Earth curvature of space2 curvature of space1
Банк задач

Вход на сайт
Регистрация
Забыли пароль?
Статистика решений
Тип решенияКол-во
подробное решение60032
краткое решение7560
указания как решать1341
ответ (символьный)4704
ответ (численный)2335
нет ответа/решения3772
ВСЕГО79744

База задач ФизМатБанк

 66701. Метрика для аксиально симметричной вращающейся звезды допускает 2 вектора Киллинга E(t) и E(ф). Предположим, что других независимых векторов Киллинга не существует. Доказать, что E(t) и E(ф) коммутируют.
 66702. Доказать, что любой вектор Киллинга является решением уравнения Ev;L;L + RvsEs = 0. Найти вариационный принцип, аналогичный принципу Гамильтона, из которого можно вывести это уравнение.
 66703. Пусть E — вектор Киллинга. Доказать, что Eц;ab = RybavEy.
 66704. Метрика «стационарна» в том и только в том случае, если она обладает векторным полем Киллинга E, времениподобным на бесконечности («временнoе» направление задается оператором d/dt). «Статическую» метрику можно определить двумя способами: 1) как стационарную метрику, инвариантную относительно обращения времени d/dt -- > -d/dt, 2) как стационарную метрику с гиперповерхностно ортогональным (см. задачу 7.23) направлением d/dt. Доказать, что оба определения эквивалентны.
 66705. В плоском пространстве-времени Минковского найти 10 линейно независимых векторов Киллинга.
 66706. Доказать, что если E(хц) — векторное поле Киллинга и u — касательный вектор к некоторой геодезической, то скалярное произведение E*u постоянно вдоль этой геодезической.
 66707. Пусть E — вектор Киллинга, Т — тензор энергии-импульса. Доказать, что Jц = TцvEv — сохраняющаяся величина, т.е. что Jц;ц = 0. Какой смысл имеет J, когда E — времениподобный вектор Киллинга?
 66708. Пусть Т — тензор энергии-импульса, E — времениподобный вектор Киллинга. Доказать, что интеграл по пространственноподобной гиперповерхности int TabEb d3Ea не зависит от выбора пространственноподобной гиперповерхности F.
 66709. В плоском пространстве-времени задан тензор энергии-импульса с нулевой дивергенцией. Tцv;v = 0, Rabyd = 0. Доказать, что в этом случае можно построить 10 глобальных законов сохранения и, следовательно, 10 сохраняющихся величин.
 66710. Доказать, что если E — времениподобный вектор Киллинга и u = E/|E*E|^1/2 — 4-скорость, то a = vuu = 1/2v ln|E*E|.
 66711. В стационарной метрике с времениподобным вектором Киллинга E «энергия на бесконечности» Е = -р*E пробной частицы с 4-импульсом р сохраняется. Найти минимальное значение, которое может принимать в заданной точке пространства-времени величина Е/ц для пробной частицы (ц — масса частицы), и выразить его через норму вектора E.
 66712. Доказать, что вектор Киллинга является допустимым решением для векторного потенциала уравнений Максвелла, записанных для пробного поля в пустом пространстве-времени. Какое электромагнитное поле соответствует вектору Киллинга d/dф в пространстве Минковского?
 66713. В специальной теории относительности частица, находящаяся в точке В пространства-времени с 4-импульсом р, обладает относительно события А моментом количества движения J = dх x р - р x dх, где dх — 4-вектор, идущий из события А в событие В (фиг. ). 1) Доказать, что для свободно (т.е. без ускорения) движущейся частицы величина J сохраняется, т.е. dJ/dт = 0. 2) Предположим, что в точке В пространства-времени несколько частиц сталкиваются, порождая несколько других частиц. Доказать, что сумма моментов количества движения частиц относительно события A до столкновения равна сумме моментов количества движения частиц относительно события А после столкновения E J(k)|после = E J(k)|до.
 66714. Доказать, что: а) полный момент количества движения изолированной системы в плоском пространстве Jab = int d3x(хaТb0 - хbТa0) — сохраняющийся тензор (Tаb,b = 0), но б) не инвариантен относительно преобразования координат xa -- > xa + aa. Доказать также, что в) 4-вектор спина Sa = -1/2 eabydJbyud сохраняется и г) инвариантен относительно трансляций. Здесь uа — 4-скорость центра масс ua = Pa/(-PbPb)^1/2, Ра — полный импульс Pa = int d3xTa0.
 66715. Доказать, что 4-вектор Sa внутреннего спина системы ортогонален ее 4-скорости uа.
 66716. Доказать, что гироскоп, к которому не приложены никакие моменты, переносит вектор своего спина по Ферми — Уокеру.
