Earth curvature of space2 curvature of space1
Банк задач

Вход на сайт
Регистрация
Забыли пароль?
Статистика решений
Тип решенияКол-во
подробное решение60032
краткое решение7560
указания как решать1341
ответ (символьный)4704
ответ (численный)2335
нет ответа/решения3772
ВСЕГО79744

База задач ФизМатБанк

 66901. В «горячей» фридмановской модели существуют две независимые друг от друга важные эпохи: когда во Вселенной впервые перестает преобладать излучение и она переходит к стадии преобладания вещества (Pвещ ~ Pизл) и когда протоны и электроны начинают рекомбинировать, образуя водород. Оказывается, что в нашей Вселенной эти две эпохи почти полностью налагаются во времени друг на друга. Исходя из этого факта, получите численное значение сохраняющейся энтропии на барион s = 4аТ3/Зn, где Т — температура, а — коэффициент пропорциональности, различный для разных типов излучения, n — плотность числа барионов.
 66902. Выразите температуру характеристической рекомбинации водорода (т. е. температуру, при которой в условиях термодинамического равновесия степень ионизации составляет 0,5) через значение сохраняющейся энтропии на барион s в горячей модели расширяющейся Вселенной. Дайте числовой ответ для s = 10^8 и s = 10^9.
 66903. В радиационно-доминированной фридмановской космологической модели найдите температуру Т как функцию собственного космологического времени t для моментов времени, близких к начальной сингулярности. Предположите, что вклад в плотность энергии р дают только фотоны, электроны и позитроны. Как изменится ответ, если включить сюда еще нейтрино и антинейтрино?
 66904. Фридмановская космологическая модель в момент расширения, характеризующийся масштабным фактором R1, обладает температурой T1. Преобладающий вклад в плотность дают релятивистские электроны, позитроны, мюоны, фотоны и нейтрино, находящиеся в термодинамическом равновесии. Далее, в момент расширения, характеризующийся масштабным фактором R2, мюонные пары уже проаннигилировали, но все остальные частицы по-прежнему остаются релятивистскими и находятся в состоянии равновесия. Выразите температуру Т2 через Т1, R1 и R2.
 66905. При каком из нижеследующих предположений в горячей модели расширяющейся Вселенной образовалось бы меньше Не4, чем это предсказывается «стандартной» моделью? Меньше Н2 (дейтерия)? а) Предположим, что плотность числа барионов в теперешней Вселенной больше, чем считается на сегодняшний день. б) Предположим, что константа слабого взаимодействия фактически меньше, чем принятая на сегодняшний день. в) Предположим, что в настоящее время в космическом фоне больше нейтрино, чем антинейтрино или фотонов. г) Предположим, что в настоящее время в космическом фоне больше антинейтрино, чем нейтрино или фотонов. д) Предположим, что гравитационная постоянная G меняется в космологических масштабах времени и в прошлом была несколько больше, чем сейчас.
 66906. Предположим, что Вселенная является изотропной, однородной и пустой; тем не менее, при этом существует тензор энергии-импульса, обусловленный «поляризацией вакуума» и имеющий вид 8пTцv. (На прежнем языке это значило бы: существует не равная нулю космологическая постоянная Л.) Найдите космологическое решение с k = 0, а также найдите систему координат, в которой это решение было бы статическим. Такая модель называется Вселенной де Ситтера.
 66907. Вселенная является изотропной, однородной и содержит только не создающую давления пыль; кроме того, ее тензор энергии-импульса, обусловленный поляризацией вакуума, имеет вид Tцv = p0uцuv - Л/8п gцv, где uц — поле 4-скоростей вещества. Покажите, что для такой метрики существует статическое решение, но оно неустойчиво. Эта космологическая модель называется Вселенной Эйнштейна.
 66908. Чему равен собственный объем Вселенной Эйнштейна из задачи 19.31, выраженный через плотность пыли р0?
 66909. Одно время казалось, что наблюдательные данные указывают на необычное скопление значений красного смещения квазаров вблизи z = 2. Одна из попыток объяснить этот факт состояла в предположении, что наша Вселенная представляет собой заполненную пылью космологическую модель с k = +1 и не равной нулю космологической постоянной Л, причем значение последней лишь чуть-чуть превосходит соответствующее значение для статической модели Эйнштейна (см. задачу 19.31). Покажите, что в этой модели Вселенная будет расширяться с уменьшающейся скоростью до некоторого радиуса Rm, вблизи которого она будет оставаться в течение длительного времени, продолжая при этом расширяться чрезвычайно медленно, после чего вновь начнет расширяться со скоростью, которая асимптотически стремится к значению H = (Л/3)^1/2. Предположим, что квазары образуются в эпоху, когда радиус почти постоянен. Какое современное значение плотности Pвещ предсказывает эта модель? (Считайте, что H0 = 10^-28 см^-1.)
 66910. Каково по порядку величины то влияние, которое оказывает наличие космологической постоянной на небесную механику Солнечной системы, если Л ~ 10^-57 см^-2?
 66911. Докажите, что для физически реализуемой идеальной жидкости не существует решения уравнений Эйнштейна, которое было бы однородным, всюду изотропным и статическим. (До открытия Хаббла Эйнштейн считал этот факт доказательством несостоятельности своей теории и, пытаясь исправить положение, ввел в уравнения член с «космологической постоянной».)
 66912. Докажите, что не существует статических решений уравнений Эйнштейна для жидкости без давления. Не используйте предположения об однородности или изотропии. (Трудность этой задачи зависит от определения «статичности». Более легкий случай: пусть термин «статический» понимается в смысле первого определения «статичности» из задачи 10.8, т. е. как «не зависящий от времени и инвариантный относительно обращения времени». Более трудный случай: используйте второе определение из задачи 10.8.)
 66913. Докажите, что для идеальной жидкости не существует статических и однородных решений уравнений Эйнштейна. Не используйте предположения об изотропии. (Здесь, как и в задаче 19.36, существует более легкий и более трудный случай в зависимости от использованного определения «статичности».)
 66914. В космологии обычно используют координаты, сопутствующие галактикам. Пусть (т, хi) есть такая система координат, и пусть метрика записана в общем виде ds2 = -dт2 + 2g0i dтdxi + gijdxidxj, где g0i и gij могут быть функциями от т и хi. Покажите, что: а) т есть собственное время для некоторой галактики; б) собственные расстояния на гиперповерхности с постоянным т завиит от gij; в) если g0i и gij не зависят от всех хi, то Вселенная является однородной, но обратное утверждение несправедливо; г) если g0i и gij не зависят от т, то sab = 0, v = 0, но, вообще говоря, wаb # 0; д) если g0i = 0 и gij = f(т)gij(xk), то sij = 0; е) g0i,0 = 0 в том и только в том случае, если галактики движутся по геодезическим; ж) если wab # 0, то никаким выбором т и хi нельзя всюду обратить в нуль g0i, а это означает, что из условия wаb,0 # 0 следует, что галактики не движутся по геодезическим.
 66915. Расстояние между двумя соседними галактиками есть dха = Rnа, где n — единичный, чисто пространственный вектор в покоящейся системе отсчета, связанной с одной из галактик. Покажите, что R/R = sab nanb + 1/3 v, где s — тензор сдвига, а v — скалярное растяжение, и покажите, что усреднение по всем направлениям nа дает (R/R) = 1/3 v.
