Earth curvature of space2 curvature of space1
Банк задач

Вход на сайт
Регистрация
Забыли пароль?
Статистика решений
Тип решенияКол-во
подробное решение57480
краткое решение7556
указания как решать1341
ответ (символьный)4703
ответ (численный)2335
нет ответа/решения3776
ВСЕГО77191

База задач ФизМатБанк

 66601. Метрика для поверхности земного шара имеет вид ds2 = a2(dL2 - cos2Ldф2), где L — широта, а ф — долгота. Метрика плоской карты мира с прямоугольными координатами х и у имеет вид ds2 = dx2 + dy2. Нас интересует не геометрия карты, а геометрия изображенной на ней поверхности земного шара. Записать метрику земной поверхности в координатах х и у, нанесенных на карту мира: а) в цилиндрической проекции, б) в стереографической проекции.
 66602. Проекция Меркатора определяется следующим образом. На карте вводятся прямоугольные координаты (х, у), такие, что любая прямая на карте соответствует линии постоянного азимута (фиксированного положения стрелки компаса) на поверхности земного шара. а) Доказать, что в проекции Меркатора точке на поверхности земного шара со сферическими координатами (v, ф) на карте соответствует точка с координатами x = ф, y = ln ctg(v/2). б) Как записывается метрика земного шара в координатах (х, у)? в) Доказать, что, за исключением особых случаев, когда у = 0 или х = const, большим кругам соответствуют трансцендентные кривые sh y = a sin (x + b).
 66603. Внешне некоторое пространство выглядит как 3-мерное с координатами х, у, z и метрикой ds2 = dx2 + dy2 + dz2 - (3/13dx + 4/13dy + 12/13dz)2. Доказать, что в действительности оно двумерное, и найти две новые координаты e и h, в которых линейный элемент принимает вид ds2 = de2 + dh2.
 66604. Доказать, что свертка вектора V с «проекционным тензором» P = g + u x u проектирует вектор V на 3-пространство, ортогональное вектору 4-скорости u. Если n — единичный времениподобный вектор, то соответствующий ему проекционный оператор имеет вид P = g - n x n (доказать). Доказать также, что проекционный оператор, ортогональный изотропному вектору, определен неоднозначно.
 66605. Доказать, что при любой функции f конформное преобразование метрики gab -- > f(xц) gab сохраняет все углы. (Как определить углы?) Доказать также, что все изотропные кривые под действием конформного преобразования переходят в изотропные кривые.
 66606. Метрику в пространстве скоростей частицы можно ввести, определив расстояние между двумя близкими скоростями как их относительную скорость. Доказать, что эту метрику можно привести к виду ds2 = dX2 + sh2 X (dv2 + sin2 v dф2), где величина скорости v = th X.
 66607. На многообразии, обладающем топологией 2-сферы, в окрестности точки v = 1/2, X = 0 введена метрика ds2 = dv2 + (v - v3)2 dX2. На многообразии имеется ровно одна точка, которая не является локально плоской, — в этой точке многообразие имеет «коническую» особенность. Доказать, что существуют два различных максимальных аналитических продолжения метрики (т. е., что метрику можно продолжить двумя различными способами), удовлетворяющих условию, согласно которому у многообразия существует лишь одна коническая особенность. Это означает, что в локальных координатах метрика не всегда «ухватывает» глобальную структуру многообразия.
 66608. Найти наиболее общий вид (пространственно) сферически-симметричной метрики пространства-времени.
 66609. Доказать, что коэффициенты связности Га bу не удовлетворяют закону преобразования тензоров.
 66610. Предположим, что в 2-мерном плоском евклидовом пространстве, описываемом полярными координатами r, v, геодезическими служат обычные прямые. а) Пользуясь тем, что геодезические известны, и уравнением геодезических d2xц/ds2 + dxa/ds dxb/ds Гцab = 0, найти коэффициенты связности Гаbу. б) Предположим, что в декартовых координатах х, у, связанных с полярными координатами r, v, как обычно, ковариантная структура задана соотношениями Гхxx = Гxxy =... = 0. Пользуясь законом преобразования коэффициентов связности, вычислить их в полярных координатах r, v. в) Исходя из линейного элемента ds2 = dr2 + r2dv2, найти символы Кристоффеля обычным способом — как производные компонент метрического тензора gцv. (Разумеется, символы Кристоффеля, вычисленные всеми тремя способами, должны совпадать.)
