Earth curvature of space2 curvature of space1
Банк задач

Вход на сайт
Регистрация
Забыли пароль?
Статистика решений
Тип решенияКол-во
подробное решение57480
краткое решение7556
указания как решать1341
ответ (символьный)4703
ответ (численный)2335
нет ответа/решения3776
ВСЕГО77191

База задач ФизМатБанк

 67101. Электромагнит с однородной намагниченностью М имеет полюсные наконечники в виде усеченных конусов; базовый радиус наконечников равен b, а радиус в зазоре равен а. Центр воздушного зазора совпадает с вершинами конусов, задающих форму полюсных наконечников. Рассчитать поле в центре воздушного зазора. Показать, что если пренебречь действием поверхности полюсных наконечников, то максимальное поле будет достигнуто при угле конуса Q = 54°44'.
 67102. Пусть монодоменная частица имеет форму удлиненного эллипсоида вращения с полярной полуосью а и экваториальной полуосью b. Обозначим через Da и Db соответственно продольную и поперечную составляющие размагничивающего фактора и предположим, что энергия кристаллографической магнитной анизотропии равна нулю. Предположим также, что магнитное поле приложено под углом Q по отношению к полярной оси. Показать, что необратимое вращение вектора намагниченности (скачок или изменение ориентации) возникает при критическом поле, определяемом соотношениями hкрит. = |/1 - w2 + w4/1 + w2, где hкрит. = Hкрит./(Db - Da)M и w = tg 1/3Q. Оценить критическое поле для Q = 10; 45; 80 и 90°.
 67103. Рассмотреть цепочку из четырех сфер радиуса а c дипольным моментом ц. Пусть намагниченность каждой сферы однородна и единственное взаимодействие между сферами — диполь-дипольное. Магнитное поле приложено параллельно оси цепочки. Вывести выражение для полной энергии цепочки для двух случаев: когда векторы намагниченности всех сфер ориентированы параллельно одному направлению и когда они имеют «веерную» ориентацию (рис. ). Магнитострикционной (магнитоупругой), кристаллографической и обменной энергиями пренебречь. Оценить и сравнить значения коэрцитивной силы для этих двух случаев.
 67104. Рассмотреть тонкую пленку с одноосной анизотропией в направлении оси z. Показать, что если приложено как продольное, так и поперечное поле, то критические поля для необратимого поворота вектора намагниченности удовлетворяют уравнению hx^2/3 + hz^2/3 = 1, где hz = Hx/Hк и Hк = 2K1'/M. Найти уравнение касательной к астроиде.
 67105. Рассмотреть систему монодоменных частиц, имеющих форму удлиненных эллипсоидов вращения с полярными полуосями а и экваториальными полуосями b. Пусть полярные оси каждой частицы параллельны некоторому направлению, например оси z, и вектор намагниченности для половины частиц располагается вдоль положительного направления оси z (полная намагниченность М+z), а для другой половины частиц — вдоль отрицательного направления оси z (полная намагниченность М-z). Считать силы взаимодействия между частицами и кристаллическую анизотропию пренебрежимо малыми; внутренние напряжения и возможные несовершенства не учитывать. Рассчитать начальную магнитную восприимчивость L0 такой системы, выразив ее через размагничивающие факторы Da и Db, относящиеся к направлениям осей а и b. Магнитное поле считать, приложенным перпендикулярно оси z. Найти численные значения для случая, когда а/b = 10; 5 и 1. Рассчитать начальную восприимчивость для случая, когда поле приложено под углом Q к оси z. Предложить модификацию модели и расчета, для которой вышеизложенные представления применимы к случаю магнитно-мягкого материала.
 67106. Пусть магнитно-мягкий ферромагнетик содержит немагнитные включения в форме сфер радиуса r, располагающихся в узлах простой кубической решетки с постоянной решетки l. Когда доменная граница пересекает включение, площадь границы, а следовательно, и ее энергия уменьшаются. Рассчитать начальную магнитную восприимчивость L0 материала, если плоскость 180°-ной границы располагается параллельно поверхности решетки включений.
 67107. Пусть в магнитном материале имеются внутренние напряжения si, причем Ls si > 0, где Ls = dl/l — магнитострикция насыщения, dl — относительное изменение длины образца в магнитном поле при насыщении. Предположим, что направления приложенного внешнего напряжения s и магнитного поля Н составляют угол ф с направлением внутренних напряжений si; распределение внутренних напряжений предполагается однородным в пределах каждого домена. Рассчитать производную dМr/ds, где Мr — остаточная намагниченность, для случая одного домена и для случайного распределения внутренних напряжений в материале.
 67108. Рассмотреть одноосный магнитный материал, доменная структура которого (в сечении) показана на рис. (домены имеют форму плоских пластин длины L и толщины d). Предположим, что направление вектора намагниченности доменов лежит вдоль направления легкого намагничения. Рассчитать толщину доменов. Далее, пусть кубический кристалл с К1 > 0 обладает доменной структурой аналогичного типа, причем поверхность доменов параллельна плоскости (100). Рассчитать толщину доменов для этого случая.
 67109. Для гранецентрированной кубической решетки, состоящей из однотипных атомов, найти миллеровские индексы (hkl) плоскостей, которые не будут давать нейтронных рефлексов. Рассмотреть конкретный случай кристалла МпО, являющегося антиферромагнетиком с температурой Нееля TN = 122°K и постоянной кристаллической решетки а = 4,43 А (для химической элементарной ячейки). Объяснить картину дифракции нейтронов, наблюдаемую при облучении кристалла МпО нейтронами с длиной волны L = 1,06 А (рис. ).
 67110. Исходя из модели молекулярного поля, построить теорию двухподрешеточного антиферромагнетика (обозначим подрешетки через А и В). Обменное взаимодействие (отрицательное) учитывать только между разными подрешетками (типа АВ).
 67111. Обобщить результат для продольной магнитной восприимчивости антиферромагнетика, найденный в задаче 9.22, включив в рассмотрение обменное взаимодействие внутри подрешеток, т.е. типов АА и ВВ, описывая его при помощи постоянных молекулярного поля Nii. Оценить величину продольной восприимчивости для случаев: 1) T = 0°К; 2) T > TN; 3) T = TN; 4) S = 1/2; 5) S = oo (классический случай).