 66916. Найдите v, wаb и sаb для конгруэнции галактических мировых линий в космологической модели Робертсона — Уокера. (Определения см. в задаче 5.18.) Проделайте то же самое для анизотропной метрики ds2 = -dt2 + e2adx2 + e2bdy2 + e2cdz2, где a, b и с — функции только от t, а х, у и z — координаты, сопутствующие галактикам.
 66917. Рассмотрим однородную, анизотропную космологическую модель с метрикой ds2 = -dt2 + gij(t) dxidxj, где пространственные сечения t = const обладают плоской геометрией. Найдите эволюцию gij, когда эта модель является «гравитационно-доминированной», т.е. положите в уравнениях поля Тцv равным нулю. Покажите, что в этой модели объем Вселенной уменьшается до нуля линейно по t при t -- > 0(в радиационно-доминированной фридмановской модели эта зависимость имеет вид t^3/2, а в модели с преобладанием вещества переходит в t2).
 66918. Эксперимент по измерению гравитационного искривления светового луча состоит в следующем: откачанная трубка длиной I помещена горизонтально в однородное гравитационное поле, например в поле Земли на уровне моря, причем l << rЗемли, так что неоднородности поля (приливные силы) пренебрежимо малы. Проходящий через трубку лазерный луч под воздействием однородного гравитационного поля отклоняется от горизонтали. Вычислите угол отклонения луча по отношению к оси трубки; ответ выразите через длину трубки l и ускорение силы тяжести g. Обсудите возможность проведения такого эксперимента в земной лаборатории.
 66919. Вычислите гравитационное отклонение светового луча, проходящего вблизи Солнца, используя ньютоновскую теорию тяготения и тот факт, что в локальной системе свободно падающего наблюдателя траектории светового луча представляют собой прямые линии. Так как свет все время находится в слабом гравитационном поле, использование ньютоновского приближения кажется вполне оправданным. Почему же полученный результат не согласуется с общерелятивистским результатом?
 66920. Получите общее выражение для углового отклонения в гравитационном поле Солнца света, приходящего от звезды, которая с точки зрения земного наблюдателя находится на угловом расстоянии от Солнца, равном а. Расстояние от Земли до Солнца равно R. Не используйте предположения о малости угла а, но покажите, что в пределе малых а ответ сводится к привычному результату dа = 4М/b (см. задачу 15.6).
 66921. Покажите, что учет момента количества движения J Солнца видоизменяет формулу для отклонения света (задача 20.3). Вместо dф = 4М/b мы будем иметь dф = 4M/b(1 - J*n/Mb), где n — единичный вектор в направлении момента количества движения фотонов относительно центра Солнца.
 66922. При интерпретации результатов измерений отклонения электромагнитных волн Солнцем необходимо учитывать, что кроме общерелятивистского отклонения существует еще отклонение, зависящее от частоты волн и обусловленное влиянием солнечной короны. Оцените прицельный параметр, для которого общерелятивистский и корональный эффекты дают примерно одинаковый вклад в отклонение электромагнитной волны частоты v. Можно считать, что распределение плотности числа электронов в солнечной короне описывается приближенной формулой lg(ne/1 см^-3) = 8,4 - 6,5 lg(r/R) для значений r < 4R. Чему численно равно найденное значение прицельного параметра, выраженное в радиусах Солнца, для v = 1000 Мгц?
 66923. Угол отклонения света, проходящего вблизи Солнца, дается формулой d = 1,75''/b, где b — прицельный параметр, выраженный в радиусах Солнца. Разработайте конструкцию тонкой линзы (т. е. выведите формулу для ее толщины как функции радиуса), которая моделировала бы подобные фокусирующие свойства. Если в центре линзы поместить «черную маску» диаметром 8 мм, изображающую солнечный диск, то вы сможете моделировать эксперименты по отклонению света Солнцем, держа линзу на расстоянии вытянутой руки. Считайте, что показатель преломления вещества линзы такой же, как у обычного кронгласа, т.е. n = 1,52.
 66924. Вычислите предсказываемое общей теорией относительности смещение перигелия Меркурия, выразив его через большую полуось а и эксцентриситет е орбиты Меркурия и через массу Солнца М.
 66925. Ньютоновскую теорию тяготения можно модифицировать и сделать ковариантной, если уравнение для силы, действующей на точечную частицу, записать в виде dpц = -hцv,v pbdxb + paФ,adxц, где Ф — скалярный потенциал, связанный с тензором энергии-импульса соотношением Ф;ц;ц = 4пTцц. Выясните, согласуется ли эта теория с экспериментом и наблюдениями: а) Согласуется ли эта теория с экспериментами Этвеша и Дикке, продемонстрировавшими эквивалентность инертной и пассивной гравитационной массы? б) Согласуется ли эта теория с результатами эксперимента Паунда — Ребки по измерению гравитационного красного смещения фотонов у поверхности Земли? в) Предсказывает ли эта теория искривление идущего от звезды светового луча вблизи Солнца?
 66926. Некий физик намеревается использовать для проверки специальной и общей теории относительности современные атомные часы, характеризующиеся колоссальной точностью. Он размещает различные часы в разных точках поверхности Земли (которая, как предполагается, вращается жестко) и измеряет скорости их хода по отношению к каким-то стандартным часам. Регистрируемые отклонения от номинальной скорости хода обусловлены как доплеровским сдвигом в результате вращения Земли, так и красным смещением под воздействием гравитационного поля Земли. Вычислите наблюдаемое значение скорости хода часов, помещенных в точку с полярными координатами (r, v), по отношению к произвольно выбранным эталонным часам. Учтите вращательную деформацию поверхности Земли, предполагая, что Земля представляет собой жестко вращающееся тело, состоящее из идеальной жидкости.
 66927. Покажите, что 1) d(-g)^1/2 = 1/2(-g)^1/2 gцvd gцv, 2) dgцv = -gpц gsц dgps.
 66928. Пусть L = L(ФА, gцv) есть плотность лагранжиана для некоторого поля или распределения вещества. Поле описывается переменными ФА, где А соответствует произвольным тензорным индексам. Действие записывается в виде S = int L(-g)^1/2 d4x. Введем функциональную производную dL/dФA, беря вариацию от ФA -- > ФА + dФА и полагая соответствующее приращение S равным dS = int dL/dФA dФA(-g)^1/2 d4x. Покажите, что если L зависит от ФА и ее первых частных производных ФА,а, то уравнение dL/dФA = 0 есть обычное уравнение Эйлера — Лагранжа.
 66929. Если L есть плотность лагранжиана из задачи 21.2, то тензор энергии-импульса можно определить с помощью варьирования gцv в выражении для действия S: dS = ####. Покажите, что уравнение Tцv;v = 0 следует из уравнений движения поля и того факта, что действие S есть скаляр.
 66930. Рассмотрим действие вида S = (16п)^-1 int (-g)^1/2 Rd4x + int Lвещ (-g)^1/2 d4x, где R — скаляр Риччи, а Lвещ содержит метрические коэффициенты gцv, но не содержит символов Г (другими словами, символы Г присутствуют только в R). а) Рассматривая gцv и Г как независимые переменные поля (такой подход называется методом Палатини), покажите, что уравнение dS = 0 приводит к уравнениям поля Эйнштейна и обычной формуле, выражающей символы Г через gцv. (Мы предполагаем, что Гaby = Гavb). б) Пусть теперь символы Г суть обычные символы Кристоффеля, использующиеся для определения ковариантных производных. Покажите, что уравнение dS = 0 (где теперь уже dГabv не является независимым от dgab) приводит к уравнениям поля Эйнштейна.