 66717. Момент количества движения вычислен относительно центра масс системы. Доказать, что Jаb ub = 0. б) Доказать, что в этом случае момент количества движения (внутренний момент количества движения) можно найти по вектору спина из соотношения Jаb(ц.м.) = Sаb = -e^abydSyud.
 66718. Два тела А и В обладают импульсами РА и РB и спинами SA и SB. Их центры масс расположены так, что тела сталкиваются. После столкновения тела слипаются, образуя составное тело С со спином Sc. Вычислить Sc через РА, РB, SA и SB.
 66719. Томасова прецессия.) Рассмотрим («классический») вращающийся электрон, который, обращаясь по круговой орбите вокруг атомного ядра, переносит свой спиновый момент количества движения S по Ферми — Уокеру. Относительно лабораторной системы отсчета электрон движется по круговой орбите радиуса r в плоскости ху с постоянной угловой скоростью w. Вычислить спин как функцию времени S(t) в лабораторной системе отсчета.
 66720. На несферическое вращающееся тело в неоднородном гравитационном поле действует момент, вынуждающий 4-вектор внутреннего спина S изменяться со временем. Доказать, что если u — 4-скорость центра масс тела, свободно движущегося вдоль геодезической, то DSx/dт = ####, где tbh — «тензор приведенного квадрупольного момента» tij = int p(xixj - 1/3 r2dij)d3x в системе покоя центра масс, tab ua = 0, а тензор Римана порожден внешними (по отношению к рассматриваемому телу) источниками и предполагается постоянным во всем теле.
 66721. Вычислить период прецессии земной оси, вызванной взаимодействием создаваемых Луной и Солнцем приливных сил с квадрупольным моментом (слегка несферической) Земли.
 66722. Рассмотрим группу стационарных наблюдателей в стационарном пространстве-времени (т.е. наблюдателей, у которых 4-скорость пропорциональна времениподобному вектору Киллинга E = d/dt. Каждый наблюдатель ориентирует свои пространственные базисные векторы так, что они все время t направлены на одних и тех же соседних наблюдателей. 1) Доказать, что LEea = 0, где еа — базисный вектор стационарного наблюдателя. 2) Доказать, что скорость изменения компонент любой тензорной величины Q, измеренная стационарным наблюдателем в единицах t, равна dQ/dt^a...b = (LEQ)^a...b. Что такое dQ/dt^a...b? 3) Стационарный наблюдатель переносит с собой гироскоп, не прилагая к нему никаких моментов. Доказать, что вектор спина гироскопа прецессирует относительно стационарного наблюдателя (эффект Лензе — Тирринга) с угловой скоростью wa = ####, измеренной в единицах собственного времени. 4) Доказать, что если пространство-время статично, а не только стационарно, то w = 0.
 66723. Гироскоп выведен на круглую орбиту вокруг Земли. К нему не приложены никакие моменты. С какой угловой скоростью прецессирует вектор его спина в системе отсчета, неподвижной относительно далеких звезд («геодезическая прецессия» и «эффект Лензе — Тирринга»).
 66724. Небольшой спутник обращается с круговой частотой w по орбите радиусом r вокруг центрального тела с массой m. Покажите, что если известна только круговая частота обращения спутника w, то мы не можем найти по отдельности ни r, ни m, а можем определить лишь эффективную «кеплеровскую плотность» центрального тела Зm/4пr3, получающуюся путем усреднения его массы по сфере радиусом, равным радиусу орбиты. Выразите w2 через кеплеровскую плотность.
 66725. Оцените высоту сизигийных приливов (происходящих во время новолуния или полнолуния, когда Луна и Солнце находятся на одной линии с Землей) и квадратурных приливов (когда направления на Солнце и Луну составляют прямой угол).
 66726. Если амплитуду земных (упругих) приливов как функцию времени подвергнуть преобразованию Фурье, то в полученном спектре на определенных частотах будут максимумы. Каковы частоты (или периоды), соответствующие 10 наиболее значительным максимумам?
 66727. Положение Солнца на небе в принципе можно определить с помощью чувствительного приливного гравиметра. На какой угол отличается положение, определенное этим способом, от измеренного оптическими средствами? Далее, если бы истинное положение Солнца соответствовало его оптически наблюдаемому положению, то на Землю вдоль направления ее движения должна была бы действовать некая сила. Почему? Как бы в этом случае менялся со временем радиус земной орбиты?
 66728. Эддингтоновским пределом» светимости звезды заданной массы М называется светимость, при которой всюду внутри звезды направленное наружу световое давление в точности уравновешивается направленной внутрь силой тяготения. Вычислите это значение. (Можно считать, что все вещество звезды состоит из полностью ионизованного водорода.)