 67112. Показать, что при низких температурах поперечная магнитная восприимчивость образца двухподрешеточного антиферромагнетика дается соотношением X = Ng2ц2B/4z |Je|, где z — число ближайших соседних ионов.
 67113. Антиферромагнетики, обладающие гранецентрированной кубической решеткой, удобно описывать, выделяя в решетке магнитных ионов антиферромагнетика четыре подрешетки: А, В, С и D, как показано на рис. В такой структуре взаимодействие между катионами, образующими второй слой ближайших соседей, является более важным, чем взаимодействие между ближайшими соседями. Показать, что при температуре выше точки Нееля для магнитной восприимчивости получается обычное для антиферромагнетиков выражение, т. е. закон Кюри — Вейсса, в котором Q = 1/4 C(Naв + 3Nii), где Naв — постоянная молекулярного поля, учитывающая взаимодействие данного иона (из решетки А) с ионами второго слоя, a Nii — постоянная молекулярного поля, учитывающая взаимодействие между ближайшими соседями. На рис. показаны три типа магнитного упорядочения спинов по подрешеткам A, В, С, D. Случай (а) мы назовем первым типом упорядочения, случай (б) — улучшенным первым типом, (в) — вторым типом упорядочения. Рассчитать температуру Нееля для этих трех типов упорядочения и вывести условия, необходимые для осуществления каждого из этих случаев.
 67114. Рассмотреть простой двухподрешеточный ферримагнетик (феррит); пусть Naв, Nаа и Nвв — постоянные молекулярного поля, отвечающие обменным взаимодействиям типа АВ, АА и ВВ соответственно. Показать, что при температурах выше точки Кюри — Нееля TFN магнитная восприимчивость ферримагнетика имеет вид 1/X = T/C - 1/X0 - s/T - Q', где С, Х0, s, Q' — константы. Показать также, что для идентичных подрешеток это выражение преобразуется в выражение для антиферромагнетика. Дать геометрическую интерпретацию уравнения для восприимчивости ферримагнетика.
 67115. Пользуясь результатами задачи 9.26, показать, что условие существования ферримагнетизма (TFN > 0) сводится к выполнению соотношения ab = 1, где a = Naa/Nав, b = Nвв/Nав.
 67116. Показать для двухподрешеточного ферримагнетика, что если a > MB(0)/MA(0), то при T = 0°К МА < МА(0); здесь МА(0) = NAgцBSA, МB(0) = NBgцBSB. Обсудить поведение результирующей намагниченности вблизи абсолютного нуля. Предложить вариант магнитной структуры, стабильной при а > МВ/МА.
 67117. Принимая, что молекулярные поля НmА и НmВ двухподрешеточного ферримагнетика при T = 0°К равны по величине, показать, что МА(0)/МB(0) = (NAB + NBB)/(NAB + NAA). Найти МА(0)/МB(0), если производная dM/dT -- > 0 по такому же закону, что и Т -- > TFN.
 67118. Показать для ферримагнетика, что если NAB(T) = NAB(0)(1 + рТ) и а, b = const, то 1/Се = 1/С + p/X0(0), где Се и С — соответственно значения наблюдаемой и вычисленной постоянной Кюри, 1/X0(0) = -1/C2 [CA2NAA(0) + CB2NBB(0) + 2CACBNAB(0)].
 67119. Сигнал ядерного резонанса As75 в образце GaAs в магнитном поле с индукцией в 1 тл наблюдался при температуре 300 °К. Оценить величину напряжения, соответствующую максимуму поглощения, которое будет индуцироваться в настроенной катушке возбуждения, имеющей 10^3 витков на метр, индуктивность 1 мкгн и добротность Q, равную 100. Фактор заполнения F = 0,5.
 67120. Электронный спиновый резонанс (ЭСР) является одним из наиболее чувствительных методов определения прецизионных количеств магнитных примесей в кристаллической решетке исходного вещества. Оценить минимальную концентрацию атомов фосфора, которую можно обнаружить в кремнии при следующих условиях. Имеется ЭСР-спектрометр (рис. ), в котором генератор, работающий на резонансной частоте w0, подает ток постоянной амплитуды i0 в настроенный контур с добротностью Q (шунтированный сопротивлением R), который соединен с линейным детектором через входное сопротивление R. а) Записать выражение для изменения напряжения, обусловленного магнитным резонансным поглощением, при прохождении СВЧ волны через резонатор с образцом. б) Записать выражение для напряжения шумов на входе детектора. в) Вывести выражение для минимального числа регистрируемых электронных спинов N, если отношение сигнал — шум равно 2 : 1. г) Рассчитать соответствующую концентрацию атомов фосфора в кремнии.
 67121. Исходя из выражения для спин-гамильтониана Hs = gbS*B + D[Sz^2 - 1/3 S(S + 1)], определить энергетические уровни парамагнитного иона с эффективным спином S = 3/2, находящегося в кристаллическом поле с осевой симметрией под действием постоянного магнитного поля В. Рассмотреть случаи, когда: а) В||Оz, б) В||Ох. Схематически изобразить энергетические уровни для значений В, лежащих в интервале от 0 до >> D/gb. Принять во внимание, что матричные элементы для Sz^2 - 1/3 S(S + 1) табулированы (см., например, [21]). Учесть также, что в обоих случаях детерминантное уравнение распадается на простые множители.
 67122. Определить вероятность индуцированных переходов Wab (в единицу времени) между зеемановскими состояниями |а > и |b >. Переходы индуцируются слабым внешним переменным полем В1, циркулярно поляризованным в плоскости,перпендикулярной сильному постоянному магнитному полю. Рассмотреть конкретный случай кристалла рубина (кристаллическая решетка — корунд Аl2O3, активная примесь — ионы Сr3+). На рис. изображены энергетические уровни Cr3+ в Al2O3 в твердотельном лазере. Действие этого прибора основано на «инверсии» населенностей уровней 2 и 3, достигаемой в результате внешней «накачки», переводящей электроны с уровня 1 на уровень 3; при этом населенности n1 и n3 уравниваются и возникает инверсия: n3 > n2. Определить: а) мощность микроволновой накачки резонатора, требуемую для создания разности населенностей n3 - n1, составляющей не менее 10 % от равновесного значения; б) мощность, активно поглощаемую ионами Сr3+ при накачке.
