Earth curvature of space2 curvature of space1
Банк задач

Вход на сайт
Регистрация
Забыли пароль?
Статистика решений
Тип решенияКол-во
подробное решение60032
краткое решение7560
указания как решать1341
ответ (символьный)4704
ответ (численный)2335
нет ответа/решения3772
ВСЕГО79744

База задач ФизМатБанк

 66801. Рассмотрим сферически-симметричную аккрецию на шварцшильдовскую черную дыру массы М идеально адиабатического газа с уравнением состояния р = Кny, где постоянная у удовлетворяет соотношению 4/3 < y < 5/3. На бесконечном удалении от черной дыры в радиальном направлении скорость звука в газе равна аoo. При каком значении радиуса направленный внутрь поток станет сверхзвуковым? (Дайте ответ с точностью лишь до главного члена разложения по аoo/с.)
 66802. Скалярное поле Ф удовлетворяет уравнению пФ = 0. Покажите, что в шварцшильдовской геометрии Ф можно разложить по сферическим гармоникам: Ф = r1ф(r, t) Ylm(v, ф), где Ylm — сферическая гармоника, а ф удовлетворяет уравнению ####, здесь ####.
 66803. Покажите, что метрика Шварцшильда является также решением уравнений поля теории тяготения Бранса — Дикке (уравнения поля теории Бранса — Дикке приведены в книге [2] стр. 174).
 66804. Найдите систему базисных векторов (и соответствующий дуальный базис 1-форм) (см. введение к гл. 8) для ортонормированного репера в сферической геометрии. Считайте, что «ножки» (базисные векторы) репера ориентированы вдоль направлений t, r, v и ф в системе изотропных координат, где метрика имеет вид ds2 = -е2Ф dt2 + е2ц (dr2 + r2 dW2).
 66805. Предположим, что наблюдатель, покоящийся в некоторой точке внутри сферической релятивистской звезды, измеряет при помощи обычных лабораторных методов действующую на малый элемент объема V выталкивающую силу Fвытал., возникающую за счет радиального градиента давления. Как будет выражаться измеренное им значение Fвытал. через р, р, m, V и dp/dr? Если наблюдатель приравняет найденную выталкивающую силу равной и противоположно направленной силе тяготения, Fграв, то каково будет выражение для Fграв. как функции р, р, m, V и r? В чем эти результаты отличаются от соответствующих ньютоновских результатов?
 66806. Докажите знаменитую теорему Биркгофа: сферически-симметричное гравитационное поле в пустоте всегда является статическим и всегда представляет собой некоторое решение типа Шварцшильда.
 66807. Покажите, что пробные частицы, находящиеся внутри самогравитирующей полой сферы, не испытывают воздействия гравитационных сил.
 66808. Покажите, что в теории тяготения Бранса — Дикке (соответствующие уравнения поля приведены в книгах [1], т. 3, стр. 315 или [2], стр. 175) единственным статическим сферически-симметричным решением в пустоте, несингулярным в начале координат, является метрика плоского пространства h и постоянное скалярное поле Ф.
 66809. Каким числом алгебраически независимых компонент обладает тензор Тцv, описывающий некоторую сферически-симметричную конфигурацию?
 66810. Найдите все четыре компоненты уравнения Таb;b = 0 для тензора энергии-импульса, описывающего статическую сферически-симметричную звезду, состоящую из идеальной жидкости.
 66811. Политропные звезды [звезды, состоящие из вещества с уравнением состояния р = Кру, где у = 1 + 1/n (n называется индексом политропы)] в ньютоновской теории неустойчивы, если у < 4/3. Рассмотрите влияние малых релятивистских поправок на этот критерий устойчивости. Покажите, что влияние сводится к расширению области неустойчивости на значения y < 4/3 + e, где е может зависеть от массы, радиуса и внутреннего строения звезды.
 66812. Найдите выражения для пределов Чандрасекара и Оппенгеймера — Волкова (верхние предельные значения массы соответственно для белых карликов и нейтронных звезд) в виде размерных комбинаций фундаментальных констант и масс нуклона и электрона. Аналогичным образом выразите предельные радиусы, соответствующие этим предельным массам.
 66813. Масса m(r), находящаяся в сферической звезде внутри сферы радиуса r, появляется в члене grr в выражении для линейного элемента ds2 = -е2Ф dt2 + (1 - 2m(r)/r)^-1 dr2 + r2 dW2. Выразите m(r) не зависящим от координат образом — через площадь поверхности и радиальное расстояние между соседними сферическими поверхностями.