 66729. Показать, что электрон, помещенный в центр откачанного идеально проводящего замкнутого сосуда, находящегося в однородном гравитационном поле, не будет падать под действием сил тяжести. (Под «идеальным проводником» понимается идеально жесткая решетка положительных зарядов, содержащая идеально подвижные электроны проводимости.)
 66730. Тонкий цилиндрический теплоизолированный сосуд высотой h заполняется воздухом при температуре 300 К, после чего запаивается и помещается на весы на уровне моря. Весы показывают, что вес сосуда с воздухом равен W. Для какого интервала значений h вес W будет уменьшаться при постепенном нагревании содержимого сосуда?
 66731. Определим тензор напряжений, соответствующий ньютоновскому гравитационному потенциалу U, следующим образом: Tjk = 1/4п(u,jU,k - 1/2 djkU,nU,n). Покажите, что ньютоновские уравнения движения для испытывающего напряжения вещества с собственной плотностью р0, движущегося со скоростью v, можно записать в виде p0 dvj/dt = #### = 0, где tjk — обычный трехмерный тензор напряжений.
 66732. Рассмотрим протяженное тело массы М, на которое действует несколько сил Fi. Используя принцип эквивалентности гравитационной массы и энергии, покажите, что условие равновесия для этого имеет вид E Fi(1 - g*xi/c2) = -Mg, где g — ускорение силы тяжести, а xi — радиус-векторы, проведенные в точки приложения каждой из сил и измеряемые в локальной лоренцевской системе отсчета.
 66733. Используя результат задачи 12.9, покажите, что уравнение гидростатического равновесия звезды имеет вид dp/dr = -GM(r)/r2 (p + p/c2), где М(r) означает «активную» массу, находящуюся внутри оболочки вещества, расположенной на расстоянии r от центра звезды. Отсюда следует, что в сплошной среде плотность «эффективной инертной массы» есть p + p/c2. Обратите внимание, что этот результат не зависит от вида полевых уравнений общей теории относительности.
 66734. Покажите, что ньютоновское уравнение движения пробной частицы в поле ньютоновского гравитационного потенциала Ф можно записать в виде некоторого уравнения геодезической в 4-мерном пространстве-времени. Вычислите символы Кристоффеля и компоненты тензора Римана и покажите, что их нельзя вывести из какой-либо метрики.
 66735. Рассмотрев относительное ускорение различных траекторий семейства траекторий пробных частиц, движущихся в ньютоновском поле тяготения, и сравнив результат с ньютоновским пределом уравнения расхождения геодезических, вывести соотношение Rj0k0 = d2Ф/dxjdxk между ньютоновским потенциалом и тензором Римана. (Ньютоновская пробная частица испытывает воздействие только силы тяготения; пробная частица в релятивистской теории тяготения движется по геодезической.)
 66736. Запишите закон всемирного тяготения Ньютона в ковариантном 4-мерном виде, используя в качестве универсальной ньютоновской функции времени некоторое скалярное поле. Покажите, что получающаяся теория не противоречит специальной теории относительности. Покажите также, что в этой теории сигналы могут распространяться со скоростью, превосходящей скорость света. Является ли такая теория акаузальной, т.е. допускает ли она существование наблюдателей, способных посылать сигналы в свое собственное прошлое?
 66737. Рассмотрим две частицы с равными массами, одна из которых обладает зарядом q, а другая электрически нейтральна. Частицы помещены в свободно падающий лифт. В лифте существует электрическое поле E, направленное вертикально вверх. Требуется вывести уравнение, описывающее изменение со временем разности высот между частицами и учитывающее как приливные, так и электрические эффекты. Показать, что присутствие обоих этих членов не противоречит принципу эквивалентности.
 66738. Предположим, что мы открыли новый вид частиц с массой m0, обладающих новым типом заряда, проявляющегося в эксперименте через силовое поле, описываемое классическим законом «обратных квадратов». Пусть некий сосуд содержит идеальный одноатомный газ, состоящий из этих частиц и находящийся в состоянии термодинамического равновесия. Полный заряд внутри сосуда измеряется по средней силе взаимодействия с пробными частицами вне его, причем оказывается, что величина заряда меняется с температурой по закону Q ~ Q0(1 + 6kT/m0). Чему равен спин нового силового поля?
 66739. Покажите (нестрого), что поле тяготения является единственным классическим полем, обладающим бесконечным радиусом действия (т.е. квантами с нулевой массой покоя) и спином, равным 2, иначе говоря, что любое другое поле с теми же свойствами точно так же взаимодействовало бы с материальными средами и, следовательно, было бы неотличимо от поля тяготения.
