Earth curvature of space2 curvature of space1
Банк задач

Вход на сайт
Регистрация
Забыли пароль?
Статистика решений
Тип решенияКол-во
подробное решение57480
краткое решение7556
указания как решать1341
ответ (символьный)4703
ответ (численный)2335
нет ответа/решения3776
ВСЕГО77191

База задач ФизМатБанк

 66901. В «горячей» фридмановской модели существуют две независимые друг от друга важные эпохи: когда во Вселенной впервые перестает преобладать излучение и она переходит к стадии преобладания вещества (Pвещ ~ Pизл) и когда протоны и электроны начинают рекомбинировать, образуя водород. Оказывается, что в нашей Вселенной эти две эпохи почти полностью налагаются во времени друг на друга. Исходя из этого факта, получите численное значение сохраняющейся энтропии на барион s = 4аТ3/Зn, где Т — температура, а — коэффициент пропорциональности, различный для разных типов излучения, n — плотность числа барионов.
 66902. Выразите температуру характеристической рекомбинации водорода (т. е. температуру, при которой в условиях термодинамического равновесия степень ионизации составляет 0,5) через значение сохраняющейся энтропии на барион s в горячей модели расширяющейся Вселенной. Дайте числовой ответ для s = 10^8 и s = 10^9.
 66903. В радиационно-доминированной фридмановской космологической модели найдите температуру Т как функцию собственного космологического времени t для моментов времени, близких к начальной сингулярности. Предположите, что вклад в плотность энергии р дают только фотоны, электроны и позитроны. Как изменится ответ, если включить сюда еще нейтрино и антинейтрино?
 66904. Фридмановская космологическая модель в момент расширения, характеризующийся масштабным фактором R1, обладает температурой T1. Преобладающий вклад в плотность дают релятивистские электроны, позитроны, мюоны, фотоны и нейтрино, находящиеся в термодинамическом равновесии. Далее, в момент расширения, характеризующийся масштабным фактором R2, мюонные пары уже проаннигилировали, но все остальные частицы по-прежнему остаются релятивистскими и находятся в состоянии равновесия. Выразите температуру Т2 через Т1, R1 и R2.
 66905. При каком из нижеследующих предположений в горячей модели расширяющейся Вселенной образовалось бы меньше Не4, чем это предсказывается «стандартной» моделью? Меньше Н2 (дейтерия)? а) Предположим, что плотность числа барионов в теперешней Вселенной больше, чем считается на сегодняшний день. б) Предположим, что константа слабого взаимодействия фактически меньше, чем принятая на сегодняшний день. в) Предположим, что в настоящее время в космическом фоне больше нейтрино, чем антинейтрино или фотонов. г) Предположим, что в настоящее время в космическом фоне больше антинейтрино, чем нейтрино или фотонов. д) Предположим, что гравитационная постоянная G меняется в космологических масштабах времени и в прошлом была несколько больше, чем сейчас.
 66906. Предположим, что Вселенная является изотропной, однородной и пустой; тем не менее, при этом существует тензор энергии-импульса, обусловленный «поляризацией вакуума» и имеющий вид 8пTцv. (На прежнем языке это значило бы: существует не равная нулю космологическая постоянная Л.) Найдите космологическое решение с k = 0, а также найдите систему координат, в которой это решение было бы статическим. Такая модель называется Вселенной де Ситтера.
 66907. Вселенная является изотропной, однородной и содержит только не создающую давления пыль; кроме того, ее тензор энергии-импульса, обусловленный поляризацией вакуума, имеет вид Tцv = p0uцuv - Л/8п gцv, где uц — поле 4-скоростей вещества. Покажите, что для такой метрики существует статическое решение, но оно неустойчиво. Эта космологическая модель называется Вселенной Эйнштейна.
 66908. Чему равен собственный объем Вселенной Эйнштейна из задачи 19.31, выраженный через плотность пыли р0?
