в низшем порядке по Е и Т средняя энергия, теряемая фотонами при столкновениях, имеет вид < dE > = (E/mec2) (Е - 4kT). |
| 74196. Доказать, что в специальной теории относительности тензор энергии-импульса изолированной физической системы конечной протяженности удовлетворяет тензорной теореме вириала; int Tij d3x = 1/2 d2/dt2 int T00 xixj d3x. |
| 74197. Доказать, что тензор энергии-импульса Тцv обладает времениподобным собственным вектором в том и только в том случае, если физический наблюдатель ни в одном направлении не обнаруживает нескомпенсированного потока энергии. Какой физический смысл имеет собственный вектор тензора энергии-импульса? |
| 74198. Рассмотрим напряженную среду, движущуюся со скоростью |v| << 1 относительно некоторой инерциальной системы отсчета. Доказать, что в первом порядке по скорости пространственные компоненты плотности импульса равны gj = m^jk v^k, где величины m^jk («инертная масса, приходящаяся на единицу объема») определяются из соотношений m^jk = T0'0'djk + Tj'k' (т.е. выражаются через компоненты тензора энергии-импульса Tц'v в системе покоя жидкости). Чему равны mjk для идеальной жидкости? б) Рассмотрим изолированное напряженное тело, находящееся в состоянии покоя и в равновесии (Таb,0 = 0) в лабораторной системе отсчета. Доказать, что полная инертная масса такого тела, определяемая соотношением Mij = int mij dx dy dz, изотропна и равна массе покоя тела, т.е. доказать, что Mij = dij int T00 dx dy dz. |
| 74199. Пусть u — 4-скорость жидкости. Доказать, что vu можно представить в виде uа;b = wab + sаb + 1/3vPab - ааub, где а — «4-ускорение» жидкости аа = uа;b ub, v — «расхождение» мировых линий жидкости v = v*u = ua;a, wab — «2-форма вращения» жидкости, а sab — «тензор сдвига»: wаb = 1/2(uа;цPцb - ub;цPцa), sab = 1/2(ua;цРцb + ub;цPцa) - 1/3 vPab. Здесь Р означает так называемый проекционный тензор Pab = gab + uaub, проектирующий векторы на 3-пространство, перпендикулярное 4-вектору u. |
| 74200. Записать первое начало термодинамики для релятивистской жидкости (т.е. записать закон сохранения массы-энергии для элемента жидкости). |
| 74201. Пользуясь уравнениями движения (Tцv;v = 0) доказать, что течение идеальной жидкости изэнтропическое. |
| 74202. Доказать, что для идеальной жидкости с уравнением состояния р = р(n), где n — плотность барионов, след тензора энергии-импульса Тцц отрицателен в том и только в том случае, если d ln р/d ln n < 4/3. |
| 74203. Доказать, что в релятивистской идеальной жидкости скорость звука Vзвук определяется соотношением V2звук = dp/dp|S = const. Доказать также, что при высоких температурах в релятивистском газе с уравнением состояния р ~ ЗР (например, в фотонном газе) Vзвук ~ 1/ |/3. |
| 74204. Скорость звука в жидкости определяется соотношением V2звук = dp/dp|S = const. Доказать, что Vзвук = Г1р/(р + р), где Г1 — показатель адиабаты: Г1 = d In p/d ln n|S = const. |
| 74205. Чему равна скорость звука в идеальном ферми-газе при нулевой температуре? |
| 74206. В релятивистской аэродинамической трубе поток создают, открывая баллон с идеальным адиабатически сжатым газом. Предположим, что уравнение состояния газа в первом приближении имеет вид р ~ n^y, где y — постоянная, а скорость звука в газе равна а. Какова наибольшая скорость потока vмакс в такой трубе? (Гравитационными силами пренебречь. Поток считать изэнтропическим.) |
| 74207. Для идеализированного описания потока тепла в жидкости используют 4-вектор потока тепла q с компонентами в системе покоя жидкости q0 = 0, qj = (энергии, проходящей в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную базисному вектору еj в положительном направлении оси j). Какой тензор энергии-импульса соответствует потоку тепла? |
| 74208. Пусть s, n, и q означают соответственно энтропию, приходящуюся на один барион, плотность барионов и поток тепла, измеренные в системе покоя жидкости. В этой системе отсчета 4-вектор q чисто пространственный. Пусть S — 4-вектор потока плотности энтропии. Доказать, что S = nsu + q/T, где u — 4-скорость системы покоя жидкости. |
| 74209. Предположим, что жидкость обладает некоторой теплопроводностью, описываемой 4-вектором q потока тепла, а в остальном «идеальна». Вычислить локальную скорость производства энтропии v*S. |
| 74210. Доказать, что в системе, движущейся равномерно ускоренно, условие теплового равновесия имеет вид не T = const = T0, а T = Т0 ехр(-а*x), где х — пространственная часть радиус-вектора события относительно системы отсчета, движущейся с ускорением. |