 66814. Как выглядит шварцшильдовская метрика в «излучательных координатах» Эдпиштона — Финкельштейна, получающихся из координат кривизны путем преобразования: dt = du + (1 - 2M/r)^-1 dr. б) Пусть теперь М — функция координаты с нулевым индексом u, определенной в п. «а». Покажите, что пространство-время не является пустым, и найдите соответствующий ему тензор Тab. Дайте физическую интерпретацию этой метрики, называемой иногда метрикой Вайдья.
 66815. Решите систему релятивистских уравнений внутреннего строения звезды для случая статической сферически-симметричной звезды с однородным распределением плотности. Покажите, что масса и радиус звезды удовлетворяют соотношению R/2M > 9/8. Какое минимальное значение R/2M может быть достигнуто при одновременном выполнении условия энергодоминантности (см. задачу 13.7)?
 66816. Статическая сферически-симметричная звезда состоит из ферми-газа, находящегося при нулевой температуре, причем значения энергии Ферми намного больше массы покоя частиц. Покажите, что уравнения внутреннего строения звезды имеют решение m(r) = 3r/14. Найдите р(r), р(r) и n(r). Покажите также, что, хотя n становится бесконечным при r = 0, число частиц, находящихся внутри сферы любого радиуса, конечно. Постройте диаграмму погружения для 3-поверхности t = const. Сингулярность какого типа имеет место при r = 0?
 66817. Рассчитайте поверхностные напряжения в статической самогравитирующей оболочке массы М и радиуса R. Какова собственная поверхностная плотность массы? Сравните выражения для поверхностных напряжений с ньютоновским пределом, когда R >> М.
 66818. Каков наименьший возможный собственный радиус самонесущей сферической оболочки массы М, если вещество, из которого она состоит, удовлетворяет условию энергодоминантности (заметим, что этому условию удовлетворяют все известные до настоящего времени виды вещества)?
 66819. Чему равно красное смещение, испытываемое на бесконечности излучением, распространяющимся в радиальном направлении от тонкой сферической оболочки, находящейся в статическом равновесии, выраженное через поверхностную плотность Л00 и поверхностные напряжения ЛQQ этой оболочки? Каково будет наибольшее возможное красное смещение, если считать, что выполняется условие энергодоминантности?
 66820. Покажите, что для жестко вращающейся самогравитирующей звезды, состоящей из идеальной жидкости, vP = (p + p)v ln ut, где ut — компонента 4-скорости сплошной среды в канонической координатной системе, выбранной таким образом, что существующие в данной метрике векторы Киллинга суть E(t) = d/dt и E(ф) = d/dф.
 66821. Покажите, что в жестко вращающейся самогравитирующей звезде, состоящей из идеальной жидкости, поверхности постоянных значений р и р совпадают.
 66822. Покажите, что поверхность жестко вращающейся звезды с точки зрения наблюдателя, находящегося на бесконечности, задается уравнением gtt + 2gtфW + gффW2 = const, где W — угловая скорость вращения.
 66823. Найдите доплеровское уширение спектральной линии излучения от жестко вращающейся звезды, наблюдаемое астрономом, расположенным на бесконечности в направлении оси вращения звезды. (Доплеровское уширение определяется вариацией значений доплеровского смещения z = Vизд/Vнаблюд - 1 вдоль поверхности звезды.)
 66824. Выведите общерелятивистский критерий конвективной устойчивости статической равновесной конфигурации идеальной жидкости.
 66825. Докажите, что для жестко вращающейся конфигурации условия изэнтропичности и постоянства энергии инжекции [(р + р)/(nu0)] эквивалентны.
 66826. Рассмотрим стационарную аксиально-симметричную звезду. Соответствующая метрика обладает двумя векторами Киллинга E(t) и E(ф). Покажите, что M = - int(2Tцv - dцvT)Ev(t) d3Eц есть масса звезды с точки зрения бесконечно удаленного наблюдателя. Здесь d3Eц — элемент объема звезды в некоторый момент времени t (временная координата t выбирается таким образом, что E(t) = d/dt). Покажите также, что момент количества движения звезды, измеряемый бесконечно удаленным наблюдателем, можно выразить в виде J = int TцvEv(ф)d3Eц.
 66827. Покажите, что интегральное выражение для массы М из предыдущей задачи в случае статической сферической звезды, состоящей из идеальной жидкости, имеет вид M = int (p + 3p)e^Ф + L 4пr2dr, где Ф и L — метрические функции в координатах кривизны (g00 = e2Ф, grr = e2L). Покажите также, что это выражение эквивалентно выражению, получающемуся из уравнений внутреннего строения звезды: M = int p4пr2dr.