 66909. Одно время казалось, что наблюдательные данные указывают на необычное скопление значений красного смещения квазаров вблизи z = 2. Одна из попыток объяснить этот факт состояла в предположении, что наша Вселенная представляет собой заполненную пылью космологическую модель с k = +1 и не равной нулю космологической постоянной Л, причем значение последней лишь чуть-чуть превосходит соответствующее значение для статической модели Эйнштейна (см. задачу 19.31). Покажите, что в этой модели Вселенная будет расширяться с уменьшающейся скоростью до некоторого радиуса Rm, вблизи которого она будет оставаться в течение длительного времени, продолжая при этом расширяться чрезвычайно медленно, после чего вновь начнет расширяться со скоростью, которая асимптотически стремится к значению H = (Л/3)^1/2. Предположим, что квазары образуются в эпоху, когда радиус почти постоянен. Какое современное значение плотности Pвещ предсказывает эта модель? (Считайте, что H0 = 10^-28 см^-1.)
 66910. Каково по порядку величины то влияние, которое оказывает наличие космологической постоянной на небесную механику Солнечной системы, если Л ~ 10^-57 см^-2?
 66911. Докажите, что для физически реализуемой идеальной жидкости не существует решения уравнений Эйнштейна, которое было бы однородным, всюду изотропным и статическим. (До открытия Хаббла Эйнштейн считал этот факт доказательством несостоятельности своей теории и, пытаясь исправить положение, ввел в уравнения член с «космологической постоянной».)
 66912. Докажите, что не существует статических решений уравнений Эйнштейна для жидкости без давления. Не используйте предположения об однородности или изотропии. (Трудность этой задачи зависит от определения «статичности». Более легкий случай: пусть термин «статический» понимается в смысле первого определения «статичности» из задачи 10.8, т. е. как «не зависящий от времени и инвариантный относительно обращения времени». Более трудный случай: используйте второе определение из задачи 10.8.)
 66913. Докажите, что для идеальной жидкости не существует статических и однородных решений уравнений Эйнштейна. Не используйте предположения об изотропии. (Здесь, как и в задаче 19.36, существует более легкий и более трудный случай в зависимости от использованного определения «статичности».)
 66914. В космологии обычно используют координаты, сопутствующие галактикам. Пусть (т, хi) есть такая система координат, и пусть метрика записана в общем виде ds2 = -dт2 + 2g0i dтdxi + gijdxidxj, где g0i и gij могут быть функциями от т и хi. Покажите, что: а) т есть собственное время для некоторой галактики; б) собственные расстояния на гиперповерхности с постоянным т завиит от gij; в) если g0i и gij не зависят от всех хi, то Вселенная является однородной, но обратное утверждение несправедливо; г) если g0i и gij не зависят от т, то sab = 0, v = 0, но, вообще говоря, wаb # 0; д) если g0i = 0 и gij = f(т)gij(xk), то sij = 0; е) g0i,0 = 0 в том и только в том случае, если галактики движутся по геодезическим; ж) если wab # 0, то никаким выбором т и хi нельзя всюду обратить в нуль g0i, а это означает, что из условия wаb,0 # 0 следует, что галактики не движутся по геодезическим.
 66915. Расстояние между двумя соседними галактиками есть dха = Rnа, где n — единичный, чисто пространственный вектор в покоящейся системе отсчета, связанной с одной из галактик. Покажите, что R/R = sab nanb + 1/3 v, где s — тензор сдвига, а v — скалярное растяжение, и покажите, что усреднение по всем направлениям nа дает (R/R) = 1/3 v.
 66916. Найдите v, wаb и sаb для конгруэнции галактических мировых линий в космологической модели Робертсона — Уокера. (Определения см. в задаче 5.18.) Проделайте то же самое для анизотропной метрики ds2 = -dt2 + e2adx2 + e2bdy2 + e2cdz2, где a, b и с — функции только от t, а х, у и z — координаты, сопутствующие галактикам.
 66917. Рассмотрим однородную, анизотропную космологическую модель с метрикой ds2 = -dt2 + gij(t) dxidxj, где пространственные сечения t = const обладают плоской геометрией. Найдите эволюцию gij, когда эта модель является «гравитационно-доминированной», т.е. положите в уравнениях поля Тцv равным нулю. Покажите, что в этой модели объем Вселенной уменьшается до нуля линейно по t при t -- > 0(в радиационно-доминированной фридмановской модели эта зависимость имеет вид t^3/2, а в модели с преобладанием вещества переходит в t2).