 67123. Для проверки теории уширения дипольной линии хорошим материалом является фторид кальция CaF2. Единственными магнитными ядрами в этом случае являются F19 (J = 1/2), которые образуют кубическую решетку с постоянной решетки, равной 2,73 А. Оценить ширину линии ядерного резонанса для F19 в двух случаях: а) очень приближенно, учитывая магнитное дипольное взаимодействие лишь соседних пар ядер F19; б) воспользоваться выражением Ван-Флека для второго момента (см., например, [19, 20]). Рассмотреть монокристалл CaF2 и учесть первых шесть соседей, следующих за ближайшими. Считать поле В направленным вдоль оси куба, а материал — поликристаллом (y = 2,67*10^8 рад*сек^-1 мл^-1).
 67124. Температурный ход ширины линии ядерного магнитного резонанса на ядрах Na23 в металлическом натрии показан на рис. Дать качественное объяснение основных особенностей кривой. Рассчитать приближенно значение коэффициента диффузии D0 натрия, полагая, что температурная зависимость D дается выражением D = D0 exp(-ED/RT), где ED — энергия активации, связанная с диффузией, R — универсальная газовая постоянная. Считать также, что время релаксации тс для диффузии равно r2/8D), где r (расстояние между ближайшими атомами натрия) равно 3,7*10^-10 м.
 67125. В неоднородном электрическом поле электрический квадрупольный момент ядер, имеющих J > 1/2, вызывает уширение линии ядерного резонанса. При переходах m < -- > m - 1 величина уширения описывается выражением dwQ = 3eQ(2m - 1)/4J(2J - 1)h Vzz, где Q — электрический квадрупольный момент ядер, Vzz — усредненный по ядрам градиент электрического поля. Такой эффект наблюдался для резонанса на ядрах In115 в InSb [22], причем градиент Vzz был обусловлен введением примеси Те. Увеличение концентрации Те контролировалось путем измерения величины Р — максимума производной от амплитуды линии поглощения по частоте. Оценить величину Vzz, предполагая, что при концентрации Те, равной 10^24 м^-3, вклад величины Р, возрастающей при переходах ±3/2 < -- > ±1/2, уменьшается до одной трети значения в образце без примесей. Сравнить найденное значение Vzz с величиной, которая получается при использовании модели точечного заряда для донорных атомов Те, и объяснить причину расхождения в значениях Vzz, полученных с помощью разных методов.
 67126. Рассмотреть систему электронов (S = 1/2) и протонов (J = 1/2) с расположением энергетических уровней, показанным на рис. Рассмотреть также механизм связи, который допускает возможность возбуждения переходов 1 < - > 4. Рассчитать максимальное увеличение интенсивности сигнала при ядерном резонансе, обусловленное насыщением перехода 1 < - > 4, предположив, что релаксация чисто электронных переходов (1 < - > 3 и 2 < - > 4) происходит мгновенно. Какова будет эффективная спиновая температура протонов и степень их поляризации Р, если эксперимент проводится в магнитном поле, равном 1,2 тл, при температуре 4,2 °К? Принять во внимание, что величина Р определяется как отношение (n+ - n-)/(n+ + n-), где n± — населенности состояний ядер, имеющих mj = ±1/2.
 67127. Рассчитать относительную разницу в положении линий ядерного резонанса Na23 в металлическом натрии и водном растворе NaCl. Что произойдет с этой величиной в случае насыщенного электронного резонанса? Насколько будет смещена линия электронного резонанса по сравнению с ее положением в случае свободного электрона, при наличии сверхтонкого взаимодействия? Температуру считать равной 300 °К. Считать также, что для металла можно воспользоваться волновой функцией свободного электрона. Константа сверхтонкого взаимодействия для Na23 A = 0,0296 см^-1, J = 3/2, уn = 7,06*10^7 рад*сек^-1*тл^-1; восприимчивость электронов проводимости Xes = 1,19*10^-5 объемных единиц МКС.
 67128. Определить первую константу кристаллографической магнитной анизотропии кобальта К'1 по измерениям частоты ферромагнитного резонанса на сферическом образце. Вывести или найти в справочнике подходящую формулу для частоты резонанса. Из таблицы размагничивающих факторов для эллипсоидов вращения (см., например, [18]) определить степень отклонения формы образца от сферической, при которой резонансная частота образца отличалась бы от частоты ларморовской прецессии менее чем на 10 %. Пусть приложенное постоянное магнитное поле В0, направленное вдоль направления легкого намагничивания (оси z), является достаточно сильным, чтобы создать насыщение. Перпендикулярно полю В0 приложено слабое возбуждающее высокочастотное поле В1. Влиянием К'2 пренебречь (К'1 = 4,1*10^5 дж*м^-3; намагниченность насыщения Ms = 1,4*10^6 а*м^-1). Предварительно целесообразно вывести выражение для эффективного поля анизотропии и записать его через эффективные размагничивающие факторы, принимая во внимание момент вращения образца, обусловленный анизотропией.
 67129. На рис. показан спектр спиновых волн в тонкой пленке пермаллоя (80 % Ni, 20 % Fe), полученный при приложении магнитного поля с фиксированной частотой 24,0 Ггц перпендикулярно к плоскости пленки. Толщина пленки 1480 А. Рассчитать значение намагниченности насыщения Ms образца и обменный интеграл Je, используя характеристики спектра, приведенные на рис. (будьте внимательны и правильно идентифицируйте моды СВЧ поля). Принять g = 2,1; S = 1/2, постоянную решетки а = 3,5 А.
 67130. Мёссбауэровский спектр Fe57 в металлическом железе и соответствующие энергетические уровни представлены на рис. Рассчитать: а) знак и величину поля сверхтонкого расщепления на ядрах Fe57; б) g-фактор первого возбужденного состояния; в) наименьшее значение времени жизни возбужденного состояния. Принять g-фактор основного состояния равным 0,181.