 66931. Плотность лагранжиана для скалярного поля есть L = -(8п)^-1 (Ф;a Ф;a + m2Ф2). Найдите соответствующие уравнения движения и вид тензора энергии-импульса. Проверьте непосредственными вычислениями, что дивергенция этого тензора энергии-импульса равна нулю.
 66932. Плотность лагранжиана электромагнитного поля есть L = -(16п)^-1 FцvFцv, где Fцv = Av;ц - Aц;v. Покажите, что уравнения Максвелла Fab;b = 0 получаются путем приравнивания нулю вариации int L(-g)^1/2 d4x относительно Ац. Найдите тензор энергии-импульса, исходя из формулы Tцv = -2 dL/dgцv + gцvL. Покажите, что эквивалентной плотностью лагранжиана является L = -1/16п FцvFцv - 1/4п FцvAц;v, где тензор Fцv антисимметричен, a Fцv и Aц должны варьироваться независимо.
 66933. Лагранжиан в теории гравитации Бранса — Дикке имеет вид L = (ФR - wФ,aФaФ^-1 + 16пLвещ), где Ф — скалярное поле, R — скаляр кривизны, w — константа связи. Варьируя gab и Ф, получите уравнения поля из уравнения d int L(-g)^1/2 d4x = 0.
 66934. Поверхностным слоем называется времениподобная 3-поверхность, отделяющая друг от друга две области пространства-времени. В общей теории относительности внутренняя геометрия такой 3-поверхности является вполне определенной, но внешняя кривизна может претерпевать разрыв. Другими словами, вычисляя тензор внешней кривизны К в 4-геометрии с одной и с другой стороны слоя, мы можем прийти к различным результатам. Поверхностная энергия-импульс Sab такого слоя определяется с помощью соотношения Sab = lim int Tab dn, где n — собственное расстояние, перпендикулярное к 3-поверхности. Выразите «скачок» тензора К через Sab, воспользовавшись уравнениями для начальных значений.
 66935. Для поверхностного слоя, описываемого гауссовыми нормальными координатами n и хi (i = 1, 2, 3) (см. решение задачи 21.8), выведите уравнение движения поверхностного слоя Sij |i + [Tnj] = 0, где квадратные скобки означают «скачок» на поверхности, а вертикальная черточка — ковариантное дифференцирование по отношению к внутренней геометрии 3-поверхности.
 66936. Измерения поверхностной плотности тонкой пылевой оболочки в пустом пространстве, проводимые сопутствующим пыли наблюдателем, дают для поверхностной массовой плотности значение s. Если 4-скорость пыли есть u, покажите, что [Kij] = 8пs(uiuj + 1/2(3) gij),ds/sт = -suij, а+ - а- = 4пsn, а+ + а- = 0, где а+ и а- — 4-ускорения, измеряемые соответственно снаружи и изнутри оболочки.
 66937. Вакуумная метрика вне коллапсирующей сферической пылевой оболочки представляет собой геометрию Шварцшильда ds2 = -(1 - 2M/r)dt2 + (1 - 2M/r)^-1 dr2 + r2dW2, а внутри оболочки — плоскую геометрию ds2 = -dT2 + dr2 + r2dW2. Очевидно, что радиальные координаты в обеих этих метриках обладают тем свойством, что 4пr2 есть собственная площадь сферических поверхностей r = const и t или Т = const. Покажите, что для коллапсирующей сферической пылевой оболочки «масса покоя оболочки» ц = 4пR2(т)s есть величина постоянная. Здесь s — поверхностная массовая плотность оболочки, a 4пR2(т) — площадь поверхности оболочки как функция ее собственного времени. Выведите уравнение движения оболочки M = ц[1 + (dR/dт)2]^1/2 - ц2/2R, а затем, проинтегрировав его, найдите (в неявном виде) функцию R(т) для случая dR/dт = 0 при R = оo.
 66938. Найдите мгновенную пространственную метрику, соответствующую произвольному распределению N точечных масс в некоторый момент наступления симметрии (см. [1], т. 1, § 21.10).
 66939. Предположим, что мы отождествляем 4-векторы Ua с 2-индексными спинорами UAA' с помощью отображения ####. Что является аналогом метрики Минковского на языке спиноров? Другими словами, требуется найти Laa'bb', такое, для которого U*V = habUaVb = Laa'bb'Uaa'Vbb'. Что является в спинорном формализме аналогом преобразований Лоренца?
 66940. Покажите, что a) eA[BeCD] = 0, б) EAB = E(AB) + 1/2 EABECC, где EAB — произвольный 2-спинор.
 66941. Пусть Tab = ТAА'ВВ'. Покажите, что если тензор Таb антисимметричен, то дуальный ему тензор в спинорном представлении имеет вид*Таb = 1/2 i(ТAВВ'A' - ТBАА'В').
 66942. Пусть в спинорном представлении Таb = ТАА'ВВ'. Какой тензор соответствует ТBA'AB'?
 66943. Доказать, что бесконечная точечная решетка может обладать вращательной симметрией только второго, третьего, четвертого и шестого порядков. б) Вывести закон зон (закон Вейсса), который гласит: если [uvw] — ось зоны, a (hkl) — грань этой зоны, то hu + kv + lw = 0. в) Показать, что в кубической системе направление [hkl] перпендикулярно к грани (hkl). г) Доказать, что в кубической системе угол ф между нормалями к граням (h1k1l1) и (h2k2l2) определяется формулой cos ф = ####. д) Доказать, что в системе индексов hkil Миллера — Бравэ h + k + i = 0.
 66944. У кристалла ромбической серы грань (hkl) лежит на пересечении зон [230] и [041]. Были измерены следующие углы: 51°28' - между гранями (100) и (hkl); 70°18' - между гранями (010) и (hkl). Определить индексы грани (hkl), угол между (001) и (hkl) и осевые отрезки а и с, если b = 12,94 А.
 66945. Показать, что в гексагональной плотноупакованной структуре металла теоретическое отношение осей с/а = 2|/6/3 = 1,633. Вычислить также следующие углы: a - между (0001) и (1011); b - между (0001) и (1121); y - между (1011) и (0110).
 66946. Из теоремы Эйлера о возможных сочетаниях трех осей вращения, проходящих через одну точку в трехмерном пространстве, выведено следующее соотношение: cos c = cos(С/2) + cos(A/2) cos(B/2)/sin (A/2) sin(B/2), где с — угол между двумя осями симметрии с углами поворота, равными А и В. Угол поворота для третьей оси симметрии равен С. Используя это соотношение, определить, допустимы ли сочетания поворотных осей симметрии 432, 532 и 643. В каждом допустимом случае указать, сколько должно быть осей каждого типа.
 66947. Ленточными группами (линейными мотивами) называются двумерные полосы, бесконечные в одном направлении и конечные — в другом. Зеркальные плоскости симметрии могут располагаться вдоль полосы или перпендикулярно к ней, а плоскости скользящего отражения возможны лишь вдоль полосы. Оси симметрии второго порядка могут быть только перпендикулярными к полосе. Сколько существует таких ленточных групп?