 66740. Используя «геометризованные единицы длины» (т.е. систему единиц, в которой значения гравитационной постоянной G, скорости света с и постоянной Болышана k приняты равными единице), выразите в сантиметрах значения следующих величин: h, заряд электрона, отношение е/m для электрона, массу Солнца, светимость Солнца, 300 К, 1 год, 1 В.
 66741. Сконструируйте «естественные» единицы длины, массы и времени из универсальных физических постоянных h, G и с.
 66742. Оцените боровский радиус «гравитационного атома», например для находящейся в низшем энергетическом состоянии системы двух нейтронов, связанных только гравитационным притяжением.
 66743. Попытаемся несколько обобщить уравнения Эйнштейна, записав их в виде Rцv - agцvR = 8пTцv, где а — некоторая безразмерная постоянная. Покажите, что если а =/= 1/2, то такие уравнения поля не согласуются с экспериментом даже в ньютоновском пределе.
 66744. В предложенной Нордстремом в 1913 г. метрической теории gцv связывается с Tцv посредством уравнений Cцvps = 0, R = xgцvTцv, где Сцvрs — тензор Вейля. Покажите, что эта теория в ньютоновском пределе и при подходящем выборе х согласуется с ньютоновской теорией тяготения, но не предсказывает эффекта отклонения световых лучей при их прохождении вблизи Солнца. Согласуется ли эта теория с результатами эксперимента Паунда — Ребки, т.е. испытывают ли в ней фотоны красное смещение при движении против поля тяготения вблизи поверхности Земли?
 66745. В теории тяготения Бранса — Дикке ([1], т.3, стр. 315, а также [2], стр. 174 и далее, где приведены уравнения поля этой теории) измеряемая локально гравитационная «постоянная» Ньютона G меняется со временем и от точки к точке. Значение ее на бесконечности равно Goo. Покажите, что G является постоянной внутри самогравитирующей сферической оболочки массы М и радиуса R. Для случая R >> GooM/c2 выразите значение G внутри оболочки через М, R и Goо с точностью до членов низшего порядка по (GooM/Rc2).
 66746. Согласно представлениям релятивистской квантовой механики, пустое пространство содержит виртуальные частицы. Из этого можно было бы заключить, что вакуум должен обладать ненулевым тензором энергии-импульса. 1) Какой вид должен иметь тензор энергии-импульса вакуума, если не должно существовать выделенной системы отсчета, связанной с вакуумом? Покажите, что возникающий в этом случае член в уравнениях поля можно интерпретировать как эффективную космологическую постоянную. 2) Предположим, что энергия вакуума обусловлена массой покоя виртуальных протонов или электронов, распределенных равномерно таким образом, что среднее расстояние между ними равно соответствующей комптоновской длине волны. Исключается ли существование такой плотности энергии вакуума наблюдательными фактами? 3) Я. Б. Зельдович предложил рассматривать плотность массы-энергии вакуума как обусловленную только лишь гравитационным взаимодействием «близлежащих» виртуальных частиц (разделенных расстояниями порядка их комптоновской длины волны). Каково в этом случае значение плотности энергии вакуума? Опровергается ли оно наблюдательными фактами?
 66747. В некоторой локальной области пространства-времени наблюдатель находит, что скалярная кривизна Риччи практически постоянна, т.е. R ~ +1/a2. Почему должен быть выбран знак «+»? Если эта область пространства-времени заполнена только электромагнитным полем, то чему равно R?
 66748. Обычно предполагается, что физически допустимый тензор энергии-импульса Тцv должен удовлетворять (слабому) энергетическому условию: T00 > 0 для всех физических наблюдателей. Предположим, что у Tцv имеется времениподобный собственный вектор; каким образом в таком случае данный изолированный наблюдатель может проверить, удовлетворяет ли измеряемый им тензор Tцv этому условию?
 66749. Условие энергодоминантности», налагаемое на Tцv, требует, чтобы, во-первых, удовлетворялось слабое энергетическое условие (плотность энергии неотрицательна для всех наблюдателей) и, во-вторых, для всех наблюдателей плотность энергии была бы больше или равна модулю 3-вектора плотности потока энергии. Покажите, что утверждение u*(-Т)^n*u < 0 для всех непространственноподобных векторов u сводится к слабому энергетическому условию при n = 1 и условию энергодоминантности при n = 2. Как обстоит дело при n > 2? [Мы полагаем (Т2)vц = TцsTsv и т.д.]
 66750. Возможно ли подобрать такое распределение материи, являющееся решением уравнений поля Эйнштейна, которое соответствует пустому пространству в направлении к прошлому от некоторой гиперповерхности постоянного времени t = 0, но в направлении к будущему от этой гиперповерхности имеется некоторый ненулевой тензор Тцv?