 66918. Эксперимент по измерению гравитационного искривления светового луча состоит в следующем: откачанная трубка длиной I помещена горизонтально в однородное гравитационное поле, например в поле Земли на уровне моря, причем l << rЗемли, так что неоднородности поля (приливные силы) пренебрежимо малы. Проходящий через трубку лазерный луч под воздействием однородного гравитационного поля отклоняется от горизонтали. Вычислите угол отклонения луча по отношению к оси трубки; ответ выразите через длину трубки l и ускорение силы тяжести g. Обсудите возможность проведения такого эксперимента в земной лаборатории.
 66919. Вычислите гравитационное отклонение светового луча, проходящего вблизи Солнца, используя ньютоновскую теорию тяготения и тот факт, что в локальной системе свободно падающего наблюдателя траектории светового луча представляют собой прямые линии. Так как свет все время находится в слабом гравитационном поле, использование ньютоновского приближения кажется вполне оправданным. Почему же полученный результат не согласуется с общерелятивистским результатом?
 66920. Получите общее выражение для углового отклонения в гравитационном поле Солнца света, приходящего от звезды, которая с точки зрения земного наблюдателя находится на угловом расстоянии от Солнца, равном а. Расстояние от Земли до Солнца равно R. Не используйте предположения о малости угла а, но покажите, что в пределе малых а ответ сводится к привычному результату dа = 4М/b (см. задачу 15.6).
 66921. Покажите, что учет момента количества движения J Солнца видоизменяет формулу для отклонения света (задача 20.3). Вместо dф = 4М/b мы будем иметь dф = 4M/b(1 - J*n/Mb), где n — единичный вектор в направлении момента количества движения фотонов относительно центра Солнца.
 66922. При интерпретации результатов измерений отклонения электромагнитных волн Солнцем необходимо учитывать, что кроме общерелятивистского отклонения существует еще отклонение, зависящее от частоты волн и обусловленное влиянием солнечной короны. Оцените прицельный параметр, для которого общерелятивистский и корональный эффекты дают примерно одинаковый вклад в отклонение электромагнитной волны частоты v. Можно считать, что распределение плотности числа электронов в солнечной короне описывается приближенной формулой lg(ne/1 см^-3) = 8,4 - 6,5 lg(r/R) для значений r < 4R. Чему численно равно найденное значение прицельного параметра, выраженное в радиусах Солнца, для v = 1000 Мгц?
 66923. Угол отклонения света, проходящего вблизи Солнца, дается формулой d = 1,75''/b, где b — прицельный параметр, выраженный в радиусах Солнца. Разработайте конструкцию тонкой линзы (т. е. выведите формулу для ее толщины как функции радиуса), которая моделировала бы подобные фокусирующие свойства. Если в центре линзы поместить «черную маску» диаметром 8 мм, изображающую солнечный диск, то вы сможете моделировать эксперименты по отклонению света Солнцем, держа линзу на расстоянии вытянутой руки. Считайте, что показатель преломления вещества линзы такой же, как у обычного кронгласа, т.е. n = 1,52.
 66924. Вычислите предсказываемое общей теорией относительности смещение перигелия Меркурия, выразив его через большую полуось а и эксцентриситет е орбиты Меркурия и через массу Солнца М.
 66925. Ньютоновскую теорию тяготения можно модифицировать и сделать ковариантной, если уравнение для силы, действующей на точечную частицу, записать в виде dpц = -hцv,v pbdxb + paФ,adxц, где Ф — скалярный потенциал, связанный с тензором энергии-импульса соотношением Ф;ц;ц = 4пTцц. Выясните, согласуется ли эта теория с экспериментом и наблюдениями: а) Согласуется ли эта теория с экспериментами Этвеша и Дикке, продемонстрировавшими эквивалентность инертной и пассивной гравитационной массы? б) Согласуется ли эта теория с результатами эксперимента Паунда — Ребки по измерению гравитационного красного смещения фотонов у поверхности Земли? в) Предсказывает ли эта теория искривление идущего от звезды светового луча вблизи Солнца?