 67131. Вывести выражение для энергии Ферми для модели свободных электронов металла при абсолютном нуле температуры. Используя данные табл. 11.1.1 и другие константы, вычислить энергию Ферми для щелочных металлов. Предложить методы измерения энергии Ферми для этих металлов. Таблица 11.1.1 ####.
 67132. Найти выражение для отношения коэффициентов теплопроводности и электропроводности (х/s) для модели свободных электронов металла. Вычислить значение числа Лоренца L = х/sT, где Т — абсолютная температура. Объяснить расхождение между вычисленным значением и экспериментально измеренными значениями L для Na при низких температурах (табл. 11.2.1). Значения числа Лоренца взяты из работы [23]. Таблица 11.2.1 ####.
 67133. Считая серебро одновалентным металлом со сферической поверхностью Ферми, вычислить следующие величины: 1) энергию Ферми и температуру Ферми; 2) радиус kF сферы Ферми в k-пространстве; 3) скорость Ферми; 4) площадь поперечного сечения поверхности Ферми; 5) циклотронную частоту в поле Н = 5000 э; 6) среднюю длину свободного пробега электронов при комнатной температуре и вблизи абсолютного нуля температур; 7) радиус циклотронной орбиты в поле Н = 5000 э; 8) длину ребра кубической элементарной ячейки; 9) длину векторов обратной решетки первых двух координационных сфер в k-пространстве; 10) объем первой зоны Бриллюэна. Использовать в расчетах следующие данные для Ag: плотность 10,5 г*см^-3; атомный вес А = 107,87, удельное сопротивление р = 1,61*10^-6 ом*см при 295 °К и 0,0038*10^-6 ом*см при 20 °К.
 67134. Показать, что средняя энергия E, приходящаяся на одну частицу при 0 °К для электронов, подчиняющихся статистике Ферми — Дирака, равна E = 3/5 EF(0), где EF(0) — энергия Ферми при T = 0 °К. Полагая E(Т) (среднюю энергию электрона при конечной температуре) равной E(T) = 3/5 EF(0) [1 + 5п2/12 (kT/EF(0))2], найти величину отношения (Cv)FD/(Cv)кл для электронного газа с энергией Ферми, равной 7 эв. (Cv)FD — удельная теплоемкость газа, состоящего из частиц, подчиняющихся статистике Ферми — Дирака, а (Сv)кл — удельная теплоемкость газа, подчиняющегося классической статистике.
 67135. Вычислить ток термоэлектронной эмиссии от вольфрамовой проволоки длиной 3 см и радиусом 1 мм, нагретой до 2000°С (работу выхода ф для вольфрама принять равной 4,5 эв).
 67136. Показать, что электромагнитная волна, падающая на поверхность металла, быстро затухает по мере проникновения в металл (скин-эффект). Вычислить классическую глубину скин-слоя и показать, что она значительно меньше средней длины свободного пробега в чистом металле при низких температурах.
 67137. Показать, что когда к металлу приложено магнитное поле H, волновой вектор k данного состояния изменяется, описывая в k-пространстве орбиту, определяемую пересечением энергетической поверхности плоскостью, перпендикулярной полю Н. Показать, что циклотронная эффективная масса для данной орбиты равна m*= h2/2п dA/dE, где А — площадь этой орбиты в k-пространстве, а E — энергия.
 67138. Найти давление газа электронов, подчиняющихся статистике Ферми — Дирака. Вычислить величину давления для случая меди.
 67139. Пользуясь классическими методами, вычислить частоту продольных плазменных колебаний в электронном газе с однородным положительно заряженным фоном. Как, по вашему мнению, повлияет на результат квантовомеханическое рассмотрение этой задачи?
 67140. Согласно простой модели одновалентного металла, состоящего из точечных положительных атомных ядер, погруженных в однородный электронный газ (модель «желе»), средняя энергия, приходящаяся на один электрон, равна E = 9/10 e2/r + 3h2/10mr2(9/4п)^2/3, где r — радиус сферы, содержащей один электрон. Найти равновесное значение r0, модуль всестороннего сжатия В при 0 °К и скорость звука.
 67141. Приложенное переменное гармоническое поле (частоты w) вызывает возмущение плотности газа свободных электронов. Ограничиваясь членами первого порядка по возмущению, показать, что реакция электронного газа на такое возмущение описывается диэлектрической проницаемостью, равной e(w, q) = ####.
 67142. Пользуясь результатом задачи 11.11, показать, что статическое возмущение влияет на диэлектрическую проницаемость, в результате чего происходит полная экранировка внешнего длинноволнового (w -- > 0)поля, так что при q -- > 0 e(q, 0) -- > 1 + L2/q2, где L2 = 4пe2N(EF) [N(EF) — плотность состояний на поверхности Ферми]. Этот результат известен как приближение Томаса — Ферми. Вывести отсюда, что возмущающий потенциал точечного заряда eZ в электронном газе имеет вид V(r) = Ze2/r exp(-Lr). Вычислить радиус экранирования в металле со свободными электронами при плотности электронов, соответствующей Ag (см. задачу 11.3).
 67143. Показать, что для модели свободных электронов металла диагональная компонента тензора сопротивления не зависит от магнитного поля (т. е. что эффект поперечного магнето-сопротивления отсутствует).
 67144. Объяснить смысл времени релаксации т и обсудить вопрос о том, при каких условиях это понятие применимо. б) Многие кинетические явления в благородных металлах можно описать простой двухзонной моделью, в которой двумя группами носителей являются области «шеек» (индекс 1) и «вздутий» (индекс 2) поверхности Ферми. Вывести из данной модели выражение для отклонений от правила Матиссена при высоких температурах. Для этого надо рассмотреть следующие вопросы. 1) Показать, что выражение для остаточного сопротивления сплава можно записать в виде 1/p0 = B1т1 + B2т2, где т1 и т2 — времена релаксации двух групп носителей. Какими параметрами этого сплава определяются коэффициенты В1 и В2? 2) Предположить, что время релаксации, обусловленное электрон-фононным взаимодействием при высоких температурах, одинаково для шеек и для вздутий и равно т0. Рассмотреть далее только разбавленные сплавы при высоких температурах, для которых можно считать т1, т2 >> т0. 3) Отклонение от правила Матиссена можно характеризовать величиной отношения d/р0, где d = Рсплава(Т) - Рчистого металла(T) - p0. Определить, как зависит величина d от концентрации сплава и от температуры. 4) Показать, что обычно d > 0, и установить, в каком случае d больше: для сплава из двух металлов одинаковой валентности (обычно т1 = 5т2) или для гетеровалентного (обычно т1 = 2т2) сплава. Зная, что в первом случае d/р0 = 0,2, определить, какая часть тока обусловлена шейками в чистом металле, если там электроны являются неосновными носителями.