 66751. Пусть имеется некоторая статическая метрика, создаваемая тензором энергии-импульса идеальной жидкости. Покажите, что вектор 4-скорости жидкости параллелен вектору Киллинга, сопряженному времени.
 66752. Сколько числовых значений необходимо задать в каждой точке гиперповерхности Коши (начальных данных), чтобы однозначно определить эволюцию метрики от этой гиперповерхности?
 66753. Для «почти ньютоновской» метрики ds2 = -(1 + 2Ф)dt2 + (1 - 2Ф)djk dxj dxk требуется вычислить в первом неисчезающем порядке по Ф компоненты псевдотензора энергии-импульса Ландау — Лифшица tаb л-л (см. [7], 6-е изд., стр. 358). При этом предполагается, что поле меняется во времени так медленно, что производными Ф по времени можно пренебречь по сравнению с пространственными производными.
 66754. Калибровочным преобразованием называется инфинитезимальное координатное преобразование, переводящее координаты хц' точки Р в новые координаты согласно формуле xц''(P) = xц'(P) + Eц(P). Такие преобразования приводят к изменению (в первом порядке по E) функционального вида тензоров. Найдите законы калибровочного преобразования для скаляров, а также для компонент векторов и тензоров 2-го ранга. Для линеаризованных возмущений метрики — gцv = hцv + hцv покажите, в частности, что h''цv(x) = h'цv(x) - 2E(ц,v).
 66755. Покажите, что в линеаризованной теории компоненты тензора Римана — Кристоффеля суть Raцbv = 1/2 (hav,цb + hцb,va - hцv,ab - hab,цv). Продемонстрируйте также в явном виде, что такой тензор Римана инвариантен по отношению к калибровочным преобразованиям.
 66756. В линеаризованной теории часто вместо обычного тензора возмущений метрики hab используется тензор «с обратным следом» hab = hаb - 1/2 hab hss. Покажите, что всегда существует калибровочное преобразование к «лоренцевской калибровке», в которой дивергенция hab равна нулю. Является ли это калибровочное преобразование единственным?
 66757. Покажите, что в лоренцевской калибровке (см. задачу 13.14) линеаризованные уравнения поля сводятся к уравнениям п hцv = hцv,a = -16пTцv, где hцv — тензор hцv «с обратным следом».
 66758. В линеаризованной теории плоскую гравитационную волну, распространяющуюся в пустом пространстве-времени, можно представить в виде действительной части комплексного выражения hцv = Re [Aцv e^ikaxa], где Ацv — некоторый постоянный тензор. Покажите, что вектор k должен быть изотропным и что А ортогонально k. Для отдельного наблюдателя с 4-скоростью и в невозмущенной системе покоя данного наблюдателя (u0 = 1, ui = 0) можно определить «поперечно-бесследовую» калибровку (более специальный вид лоренцевской калибровки) следующим образом: hц0 = 0, hцц = 0. Найдите калибровочное преобразование, позволяющее прийти к такой калибровке. Остается ли при этом тензор А ортогональным k?
 66759. Покажите, что в рамках линеаризованной теории между двумя параллельными узкими световыми лучами отсутствует сила гравитационного притяжения.
 66760. Жесткая сферическая оболочка радиуса R и пренебрежимо малой толщины медленно вращается с постоянной угловой скоростью W по отношению к удаленным инерциальным системам отсчета. Полная масса, равномерно распределенная по оболочке, равна М. Используйте линеаризованные уравнения гравитации для определения w (угловой скорости увлечения инерциальных систем внутри оболочки) с точностью до первого порядка по WR << 1. Покажите, что угловая скорость w = -g0ф/gфф = 4/3 MW/R + O(W2R2), т.е. постоянна всюду внутри оболочки. [Иногда утверждают, что факт постоянства w внутри полости означает, что уравнения Эйнштейна до определенной степени удовлетворяют принципу Маха.]
 66761. В рамках линеаризованной теории тяготения покажите, что уравнения движения вещества Tцv;v = 0 не согласуются с уравнениями поля для возмущений метрики. Покажите также, что это несовпадение будет второго порядка по возмущению метрики, так что в первом порядке им можно пренебречь.
 66762. Некая гипотетическая частица с отрицательной гравитационной массой — М высвобождается из состояния покоя на расстоянии l >> M от другой фиксированной частицы с положительной массой +М. Чему равны величина и направление ускорения каждой частицы с точки зрения покоящегося наблюдателя? Рассчитайте траектории движения частиц после того, как они были освобождены, делая при этом любые необходимые разумные допущения.
 66763. Выпишите тензор энергии-импульса для отдельной свободной частицы и покажите, что уравнение движения частицы по геодезической вытекает из уравнения Tцv;v = 0.