 66948. Вычислить постоянную Маделунга для бесконечной плоской сетки из положительных и отрицательных ионов, показанной на рис. Выразить эту постоянную через расстояние между ближайшими соседями АВ. Рекомендуется принимать во внимание ближайшие нейтральные группы ионов, окружающих данный отрицательный ион, и в окончательном результате ограничиться четырьмя значащими цифрами. Вычислить далее полную энергию кристаллической решетки U, если имеется 2N ионов на равновесных расстояниях r0, причем заряд каждого иона равен ±q. Принять, что между ионами действуют кулоновские силы притяжения, а потенциальная энергия отталкивания между ближайшими соседями равна K/rn.
 66949. Вычислить относительную долю пространства, заполненного сферами, в следующих структурах: простая кубическая структура; объемноцентрированная и гранецентрированная кубические структуры; структура алмаза. Пусть четыре сферы касаются друг друга в вершинах правильного тетраэдра. Какая часть тетраэдра заполнена этими сферами? Почему невозможно заполнить пространство так плотно?
 66950. Исследовать, как расположены в пространстве три взаимно перпендикулярные оси симметрии второго порядка в каждой из четырех пространственных групп Р222, Р2221, Р21212, Р212121.
 66951. Моноклинную пространственную группу Р21/с, изменив направление осей, можно обозначить: P21/n. Как надо для этого изменить оси? С помощью какой матрицы можно перевести индексы плоскости (h2k2l2), связанные с пространственной группой P21/n, в индексы (h1k1l1), относящиеся к пространственной группе P21/с? Показать, что систематические погасания, присущие P21/c и P21/n, согласуются с этими преобразованиями.
 66952. Известно, что сегнетова соль (виннокислый калий — натрий, NaKC4H6O6*4Н2O) претерпевает фазовый переход при 24°С. Выше этой температуры она заведомо имеет ромбическую пространственную группу P21212 и не является сегнетоэлектриком. Предполагается, что ниже этой температуры она принадлежит к моноклинной пространственной группе P2111 и является сегнетоэлектриком. Заметного изменения размеров ячейки в точке перехода не обнаруживается. Какие различия можно обнаружить на рентгенограммах, снятых выше и ниже точки перехода? Что еще можно сделать, чтобы установить истинную пространственную группу этого кристалла в сегнетоэлектрической фазе?
 66953. Запишем координаты эквивалентных общих положений для некоторой пространственной группы: ####. Каков общепринятый символ этой пространственной группы? Какие систематические погасания рентгеновских рефлексов можно ожидать для кристалла с такой пространственной группой?
 66954. Известно, что для кристалла SbTel (точечная группа mmm) ненулевые интенсивности имеют следующие типичные рентгеновские отражения: 111, 121, 211, 231, 241, 331, 021, 041, 101, 301, 501, 110, 120, 130, 210, 220, 230, 200, 400, 600, 020, 040, 060, 002, 004. Определить пространственную группу и, совместив начало координат с центром симметрии, начертить схемы распределения элементов симметрии и правильные системы точек. Учитывая, что элементарная ячейка содержит четыре формульные единицы, записать возможные координаты этих атомов, Сколько всего центров симметрии приходится на элементарную ячейку?
 66955. Доказать, что: а) пространственной решеткой, обратной кубической гранецентрированной решетке, будет кубическая объемноцентрированная и наоборот; б) обратной ромбической базоцентрированной С-решетке будет другая ромбическая С-решетка.
 66956. На дебаеграмме некоторого кубического кристалла, снятой на излучении меди Ka (L = 1,542 А), видны линии под углами Брэгга Q: 12,3; 14,1; 20,2; 24,0; 25,1; 29,3; 32,2 и 33,1°. Проиндицировать эти линии. Определить, является ли эта решетка примитивной, гранецентрированной или объемноцентрированной, и вычислить длину ребра ячейки. Плотность этого вещества равна 8,31 г*см^-3, молекулярный вес равен 312. Найти число молекул в одной кубической элементарной ячейке. Единицу атомной массы можно принять за 1,660*10^-24 г.
 66957. Рентгенограмма металлического порошка снята в рентгеновской камере Дебая — Шеррера на излучении молибдена Kа (L = 0,7107 А). Для первых шести наблюдаемых линий дебаевские углы Q оказались равными: 7,35; 7,82; 8,33; 10,7; 12,8 и 13,9°. Определить тип решетки и проиндицировать эти линии. Вычислить атомный вес вещества, если его плотность 1,74 г*см^-3. Единицу атомной массы можно принять равной 1,660*10^-24 г.
 66958. Снята рентгенограмма вращения с тетрагонального монокристалла. Длина волны рентгеновского излучения равна 1,542 А; рентгеновский пучок перпендикулярен к оси вращения, которая является осью с этого кристалла. Радиус камеры 3 см, длина — 10 см. На нулевой слоевой линии видны пятна на расстояниях 0,54; 0,75; 1,08; 1,19; 1,52; 1,63; 1,71 и 1,97 см от места выхода прямого пучка, т. е. от центра пленки. Расстояние первой слоевой линии от нулевой линии составляет 0,66 см. Проиндицировать наблюдаемые пятна на нулевой линии, вычислить параметры ячейки и расстояние каждой наблюдаемой слоевой линии от нулевой линии.
 66959. Вычислить угол Брэгга Q для линии (300) на дебаеграмме пирита FeS2 (кубическая система, а = 5,42 А), снятой на излучении железа Ка. Как объяснить тот факт, что на самом деле на рентгенограмме линия под таким углом появляется, только если излучение не отфильтрованное? (Длины волн: железо Kа = 1,937 А, железо Kb = 1,757 А.) б) При каком наименьшем значении брэгговского угла будет разрешен дублет меди Ка, если дебаеграмма некоего вещества снята в обычной камере диаметром 6 см? Считать, что ширина линии равна 0,03 см, а для того чтобы разделить дублеты, нужно вдвое превысить ширину разрешения. (Длины волн: медь Ka1 = 1,5405 А, медь Ка2 = 1,5443 А.)
 66960. Каждый из тридцати двух кристаллографических классов является представлением некоторой абстрактной математической группы. Порядок этой группы равен числу эквивалентных точек на стереографической проекции соответствующего класса. Например, класс 2/m представляет группу четвертого порядка, класс 4/m — группу восьмого порядка. Составьте таблицы перемножений групп (квадраты Кэли) для каждого из кристаллографических классов, представляющих группы четвертого порядка. Какие кристаллографические классы обладают изоморфными группами?
 66961. Определить, какие рентгеновские отражения систематически гасятся в случае гране центрированной кубической решетки. Найдя упрощенное выражение F2 для структуры алмаза, определить, какие отражения наблюдаются в этом случае. Решетка алмаза кубическая, и позиции атомов в ней определяются следующими координатами: ####.
 66962. Найти классы симметрии, которые выводятся из некристаллографических осей симметрии пятого и восьмого порядков и которые можно назвать принадлежащими к «пентагональной» и «октагональной» системам.