 66828. В случае сферической коллапсирующей звезды мы не можем добиться одновременного выполнения трех довольно привлекательных условий: 1) радиальная координата сопутствует некоторому сферическому слою вещества звезды; 2) временная координата является собственным временем для этого вещества; 3) метрический тензор диагонален. Докажите, что метрика может одновременно обладать всеми этими тремя свойствами в том и только в том случае, когда давление равно нулю.
 66829. Если R — сопутствующая координата, то метрику для сферически-симметричной коллапсирующей звезды (см. задачу 16.25) можно записать в виде ds2 = -e2Фdt2 + е2ЛdR2 + r2 (t, R)dW2, где Ф и Л — функции R и t. Если звезда состоит из идеальней жидкости, то часто оказывается полезным ввести следующие функции: m = int 4пr2pr'dR, U = e^-Фr, Г2 = е^-2Л(r')2. Штрихи здесь означают частное дифференцирование по R, а точки — по t. Функция m имеет смысл массы, находящейся внутри оболочки радиуса R, а U — скорость движения оболочки, измеряемая по собственному времени сопутствующего наблюдателя. Докажите следующие соотношения: а) m = -4прr2r. [Указание. Воспользуйтесь первым началом термодинамики (задача 5.19), законом сохранения числа барионов, уравнениями движения и соотношением GtR = 0 для соответствующей компоненты тензора Эйнштейна (задача 9.20).] б) Г2 = 1 + U2 - 2m/r. [Указание. Воспользуйтесь соотношениями Сtt = -8пр и GtR = 0 (из задачи 9.20).]
 66830. Для случая коллапсирующей звезды, состоящей из идеальной жидкости, покажите, что как только сферическая массивная оболочка, соответствующая значению сопутствующей радиальной координаты R, сколлапсирует до такой степени, что начнет выполняться неравенство 2m (R, t)/r (R, t) > 1, то эта оболочка сколлапсирует до r = 0 за конечное собственное время.
 66831. Для случая сферически-симметричного коллапса в отсутствие давления покажите, что характер падения на центр некоторой сферической оболочки точно так же зависит от величины массы вещества внутри этой оболочки, как характер радиального падения частицы в шварцшильдовской геометрии зависит от массы центрального источника: d2r/dт2 = -M/r2.
 66832. Для случая сферически-симметричного коллапса в отсутствие давления (см. задачу 16.26) покажите, что т и Г не зависят от времени. Решите получающееся динамическое уравнение (dr/dт)2 - 2m(R)/r = Г2(R) - 1 для трех физически различных случаев: Г2 - 1 больше, меньше или равно нулю.
 66833. Рассмотрим гравитационный коллапс сферически-симметричной, состоящей из идеальной жидкости звезды с нулевым давлением и равномерно распределенной плотностью (т. е. распределенной равномерно всюду в звезде с точки зрения наблюдателей, сопутствующих движению вещества). 1) Покажите, что внутренняя метрика в звезде представляет собой локально фридмановское решение с k = +1, если звезда начинает коллапсировать из состояния покоя при некотором конечном значении радиуса, с k = 0, если звезда коллапсирует из состояния покоя на бесконечности, и с k = -1, если вещество звезды обладает на бесконечности конечной скоростью. 2) Из теоремы Биркгофа (см. задачу 16.3) следует, что внешняя метрика представляет собой метрику Шварцшильда. Покажите, что каждая точка поверхности звезды движется вдоль радиальной геодезической шварцшильдовской метрики. 3) Покажите, что на поверхности звезды метрики Фридмана и Шварцшильда гладко сшиваются друг с другом.
 66834. Покажите, что постоянная М в метрике Керра есть масса системы, а постоянная а — момент количества движения на единицу массы.
 66835. Предлагается использовать небольшие (<< М) черные дыры для превращения в металлолом пришедших в полную негодность автомобилей. Остовы автомобилей должны спрессовываться до аккуратных круглых шариков в процессе частичного коллапса на черную дыру. Оцените, какова должна быть масса находящейся на околоземной орбите черной дыры, пригодной для такого применения. Сколько остовов в час можно переработать подобным способом?
 66836. Покажите, что после того, как ракетный корабль пересечет гравитационный радиус (горизонт) шварцшильдовской черной дыры, он достигнет точки r = 0 за собственное время т < пМ независимо от величины тяги, которую развивают его двигатели.
 66837. Покажите, что закон Кеплера W2 = M/r3 остается в точности справедливым для круговых орбит вокруг шварцшильдовской черной дыры, если r — радиус в координатах кривизны, a W — угловая частота обращения, измеряемая бесконечно удаленным наблюдателем. Выведите анологичный закон для экваториальных орбит вокруг керровской черной дыры, обладающей удельным моментом количества движения а.