 66764. Покажите, что условие теплового равновесия статической системы в ньютоновском пределе Т = const заменяется в общей теории относительности условием Т(-g00)^1/2 = const, где Т — температура, измеряемая локально покоящимся наблюдателем.
 66765. Выведите из уравнения Тцv;v = 0 общерелятивистское уравнение Эйлера (p + p)v uu = -[vp + (vup)u] и покажите, что это уравнение обладает правильным ньютоновским пределом.
 66766. Выведите общерелятивистское уравнение гидростатического равновесия -dp/dxv = (p + p)d/dxv ln(-g00)^1/2 и сравните его с соответствующим уравнением ньютоновской теории.
 66767. Покажите, что ультрарелятивисткая жидкость (уравнение состояния p = 1/3p), находящаяся в гидростатическом равновесии в гравитационном поле, не может обладать свободной поверхностью (т.е. поверхностью, на которой р -- > 0).
 66768. Два идентичных сосуда, содержащие различные вещества, находятся в однородном статическом гравитационном поле. Плотности массы-энергии для обоих сосудов и их содержимого одинаковы и не зависят от времени, тогда как распределение напряжений (в общем случае анизотропных) различно. Если взвесить эти сосуды на одних и тех же весах, будут ли одинаковы показания весов?
 66769. Пусть u — 4-скорость идеального газа, участвующего в адиабатическом стационарном течении в стационарном гравитационном поле. Используя релятивистское уравнение Бернулли, докажите, что вдоль линий потока # = const*n/(р + р), где n — плотность числа барионов.
 66770. Покажите, что релятивистское уравнение Бернулли, использованное в предыдущей задаче, дает правильный ньютоновский предел для медленных движений и слабых гравитационных полей.
 66771. Рассмотрим движущуюся среду с 4-скоростью u(х). Выберем две произвольные соседние частицы А и В. Для каждого события вдоль мировой линии А определим с помощью следующих условий 4-вектор E, который мы назовем «4-векторным расстоянием от В до A»: 1) E — некоторый инфинитезимальный вектор, проведенный от данного события на мировой линии А до мировой линии В; 2) временная компонента E в ортонормированном базисе, «привязанном» к частице A, равна нулю, т.е. E0 = 0. а) Будем называть движение среды «жестким» в том и только в том случае, когда расстояние (E*E)^1/2 между двумя соседними частицами среды — к примеру, частицами А и В в нашем случае — постоянно для всех моментов времени. Покажите, что необходимым и достаточным условием участия среды в жестком движении является выполнение равенств sаb = 0 и v = 0, где sab и v — величины, введенные в условии задачи 5.18. б) Сколько независимых уравнений соответствует этим условиям? Сколько степеней свободы существует при релятивистском жестком движении?
 66772. Выведите уравнение Рейчаудхури dv/dт = аa;a + 2w2 - 2s2 - 1/3 v2 - Rabuaub, где v — вторая вязкость для жидкости, w2 = 1/2 wabw^ab, s2 = 1/2 sabs^ab, а обозначения те же, что и в задаче 5.18.
 66773. В некотором пространстве-времени сплошная среда движется вдоль геодезических с нулевыми значениями первой и второй вязкости (определения первой вязкости sаb и второй вязкости v см. в задаче 5.18). Покажите, что данное пространство-время обладает времениподобным вектором Киллинга.
 66774. Наблюдатель, помещенный в замкнутый ящик (не обязательно находящийся в свободном падении), измеряет пространственные координаты и промежутки времени внутри своего ящика с помощью масштабных линеек и часов. Покажите, что уравнение движения пробной частицы, справедливое с точностью до первого порядка по ее измеренной скорости v << 1 и координате xj, имеет вид ####, где w — угловая скорость ящика, а — его ускорение и Rj0k0 — тензор Римана в начале координат.
 66775. Пусть тензор энергии-импульса безмассового скалярного поля записан в виде Tцv = (4п)^-1 (Ф,ц Ф,ц - 1/2 gцvФ,a Ф,a). Из уравнения Tцv;v = 0 выведите уравнение движения для этого скалярного поля.
 66776. Пусть в плоском пространстве-времени уравнение cкалярного поля имеет вид Ф'v,v = ps, где ps — плотность «скалярного заряда». Отсюда можно заключить, что в искривленном пространстве-времени это уравнение должно быть заменено на Ф;v;v = ps.(1) Возможно, однако, обобщенное выражение иного вида: Ф;v;v - 1/6RФ = ps, (2) где R — скаляр Риччи. [Уравнение (2) «конформно-инвариантно», а уравнение (1) — нет]. Противоречит ли, вообще говоря, уравнение (2) сильному принципу эквивалентности? Выясните, каким образом наличие R-члена влияет на величину силы взаимодействия (~ vФ) между двумя частицами, несущими «скалярный заряд», если предположить, что кривизна R = 1/a2 очень медленно изменяется на расстояниях порядка лабораторных масштабов. Какова была бы величина этих аномальных сил, обусловленных R-членом, по сравнению с обычными скалярными силами, если бы измерения проводились в обычном лабораторном эксперименте?