 67145. Найти число электронных состояний (отнесенное к одному атому) внутри сферы, вписанной в первую зону Бриллюэна, для ГЦК, ОЦК решеток и решетки типа у-латуни. Каким условиям должны удовлетворять различные члены, дающие вклад в свободную энергию, чтобы выполнялись правила Юм - Розери для фазовых переходов в бинарных сплавах?
 67146. Проводимость металла не зависит от толщины d образца до тех пор, пока средняя длина свободного пробега L0 не станет сравнимой с d. Считая рассеяние на поверхности хаотическим, показать, что если свободный пробег оканчивается на поверхности, то проводимость изменяется следующим образом: s/s0 = L/L0 = 3d/4L0 + d/2L0 ln L0/d; здесь s — проводимость образца в виде тонкой пленки; s0 — проводимость массивного образца, L и L0 — средние длины пробега соответственно для пленки и для массивного образца.
 67147. Результаты задачи 11.7 показывают, что когда металл помещен в магнитное поле H = (0, 0, Нz), волновой вектор электрона описывает орбиту в k-пространстве, причем kz и E постоянны на всем пути. Введя третий параметр ф, связанный с изменением направления вектора к следующим соотношением: dф = h dkt/mvp (где dkt — малое приращение k, тангенциальное к пути, a vp — перпендикулярная к Н компонента скорости), вывести уравнение Больцмана в переменных kz и ф для системы, на которую действует слабое электрическое поле Е. Сохраняя члены лишь первого порядка относительно электрического поля E, найти выражения для плотности тока и тензора проводимости. Показать, что в случае замкнутых орбит, лежащих в плоскости (kx, ky), магнетосопротивление в сильных полях достигает насыщения, а в случае открытых орбит — возрастает пропорционально H2.
 67148. Показать, что сопротивление жидкого металла p = ####, где |S(q)|2 — квадрат абсолютной величины структурного фактора для жидкости; |Va(q)|2 — квадрат матричного элемента слабого псевдопотенциального взаимодействия между состояниями k и k + a; EF — энергия Ферми; W0 — атомный объем. Считать, что 1) полный псевдопотенциал является суммой слабых псевдопотенциалов с центрами в различных атомных узлах; 2) вероятность рассеяния определяется борновским приближением. Вычислить значение р для цинка, исходя из данных табл. 11.18.1 (значения Va(q) взяты из [24], значения N |S(q)|2 — из [25]). Таблица 11.18.1 ####.
 67149. Для металлов, у которых на границе зоны Бриллюэна щель между энергетическими зонами мала, существует вероятность перехода электрона через эту щель, если приложено магнитное поле; это явление называют магнитным пробоем. Показать, что магнитный пробой имеет место при условии hwcEF/Eg2 > 1, где EF — энергия Ферми, Eg — ширина энергетической щели, wс — циклотронная частота.
 67150. Рассмотреть следующую модель одновалентного металла: в объеме большой сферы радиуса R размещены свободные электроны и однородно распределенные положительные ионные центры (число ионов равно числу электронов). Найти в первом приближении теории возмущений изменение энергии, необходимое для образования вакансии с заданным потенциалом возмущения V(r). Используя асимптотическую форму волновой функции, применить правило Фриделя для фазовых сдвигов и показать, что величина изменения энергии сводится к величине 2/3 EF, где EF — энергия Ферми. Учтя изменение энергии, вызванное возрастанием объема вследствие того, что высвобождаемый ион уходит на поверхность сферы, показать, что полное изменение энергии равно dEv = 4/15 EF. б) Зная, что для изотропного твердого тела дебаевская температура Q пропорциональна скорости звука, показать, что Q = A EF^1/2, где А — множитель, зависящий от атомного объема W и массы атома М. Используя результат пункта (а), показать, что величина Q(dEv/MW^2/3)^-1/2 должна быть константой, и вычислить ее, исходя из данных: ####. Считая, что температура Tf плавления металла пропорциональна dEv, вывести соотношение Линдемана между Q и Tf: Q = const*(Tf/MW^2/3)^1/2.
 67151. Электрон движется в одномерном периодическом потенциальном поле, создаваемом атомами, находящимися на расстоянии d друг от друга. Показать, что волновые функции электронов могут иметь вид u(х) exp(ikx), где u(х) — функция той же периодичности, что и потенциал. Предполагая, что в трехмерном случае волновая функция имеет аналогичный вид: u(r) exp(ikr), определить значения волнового вектора k для гранецентрированной кубической решетки.
 67152. Пусть в трехмерной кубической решетке (в единице объема) содержится N атомов, причем каждый из атомов имеет Z валентных электронов. Вывести выражение для радиуса сферы Ферми (в обратной решетке) в приближении свободных электронов. Для случая двумерной квадратной решетки построить (в обратной решетке) поверхность Ферми для атомов с одним, двумя, тремя и четырьмя валентными электронами. Изобразить поверхность Ферми в первой зоне Бриллюэна для случая, когда на атом приходится четыре электрона.
 67153. Показать, что на границах первой зоны Бриллюэна волновые функции свободного электрона в одномерной периодической решетке с периодом d вырождены. Показать, что если каждый атом вносит малое возмущение, то в первом приближении по возмущению волновые функции на границе зоны пропорциональны sin nпx/d и cos nпx/d (n — целое).
 67154. Показать, что для случая одномерной решетки существование энергетических разрывов на границе зоны Бриллюэна эквивалентно условию брэгговского отражения электронных волн.
 67155. Рассмотреть энергетические уровни в одномерной решетке с периодом d, где потенциальная энергия имеет вид V = V0 при -b < х < 0, V = 0 при 0 < x < d - b, V(x + d) = V(x). Определить значения энергии для верхнего края первой зоны и нижнего края второй зоны на границе зон, если V0 = 0,1; d = 8 и b = 3 ат.ед.