 66611. Рассмотрим уже знакомое нам метрическое пространство ds2 = dr2 + r2dv2. а) Написать 2 уравнения, вытекающие из уравнения геодезических, и доказать, что r2 dv/ds R0 = const, (dr/ds)2 + r2(dv/ds)2 = 1 — первые интегралы этих уравнений. б) Пользуясь результатами, полученными в п. „а", вывести дифференциальное уравнение первого порядка для r(v) (иначе говоря, исключить параметр s и ввести вместо него параметр v). в) Пользуясь тем, что метрическое пространство ds2 = dr2 + r2dv2 является плоским 2-мерным евклидовым пространством, написать общее уравнение прямой в полярных координатах r, v. Проверить, что прямая удовлетворяет уравнению, выведенному в п. „б".
 66612. Найти все коэффициенты связности Гаbу и времениподобные геодезические для 2-мерной метрики ds2 = (dx2 - dt2)/t2.
 66613. Доказать, что метрический тензор ковариантно постоянен.
 66614. Доказать, что в координатном репере с диагональным метрическим тензором символы Кристоффеля определяются соотношениями Гц vL = 0, Гц LL = -1/2gцц dgLL/dxц, Гц цL = d/dxL(ln (|gцц|)^1/2), Гц цц = d/dxц(ln(|gцц|)^1/2). Здесь ц =/= v =/= L, и по повторяющимся индексам суммирование не производится.
 66615. Доказать следующие тождества: a) gab,y = Гaby + Гbay; б) gaцgцb,y = -gцbgaц,y; в) gab,у = -Гa цygцb - Гb цygцa; г) g,a = -ggbygby,a = ggbygby,a; д) Гaab = (In|g|^1/2),b (в координатном репере); е) gцvГaцv = -1/|g|^1/2(gav|g|^1/2),v (в координатном репере); ж) Aа;а = 1/|g|^1/2(|g|^1/2 Aa),a (в координатном репере); з) Аab;b = 1/|g|^1/2(|g|^1/2 Aab),b - ГLaцALц (в координатном репере); и) Aаb;b = 1/|g|^1/2(|g|^1/2 Aab),b (в координатном репере, если тензор Aab антисимметричен); к) S = S;a;a = 1/|g|^1/2 (|g|^1/2 gabS,b),a (в координатном репере).
 66616. Пусть A = det (Ацv), где Aцv — тензор второго ранга. Доказать, что А не скаляр, т.е. что значение А изменяется при преобразованиях координат. Поскольку А не скаляр, ковариантную производную нельзя определить как А;а = А,а. Каким образом следует определить А;а (через A,a и А)?
 66617. В некоторой заданной точке Р геодезическая времениподобна. Доказать, что она времениподобна в любой своей точке. Аналогичные утверждения справедливы для геодезических, пространственноподобных и изотропных в точке Р.
 66618. Вывести уравнение геодезических, пользуясь определением геодезической как кривой экстремальной длины.
 66619. Аффинным называется параметр L, при котором уравнение геодезических приводится к виду d2xa/dL2 + Гaby dxb/dL dxy/dL = 0. Доказать, что все аффинные параметры связаны линейными преобразованиями с постоянными коэффициентами.
 66620. Доказать, что в плоском пространстве-времени закон сохранения для 4-импульса свободно движущейся частицы можно записать в виде vpp = 0. Доказать также, что частицы с нулевой массой покоя движутся вдоль времениподобных геодезических.
 66621. Предположим, что координата х1 циклическая, т.е. компоненты метрического тензора gab не зависят от х1. Доказать, что если р — импульс свободно движущейся частицы, то компонента р1 постоянна вдоль мировой линии частицы.
 66622. Доказать следующий вариант принципа Ферма, справедливый в общей теории относительности. В любой статической метрике (g0j = gab,0 = 0) рассмотрим все изотропные кривые, проходящие через две точки пространства xj = aj и хj = bj. Чтобы добраться из аj в bj вдоль каждой такой изотропной кривой xj(t), необходимо затратить определенное координатное время dt. Доказать, что кривые с экстремальным временем dt являются изотропными геодезическими пространства-времени.