| 74211. Тензор энергии-импульса для вязкой жидкости имеет вид Tab = рuаub + pРab - 2hsab - EvРab, где h и E — соответственно первая и вторая вязкости. Величины sab, v, Рab определены так же, как в задаче 5.18. Давление и плотность равны р и р. Доказать, что вязкие члены приводят к производству энтропии со скоростью Sa;a = (Ev2 + 2hsab sab)/T, где Т — температура жидкости. |
| 74212. Тензор энергии-импульса имеет вид Tab = puaub + pPab - 2hsab - EvPab. Доказать, что уравнения движения, выведенные из соотношения Tab,b = 0, в нерелятивистском пределе переходят в уравнения Навье — Стокса. |
| 74213. Как и в нерелятивистской термодинамике, удельные теплоемкости газа при постоянном объеме и постоянном давлении определяются соотношениями сv = Т ds/dT|n, сp = T ds/dT|p. Доказать, что для идеального газа Максвелла — Больцмана ср = cv + k, где k — постоянная Больцмана. Доказать также, что показатель адиабаты Г1 = d ln p/d ln n|S равен отношению удельных теплоемкостей у = cp/cv. |
| 74214. Доказать, что если для идеального газа Максвелла — Больцмана отношение удельных теплоемкостей у в рассматриваемом режиме приближенно можно считать постоянным, то р = Кn^y и при адиабатических условиях р = mn + Кn^y/(у - 1) (K — постоянная, m — масса частиц газа). |
| 74215. Инвариантная функция равновесного распределения релятивистского газа имеет вид N(pa, xa) = dN/d3xd3P = (2J + 1)/h3 / exp[-P*u/kT - v] - e, где J — спин частиц, h — постоянная Планка, u — средняя 4-скорость газа, а параметр е равен 1, 0 или -1 в зависимости от того, какой статистике (Бозе — Эйнштейна, Максвелла — Больцмана или Ферми — Дирака) подчиняется газ. Параметр v не зависит от Р. Первые два момента функции распределения N определяются формулами Jц = int NPц d3P/(-P*u), Tцv = int PцPv d3P/(-P*u). Поскольку u — единственный свободный вектор, то эти интегралы должны иметь вид Jц = nuц, Tцv = (р + р) uцuv + pgцv (выписанные соотношения представляют собой не что иное, как определения, даваемые молекулярно-кинетической теорией для величин n, р, р). а) Записать n, р и р в виде 1-мерных интегралов. б) Вывести соотношение dp = (р + p)/TdT + nkTdv. в) Исходя из первого начала термодинамики, доказать, что kTv совпадает с химическим потенциалом ц = (p + p)/n - Ts. г) Доказать, что для газа Максвелла — Больцмана p = nkT при любой температуре Т. д) Доказать, что для газа Максвелла — Больцмана соотношение р = n[m + 3/2 (kT)] является приближенным и справедливо лишь при kT << m. Вывести точное соотношение для р/n. Во что переходит р/n в пределе при kT >> m? (Здесь m — масса частицы газа.) |
| 74216. Найти зависимость у(Т) отношения удельных теплоемкостей при постоянном давлении и объеме от температуры для идеального газа Максвелла — Больцмана. |
| 74217. Доказать, что 2-мерное пространство с метрикой ds2 = dv2 - v2du2(1) представляет собой не что иное, как плоское 2-мерное пространство Минковского, обычно описываемое метрикой ds2 = dx2 - dt2(2). Для этого необходимо найти преобразования координат х(v, u) и t(v, u), переводящие метрику (2) в метрику (1). б) Доказать, что для свободно движущейся частицы компонента 4-импульса Рu постоянна, а компонента Pv отлична от постоянной. |
| 74218. Доказать, что линейный элемент ds2 = R2 [da2 + sin2 a(dv2 + sin2v dф2)] соответствует гиперсфере радиуса R в евклидовом 4-пространстве, т. е. геометрическому месту точек, отстоящих на расстоянии R от некоторой заданной точки. |
Сборники задач
| Задачи по общей физике Иродов И.Е., 2010 |
| Задачник по физике Чертов, 2009 |
| Задачник по физике Белолипецкий С.Н., Еркович О.С., 2005 |
| Сборник задач по общему курсу ФИЗИКИ Волькенштейн В.С., 2008 |
| Сборник задач по курсу физики Трофимова Т.И., 2008 |
| Физика. Задачи с ответами и решениями Черноуцан А.И., 2009 |
| Сборник задач по общему курсу физики Гурьев Л.Г., Кортнев А.В. и др., 1972 |
| Журнал Квант. Практикум абитуриента. Физика Коллектив авторов, 2013 |
| Задачи по общей физике Иродов И.Е., 1979 |
| Сборник вопросов и задач по физике. 10-11 класс. Гольдфарб Н.И., 1982 |
| Все задачники... |
Статистика решений
| Тип решения | Кол-во |
| подробное решение | 62 245 |
| краткое решение | 7 659 |
| указания как решать | 1 407 |
| ответ (символьный) | 4 786 |
| ответ (численный) | 2 395 |
| нет ответа/решения | 3 406 |
| ВСЕГО | 81 898 |
Форма связи
fizmatbank@ya.ru
Мы в WhatsApp
Мы в Telegram