 67156. Показать, что в случае, когда движение электрона в кристалле можно рассматривать как распространение плоской волны exp(ik*r), квант hk соответствует импульсу. Показать, что если на кристалл действует внешнее электрическое поле, то скорость изменения импульса в зависимости от времени такова, что электрон может рассматриваться как частица, обратная масса которой является тензорной величиной, имеющей компоненты (1/m*)ij = 1/h2 d2E/dki dkj.
 67157. Обсудить различия между металлом, полупроводником и диэлектриком с точки зрения структуры их энергетических зон. Дать схематическое изображение поверхности Ферми двумерного кубического кристалла, который имеет небольшое число носителей эффективных зарядов на атом (полуметалл). Объяснить это явление с точки зрения картины энергетических зон.
 67158. Нижняя граница зоны проводимости висмута характеризуется тензором обратных эффективных масс вида (####). Найти компоненты этого тензора и определить характер энергетических поверхностей вблизи нижней границы зоны проводимости.
 67159. Найти выражение для структурного фактора и вычислить его для решетки, имеющей гексагональную плотноупакованную структуру. Показать, что для этой структуры ширина энергетической щели для состояний, соответствующих гексагональной грани зоны Бриллюэна, обращается в нуль.
 67160. Показать, что уравнение Шредингера для волновой функции Фnk(r) можно записать в виде ((p + hk)2/2m + V(r))unk(r) = En(k)unk(r), где индекс n относится к n-и энергетической полосе, а функция unk(r) имеет периодичность решетки. Определить зависимость En(k) вблизи края зоны (k = 0), выразив правую часть через En(0) и матричные элементы импульса с функциями ui0(r) для всех энергетических полос i. Получить отсюда компоненты тензора обратных эффективных масс (через те же матричные элементы импульса). Показать, что при учете взаимодействия электронов двух разных энергетических полос эффективная масса дырки, соответствующая нижней полосе, и эффективная масса электрона, соответствующая краю верхней полосы, будут равны по величине.
 67161. Доказать теорему Блоха для трехмерной решетки.
 67162. Используя разложение волновой функции электрона в ряд по плоским волнам, найти вид детерминантного уравнения для определения собственных значений энергии в случае одномерного кристалла. Найти собственные значения энергии для последовательных приближений, получаемых при увеличении числа плоских волн в разложении, если в таком кристалле потенциал с периодом п имеет вид V(х) = -3 - 2 cos2х.
 67163. Используя для электронов атомов в объемноцентрированной кубической решетке приближение сильной связи и предполагая при этом, что s-функции могут быть взяты в качестве электронных атомных волновых функций (атомных орбиталей), показать, что энергетические поверхности такой системы при k = 0 имеют сферическую симметрию. Определить эффективную массу у края зоны (вблизи k = 0).
 67164. Пользуясь приближением сильной связи, показать, что линейная цепочка атомов с одним свободным концом может иметь уровни в запрещенной зоне, т. е. в щели между нормальными зонами (в трехмерном случае это отвечает учету атомов на поверхности).
 67165. Рассмотреть энергетические уровни и поверхностные состояния системы, описанной в задаче 12.14, в случае, когда поверхностный атом является примесным.
 67166. Пользуясь приближением сильной связи, найти собственные значения энергии нижнего края зоны для случая одномерной решетки с периодом п, если ее потенциал имеет вид V(х) = -3 - 2 cos2х. Предположить, что атомные волновые функции такие же, как и у простого гармонического осциллятора, Ф(х) = ехр(-ах2), где а — подгоночный параметр, выбираемый так, чтобы энергия, отвечающая состояниям Ф(x), была минимальной.
 67167. Энергетические уровни в верхней части валентной зоны в германии при k = 0 являются вырожденными. Детерминантное уравнение для энергий состояний вблизи k = 0 можно получить, используя теорию возмущений; оно имеет вид |####| = 0, где E — энергия состояний k = (kx, ky, kz); A, B, С — компоненты тензора обратных эффективных масс. Рассмотреть ход изменения энергии вблизи k = 0 вдоль основных направлений [100], [111] и др. в k-пространстве и для произвольного направления. Показать, что поверхности постоянной энергии вблизи k = 0 отличаются от сферы.
 67168. Доказать, что функции Ванье и собственные функции оператора импульса правильной трехмерной решетки получаются одна из другой преобразованием Фурье. Показать также, что функции Ванье для атомов различных узлов решетки ортогональны.
 67169. В двумерной квадратной решетке с постоянной решетки d для точки (п/d, п/d) в зоне Бриллюэна вырождаются четыре плоские волны. Показать, что внутрикристаллическое поле в решетке снимает это вырождение. Определить в этом случае число и симметрию новых состояний.
 67170. Рассчитать энергетическую зонную структуру алюминия, исходя из следующих данных: H = p2/2m*+ V, где m*= 1,1716m. Потенциал V имеет только два ненулевых коэффициента Фурье [26]: V[111](Kn) = 0,0295 Ry при Kn|| [111], V[200](Kn) = 0,0550 Ry при Kn|| [200]. Значения V(Kn) равны при одних и тех же значениях |Кn|. Параметр решетки dAl = 7,633 А. Выразить волновую функцию через набор четырех плоских волн, описывающих вырожденное состояние в точке (1/2, 0, 1) зоны Бриллюэна.
 67171. Обсудить качественно причины того, почему так легко осуществляется модуляция проводимости в полупроводниках и так трудно — в металлах.
 67172. Вывести закон действующих масс для концентраций основных и неосновных носителей в полупроводнике, предполагая, что для носителей тока в зоне проводимости и в валентной зоне, так же как для классических свободных частиц, применима статистика Максвелла — Больцмана и что функция плотности состояний параболическая для обеих зон. Эффективные массы mn*(для электронов) и mp*(для дырок) считать известными и постоянными.
 67173. Найти энергию Ферми для собственного полупроводника, принимая, что статистика Максвелла — Больцмана применима и для зоны проводимости, и для валентной зоны.