 66838. Задана 17.5. Наблюдатель, находящийся на круговой орбите радиусом r вокруг заряженной сферической черной дыры (черная дыра Рейсснера — Нордстрема) с массой М и зарядом Q, измеряет локальные характеристики электрического и магнитного полей. Каковы их напряженности и ориентации?
 66839. Сопоставляя значения массы, заряда и момента количества движения «классического» электрона, покажите, что он не может быть черной дырой Керра — Ньюмена.
 66840. Для круговых орбит в экваториальной плоскости керровской черной цыры докажите, что ограниченно устойчивой орбите (случай так называемой краевой устойчивости) соответствует минимум энергии Е и минимум момента количества движения L.
 66841. Некоторый (не обязательно свободно падающий) наблюдатель обращается вокруг керровской черной дыры по орбите, лежащей в экваториальной плоскости v = п/2. а) Пусть орбита является круговой r = const. Будем называть W = dф/dt «угловой скоростью нашего наблюдателя по отношению к некоторому удаленному покоящемуся наблюдателю». Выразите u0, uф, u0 и uф через W, r, М и а. б) Предположим, что эта круговая орбита лежит внутри эргосферы (радиус орбиты расположен вне горизонта при r+, но внутри предела статичности при r0). Покажите, что наш наблюдатель не может оставаться в состоянии покоя по отношению к удаленному наблюдателю, или, другими словами, покажите, что угловая скорость W для нашего наблюдателя обязана быть ненулевой. в) Если наблюдатель находится в области r- < r < r+, покажите, что он не может оставаться на орбите с постоянным радиусом.
 66842. Покажите, что внутри эргосферы керровской черной дыры (а значит, вне горизонта!) существуют траектории частиц отрицательной энергии. Покажите, что космический корабль может увеличить свою полную энергию, если во время прохождения по орбите внутри эргосферы с его борта в черную дыру будет выпущен снаряд.
 66843. Покажите, что когда пробная частица достигает горизонта керровской черной дыры (r = r+), ее «угловая скорость по отношению к бесконечно удаленному наблюдателю» равна W = dф/dt = a/2Mr+.
 66844. Докажите, что в геометрии Керра существуют «квазикруговые полярные» орбиты, т. е. орбиты с постоянным значением радиальной координаты, попеременно проходящие над северным и южным полюсами. Каков наименьший возможный полярный радиус такой орбиты?
 66845. Горизонтом Киллинга называется изотропная гиперповерхность (гиперповерхность, нормаль к которой является изотропным вектором), генерируемая вектором Киллинга. Энергоповерхность («предел статичности») определяется как поверхность бесконечного красного смещения по отношению к неподвижным наблюдателям. Покажите, что для статической черной дыры эргоповерхность совпадает с горизонтом Киллинга.
 66846. Покажите, что площадь поверхности горизонта черной дыры Керра — Ньюмана (т. е. площадь поверхности r = r+, t = const в координатах Буайе — Линдквиста) равна 4п {[M + (M2 - Q2 - a2)^1/2]2 + a2}.
 66847. Исходя из теоремы Хокинга («при соударении двух черных дыр суммарная площадь их поверхности никогда не может уменьшаться»), найдите, чему равна наименьшая масса М2 шварцшильдовской черной дыры, возникающей в результате столкновения двух керровских черных дыр с равными массами M1, но с параметрами момента количества движения, имеющими разные знаки: а1 = -а2. Если предположить, что |а| ~ М, то какую долю первоначальной массы можно превратить в уходящее излучение? Существуют ли другие процессы соударения незаряженных черных дыр, дающие столь же большой выход энергии?
 66848. Используя теорему о том, что площадь поверхности черной дыры не может уменьшаться (см. задачу 17.14), докажите, что керровская черная дыра усиливает (а вовсе не поглощает) некоторые моды падающего на нее поля излучения.
 66849. Запишите скалярное волновое уравнение пФ = 0 в геометрии Керра в координатах Буайе — Линдквиста. б) Покажите, что методом разделения переменных это уравнение может быть сведено к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. в) Найдите асимптотический вид Ф при r -- > оо. г) Найдите асимптотический вид Ф при r -- > r+. д) Какое граничное условие для Ф соответствует входящим волнам с точки зрения расположенного на горизонте физического наблюдателя? е) Покажите, что для волны вида Ф = ехр(-iwt + imф) f(r, v) энергия выходит из дыры наружу, если 0 < w/m < a/(2Mr+). Сравните с результатами задачи 17.15.
 66850. В черную дыру Рейсснера — Нордстрема с Q2 < M2 падают по радиальному направлению заряженные частицы. Покажите, что в дыру никогда нельзя будет ввести заряд, достаточный для того, чтобы начало выполняться соотношение Q2 > M2, соответствующее «голой» сингулярности, а не решению типа черной дыры.