 66926. Некий физик намеревается использовать для проверки специальной и общей теории относительности современные атомные часы, характеризующиеся колоссальной точностью. Он размещает различные часы в разных точках поверхности Земли (которая, как предполагается, вращается жестко) и измеряет скорости их хода по отношению к каким-то стандартным часам. Регистрируемые отклонения от номинальной скорости хода обусловлены как доплеровским сдвигом в результате вращения Земли, так и красным смещением под воздействием гравитационного поля Земли. Вычислите наблюдаемое значение скорости хода часов, помещенных в точку с полярными координатами (r, v), по отношению к произвольно выбранным эталонным часам. Учтите вращательную деформацию поверхности Земли, предполагая, что Земля представляет собой жестко вращающееся тело, состоящее из идеальной жидкости.
 66927. Покажите, что 1) d(-g)^1/2 = 1/2(-g)^1/2 gцvd gцv, 2) dgцv = -gpц gsц dgps.
 66928. Пусть L = L(ФА, gцv) есть плотность лагранжиана для некоторого поля или распределения вещества. Поле описывается переменными ФА, где А соответствует произвольным тензорным индексам. Действие записывается в виде S = int L(-g)^1/2 d4x. Введем функциональную производную dL/dФA, беря вариацию от ФA -- > ФА + dФА и полагая соответствующее приращение S равным dS = int dL/dФA dФA(-g)^1/2 d4x. Покажите, что если L зависит от ФА и ее первых частных производных ФА,а, то уравнение dL/dФA = 0 есть обычное уравнение Эйлера — Лагранжа.
 66929. Если L есть плотность лагранжиана из задачи 21.2, то тензор энергии-импульса можно определить с помощью варьирования gцv в выражении для действия S: dS = ####. Покажите, что уравнение Tцv;v = 0 следует из уравнений движения поля и того факта, что действие S есть скаляр.
 66930. Рассмотрим действие вида S = (16п)^-1 int (-g)^1/2 Rd4x + int Lвещ (-g)^1/2 d4x, где R — скаляр Риччи, а Lвещ содержит метрические коэффициенты gцv, но не содержит символов Г (другими словами, символы Г присутствуют только в R). а) Рассматривая gцv и Г как независимые переменные поля (такой подход называется методом Палатини), покажите, что уравнение dS = 0 приводит к уравнениям поля Эйнштейна и обычной формуле, выражающей символы Г через gцv. (Мы предполагаем, что Гaby = Гavb). б) Пусть теперь символы Г суть обычные символы Кристоффеля, использующиеся для определения ковариантных производных. Покажите, что уравнение dS = 0 (где теперь уже dГabv не является независимым от dgab) приводит к уравнениям поля Эйнштейна.
 66931. Плотность лагранжиана для скалярного поля есть L = -(8п)^-1 (Ф;a Ф;a + m2Ф2). Найдите соответствующие уравнения движения и вид тензора энергии-импульса. Проверьте непосредственными вычислениями, что дивергенция этого тензора энергии-импульса равна нулю.
 66932. Плотность лагранжиана электромагнитного поля есть L = -(16п)^-1 FцvFцv, где Fцv = Av;ц - Aц;v. Покажите, что уравнения Максвелла Fab;b = 0 получаются путем приравнивания нулю вариации int L(-g)^1/2 d4x относительно Ац. Найдите тензор энергии-импульса, исходя из формулы Tцv = -2 dL/dgцv + gцvL. Покажите, что эквивалентной плотностью лагранжиана является L = -1/16п FцvFцv - 1/4п FцvAц;v, где тензор Fцv антисимметричен, a Fцv и Aц должны варьироваться независимо.
 66933. Лагранжиан в теории гравитации Бранса — Дикке имеет вид L = (ФR - wФ,aФaФ^-1 + 16пLвещ), где Ф — скалярное поле, R — скаляр кривизны, w — константа связи. Варьируя gab и Ф, получите уравнения поля из уравнения d int L(-g)^1/2 d4x = 0.