 67174. Явления, возникающие при добавлении в полупроводник донорных или акцепторных примесей, можно объяснить, предполагая, что каждый атом донора (или акцептора) приводит к появлению локального энергетического уровня в запрещенной зоне чуть ниже дна зоны проводимости (или чуть выше потолка валентной зоны), с которого электрон (или дырка) легко возбуждается при термической ионизации. Обосновать эту картину исследованием водородоподобного атома, погруженного в однородную изотропную диэлектрическую среду. Атом донора считать пятивалентным, полагая, что внутри решетки четыре валентных электрона осуществляют химическую связь, а свободный пятый валентный электрон находится в кулоновском поле положительного ионного остова (примесного центра); диэлектрическую проницаемость среды считать равной диэлектрической проницаемости полупроводникового кристалла (е = 16 для Ge, e = 12 для Si). В частности, рассчитать размер электронных орбит и энергию ионизации основного состояния. Можно использовать боровскую теорию водородного атома с круговыми электронными орбитами.
 67175. Показать, что вследствие принципа Паули и двукратного спинового вырождения уровня основного состояния донора функция распределения электронов на этих уровнях имеет вид fd0(E) = 1/2 {1 + 1/2 exp[(E - EF)/kT]}^-1.
 67176. В полупроводнике, в котором все донорные и акцепторные атомы ионизованы, найти концентрации электронов n0 и дырок р0, выразив их через концентрации донорных и акцепторных примесей Nd, Na и через концентрацию собственных носителей ni.
 67177. Найти выражение для энергии Ферми в примесном полупроводнике при условии, что уровни донора и акцептора полностью ионизованы; обсудить условия, при которых это предположение законно. Принять, что статистика Больцмана применима и к зоне проводимости, и к валентной зоне, а также к донорным и акцепторным уровням.
 67178. Исходя из уравнения переноса Больцмана и используя приближение времени релаксации, показать, что электрическую проводимость однородного полупроводника, рассматриваемого как больцмановский газ электронов и дырок, можно записать как s = е(nцn + рцр), где цn и цр — подвижности, т.е. средние скорости дрейфа в электрическом поле единичной напряженности. Для электронов и дырок они соответственно равны цn = е/m < v2тn(v) > / < v2 >, цp = е/m < v2тp(v) > / < v2 >, где тn(v) и тр(v) — времена релаксации для электронов и дырок.
 67179. Рассматривая кристалл как сосуд, содержащий фононный газ, и используя приближения теории теплоемкости Дебая, показать, что для температур, больших по сравнению с температурой Дебая, число акустических фононов в единице объема составляет 9NТ/2Q (где N — число атомов решетки в единице объема, а Q — температура Дебая). Затем полуколичественно показать, что в полупроводниковом кристалле для температур, больших по сравнению с температурой Дебая, рассеяние электрона или дырки на акустическом фононе можно рассматривать аналогично взаимодействию электрона или дырки с нейтральной частицей, масса которой намного больше эффективной массы электрона или дырки. Показать, что при такой трактовке мы придем к независимости среднего свободного пробега от скорости.
 67180. Для веществ, в которых рассеяние на акустических фононах является основным механизмом рассеяния, показать, что при температурах, превышающих температуру Дебая, подвижность электронов (а значит, для постоянной плотности носителей, и электропроводность) должна быть пропорциональна T^-1 в металлах и T^-3/2 в полупроводниках. Сравнить эти результаты с экспериментальными данными для металлов и примесных полупроводников и объяснить причины обнаруженного расхождения.
 67181. Образец примесного полупроводникового кристалла р-типа вырезан в виде прямоугольного параллелепипеда и помещен в однородное постоянное магнитное поле B0, как показано на рис. Показать, что проводимость образца уменьшается с увеличением магнитного поля. В частности, если w0тр << 1 (w0 = еВ0/m*рС) и средняя длина свободного пробега не зависит от скорости, то s(B0) = s0(1 - e2B0^2/m*pc2 L2/kT 4 - п/8) (здесь s0 — проводимость в отсутствие магнитного поля, а L — средняя длина свободного пробега). Предполагается, что эффективная масса изотропна и, следовательно, изоэнергетические поверхности в импульсном пространстве имеют сферическую форму.
 67182. Показать, что в схеме опыта, показанной на рис. , на клеммах А и В появляется напряжение, которое соответствует электрическому полю Еy = 1/p0ec(т2/(т)2) при условии, что w0^2тp^2 << 1 (эффект Холла). Показать, что когда длина среднего свободного пробега не зависит от скорости, то т2/(т)2 = 3п/8.
 67183. Найти выражение для коэффициента Холла полупроводника с большой концентрацией как электронов, так и дырок при условии, что w0^2т2 << 1 для обоих типов носителей. К чему в этом случае приводит независимость от скорости длины свободного пробега электрона и дырки?
 67184. Найти частоту и относительную интенсивность всех циклотронных резонансов, ожидаемых для кристалла кремния n-типа. Постоянное магнитное поле приложено: а) вдоль направления [100], б) вдоль [110], в) вдоль [111].
 67185. Найти компоненты тензора проводимости в системе координат, в которой оси расположены вдоль направлений (100). Вдоль тех же направлений [111], [111], [111], [111] ориентированы эллипсоидальные зоны проводимости, причем минимумы энергии расположены на тех же направлениях (случай кристалла германия). Показать, что суммарная проводимость кристалла изотропна, несмотря на анизотропию, связанную с каждым отдельным эллипсоидом, при условии, что нет внешнего напряжения или других воздействий, которые могли бы нарушить эквивалентность четырех минимумов энергии.
 67186. Показать, что если в полупроводниковом кристалле создан градиент концентрации, то устанавливается диффузионный поток носителей, пропорциональный градиенту концентрации с коэффициентом, равным -Lс/3 (где с — средняя тепловая скорость). Предполагается, что относительное изменение концентрации на расстоянии порядка средней длины свободного пробега мало, что средняя длина свободного пробега не зависит от скорости и что функцию распределения можно записать в виде произведения n(r)ф(v), где n — концентрация в данной точке, а ф(v) — функция распределения скоростей, которая не зависит от координат.
 67187. Показать, что подвижности электрона и дырки связаны с соответствующими коэффициентами диффузии соотношениями Эйнштейна Dn = цnkT/e, Dp = цpkT/e. Принять, что длина среднего свободного пробега для электронов и дырок не зависит от скорости.