 66851. В геометрии Керра «наблюдателям с нулевым моментом количества движения» соответствует базис 1-форм вида wt = |gtt - w2gфф|^1/2 dt, wф = (gфф)^1/2 (dф - wdt), wr = (E/d)^1/2 dr, wv = E^1/2 dv, где w = -gtф/gфф. а) Покажите, что этот базис 1-форм является ортонормированным. б) Найдите дуальные базисные векторы. в) 4-скорость наблюдателя с нулевым моментом количества движения есть u = еt; покажите, что u обладает нулевым вращением (см. задачу 5.18). г) Наблюдатель с нулевым моментом количества движения не является инерциальным наблюдателем; покажите, что его ускорение равно a = 1/2 v ln |gtt - w2gфф|.
 66852. Вычислите гауссовскую кривизну горизонта керровской черной дыры и покажите, что она становится отрицательной при a > 3^1/2 M/2. (Это означает, что при a > 3^1/2 M/2 поверхность горизонта не может быть глобально погружена в евклидово 2-пространство.) С помощью теоремы Гаусса — Бонне проверьте, что топологически поверхность горизонта есть 2-сфера.
 66853. Покажите, что реликтовая (возраста ~ 10^10 лет) вращающаяся черная дыра массой < 10^15 г уже должна была потерять большую часть своего момента количества движения за счет спонтанного квантового излучения фотонов или гравитонов. Какая доля момента количества движения вращающейся черной дыры с массой 1M (~ 10^33 г) была бы потеряна за тот же период?
 66854. Рассмотрим вакуумную метрику вида ds2 = ####; она является частным решением статической сферически-симметричной задачи в теории тяготения Лайтмана — Ли. Описывает ли приведенная выше метрика черную дыру, и если да, то как свойства такой дыры отличаются от свойств аналогичной дыры в общей теории относительности?
 66855. Автомобилист из Массачусетса рассерженно грозит кулаком другому автомобилисту. Какая доля расходуемой им энергии уходит на гравитационное излучение?
 66856. Динамическая система с гравитационной связью (например, двойная звезда) обладает массой М и размерами R (рассматривается только порядок величин). Оцените время, необходимое для того, чтобы система испытала ощутимое влияние сил реакции излучения, и сравните полученный характерный масштаб времени с динамическим масштабом времени системы.
 66857. Для электрического диполя и, соответственно, для исходящего от него излучения имеются три независимые ориентации, соответствующие трем направлениям, вдоль которых может быть направлен диполь. Сколько независимых ориентации существуют для бесследового тензора квадрупольного момента?
 66858. Вычислите мощность гравитационного излучения от тонкого металлического стержня массы М и длины I, вращающегося с частотой w вокруг симметрично расположенной относительно его концов перпендикулярной к нему оси. Оцените мощность электромагнитного излучения, которое будет возникать за счет незначительного избытка электронов на концах стержня (электроны отталкиваются к концам центробежной силой). Если принять разумные значения для плотности (10 г/см3) и частоты вращения (1 кГц) стержня, то какое излучение — электромагнитное или гравитационное — будет играть более существенную роль в замедлении вращения стержня?
 66859. Силы реакции излучения, действующие на медленно движущийся (почти-ньютоновский) источник, можно получить, добавляя к ньютоновскому потенциалу потенциал «реакции излучения» вида Фреакц = 1/5 Ijk(5)xjxk. Здесь Ijk — приведенный квадрупольный момент источника Ijk = int p(xjxk - 1/3 djkr2) d3x в некоторый данный момент времени. Индекс (5) означает пятую производную по времени. Из этого потенциала выведите выражения для усредненных по времени скоростей потери источником энергии и момента количества движения, записанные через производные от ljk.
 66860. Две звезды с массами М1 и М2, разделенные расстоянием R, обращаются вокруг общего центра масс по нерелятивистской круговой орбите. В результате торможения гравитационным излучением R меняется со временем. Найдите функцию R(t).
 66861. Две точечные массы m1 и m2 движутся по ньютоновской эллиптической орбите с большой полуосью а и эксцентриситетом е. Рассчитайте da/dt и de/dt, обусловленные торможением гравитационным излучением. Покажите, что эллиптическая орбита постепенно приближается к круговой.
 66862. Плоская гравитационная волна распространяется в почти плоском пустом пространстве-времени вдоль направления х1 (другими словами, возмущения метрики hab суть функции только от u = t - x). Найдите в явном виде координатное преобразование, обращающее в нуль все hаb, за исключением h23 = h32 и h22 = -h33. Покажите, что те же самые результирующие компоненты можно было бы получить непосредственно, если перейти с помощью проектирования к поперечно-бесследовой калибровке.