 66623. Доказать, что геодезические в пространстве скоростей с метрикой, введенной в задаче 6.8, служат траекториями, следуя по которым с переменной скоростью, космический корабль расходует наименьшее количество топлива. б) Космический корабль, летящий в межзвездном пространстве со скоростью V1 (относительно Земли), изменяет скорость полета (новая скорость равна V2) так, чтобы свести до минимума расход топлива. Какова наименьшая скорость космического корабля относительно Земли за время этого маневра?
 66624. В точке v = v0, ф = 0 на поверхности 2-сферы ds2 = dv2 + sin2 v dф2 вектор А равен ev. Во что перейдет вектор A после параллельного переноса вдоль окружности v = v0? Чему равна величина вектора А?
 66625. Рассмотрим наблюдателя, движущегося с 4-скоростью и и переносящего с собой 4 базисных вектора еа по закону vuea = Aabeb. Каков наиболее общий вид тензора Aаb, если: 1) Базисные векторы должны быть ортонормированными? 2) Должно еще выполняться равенство е0 = u (т.е. система отсчета должна совпадать с системой покоя наблюдателя)? 3) Кроме того, пространственные векторы не должны порождать повороты (т.е. наблюдатель должен видеть, что на свободно падающие частицы не действуют кориолисовы силы)?
 66626. Доказать, что скалярное произведение двух векторов не изменится, если их подвергнуть переносу Ферми — Уокера вдоль кривой E.
 66627. Доказать, что перенос Ферми — Уокера вдоль геодезической совпадает с параллельным переносом.
 66628. Записать следующие выражения в безындексных обозначениях: a) Ua;bUbUa, б) Va;bUb - Ua;bVb, в) Tab;yVaWbUy, г) Wa;bVb;yUy, д) Wa,ybUyUb + Wa;yUy;bUb - Ua;bWb;yUy.
 66629. Доказать, что траектории световых лучей в статическом изотропном пространстве-времени можно описать, введя надлежащим образом подобранный «показатель преломления» n(хj), изменяющийся от одной точки пространства к другой. Как показатель преломления n зависит от компонент метрического тензора gab? Предположить, что gab имеет вид ds2 = g00 dt2 - f (dx1|2 + dx2|2 + dx3|2).
 66630. Пьяный астронавт включает двигатели своего корабля короткими импульсами, «выстреливая» выхлопными газами беспорядочно в разные стороны. По измерениям, произведенным в мгновенно сопутствующей системе отсчета, каждое включение двигателей соответствует бусту на du << с. Найти распределение вероятности для скорости космического корабля после n включений двигателей, где n — очень большое число. Доказать, что пьяный астронавт разгонит свой корабль до релятивистских скоростей с гораздо меньшей эффективностью, чем его трезвый коллега (неукоснительно следящий за тем, чтобы корабль двигался в одну и ту же сторону): для достижения одной и той же скорости число включений двигателей у пьяного астронавта в среднем будет больше в Зс/dv раз.
 66631. Предположим, что векторное поле k ортогонально семейству гиперповерхностей («гиперповерхностно ортогонально»). Доказать, что тогда k[ц;vkL] = 0. б) Какой геометрический смысл имеет «гиперповерхностно ортогональное» векторное поле, если k[ц;v] = 0?
 66632. Доказать, что любая конгруэнция изотропных кривых (т.е. любая ортогональная им гиперповерхность) состоит из изотропных геодезических.
 66633. Доказать, что вариационный принцип d int (gabxaxb)ds = 0 порождает те же геодезические, которые заданы их определяющим свойством d int (gabxaxb)^1/2 ds = 0, если s — собственная длина (а не произвольно выбранный параметр) и x = dxa/ds. Доказать также, что если y = (gabxaxb)^1/2, то d int F(y)ds = 0 порождает одни и те же геодезические при любой монотонной функции F(y).
 66634. В пространстве-времени введены координаты хa с базисными векторами d/dхa и базисными 1-формами dxa. Вычислить < dx0, d/dх0 >, < dх2, d/dх3 > (d/dx0)*(d/dx1), dx0*dx1, dx0*dx0. б) Какому вектору соответствует 1-форма dx1?