 67188. Найти дифференциальное уравнение, описывающее амбиполярную диффузию и дрейф распределения избыточных пар электрон — дырка внутри полупроводника, имеющего равновесные концентрации электронов n0 и дырок p0, которые сравнимы по величине при приблизительном выполнении условия электронейтральности внутри кристалла.
 67189. На основании результатов, полученных в задаче 13.18, можно сказать, что в полупроводнике n-типа избыток электронно-дырочных пар дрейфует в направлении приложенного поля, несмотря на то, что основные носители тока в кристалле (т. е. электроны) движутся в противоположном направлении. Исследуя движение импульса избытка носителей постоянной плотности при условии, что в пределах ступенчатой или гладкой наружной поверхности избыток носителей dn = dр = const, объяснить на основании физических соображений, почему это поведение наблюдается. Рассмотреть одномерный случай, т. е. считать, что концентрации и поля являются функциями только одной координаты х.
 67190. В известном эксперименте Хайнса — Шокли (схема показана на рис ) дрейфовая подвижность неосновных носителей заряда в примесных образцах полупроводника определяется по результатам измерения времени, необходимого для того, чтобы избыток носителей (инжектируемых через точечный контакт эмиттера) продрейфовал к точечному контакту коллектора, расположенного на известном расстоянии, под действием постоянного поля Е0 внутри кристалла. Можно сделать простой анализ результатов и убедиться, что дрейфовая скорость носителей равна ц*E0, а время t0, необходимое для того, чтобы носители преодолели расстояние d между зондами эмиттера и коллектора, будет поэтому равно d/ц*E, откуда ц*= d/E0t0. В предположении одномерной диффузии, когда инжекцию избыточных носителей в кристалле в точке х = 0 при t = 0 можно описывать d-функцией, показать, что при рассмотрении эффектов диффузии и рекомбинации максимальный коллекторный сигнал (который пропорционален величине dр при x = d) имеет место при t = t0. Величина t0 находится из соотношения t0 = |/1 + 4ad2/D*- 1/4a, где a = ####. Подвижность ц*связана с t0 соотношением ц*= d/E0t0(|/1 + x2 - x); здесь x = 2kT/eE0d(t0/t + 1/2) n + р/n - р.
 67191. На рис приведены результаты измерений дрейфовой подвижности импульса избыточных носителей заряда в германии р-типа в зависимости от температуры. Объяснить получающуюся кривую и в особенности острый излом на ней при температуре около 300 °К и наблюдаемое затем быстрое уменьшение подвижности импульса.
 67192. Для полупроводника n-типа в стационарном состоянии вероятность того, что неосновной носитель при столкновении с поверхностью кристалла не испытает рекомбинации, определяется коэффициентом поверхностного отражения R0. Показать, что граничное условие для уравнения непрерывности у поверхности кристалла можно записать в виде -Dp[d(dp)/dx]s = [dp]s cp/2 1 - R0/1 + R0, где индекс s относится к значениям соответствующих величин у поверхности образца.
 67193. Из кристалла примесного германия n-типа вырезаны большие тонкие пластинки одинаковой толщины, равной 2а. Длина и ширина образца достаточно велики для того, чтобы пренебречь краевыми эффектами и, следовательно, гарантировать, что перенос избытка носителей внутри образца происходит в одном измерении. Поверхности обрабатываются таким образом, чтобы на обеих поверхностях образца скорость поверхностной рекомбинации s была одинаковой. Затем кристалл облучается светом, длина волны которого достаточно велика для того, чтобы проникнуть в кристалл без значительного поглощения, но тем не менее близка к краю основного поглощения (где hw = dE) настолько, чтобы создать заметную концентрацию электронно-дырочных пар. Найти стационарную концентрацию избыточных носителей во всех точках внутри кристалла и описать стационарный эффект фотопроводимости, возникающей в образце.
 67194. Используя условия предыдущей задачи, показать, что ответ, который получается, когда s принимает свое максимальное значение Ср/2, и результат, полученный, если устремить s к бесконечности, по существу одинаковы, если диффузионная длина намного больше, чем средняя длина свободного пробега.
 67195. Образец примесного германия n-типа имеет те же размеры, форму и объем, как и образец, рассмотренный в задаче 13.23. Посередине между поверхностями образца содержится зерно с плоской границей, параллельной поверхностям образца. Дислокации, связанные с границей зерна, действуют как центры рекомбинации, причем выполняется граничное условие уравнения непрерывности в форме (13.22.12) со скоростью рекомбинации s0. Скорость рекомбинации, связанная с обеими наружными поверхностями образца, равна s1. Найти решение уравнения непрерывности для избыточной концентрации носителей заряда dр(х, t) при данных условиях, полагая известным начальное распределение (при t = 0) избыточных носителей заряда, а именно, в виде f(х) = dр(х, 0). Найти соотношение, выражающее s0 как функцию s1, толщины образца а и величины d = т0^-1 - т^-1, где т — время жизни объемного избытка концентрации носителей заряда, а т0 — постоянная, характеризующая время затухания неустановившейся фотопроводимости, которая наблюдается в течение достаточно длительного промежутка времени.
 67196. Выразить концентрации равновесных носителей тока n0 и р0 в однородном невырожденном полупроводнике через энергию уровня Ферми, отсчитывая последнюю от дна зоны проводимости или от потолка валентной зоны. Определить квазиуровни Ферми при инжекции неравновесных носителей.
 67197. Вывести уравнения, определяющие распределение равновесного потенциала вблизи границы однородного полупроводника с постоянной концентрацией доноров Nd, предполагая, что при данной температуре атомы примеси полностью ионизованы.
 67198. Область объемного заряда р — n-перехода обладает емкостью. Вывести выражение для емкости в случае скачкообразного перехода.
 67199. Объяснить смысл утверждения, что р — n-переход может служить устройством, задающим концентрацию неравновесных носителей на краях области, содержащей объемный заряд. Вывести зависимость избыточной концентрации носителей от приложенного напряжения.
 67200. Инжекция избыточных неосновных носителей заряда через р — n-переход в примесный полупроводник обычно не нарушает нейтральности материала. Обсудить количественные стороны этого утверждения.