 66863. Покажите, что генерируемое аксиально-симметричной системой гравитационное излучение не переносит суммарного момента количества движения. (Не используйте предположения о том, что источники обладают слабыми внутренними гравитационными полями.)
 66864. Определите параметры Стокса для плоской гравитационной волны и покажите, как из трех параметров Стокса можно вычислить степень линейной и круговой поляризации волны, а также ориентацию максимума линейной поляризации.
 66865. Первоначально статический источник приводится в резкое движение, в результате возникает гравитационное излучение. Затем, спустя конечный промежуток времени, источник вновь становится статическим. Удаленный наблюдатель регистрирует гравитационные волны, следя за движением двух свободных частиц, находящихся первоначально в состоянии покоя относительно друг друга. Покажите, что после прохождения гравитационных волн наблюдатель вновь обнаружит частицы в их первоначальных положениях покоящимися относительно друг друга в первом порядке по амплитуде волны.
 66866. Упругий стержень может использоваться для детектирования гравитационных волн не только на низшей нормальной моде его колебаний (частоты w0), но также и на гармониках wn = nw0. Какова чувствительность n-й моды по отношению к нулевой, т. е. как зависит от n отношение максимума квадрата амплитуды смещения к потоку энергии волны? (Предположите, что стержень обладает той же самой постоянной времени механического затухания для всех мод.)
 66867. Слабая плоская гравитационная волна, распространяющаяся в направлении оси х, падает по нормали на цементную плиту. Цемент поглощает из волны энергию Е. Покажите (например, исходя из уравнений движения Тцv;v = 0), что плита должна также поглощать x-составляющую импульса, равную Е, и найдите соотношение между скоростями поглощения энергии и x-составляющей импульса.
 66868. В предыдущей задаче было показано, что материальные среды должны поглощать составляющую импульса вдоль направления распространения волны. На первый взгляд это кажется несовместимым с представлением о гравитационных волнах как поперечных волнах! Чтобы исследовать данную проблему, построим идеализированную модель поведения молекул цемента из предыдущей задачи. Предположим, что они приходят в гармоническое движение при отклонении от положения равновесия и что существует некоторая сила затухания, обусловленная внутренним трением в цементе. Предположим также, что гравитационная волна является монохроматической и линейно поляризованной. Используя уравнение расхождения геодезических, найдите среднее по времени значение силы (и, следовательно, скорость поглощения импульса), действующей в направлении распространения волны. Покажите, что найденная скорость поглощения импульса равна той же скорости, с которой молекулы поглощают энергию.
 66869. Слабая плоская гравитационная волна с частотой w и безразмерной амплитудой h проходит через газ частиц, взаимодействующих по типу «твердых шариков»; газ имеет температуру Т. Средняя длина свободного пробега атомов газа равна l; газ является достаточно разреженным, так что l >> с/w. Покажите, что за конечный промежуток времени частицы газа будут нагреты до релятивистских температур. Оцените требующееся для этого время. Оцените также расстояние, на котором волна затухает по амплитуде в е раз.
 66870. Оцените число гравитонов, излучаемых при асимметричном взрыве с энергией Е.
 66871. Сколько примерно тепловых гравитонов излучает 100-ваттная электрическая лампочка за время своего номинального срока службы, равного 1000 часам? Каковы приблизительно частота волны и число гравитонов, излучаемых лампочкой, когда она падает и разбивается о цементный пол?
 66872. Дайте подробный расчет времени жизни атома водорода в Зd-состоянии по отношению к распаду в ls-состояние за счет механизма гравитационного излучения.
 66873. Из соображений симметрии очевидно, что поток тепловых гравитонов от сферически-симметричной звезды является изотропным; покажите, что этот факт не противоречит теореме Биркгофа. Какова приблизительно мультипольность 2l этого потока (для диполя l = 1 и т. д.) для типичной звезды, например, такой, как наше Солнце?
 66874. Рассмотрим следующие «типы гравитационных волн», соответствующие гравитационной волне, распространяющейся в направлении оси z: ф2 = -1/6 Rz0z0, ф3 = 1/2(-Rx0z0 + iRy0z0), ф3 = 1/2(-Rx0z0 - iRy0z0), ф4 = Ry0y0 - Rx0x0 + 2iRx0y0, ф4 = Ry0y0 - Rx0x0 - 2iRx0y0, ф22 = -(Rx0x0 + Ry0y0). Какие из этих волн являются поперечными? Спин волны указывает (среди всего прочего) на соотношение между ориентациями различных состояний поляризации. Для скалярной волны (спин 0) параметры волны симметричны относительно направления распространения. Для векторной волны (например, электромагнитной) со спином 1 независимые состояния поляризации повернуты друг относительно друга на 90°; поворот на 180° возвращает нас к исходному состоянию поляризации, меняя только знак. Вообще говоря, для волны со спином s поворот на угол п/s возвращает нас к исходному состоянию поляризации. Какие из перечисленных выше волн обладают спином 0? Спином 1? Спином 2? Какие из них допустимы в общей теории относительности?