 66635. Обычный базис в полярных координатах еr = еr, еv = r^-1еv не является координатным репером. Рассмотреть базис 1-форм wi, взаимный с этим базисом: < wi, ej > = dij. Найти функцию f, для которой wr = df, и доказать, что не существует функции g, для которой wv = dg. Решить задачу, не налагая на полярные координаты никакой метрики.
 66636. Какому необходимому и достаточному условию должно удовлетворять в 3-мерном евклидовом пространстве поле 1-форм s для того, чтобы существовала функция f, для которой s = df?
 66637. Доказать, что если W1 — р-форма, W2 — q-форма, то W1 л W2 = (-1)^pq W2 л W1.
 66638. Внешний дифференциал формы W можно определить аксиоматически, задав следующие его свойства: 1) Если W — р-форма, то dW — (р + 1)-форма. 2) d(W1 + W2) = dW1 + dW2. 3) Для любой 0-формы f (скаляра) df определяется из соотношения (df, v) = Vvf, которое должно выполняться при любом векторе v. 4) d(W1 л W2) = dW1 л dW2 + (-1)^p W1 л dW2, где W1 - р-форма. 5) ddW = 0 для любой дифференциальной формы W. Другое определение исходит из того, что р-форма представляет собой полностью антисимметричный ковариантный тензор р-го ранга и задает внешнюю производную как полностью антисимметризованную ковариантную производную. Доказать, что оба определения внешнего дифференциала формы эквивалентны.
 66639. Рассмотрим 2-форму в n-мерном пространстве: a = f(x1, x2,..., xn)dx1 л dx2. Предположим, что в некоторой области этого пространства, содержащей x1 = 0, da = 0. Построить 1-форму b = [x1 int f(Ex1, х2,..., xn)dE]dx2 и доказать, что a = db.
 66640. Компоненты тензора Максвелла Fab можно рассматривать как компоненты некоторой 2-формы F. Доказать, что уравнения Максвелла в вакууме можно представить в виде dF = 0, d*F = 0.
 66641. В пространстве-времени 3-поверхность называется пространственноподобной, времениподобной или изотропной, если вектор нормали к ней соответственно пространственноподобный, времениподобный или изотропный. Требуется найти три ортогональных (и, следовательно, линейно-независимых) вектора, принадлежащих некоторой 3-поверхности. Доказать, что для пространственноподобной 3-поверхности все векторы будут пространственноподобными, для времениподобной поверхности два вектора будут пространственноподобными, а один времениподобным и для изотропной поверхности один вектор будет изотропным, а два вектора пространственноподобными.
 66642. Доказать, что интеграл int Fцd3Eц, где Fц — некоторое векторное поле, S — ориентированная 3-мерная гиперповерхность в пространстве-времени, не зависит от параметризации xц = xц(a, b, с) гиперповерхности S. [Определение d3Eц приведено в задаче 3.30.]
 66643. Примечание. Эта задача предполагает знакомство с теорией дифференциальных форм Картана, не входящей в большинство курсов по теории относительности, Для решения последующих задач знать дифференциальные формы не требуется.) На языке дифференциальных форм обобщенную формулу Стокса можно представить в виде int dv = int v. К чему сводится эта формула в следующих частных случаях: а) W — 3-мерная ориентированная гиперповерхность, v = fkd2Sk; б) W — 4-мерная ориентированная гиперповерхность, v = fцd3Eц; в) W — 3-мерная ориентированная гиперповерхность, v = Fцvd2Eцv, где тензор Fцv антисимметричен. г) Вывести из обобщенной формулы Стокса известное соотношение A*dl = int (v x A)*dS.
 66644. Доказать, что, за исключением самого метрического тензора g и его произведений на себя (например, g x g), не существует других тензоров, образованных из 10 компонент метрического тензора gab и их 40 первых производных gab,ц.
 66645. Доказать, что: а) В координатном репере символ Кристоффеля Гаbу симметричен по двум последним индексам. б) В ортонормированном репере символ Кристоффеля Гabу антисимметричен по двум первым индексам.
 66646. Производной Ли скалярной функции называется производная по направлению Lxf = vxf. Производную Ли для векторного поля у определим как Lху = [х, y] = vxy - vyx. Оператор дифференцирования в смысле Ли обладает всеми обычными свойствами оператора дифференцирования и всегда порождает тензор того же ранга, как и дифференцируемый тензор. а) Найти производную Ли 1-формы. б) Найти производную Ли тензора с компонентами Tаb.