 66963. Рентгеновские рефлексы от монокристаллов часто собирают при помощи камеры Вейссенберга, изменяя угол ц между нормалью к оси вращения и рентгеновским пучком. Учитывая, что нет необходимости собирать вместе F(hkl) и F(hkl), указать значение ц, при котором удается исследовать максимальный объем обратного пространства и собрать наибольшее число рефлексов на одной пленке. Какую часть единичной полусферы удается исследовать на расстоянии двух единиц от начала координат обратного пространства?
 66964. Рентгенограмма качания кристалла анатаза (ТiO2) снята на излучении меди Ка (L = 1,54 А); если ось вращения совпадает с [001], то расстояние между нулевой и третьей слоевыми линиями равно 1,70 см. На другой рентгенограмме, где осью вращения было направление [111], расстояние между нулевой и второй слоевыми линиями равно 2,10 см. Радиус камеры равен 3 см. На лауэграмме, снятой таким образом, что пучок рентгеновских лучей параллелен [001], обнаруживается симметрия 4mm, а если пучок параллелен [100], то симметрия лауэграммы 2mm. Зная, что период вдоль оси [100] равен 3,73 А и что плотность кристаллического вещества равна 3,9 г/см3, определить: а) тип решетки; б) лауэ-симметрию (перечислить также возможные кристаллические классы); в) число формульных единиц на элементарную ячейку. (Атомные веса: O — 16; Ti — 48, масса атома водорода 1,66*10^-24 г.)
 66965. В камере диаметром 9 см на одном и том же излучении сняты порошковые рентгенограммы двух образцов A и В, о которых известно, что оба они принадлежат к кубической системе. Пучок рентгеновских лучей входит в отверстие в центре пленки и выходит в щель между ее концами. Одно из веществ чистое, другое содержит некоторое количество примеси, что вызывает появление трех видимых линий на рентгенограмме. В табл. 1.23.1 даны измеренные величины расстояний между некоторыми соответствующими линиями с левой и с правой стороны на каждом из снимков. Ребро элементарной ячейки для образца А равно 6,576 А. Требуется: а) определить предполагаемые типы решетки для А и для В; б) определить на одной из рентгенограмм те три линии, которые относятся к примеси; в) найти длину применявшегося излучения и размер ячейки для В; г) показать, что найденное решение годится для всех линий, присущих чистым веществам, и проиндицировать эти линии.
 66966. Вывести уравнение, описывающее распределение растворенного вещества с коэффициентом сегрегации k в слитке длиной L после прохода зоны длиной l с постоянной скоростью, если известно, что начальное распределение вещества в слитке было однородным с концентрацией С0. Какова средняя степень очистки при первых 10 зонных проходах для вещества с k = 0,1? Принять, что L > 11 l.
 66967. Вывести уравнение, связывающее эффективный коэффициент распределения с поверхностным коэффициентом распределения для кристалла, растущего со скоростью v из расплава, содержащего вещество с коэффициентом диффузии в расплаве, равным D. Толщина граничного слоя массопереноса равна d (в см). Расплав содержит два невзаимодействующих вещества с концентрациями 0,2 и 0,1 ат.%. Коэффициент диффузии обоих веществ равен 10^-4 см2*сек^-1, а коэффициенты сегрегации — соответственно 0,1 и 0,3. С какой скоростью нужно выращивать кристалл из расплава, чтобы концентрации обоих веществ в твердом состоянии были равны, если задано, что d = 10^-2 см? Чему равна эта концентрация?
 66968. Кристалл некоего химического элемента выращен из расплава с постоянной скоростью 4,1*10^-3 см*сек^-1. Коэффициент диффузии вещества в расплаве равен 10^-4 см2*сек^-1, а коэффициент сегрегации равен 0,4. Исходная концентрация вещества в расплаве равна 0,5 ат.%, а наклон линии ликвидуса для системы раствор — растворитель равен 4°С (ат.%)^-1. В расплаве существует постоянный температурный градиент, равный 100°С/см, а толщина граничного диффузионного слоя равна 10^-2 см. Какая доля расплава должна затвердеть, чтобы в первый раз появилась зона диффузионного переохлаждения?
 66969. Два элемента A и В образуют идеальную бинарную систему твердое тело — жидкость. Элементы характеризуются значениями скрытой теплоты плавления 600 и 200 кал*г-атом^-1 и температурами затвердевания 1200 и 500 °К соответственно. Кристалл выращен из раствора, обогащенного элементом A, с температурой на равновесной поверхности раздела, равной 1175°К. Каковы состав расплава и коэффициент сегрегации элемента В для этого состава? Чему равна температура разделения линий ликвидуса и солидуса для этого состава?
 66970. Осаждение металла Me из пара на подложку, нагретую до 1000 °К, происходит при продувании смеси летучего хлорида МеСl2, газообразного НСl и водорода над этой подложкой в открытой «лодочке» при атмосферном давлении. При этом происходит обратимая реакция МеСl2 + Н2 < -- > Ме + 2НСl. Изменения энтальпии и энтропии dН и dS в ходе этой реакции равны — 30 ккал*моль^-1 и -43,8 кал*моль^-1*град^-1 соответственно (считается, что они не зависят от температуры). Отношение полного числа атомов водорода к числу атомов хлора в исходной смеси равно 0,1. Какова минимальная концентрация МеСl2, при которой осаждение Me термодинамически возможно? Газовую смесь можно трактовать как идеальный газ.
 66971. Ионные кристаллы состоят из положительно и отрицательно заряженных ионов. Эти ионы сферически симметричны, а силами взаимодействия между ними являются центральные кулоновские силы и некие силы отталкивания, природа которых не может быть описана в рамках классической теории. Поэтому выражение для энергии взаимодействия Eij между двумя ионами i и j в кристалле состава XY, образованном из ионов с зарядами +е и -е, содержит два члена и записывается так: Eij = ± e2/rij + b/rij^n (3.1.1) где rij — расстояние между двумя разноименными ионами, а b и n — эмпирические константы. Измеряя rij в единицах расстояния r между ближайшими соседями, т.е. полагая rij = aijr, (3.1.2) и суммируя по всем ионам при j # i, находим энергию Ei i-го иона в поле всех других ионов: Ei = -Ae2/r + B/rn, (3.1.3) где А = E ±aij^-1, В = b E aij^-n. (3.1.4) Если рассматриваемый i-й ион заряжен отрицательно, то плюсы и минусы в выражении (3.1.4) для постоянной Маделунга А относятся соответственно к положительным и отрицательным ионам. Из (3.1.3) вытекает, что полная энергия решетки U(r) кристалла, содержащего 2N ионов, равна U(r) = NEi = -N(Ae2/r + B/rn), (3.1.5) если предположить, что N достаточно велико, чтобы можно было пренебречь поверхностными эффектами. Показать, что энергия решетки U(r0), соответствующая равновесному кратчайшему расстоянию между ионами r = r0, задается в виде U(r0) = -NAe2/r0 (1 - 1/n).(3.1.6)
 66972. Определить показатель степени n в выражении для потенциала сил отталкивания в уравнении (3.1.5) для кристалла NaCl, если известно, что сжимаемость этого вещества равна 3,3*10^12 см2*дин^-1, постоянная Маделунга А = 1,75, а равновесное расстояние между ближайшими соседями r0 = 2,81 А. Абсолютная величина е заряда иона принята равной заряду электрона: е = 4,8*10^-10 ед. СГСЭ.
 66973. Как изменятся наименьшее равновесное расстояние r0 между ионами и энергия U решетки NaCl, если заряд иона возрастет вдвое?