 66875. Нарисуйте картину силового поля для каждого типа волн из предыдущей задачи.
 66876. Рассмотрим метрику ds2 = dx2 + dy2 - dudv + 2H(x, у, u)du2. Какой вид должна иметь функция Н, чтобы эта метрика соответствовала сильной плоской гравитационной волне, распространяющейся в пустоте?
 66877. Покажите, что уравнения ньютоновской гидродинамики и теории тяготения не допускают существования однородной, изотропной, статической космологической модели (т. е. неизменной во времени Вселенной, однородно заполненной идеальной жидкостью).
 66878. Пространство-время не содержит вещества и является всюду изотропным. Докажите, что оно представляет собой плоское пространство Минковского.
 66879. Некоторый объект испускает чернотельное излучение с температурой Т в собственной покоящейся системе отсчета; мы наблюдаем это излучение при красном смещении z и в телесном угле W. Чему равен измеряемый нами поток излучения? Что изменится, если красное смещение не является космологическим, а обусловлено доплеровским движением локального объекта?
 66880. Однородные изотропные пространственные гиперповерхности должны в силу сферической симметрии обладать линейным элементом вида ds2 = a2 [f2(r) dr2 + r2dW2], а = const. Покажите, что функция f2(r) должна иметь вид (1 - kr2)^-1, где k = 0, ±1.
 66881. Покажите, что метрику Робертсона — Уокера ds2 = -dt2 + R2(t) [dr2/1 - kr2 + r2(dv2 + sin2 v dф2)] можно также переписать в виде ds2 = ####, или ds2 = ####, где E2(X) = ####.
 66882. Покажите, что пространственноподобные 3-поверхности в закрытой изотропной Вселенной обладают трансляционной симметрией, не оставляющей ни одной неподвижной точки. (Обратите внимание, что для двух измерений это неверно: как бы мы ни «причесывали» 2-сферу, все равно останутся два «хохолка»!)
 66883. В расширяющуюся Вселенную Робертсона — Уокера выстреливается пуля, обладающая скоростью V1 относительно космологических наблюдателей. Позже, когда Вселенная расширилась в (1 + z)^-1 раз (эта величина называется масштабным фактором), пуля обладает уже другой скоростью V2 относительно космологических наблюдателей. Выразите V2 через V1 и z. Покажите, что в пределе V1 -- > c получается формула для красного смещения фотонов.
 66884. При помощи некоторого явного координатного преобразования покажите, что метрика Робертсона — Уокера является конформно-плоской. Выразите Rцvab через gцv, р, р и 4-скорость вещества uц.
 66885. Покажите, что в метрике Робертеона — Уокера расстояние до объекта dA, определяемое по его видимому угловому размеру, расстояние dL, определяемое по светимости (или фотометрическое расстояние), и расстояние dM, определяемое по собственному движению объекта, связаны соотношениями (1 + z)2 dA = (1 + z)dM = dL.
 66886. Предположим, что астрономам удалось выделить класс объектов с известными значениями абсолютной светимости L. Предположим далее, что мы измеряем их видимый блеск I (или фотометрическое расстояние до этих объектов dL) и красное смещение z. Используя выражение для линейного элемента Робертсона — Уокера, выразите I (или dL) как функцию L, z, H0 и q0 для малых значений z.
 66887. Пусть n(t0) — взятая в современную эпоху плотность числа идентичных, принадлежащих к одному (гипотетическому) классу световых или радиоисточников, однородно распределенных во Вселенной. а) Покажите, что число таких источников с красными смещениями, меньшими z, определяемое по наблюдениям с Земли в современную эпоху, есть N(z) = 4п/3 n(t0)/H0|3 z3(1 - 3/2 z(1 + q0) +...). В данном случае мы пренебрегаем эволюционными эффектами, т.е. считаем, что число источников в единице сопутствующего объема остается постоянным. б) Если все источники обладают одной и той же истинной светимостью L, покажите, что число источников, для которых поток излучения [в эрг/(с*см2)] превосходит значение S, определяемое по наблюдениям с Земли в современную эпоху, равно N(S) = 4п/3 n(t0)(L/4пS)^3/2 [1 - 3H0(L/4пS)^1/2 +...].