 66647. Пусть А = d/dL — касательное векторное поле к конгруэнции (семейству кривых) хa = xа(L), В — некоторое векторное поле. Доказать, что закон переноса LaВ = 0 имеет следующий геометрический смысл: векторы В соединяют точки с равными значениями L, принадлежащие бесконечно близким кривым конгруэнции.
 66648. Доказать, что дифференцирование в смысле Ли коммутирует с операцией свертки.
 66649. Доказать, что LuLv - LvLu = L[u,v].
 66650. Задана 8.17. Производную Ли геометрического объекта ФА[хц(Р)] (A означает все тензорные индексы, хц(Р) — координаты точки Р) можно определить следующим образом. Выполним инфинитезимальное точечное преобразование Р0 -- > РN, или в координатной форме хц(Р0) = xц(PN) + Eц(PN) (поскольку Eц — бесконечно малая величина, ее значение можно вычислять в любой из точек Р0 или PN), Кроме того, произведем инфинитезимальное преобразование координат, придающее координатам точки PN те же численные значения, которые соответствовали точке Р0 в исходных координатах: xц(PN) = xц(P0). После этого положим по определению LeФА(Р0) = lim [ФА(Р0) - ФА(PN)]. Рассмотрев следующие случаи: 1) ФА — скалярное поле, 2) ФA = Aц, 3) ФА = Tцv, доказать, что это определение производной Ли эквивалентно определению, данному в задаче 8.13.
 66651. Вектор v требуется перенести вдоль кривой с касательным вектором u. Что требуется знать для параллельного переноса Ферми — Уокера и переноса Ли: метрику, коэффициенты аффинной связности или векторное поле u(х) вне кривой?
 66652. В 3-пространстве с метрикой ds2 = dx2 + dy2 + dz2 задано векторное поле vi = (-у, х, zа), а = const. Некоторый вектор u перенесен в смысле Ли вдоль v из точки A в точку В, а затем параллельно перенесен по тому же маршруту в обратном направлении в точку A. При каком значении а существует вектор u, не изменяющийся при таком переносе?
 66653. Найти наиболее общее векторное поле, которое всюду допускает параллельный перенос, перенос Ферми — Уокера и перенос Ли вдоль самого поля.
 66654. Пусть W — р-форма. Доказать, что Lx(dW) = d(LxW).
 66655. Векторный анализ в 3-мерных ортогональных криволинейных координатах представляет собой частный случай тензорного анализа с gij = hi2dij (по повторяющимся индексам суммирование не проводится!), где hi — функции координат, называемые «масштабными множителями». Компоненты векторов часто относят к («физическому») ортонормированному реперу wi = hidxi (по повторяющимся индексам суммирование не производится!). Вывести выражения для: 1) vS, 2) v x V, 3)v*V, 4) v2S, где S — скалярное, а V — векторное поле.
 66656. Вывести выражения для v*A и v х А в сферических координатах.
 66657. Доказать, что если Fцv = Av;ц - Ац;v, то F[цv;L] = 0.
 66658. В произвольном пространственно-временном многообразии (не обязательно однородном или изотропном) выберем начальную пространственноподобную гиперповерхность Sl, зададим на ней произвольную координатную сетку (x1, x2, x3), выпустим из точек гиперповерхности ортогональные ей геодезические мировые линии и параметризуем их так, что (х1, х2, х3) = const, x0 = t = tl + т, где т — собственное время вдоль каждой мировой линии (гиперповерхность Sl соответствует т = 0). Доказать, что в этой системе координат («гауссовы нормальные координаты») метрика принимает синхронную форму: ds2 = -dt2 + gij dxidxj.
 66659. Доказать, что если gцv и gцv — компоненты двух симметричных тензоров, то SLцv = ГLцv - ГLцv — компоненты тензора (Г и Г — символы Кристоффеля, построенные из компонент тензоров g и g, как обычно). б) Предположим, что тензоры gцv и gцv обладают одними и теми же геодезическими. Доказать, что в этом случае SLцv = dLцФv + dLvФц, где Фц — компоненты некоторого вектора.
 66660. Вычислить коэффициенты связности метрики ds2 = -е2a dt2 + е2b dr2 + e2y(dW2 + sin2 v dф2), (а, b, у — функции, зависящие от r и t) в ортонормированном репере.