 66974. Член В/rn в выражении (3.1.5) для энергии решетки, соответствующий силам отталкивания, часто заменяют членом С ехр(-r/р), вид которого легче объяснить теоретически. Чему равно расстояние между ближайшими соседями r0 = r0(n, р), при котором эти два потенциала отталкивания дадут одинаковые значения энергии решетки?
 66975. Вычислить постоянную Маделунга А для линейной цепочки равноудаленных ионов с чередующимися положительными и отрицательными зарядами.
 66976. Ряды, с которыми приходится иметь дело при вычислении постоянной Маделунга, сходятся условно. Следовательно, если переставить члены, чтобы ускорить сходимость, то можно прийти к ошибочному результату. Показать, что ряд из задачи 3.5 можно заставить сходиться к любому значению S, если перегруппировать его члены так, чтобы вероятность р нахождения положительного члена в новом ряду была p = ехр(2S)/4 + exp(2S), (3.6.1) между тем как порядок членов одинакового знака останется неизменным.
 66977. Предложенный Эвьеном метод вычисления постоянной Маделунга состоит в том, что кристалл разбивают на нейтральные группы ионов — «ячейки Эвьена» — и последовательно суммируют вклады от этих ячеек в энергию рассматриваемого иона. Разбиение кристалла на ячейки Эвьена производится так, что иону на поверхности ячейки приписывают дробный заряд, а величина этой дроби определяется долей пространственного угла, вырезаемого граничной поверхностью ячейки в том месте, где находится данный ион. Так как потенциал нейтральной группы ионов с увеличением расстояния падает быстрее, чем потенциал отдельного иона, метод Эвьена приводит к быстро сходящимся рядам. Применить метод Эвьена для вычисления постоянной Маделунга линейной цепочки из задачи 3.5. Для этого случая удобной ячейкой Эвьена будет ячейка, состоящая из иона и двух его соседей: у центрального иона заряд равен ±е, а у двух соседних заряд следует считать дробным, равным ±0,5е. Выбрав исходный ион в центре цепочки из n ячеек, показать, что суммирование по этим ячейкам даст приближенное значение постоянной Маделунга Аn, отклонение которой dn = |А - Аn| от истинной постоянной Маделунга А будет меньше, чем 1/n2. Кроме того, показать, что непосредственное суммирование по 2n ионам этой цепочки без учета выделенного иона приведет к менее точному значению А'n, так что отклонение d'n = |А - А'n| от А будет меньше, чем 1/n.
 66978. На рис. показана ячейка Эвьена (см. задачу 3.7) для структуры NaCl. Найти приближенное значение постоянной Маделунга для NaCl, вычисляя последовательно энергии выделенного иона, расположенного в центре куба, состоящего из 1, 8 или 27 ячеек Эвьена.
 66979. Может показаться естественным рассматривать куб как ячейку Эвьена структуры CsCl (рис. ). Однако оказалось, что электростатический потенциал в центре куба, содержащего (2/n)^3 таких ячеек, отличается от потенциала в центре куба из (2n - 1)^3 ячеек на величину, которая при возрастании n стремится к постоянному конечному значению с. Объяснить этот факт и найти с. Как можно, суммируя по ячейкам Эвьена, показанным на рис. и содержащимся в кубах с постепенно возрастающими сторонами, все-таки получить приближенное значение постоянной Маделунга? Найти приближенные значения постоянной Маделунга, рассматривая кубы, содержащие по 64 ячейки Эвьена.
 66980. При вычислении постоянной Маделунга по методу Эвьена можно избежать неопределенностей типа описанных в задаче 3.9, если выбрать ячейки Эвьена так, чтобы на гранях не было никаких зарядов. Найти такую ячейку, содержащую «половину» молекулы в структуре CsCl. Вычислить последовательные приближения постоянной Маделунга для CsCl, суммируя по ионам в концентрических ромбододекаэдрах, содержащих 4, 32 или 108 ячеек Эвьена.
 66981. Чтобы вычислить потенциал V иона в присутствии всех других ионов кристалла, Эвальд предложил следующий метод, который приводит к быстро сходящимся рядам. К точечному заряду qj на месте каждого j-го иона, не совпадающего с фиксированным i-м ионом, добавляется гауссово распределение заряда (гауссовы заряды) pj(r) = -qj(h/п)^3/2 ехр(-hr2) (3.11.1) с общим зарядом -qj; h — подгоночный параметр, определяющий ширину гауссова распределения. Вклады от точечных и гауссовых зарядов во всех местах, где j # i, qj [1/rij - 1/rij int p(r)dr - int p(r)/r dr] приводят к потенциалу V' = E qj/rij(1 - int exp(-s2)ds) (3.11.2) на i-м месте. Далее с помощью разложения в ряд Фурье можно легко получить потенциал V" на i-й месте, обусловленный второй совокупностью гауссовых зарядов +qj на всех местоположениях ионов: V" = 4п/D E{Eqi ехр(-ik*rl)k^-2 ехр(-k2/4h)}, (3.11.3) где k — вектор обратной решетки, умноженный на 2п, и где единичная ячейка объема D, связанная с каждым узлом решетки Бравэ, содержит ионы с зарядами qi в местоположениях, отстоящих на ri от узла решетки. В величину V" входит вклад V''' от второй совокупности гауссовых зарядов, расположенных в i-х положениях: V'" = 2qi |/h/п. (3.11.4) Следовательно, искомый потенциал равен V = ####. (3.11.5) Преимущество этого метода перед другими при суммировании в решетке заключается в том, что при разумном выборе параметра h оба ряда в уравнении (3.11.5) быстро сходятся. Проверить выражения (3.11.2), (3.11.3), (3.11.4) для различных вкладов в искомый потенциал. а) Найти приближенное значение постоянной Маделунга для CsCl, ограничившись суммированием только по ближайшим соседям (первая координационная сфера), представляя векторы k как 2п/а (±1, 0, 0) и положив h = 16/3 а2. Обобщить вычисления на случаи, когда: б) включаются следующие соседние ионы (вторая координационная сфера), а векторы k = 2п/а (±1, ±1, ±1); в) включаются третьи соседи (третья координационная сфера), а векторы k = 2п/а (±2, ±1, 0); г) проделать те же вычисления для NaCl, учитывая ближайших и следующих за ближайшими соседей, а векторы k представляя в виде 2п/а(±1, ±1, ±1) и 2п/а(±3, ±1, ±1). Параметр h положить равным 16/а2. Учесть, что векторы обратной решетки k, использующиеся при вычислении постоянной Маделунга, для NaCl и CsCl могут оказаться неодинаковыми.
 66982. Для большинства ионных кристаллов показатель n в потенциале отталкивания велик (см. задачу 3.2), так что в первом приближении можно рассматривать положительные и отрицательные ионы в таких кристаллах, как жесткие шары с радиусами r+ и r- соответственно. Из формулы (3.1.6) следует, что в такой модели жестких шаров решетка определена только энергией Маделунга — Ае2/r0, где r0 — кратчайшее равновесное расстояние между центрами разноименных ионов. На первый взгляд может показаться, что из структур, соответствующих составу XY, единственно устойчивой должна быть структура CsCl, потому что у нее наибольшая постоянная Маделунга. Показать, что это неверно, и, считая, что r- > r+, построить графики зависимости энергии Маделунга — Ае2/r0 (измеренной в единицах e2/r-) от отношения радиусов r+/r- для структур CsCl (А = 1,7627), NaCl (А = 1,7476) и ZnS (А = 1,6381). Учесть, что для некоторых значений отношения радиусов величина r0 определяется по «соприкосновению» разноименных ионов (r0 = r+ + r-), а для других — по соприкосновению одноименных ионов (r0 = const х r-). Чему равны значения r+/r-, в пределах которых устойчива каждая из этих структур?