 66934. Поверхностным слоем называется времениподобная 3-поверхность, отделяющая друг от друга две области пространства-времени. В общей теории относительности внутренняя геометрия такой 3-поверхности является вполне определенной, но внешняя кривизна может претерпевать разрыв. Другими словами, вычисляя тензор внешней кривизны К в 4-геометрии с одной и с другой стороны слоя, мы можем прийти к различным результатам. Поверхностная энергия-импульс Sab такого слоя определяется с помощью соотношения Sab = lim int Tab dn, где n — собственное расстояние, перпендикулярное к 3-поверхности. Выразите «скачок» тензора К через Sab, воспользовавшись уравнениями для начальных значений.
 66935. Для поверхностного слоя, описываемого гауссовыми нормальными координатами n и хi (i = 1, 2, 3) (см. решение задачи 21.8), выведите уравнение движения поверхностного слоя Sij |i + [Tnj] = 0, где квадратные скобки означают «скачок» на поверхности, а вертикальная черточка — ковариантное дифференцирование по отношению к внутренней геометрии 3-поверхности.
 66936. Измерения поверхностной плотности тонкой пылевой оболочки в пустом пространстве, проводимые сопутствующим пыли наблюдателем, дают для поверхностной массовой плотности значение s. Если 4-скорость пыли есть u, покажите, что [Kij] = 8пs(uiuj + 1/2(3) gij),ds/sт = -suij, а+ - а- = 4пsn, а+ + а- = 0, где а+ и а- — 4-ускорения, измеряемые соответственно снаружи и изнутри оболочки.
 66937. Вакуумная метрика вне коллапсирующей сферической пылевой оболочки представляет собой геометрию Шварцшильда ds2 = -(1 - 2M/r)dt2 + (1 - 2M/r)^-1 dr2 + r2dW2, а внутри оболочки — плоскую геометрию ds2 = -dT2 + dr2 + r2dW2. Очевидно, что радиальные координаты в обеих этих метриках обладают тем свойством, что 4пr2 есть собственная площадь сферических поверхностей r = const и t или Т = const. Покажите, что для коллапсирующей сферической пылевой оболочки «масса покоя оболочки» ц = 4пR2(т)s есть величина постоянная. Здесь s — поверхностная массовая плотность оболочки, a 4пR2(т) — площадь поверхности оболочки как функция ее собственного времени. Выведите уравнение движения оболочки M = ц[1 + (dR/dт)2]^1/2 - ц2/2R, а затем, проинтегрировав его, найдите (в неявном виде) функцию R(т) для случая dR/dт = 0 при R = оo.
 66938. Найдите мгновенную пространственную метрику, соответствующую произвольному распределению N точечных масс в некоторый момент наступления симметрии (см. [1], т. 1, § 21.10).
 66939. Предположим, что мы отождествляем 4-векторы Ua с 2-индексными спинорами UAA' с помощью отображения ####. Что является аналогом метрики Минковского на языке спиноров? Другими словами, требуется найти Laa'bb', такое, для которого U*V = habUaVb = Laa'bb'Uaa'Vbb'. Что является в спинорном формализме аналогом преобразований Лоренца?
 66940. Покажите, что a) eA[BeCD] = 0, б) EAB = E(AB) + 1/2 EABECC, где EAB — произвольный 2-спинор.
 66941. Пусть Tab = ТAА'ВВ'. Покажите, что если тензор Таb антисимметричен, то дуальный ему тензор в спинорном представлении имеет вид*Таb = 1/2 i(ТAВВ'A' - ТBАА'В').
 66942. Пусть в спинорном представлении Таb = ТАА'ВВ'. Какой тензор соответствует ТBA'AB'?
 66943. Доказать, что бесконечная точечная решетка может обладать вращательной симметрией только второго, третьего, четвертого и шестого порядков. б) Вывести закон зон (закон Вейсса), который гласит: если [uvw] — ось зоны, a (hkl) — грань этой зоны, то hu + kv + lw = 0. в) Показать, что в кубической системе направление [