 66661. Красное смещение между двумя наблюдателями (с 4-скоростями uA и uB) можно измерить двумя способами: 1) по энергиям фотонов (4-импульсам р), распространяющихся вдоль изотропных геодезических между двумя наблюдателями (1 + z = uA*p/uB*p); 2) по собственному времени между двумя изотропными геодезическими, определив отдельно dтA между отправлением двух сигналов одним наблюдателем и отдельно dтB между их приходом к другому наблюдателю, т.е. 1 + z = dтА/dтВ. Доказать, что оба способа эквивалентны.
 66662. На сфере радиуса а локальную декартову систему координат можно попытаться построить двумя способами: а) из геодезических, б) из (ортогональных) линий постоянной долготы и широты. Оба способа приводят к отклонениям от хорошей декартовой системы координат (например, сумма углов «прямоугольника», образованного линиями координат, отлична от 2п, а разности длин «параллельных» сторон не равны нулю). Доказать, что эти отклонения по порядку величины сравнимы с отношением (площадь прямоугольника)/а2.
 66663. Сколько независимых компонент имеет тензор Римана в n-мерном пространстве?
 66664. Математические манипуляции с тензором Римана нередко проводят при помощи ЭВМ. Вместо того чтобы производить вычисления с компонентами R(i, j, k, I), где каждый из индексов i, j, k, l принимает значения 0, 1, 2, 3, и вводить в память машины 4^4 = 256 компонент тензора, можно воспользоваться симметриями тензора Римана и существенно уменьшить размеры вводимого в машинную память массива. Написать подпрограмму, в которой все компоненты тензора Римана вводятся в машинную память в виде массива, содержащего не более 21 элемента.
 66665. Вычислить все не обращающиеся в нуль компоненты тензора Римана Rijkl (i, j, k, l = v, ф) для метрики ds2 = r2(dv2 + sin2 v dф2) 2-сферы.
 66666. Найти символы Кристоффеля и компоненты тензора кривизны Римана в 2-мерном пространстве-времени: ds2 = dv2 - v2 du2.
 66667. Ввести систему координат на торе (2-мерной поверхности «бублика» в 3-мерном евклидовом пространстве). Вычислить все компоненты gцv, Гцаb и Rabyd.
 66668. В пространстве с размерностью, меньшей 4, тензор Римана удается записать весьма просто. а) Найти тензор Римана в 1-мерном пространстве. б) Выразить тензор Римана в 2-мерном пространстве через метрический тензор и скаляр Риччи. в) Выразить тензор Римана в 3-мерном пространстве через метрический тензор и скаляр Риччи.
 66669. Доказать соотношение 2Va;[vx] = Va;vx - Va;xv = VsRsavx и обобщить его для коммутатора вторых производных тензора произвольного ранга Ta...b....
 66670. Доказать, что вторые производные скалярного поля коммутируют (т.е. S;ab = S;ba). Для третьих производных S;(ab)y вычислить S;(ab)y и S;a[by].
 66671. Доказать, что для любого тензора второго ранга Aцv;цv = Aцv;vц.
 66672. Бесконечно малый контур в форме параллелограмма можно задать при помощи дифференциальных перемещений u, v, являющихся сторонами параллелограмма. Вектор А переносится параллельно вдоль этого контура (т.е. перемещается последовательно на u, v, -u, -v). Доказать, что приращение вектора А, вызванное переносом вдоль бесконечно малого параллелограмма, равно dAa = -RabydAbuyvd.
 66673. Тензор кривизны Римана можно вычислить при помощи оператора Римана R, определенного соотношением R(A, B)C = (vAvB - vBvA - v[A,B]C. а) Доказать, что оператор R в точке Р линеен по аргументам А, В и С и зависит только от их значений в точке Р, а не от того, каким образом они изменяются в окрестности точки Р. б) Доказать, что (R(A, B)C)^a = RaцLsCцALBs.
 66674. На двух «соседних» геодезических аффинные параметры заданы так, что близким точкам соответствует мало отличающиеся значения аффинного параметра L. Пусть ua = dxa/dL — касательная к одной из геодезических, а n — бесконечно малый вектор, соединяющий точки, соответствующие равным значениям аффинных параметров на двух геодезических. Доказать, что расхождение геодезических удовлетворяет уравнению D2na/dL2 + Rabyd ubnyud = 0.