 66777. Покажите, что из уравнений Максвелла Fцv;v = 4пJц вытекает Jц;ц = 0.
 66778. Обобщение уравнений Максвелла на искривленное пространство-время с помощью правила «запятая переходит в точку с запятой» (или принципа эквивалентности) не является вполне однозначным. Покажите, что применение этого правила к векторному потенциалу Aц может привести к двум различным видам релятивистского уравнения.
 66779. Оцените относительную погрешность, привносимую в уравнения Максвелла (применяемые к какому-то земному процессу с характерной частотой v и размерами I) за счет того, что нам неизвестно, какого вида члены связи с кривизной могут в них содержаться.
 66780. Покажите, что, за исключением случая E*В = 0, однородные уравнения Максвелла Fbv;v = 0 вытекают из требования v*T = 0, где Т — тензор энергии-импульса электромагнитного поля, и из того факта, что Fцv выводится из выражения для векторного потенциала.
 66781. Покажите, что гамильтониан, из которого получаются уравнения движения пробной частицы с зарядом e, имеет вид H = 1/2 gцv(пц - eAц) (пv - eAv), где пц — канонический импульс. (Канонический импульс пц не совпадает с 4-импульсом частицы рц, за исключением случаев, когда 4-потенциал Ац равен нулю.)
 66782. Предположим, что E — вектор Киллинга для некоторого решения уравнений Эйнштейна — Максвелла. Выпишите интеграл движения для заряженных пробных частиц. (Допустим, что LEА = 0, где А — 4-потенциал.)
 66783. Покажите, что уравнения Максвелла инвариантны по отношению к «конформному преобразованию»: gab -- > gab = fgab, Fab -- > Fab = Fab, Jц -- > Jц = f^-2Jц, где f — произвольная функция координат.
 66784. Докажите, что квадрат полного момента количества движения L2 = p2v + sin^-2 vp2ф есть интеграл движения вдоль любой геодезической в метрике Шварцшильда.
 66785. Докажите, что в геометрии Шварцшильда все орбиты являются плоскими. б) Докажите, что все такие орбиты являются устойчиво плоскими.
 66786. Частица падает по радиусу на центр метрики Шварцшильда. Чему равна ее направленная к центру координатная скорость (dr/dt), измеряемая по собственному времени на бесконечности, при некотором значении радиуса r (в координатах кривизны)? Чему равна локально измеряемая скорость по отношению к неподвижному наблюдателю в точке с тем же значением радиуса?
 66787. Выведите уравнения движения (уравнения, связывающие t, r и т) для частицы, падающей по радиусу в геометрии Шварцшильда. Рассмотрите три случая: 1) частица высвобождается из состояния покоя при r = R; 2) частица высвобождается из состояния покоя на бесконечности; 3) частица испускается из бесконечности на центр со скоростью voo.
 66788. Выведите описывающее траекторию (r как функцию ф) дифференциальное уравнение первого порядка для экваториальных орбит в геометрии Шварцшильда.
 66789. Покажите, что траектории световых лучей в метрике Шварцшильда подчиняются уравнению d2u/dф2 + u = 3u2, где u = М/r, а r — радиальная координата Шварцшильда. Обозначьте «прицельный параметр» — минимальное значение r вдоль траектории — через b. Каково отклонение фотона, пролетающего мимо сферического гравитирующего тела, в случае М/b << 1? Выведите формулу для угла отклонения в первом неисчезающем порядке по (М/b).
 66790. Для почти ньютоновской планетной орбиты (т.е. при М/r << 1) вычислите в низшем порядке по М/r предсказываемое общей теорией относительности смещение периастрия за время одного полного обращения по орбите. б) Предположим, что центральная звезда несколько сплюснута или вытянута, так что классический ньютоновский потенциал имеет вид Ф(r) = -М/r - AM/r3, где А зависит от величины сплюснутости или вытянутости. Рассчитайте смещение периастрия за время одного обращения по орбите в низшем порядке по А/r2. (Вычисления являются чисто ньютоновскими.) в) Предположим, что сплюснутость Солнца столь велика, что скорость смещения перигелия, обусловленная сплюснутостью, и соответствующая скорость смещения за счет эффектов общей теории относительности одинаковы по величине для орбиты Меркурия. Вычислите скорость смещения перигелия (в дуговых секундах за столетие) за счет каждого из этих эффектов для четырех ближайших к Солнцу планет. (Примечание. Для упрощения вычислений всюду в задаче предположите, что орбиты являются почти круговыми — другими словами, что их эксцентриситет пренебрежимо мал.)