 66983. Модель жестких шаров (см. задачу 3.12) удобно применить к вопросу о равновесной форме некоторых простых молекул. Эти молекулы состоят из центрального иона типа A, который окружен несколькими одинаковыми ионами типа В, связанными с ним кулоновскими силами притяжения. Расстояние rAB между центральным и любым из окружающих ионов равно сумме ионных радиусов rA и rB. Определить равновесные устойчивые положения ионов в таких молекулах, если центральный ион окружен а) двумя, б) тремя, в) четырьмя ионами.
 66984. С помощью модели жестких шаров (задачи 3.12 и 3.13) можно объяснить только высокосимметричные конфигурации молекул АВn. На самом же деле в природе существуют менее симметричные молекулы. Так, например, в Н2O две связи О-Н образуют между собой угол bH2O = 104,45°, а в NH3 угол между любыми двумя из связей N-Н равен bNH3 = 107,3°. Это можно объяснить, если принять ту же модель молекулы АВn, т.е. считать ионы жесткими шарами, но только предположить, что центральный атом способен поляризоваться. а) Вычислить углы b между связями, соответствующими устойчивому равновесию, как функцию поляризуемости а центрального атома: 1) в молекуле АВ2; 2) в молекуле АВ3. б) Допустим, что наблюдаемые углы между связями в Н2O и NH3 были определены только на основе поляризуемостей О и N. Чему в таком случае равны эти поляризуемости? Межатомные расстояния rAB в этих молекулах равны соответственно rOH = 0,96 А и rNH = 1,01 А.
 66985. В самом общем случае в задаче о химической связи в молекулах и твердых телах требуется решение уравнения Шредингера для системы из N атомных ядер и n электронов, между которыми действуют кулоновские силы. Пренебрегая релятивистскими эффектами, из-за которых могут возникнуть зависящие от спинов члены, записать это уравнение, используя обозначения, данные в табл. 3.15.1.
 66986. Для описания движения электронов в системе, состоящей из N ядер и n электронов, можно, оставаясь в пределах достаточно хорошего приближения, считать, что ядра находятся в покое, потому что их массы намного больше масс электронов. Записать уравнение Шредингера для системы из N неподвижных ядер и n электронов. При этом использовать атомные единицы, т.е. считать численные значения элементарного заряда е, массы электрона m и постоянной Планка h = h/2п равными единице.
 66987. Несмотря на то, что собственное значение Eэл в уравнении Шредингера для движения электрона (см. уравнение (3.16.1)) включает в себя межъядерное отталкивание E ZaZbe2/|Rb - Ra|, его обычно называют «энергией электрона». В него входят как параметры межъядерные расстояния, и оно играет роль потенциальной энергии в уравнении Шредингера для движения ядер. Если предположить, что центр масс двухатомной молекулы неподвижен, то уравнение Шредингера, описывающее движение двух ее ядер A и В, будет иметь вид (-h2/2ц d + Eэл(R)) Фядерн = ЕФядерн, (3.17.1) где ц = МaМb/Мa + Мb (3.17.2) — это приведенная масса молекулы, a R = |Ra - Rb|. Найти Фядерн и Е для потенциала вида Еэл(R) = 1/2k(R - R0)2. (3.17.3) Такой потенциал соответствует силе, действующей между атомами, пропорциональной отклонению межъядерного расстояния R от его равновесного значения R0 (здесь k — силовая постоянная). Для простоты положим, что энергия вращения молекулы задается ее значением при R = R0.
 66988. Уравнение Шредингера для движения электронов в простейшей молекуле, например в молекулярном ионе H2+, в атомных единицах имеет вид (-d/2 - 1/ra - 1/rb + 1/R) Ф(r) = E(R) Ф(r), (З.18.1) где ra и rb — расстояния электрона от протонов A и В соответственно, a R — расстояние между двумя протонами. Если ввести сфероидальные координаты E, h, ф: E = ra + rb/R, 1 < E < oo, h = ra - rb/R, -1 < h < 1, (3.18.2) ф — азимутальный угол относительно оси молекулы, то в этом уравнении можно разделить переменные. Записав Ф в виде Ф(E, h, ф) = Х(E) Y(h) Ф(ф), (3.18.3) найти дифференциальные уравнения для X, Y и Ф.
 66989. Собственные значения и волновые функции уравнения Шредингера для иона H2+ (см. задачу 3.18) нельзя получить в конечном виде. Тем не менее возможно установить количественную связь между энергиями электронов, соответствующими иону H2+, и энергиями, соответствующими или «единому атому», в котором два протона сливаются, или «разделенным атомам», у которых один из протонов удален в бесконечность. Для этих двух случаев хорошо известны спектры, подобные спектру водорода, поэтому таким образом можно кое-что узнать и об электронной структуре молекулы. Установить эту связь, используя тот факт, что формы узловых поверхностей волновых функций зависят от межъядерного расстояния R, а число поверхностей остается постоянным (хотя некоторые из них стремятся к бесконечности вместе с одним из протонов при R -- > оо).
 66990. Уравнение Шредингера для системы n электронов (3.16.1) разделяется по координатам ri = (xi, уi, zi) различных электронов, если потенциальную энергию можно аппроксимировать суммой n функций, каждая из которых зависит одинаковым образом от координат только одного электрона. Если V(r1, r2,..., rn) = E v(ri), (3.20.1) то волновые функции Ф из уравнения (3.16.1) и соответствующие собственные значения энергии E принимают вид Ф(r1, r2,..., rn) = П Фi(ri), (3.20.2) E = E ei, (3.20.3) где Фi(ri) и ei определяются из уравнения Шредингера для одного электрона -1/2 dФi(ri) + v(ri) = eiФi(ri). (3.20.4) Принцип Паули требует, чтобы волновая функция для системы электронов, включающая спин, была антисимметрична относительно перестановки любых двух электронов. В рамках приближения, достаточного для решения задач о химической связи, гамильтониан типичного уравнения для одного электрона (3.20.4) не влияет на спиновую координату s электрона. Поэтому произведение Фi(ri, si) = фi(тi) = Фi(ri) hi(si) (3.20.5) решения Фi(ri) уравнения (3.20.4) на соответствующую спиновую функцию hi(si) само является решением уравнения (3.20.4). Следовательно, чтобы получить волновую функцию системы из n электронов с учетом спина, можно заменить Фi(ri) в уравнении (3.20.2) спиновыми орбиталями фi(тi), а из полученных произведений П фi(тi) образовать антисимметричные линейные комбинации, имеющие физический смысл. Их можно записать как детерминанты (здесь А — нормирующая константа): Ф = ####. (3.20.6) Показать, что если фn ортонормированы, то Ф нормированы при А = 1/Vn!.