 66675. В подходящим образом выбранной системе координат гравитационное поле Земли приближенно (с точностью до наименьшего, не обращающегося в нуль порядка по М/r) описывается метрикой ds2 = -(1 - 2M/r)dt2 + (1 + 2M/r)(dx2 + dy2 + dz2), r = (x2 + y2 + z2)^1/2, M — масса Земли (c = G = 1). Предположим, что спутник «Скайлэб» обращается вокруг Земли по круговой экваториальной орбите. Чему равен период его обращения? Космонавт запускает контейнер с мусором на близкую орбиту и наблюдает за движением контейнера относительно «Скайлэба». В некоторый момент времени удаление контейнера от «Скайлэба» описывается вектором Ei = xi (контейнер) - х1 (Скайлэб). Пользуясь уравнением для расхождения геодезических, найти компоненты относительного движения Ei как функции времени.
 66676. Доказать циклическое тождество Rabyd + Radby + Raydb = 0 и тождества Бианки Radby;v + Radvb;y + Radyv;b = 0.
 66677. Доказать, что нулевая дивергенция тензора Эйнштейна Gцv = Rцv - 1/2 gцvR (т.е. Gцv;ц = 0) следует из тождеств Бианки.
 66678. Доказать, что обращение в нуль тензора Римана является достаточным условием для того, чтобы пространство-время было пространством Минковского, т.е. для приведения метрического тензора gцv при помощи преобразования координат к виду hцv.
 66679. Пучок света в некоторой точке имеет в поперечном сечении форму круга. Доказать, что этот пучок света не испытывает растяжения в поперечном направлении (т.е. его поперечное сечение не деформируется в эллипс), если тензор Вейля равен нулю.
 66680. Вычислить тензор Римана, тензор Риччи и скалярную кривизну конформно-плоской метрики gцv = e^2фhцv, где ф = ф(xц) — произвольная функция.
 66681. Вычислить в ортонормированном репере тензор Римана для метрики ds2 = -e2a dt2 + е2b dra + e2y(dv2 + sin2v dф2), a, b, y — функции от r, t. Найти для этой метрики тензор Риччи, скалярную кривизну и тензор Эйнштейна.
 66682. Рассмотрим тензор Римана, соответствующий плоской гравитационной волне, т.е. Rаbyd = Rаbуd(u), где u - «запаздывающее время» (vu*vu = 0). Найти число независимых компонент такого тензора Римана. При решении задачи не вводить предположения о том, что Rabyd удовлетворяет уравнениям поля Эйнштейна.
 66683. В некоторый момент времени измерены координатные ускорения (d2xa/dт2) для n близко расположенных пробных частиц. При каком наименьшем значении n по данным измерений удастся восстановить все компоненты Fцv и при каком все компоненты Rцvps?
 66684. Пусть А и В — два линейно-независимых вектора, касательных в некоторой точке к 2-мерной поверхности в пространстве размерности > 2. Величина K = #### называется римановой кривизной 2-мерной поверхности в этой точке. Доказать, что риманова кривизна К не изменится, если векторы А и В заменить их линейными комбинациями.
 66685. Пусть К — риманова кривизна в некоторой точке на 2-мерной поверхности, определенная в задаче 9.23. Доказать, что если А и В — касательные векторы в этой точке к 2-мерной поверхности, а вектор А подвергнут параллельному переносу по малому контуру, лежащему на 2-мерной поверхности, то изменение угла между векторами А и В по порядку величины будет равно dv = |K dE|, где dE — площадь участка 2-мерной поверхности, заключенного внутри контура.
 66686. Предположим, что в некоторой точке Р риманова кривизна К, определенная в задаче 9.23, не зависит от того, какая 2-мерная поверхность проведена через эту точку. Доказать, что тогда Rabyd = K(gaygbd - gadgby).
 66687. Доказать, что если риманова кривизна изотропна, то тензор кривизны Римана можно представить в виде Rabyd = К (gaygbd - gadgby). Пользуясь тождествами Бианки, доказать, что в этом случае риманова кривизна К должна быть постоянной (теорема Шура).