 66888. Световой луч распространяется вдоль радиальной линии в метрике Робертсона — Уокера ds2 = -dt2 + R2(t)[dr2/1 - kr2 + r2dW2]. Как координата r связана с аффинным параметром L вдоль траектории луча или, другими словами, чему равно dr/dL?
 66889. Исходя из требования, чтобы метрика Робертсона — Уокера удовлетворяла уравнениям поля Эйнштейна, выведите динамические уравнения для космологической модели Фридмана, заполненной идеальной жидкостью: 3R + 4пG(р + Зр)R = 0, (1) RR + 2R2 + 2k - 4пG(p - p)R2 = 0. (2)
 66890. Покажите, что два дифференциальных уравнения второго порядка из задачи 19.13 эквивалентны уравнениям первого порядка: R2 + k = 8пG/3 pR2, (1) d/dR(рR3) = -ЗрR2. (2)
 66891. Для фридмановской космологической модели выведите соотношения 8пGp/3 = k/R2 + H2, (1) -8пGp = k/R2 + H2(1 - 2q). (2) Если в модели преобладает вещество (р >> р), покажите, что k/R2 = (2q - 1)H2, (3) 8пGp/3 = 2qH2. (4) Если преобладает излучение (р ~ 1/3р), покажите, что k/R2 = (q - 1)H2, (5) 8пGp/3 = qH2. (6)
 66892. Какие уравнения, связывающие р, р и R(t), являются во фридмановской модели следствиями уравнения сохранения энергии, Tvц;v = 0?
 66893. Для фридмановской модели с k = -1 и р = р = 0 покажите, что линейный элемент имеет вид ds2 = -dt2 + t2 [dX2 + sh2X(dv2 + sin2 v dф2)]. Укажите явный вид координатного преобразования, показывающего, что эта метрика описывает пространство Минковского.
 66894. Решите фридмановское уравнение первого порядка (R/R)2 = 8пG/3 p - k/R2 относительно R(t), когда преобладающий вклад в плотность р дает а) вещество и б) излучение. Выразите при этом все параметры современной эпохи через Н0 и q0.
 66895. В расширяющуюся фридмановскую Вселенную выстреливается пуля. Покажите, что в случае k = -1 пуля достигает скорости, равной скорости некоторого космологического наблюдателя, но продолжает при этом находиться на постоянном собственном расстоянии от него. Для случая k = 0 покажите, что пуля опять-таки достигает скорости, равной скорости некоторого космологического наблюдателя, но собственное расстояние между пулей и этим наблюдателем при t -- > оо становится сколь угодно большим.
 66896. Рассмотрим замкнутую (k = 1) фридмановскую Вселенную, в которой излучение является преобладающим лишь на протяжении пренебрежимо малой доли всего времени жизни Вселенной. Сколько раз фотон может «обежать по кругу» эту Вселенную за время от момента ее «рождения» до «смерти»?
 66897. Пусть идеализированная фридмановская Вселенная (k = 0), в которой преобладает вещество и которая имеет постоянную Хаббла H0, содержит однородно распределенные источники с постоянной светимостью L. Если локальная пространственная плотность числа таких источников в современную эпоху равна n, то какова будет яркость В ночного неба (энергия, приходящая из единичного телесного угла на единицу поверхности приемника в единицу времени)? Если Вселенная является статической и возраст ее бесконечен, то яркость ночного неба должна была бы также быть бесконечной; этот факт носит название парадокса Ольберса.
 66898. Предположим, что в эпоху рекомбинации водорода (которая, как мы будем считать, имела место при красном смещении z = 1500) параметр замедления q = 0,5002. Чему тогда должен быть равен параметр замедления q0 в современную эпоху? Повторите вычисления для q = 0,4998 при z = 1500. (Рассмотрите Вселенную, в которой преобладает вещество.)
 66899. Замкнутая (k = 1) фридмановская Вселенная обладает постоянной Хаббла Н0 и параметром замедления q0. Будем считать, что в этой Вселенной всегда преобладало вещество. а) Чему равен полный собственный объем Вселенной в современную эпоху? б) Чему равен полный собственный объем пространства, которое мы «охватываем взором», глядя на небосвод? в) Чему равен полный собственный объем пространства, занимаемый в настоящее время веществом, которое мы видим, глядя на небосвод?
 66900. Чему равен видимый угловой размер объекта с собственным диаметром I, наблюдаемого с красным смещением z во фридмановской космологической модели с преобладанием вещества, для которой значения постоянной Хаббла и параметра замедления в настоящее время равны Н0 и q0? (Аналогичные результаты для видимых собственных движений и видимого блеска следуют из задачи 19.9.)