 66991. Из орбиталей а и b, соответствующих состоянию Is для двух атомов водорода A и В, Гайтлер и Лондон для описания состояний с наименьшей энергией молекулы водорода Н2 построили следующие вспомогательные функции: основное состояние Фg = а(1) b(2) + b(1) а(2), (3.21.1); возбужденное состояние Фe = а(1) b(2) - b(1) а(2). (3.21.2) Здесь аргументы 1 и 2 означают координаты первого и второго электронов соответственно. Записать волновые функции в виде определителей, как в уравнении (3.20.6), которые вместе с двумя спиновыми функциями а и b могут быть построены из волновых функций а и b в соответствии с (3.20.5). Показать, что эти определители или их линейные комбинации можно записать в виде {а(1) b(2) ±b(1) а(2)}х(1, 2), (3.21.3) где х(1, 2) — двухэлектронные спиновые функции. Как частный случай пусть а и b будут собственными функциями оператора sz, соответствующего z-компоненте спина электрона, т.е. пусть sza = 1/2a, szb = -1/2b. (3.21.4) Показать, что в этом случае X — собственные функции оператора квадрата полного спина |S|^2 двухэлектронной системы, принадлежащие к собственным значениям |S|^2 = 0 и |S|^2 = 2. Известно, что тогда функции Гайтлера — Лондона Фg и Фe отвечают синглетному и триплетному состояниям молекулы водорода соответственно.
 66992. Пусть а и b — волновые функции двух атомов водорода (соответствующие состояниям Is), образующих молекулу Н2. Построить собственную антисимметричную электронную волновую функцию ф для молекулы Н2, где два электрона имеют противоположные спины (ф = а + b). Показать, что эта волновая функция тесно связана с функцией Гайтлера — Лондона (см. задачу 3.21) для основного состояния Н2. Кроме того, в нее входят еще добавочные члены. Каков их смысл?
 66993. С помощью линейной комбинации волновых функций атома можно образовать так называемые гибридные волновые функции, которые будут обладать некоторыми заданными свойствами симметрии. Эквивалентные гибридные волновые функции могут быть образованы из подходящих атомных волновых функций таким образом, что при заданных преобразованиях симметрии каждый гибрид преобразуется сам в себя или в другой гибрид для волновых функций типа s, или же сам в себя, в отрицательный или в другой гибрид для волновых функций типа п. Найти гибридную волновую функцию s, которая образована из нормированных атомных волновых функций s, рх, ру, pz и ориентирована вдоль некоторого направления, заданного направляющими косинусами. Показать, что если v — угол между двумя такими эквивалентными гибридными волновыми функциями, которые считаются ортогональными и нормированными, то п/2 < v < Зп/2. Показать, что по мере того, как угол v приближается к п, вклад волновых функций s становится более существенным, чем вклад волновых функций р.
 66994. Среди атомных волновых функций s, р, d выбрать необходимые и достаточные для образования эквивалентных гибридных волновых функций s, расположенных вдоль: а) четырех тетраэдрических направлений; б) шести октаэдрических направлений; в) шести направлений тригональной призмы.
 66995. Из волновых функций s- и р-состояний атома построить четыре эквивалентные ортогональные гибридные волновые функции так, чтобы их оси совпадали с четырьмя направлениями ребер тетраэдра. Для описания воспользоваться следующей системой координат: начало координат в центре тетраэдра, ось z совпадает с осью одной из волновых функций, а ось второй волновой функции лежит в плоскости у = 0.
 66996. Угловые волновые функции изолированного атома или иона в свободном пространстве — сферические гармоники. Они принадлежат различным представлениям полной группы вращений плюс инверсия. Частные представления этой группы определяются орбитальным моментом количества движения. Если ион находится в кристалле, то его симметрия сводится к подгруппе полной группы вращения, допускающей неприводимое представление исходной группы в данной подгруппе. Иначе говоря, для некоторых состояний, взаимно вырождающихся в свободном состоянии, вырождение увеличивается в присутствии окружающих ионов. Найти, каким образом вырожденные состояния с различными моментами количества движения иона в свободном состоянии изменяют степень вырождения, когда ион оказывается в октаэдрическом окружении. Выяснить для случая октаэдрического окружения, как скажется на симметрии эффект возмущения, связанный с удлинением кристалла вдоль одной из осей симметрии третьего порядка. Спиновый эффект не учитывать.
 66997. Для свободного электрона волновая функция имеет вид плоской волны Ф = ехр(ikr), а его энергия E = h2k2/2m. Если поместить электрон в периодическую решетку, то он перестанет быть свободным. Тем не менее, если рассматривать потенциал решетки как малое возмущение, то можно считать электрон «почти свободным». Волновой функцией такого электрона будет Ф = exp [i(K+k)r], (3.27.1) где K — вектор обратной решетки, a k — приведенный волновой вектор. Соответственно энергия будет E = h2 (k + K)2/2m. Функция (3.27.1) преобразуется в соответствии с представлениями группы k + К. Найти, каким образом состояния почти свободного электрона, отвечающие значениям К типа 2п(1, 0, 0), 2п(1, 1, 0) и 2п(1, 1, 1) в точке k = 0, связаны с состояниями, описываемыми приближением сильной связи, которое основано на представлении о расщеплении атомных функций задачи 3.26 в кристаллическом поле.
 66998. Среда однородно деформируется, так что xi = ai + аijaj, где ai — координаты материальной точки Р в исходном состоянии в ортогональной декартовой системе координат, xi — ее координаты в деформированном состоянии, aij — константы. Показать, что если аij — бесконечно малые такого порядка, что их произведениями можно пренебречь, то компоненты тензора бесконечно малых деформаций задаются следующим образом: 2еjk = i'j*i'k - ij*ik, где векторы ij — материальные единичные векторы, направленные по трем координатным осям в исходном состоянии, а i'j — векторы, в которые материальные векторы переходят при деформировании. Разобрать геометрический смысл этого выражения. Обобщить полученный выше результат, чтобы показать, что в теории бесконечно малых деформаций 2ejk = (bj*bk - cj*ck)/|cj| |ck|, где векторы cj — материальные векторы, не обязательно единичной длины, первоначально располагавшиеся вдоль координатных осей и при деформировании переходящие в векторы bj. Наконец, показать, что в теории бесконечно малых деформаций объем V0 в исходном состоянии переходит в объем V, где V = V0(1 + e11 + e22 + e33).
 66999. Решить задачу 4.1, но теперь без предположения, что произведениями aij можно пренебречь. Показать, что компоненты тензора конечных деформаций можно задать в виде 2hjk = (bj*bk - cj*ck)/|cj|*|ck|. Показать, что объем куба со сторонами единичной длины, параллельными координатным осям, после деформации становится равным V: V = |####|, V2 = |####|.
 67000. Структуру германия можно определить как кубическую элементарную ячейку со стороной а, в которой атомы занимают следующие положения: ####. Координаты определены в долях векторов, образующих элементарную ячейку. Ближайшими соседями 5-го атома являются четыре атома, так что атом находится в центре правильного тетраэдра, образованного первыми четырьмя атомами. Кристалл подвергнут деформации, при которой тензор конечной деформации имеет вид ####. Вычислить длины связей между 5-м атомом и окружающими четырьмя атомами и углы между направлениями этих связей в деформированном состоянии, принимая во внимание, что расстояния и углы внутри элементарной ячейки изменяются в соответствии с макроскопической деформацией.