 66688. Доказать, что если тензор Римана можно представить в виде RLцvx = K(gLvgцx - gLxgцv), то пространство конформно-плоское.
 66689. В точке q на 3-поверхности E (фиг. ) касаются 2 кривые: 1) СE — кривая на 3-поверхности и 2) С — геодезическая 4-мерного пространства, в которое вложена 3-поверхность E. Пусть n — единичный вектор нормали к поверхности E. Вектор Ea = 1/2ua;b ub (где u — касательный вектор к CE) служит мерой скорости, с которой расходятся кривые С и СE. Доказать, что скорость расхождения n*E можно представить в виде n*E = 1/2 Kabuaub, гдe Kаb — тензор внешней кривизны для E.
 66690. Найти внешнюю кривизну сечения т = const метрики ds2 = -dт2 + а2(т) [yij(хk) dxi dxj].
 66691. Доказать, что внешняя кривизна времениподобной гиперповерхности с единичным вектором нормали n равна — 1/2 LnРab, где Pаb = gаb - nanb — проекционный тензор (проектирующий на эту гиперповерхность).
 66692. Если пренебречь силой тяжести, то потенциальная энергия, обусловленная поверхностным натяжением мыльной пленки, пропорциональна площади пленки. Следовательно, мыльная пленка, натянутая на некоторый контур, в состоянии равновесия принимает форму, соответствующую минимальной площади. Доказать, что отсюда следует равенство нулю «средней кривизны» (К = Кii) мыльной пленки в состоянии равновесия.
 66693. Пусть n — единичная нормаль к гиперповерхности E (n*n = е, где е = +1 для времени подобной и е = -1 для пространственноподобной гиперповерхности). В гауссовых нормальных координатах (см. задачу 8.25), построенных на гиперповерхности E, метрика имеет вид ds2 = е dn2 + (3) gij dxi dxj. Вывести уравнения Гаусса — Кодацци (4)Rm ijk = (3)Rm ijk + e(KijKkm - KikKjm), (4Rn ijk = e(Kik |f - Kij |k). Индексы 4 и 3 относятся соответственно к геометрии пространства-времени и геометрии гиперповерхности E, вертикальная черта означает ковариантное дифференцирование по (3)gij, компонента тензора Римана, построенная на базисном векторе n, имеет индекс n. Вывести также уравнение для оставшейся компоненты тензора Римана (4)Rn ink = e(Kik,n + KimKimKmk).
 66694. Пользуясь результатами задачи 9.32, вывести выражения для компонент (4)Gab тензора Эйнштейна в гауссовых нормальных координатах.
 66695. Собственные значения и собственные векторы тензора внешней кривизны называются главными кривизнами и главными направлениями кривизны. Найти главные кривизны и направления кривизны для следующих поверхностей, погруженных в 3-мерное евклидово пространство: 1) сферы x2 + y2 + z2 = a2, 2) цилиндра x2 + y2 = а2, 3) квадратичной поверхности (вычисления провести только в начале координат) z = 1/2 (ах2 + 2bху + су2).
 66696. Доказать, что если E — 2-мерная поверхность в плоском 3-пространстве, то ее скалярная кривизна равна (2)R = 2/p1p2, где p1 и р2 — главные радиусы кривизны поверхности E. Как выглядит аналогичная формула для 3-поверхности, погруженной в плоское 4-пространство?
 66697. Решив уравнения Киллинга, найти векторные поля Киллинга для 2-сферы ds2 = dv2 + sin2 v dф2.
 66698. Доказать, что уравнение Киллинга Ea;b + Eb;a = 0 эквивалентно уравнению Leg = 0, где g — метрический тензор. Выяснить геометрический смысл этого утверждения.
 66699. Доказать, что коммутатор двух векторных полей Киллинга является векторным полем Киллинга. б) Доказать, что линейная комбинация векторов Киллинга с постоянными коэффициентами является вектором Киллинга.
 66700. Доказать, что в евклидовом 3-пространстве три вектора Киллинга, описывающие повороты вокруг осей х, у и z, линейно независимы в любой заданной точке, но ни одна линейная комбинация их с постоянными коэффициентами не равна нулю. Доказать, что в силу этого генераторы группы вращений 0(3) порождают 2-мерную поверхность, хотя сама группа 3-мерна. Объяснить, почему так происходит.