 66791. Космический корабль, обращающийся вокруг звезды массой М по круговой орбите с длиной окружности 2пr, производит выстрел из лазерной пушки (частота покоя v0). Пушка ориентирована в плоскости орбиты и направлена под углом а (в системе отсчета корабля) к тангенциальному направлению движения наружу от орбиты. Какова частота лазера, измеряемая наблюдателем, покоящимся на бесконечности?
 66792. Пробная частица с релятивистской скоростью v пролетает мимо тела массы М, причем прицельный параметр b столь велик, что отклонение Vграв. мало. Вычислите Vграв. Пусть теперь в плоском пространстве пробная частица с зарядом е пролетает со скоростью v мимо ядра с зарядом Ze, причем прицельный параметр столь велик, что отклонение Vэлектромаг. мало. Вычислите Vэлектромаг. Чем формула для Vграв. отличается от формулы для Vэлектромаг.?
 66793. Радиокомментатор ведет репортаж о своем падении по радиусу в шварцшильдовскую черную дыру. Перед самым пересечением шварцшильдовского радиуса его частота вещания начинает испытывать сильнейшее красное смещение, описывающееся временной зависимостью вида ехр (-t/const), где t определяется по собственному времени на бесконечности. Зная значение постоянной в экспоненте, определите массу черной дыры.
 66794. Рассчитайте сечение захвата ультрарелятивистских (v -- > c) и медленно движущихся (v << с) частиц шварцшильдовской черной дырой массы М.
 66795. Предположим, что некто Джон обращается вокруг нейтронной звезды по круговой орбите со значением радиальной координаты r = 4М. Его приятель Питер, будучи выстрелен из пушки, находящейся на поверхности нейтронной звезды, в радиальном направлении со скоростью меньше первой космической, встречает по пути Джона, затем достигает максимального удаления и падает обратно, причем ему удается еще раз повидать Джона. Последний к моменту второй встречи успел облететь по своей орбите вокруг нейтронной звезды ровно 10 раз. У Питера и Джона есть одна общая страсть: когда бы они ни встретились, они непременно сверяют часы. В момент их первой встречи на орбите, когда Питер удаляется от звезды, они устанавливают свои часы таким образом, что их показания совпадают. Насколько разойдутся часы, когда Джон и Питер сверят их в следующий раз?
 66796. Найдите преобразование координат от шварцшильдовских, где ds2 = -е2ф dt2 + е2Л dr2 + r2 dW2, к «изотропным координатам», где ds2 = -e2ф dt2 + e2ц(dr2 + r2dW2). Примените результаты к конкретному случаю метрики Шварцшильда в пустоте и постройте график, изображающий зависимость между координатами (t, r) и (t, r). Справедлива ли для площади поверхности r = const, t = const формула A = 4пr2? Постройте «диаграмму погружения» (см. [1], т.2, стр.278 и далее) для пространственноподобной гиперповерхности t = 0 в случае 0 < r < оо.
 66797. Покажите, что буст в пространственном направлении еj, вообще говоря, оставляет инвариантными те физические компоненты тензора Римана Rtjtj, которые «параллельны» бусту. Этот факт аналогичен инвариантности Ej и Вj для буста в направлении еj. б) Покажите, что в шварцшильдовской геометрии все физические компоненты тензора Римана инвариантны по отношению к бусту в направлении r, но все эти физические компоненты не инвариантны по отношению к бусту в направлении v или ф.
 66798. Покажите, что пространственноподобное сечение v = const (|v| > 1) шварцшильдовской геометрии в координатах Крускала u, v нельзя погрузить в евклидово 3-пространство. Каково общее условие, которому должен удовлетворять наклон dv/du пространственноподобного сечения в шварцшильдовской геометрии, чтобы оно могло быть погружено в евклидово 3-пространство?
 66799. Докажите, что метрика ds2 = -dt2 + 4/9[9M/2(r - t)]^2/3 dr2 + [9M/2(r - t)2]^2/3 dW2, o которой можно думать, что она нестационарна, так как метрические коэффициенты зависят от t, на самом деле является статической. Покажите, что в действительности она представляет собой не что иное, как метрику Шварцшильда.
 66800. Для метрики предыдущей задачи (15.16) покажите, что множество наблюдателей, неподвижных в данной системе координат, соответствует наблюдателям, каждый из которых находится в состоянии свободного падения и обладает нулевой энергией (другими словами, все они падают из бесконечности с нулевой начальной скоростью).