Earth curvature of space2 curvature of space1
Банк задач

Вход на сайт
Регистрация
Забыли пароль?
Статистика решений
Тип решенияКол-во
подробное решение60032
краткое решение7560
указания как решать1341
ответ (символьный)4704
ответ (численный)2335
нет ответа/решения3772
ВСЕГО79744

База задач ФизМатБанк

 66501. Рассмотрим реакцию 1 + 2 -- > 3 + 4. По определению лабораторной называется система отсчета, в которой Р2 = 0. Системой центра масс (ц.м.) называется система отсчета, в которой Р1ц.м + P2ц.м = 0. Доказать, что: а) Eполн = (m1|2 + m2|2 + 2m2E1)^1/2, б) E1 = [(Eполн)2 + m1|2 - m2|2]/2Eполн, в) P1 = m2P1/Eполн, г) yц.м. = (E1 + m2)/Еполн (vц.м. — скорость ц.м. в лабораторной системе отсчета, уц.м. = (1 - v2ц.м.)^-1/2), д) vц.м. = P1/(E1 + m2).
 66502. Рассмотрим упругое столкновение частицы с массой m1, со стационарной частицей с массой m2 < m1. Пусть Vмакс - максимальный угол рассеяния частицы m1. При нерелятивистских расчетах sin Vмакс = m2/m1. Доказать, что этот результат остается в силе и при релятивистских расчетах.
 66503. Двигатели ракеты создают постоянное ускорение 1g (относительно мгновенно сопутствующей ракете инерциальной системы отсчета). Ракета стартует из состояния покоя вблизи поверхности Земли. Как далеко улетит ракета от Земли (расстояние измеряется в земной системе отсчета) за 40 земных лет? Как далеко она улетит за 40 лет, измеряемых в системе отсчета, связанной с ракетой? б) Вычислить собственное время, которое потребуется пассажирам космического корабля, чтобы удалиться от Земли на расстояние 30 000 св.лет к центру Галактики. Предполагается, что первую половину пути космический корабль разгоняется с ускорением 1g, а вторую половину пути — тормозится с ускорением 1g. в) Какая доля начальной массы ракеты может приходиться на полезный груз в п. «б»? Предполагается, что космический корабль обладает идеальными двигателями, способными превращать массу покоя в излучение со 100 % эффективностью и выпускать идеально коллимированные пучки фотонов.
 66504. До какой максимальной энергии может разогнать электроны циклотрон, работающий на постоянной частоте с ускоряющим потенциалом V?
 66505. Открыто новое поле Fц(xv), сообщающее частице с массой m, находящейся в точке x4, 4-ускорение aц = duц/dт = m^-1Fц(xv). (Обращаем внимание читателя на то, что Fц не зависит от uv). Доказать, что существование такого поля противоречит специальной теории относительности.
 66506. Два события разделены пространственноподобным интервалом. Доказать, что: а) существует лоренцевская система отсчета, в которой они одновременны; б) ни в одной лоренцевской системе отсчета они не происходят в одной и той же точке. 2) Два события разделены времениподобным интервалом. Доказать, что: а) существует система отсчета, в которой они происходят в одной и той же точке; б) ни в одной лоренцевской системе отсчета они не одновременны.
 66507. Найти 4 линейно-независимых изотропных вектора в пространстве Минковского. Можно ли найти 4 изотропных вектора, которые были бы ортогональны?
 66508. Доказать, что из всех непространственноподобных векторов данному изотропному ненулевому вектору ортогональны лишь кратные ему векторы.
 66509. З.4. Доказать, что сумма двух векторов может быть пространственноподобной, изотропной или времениподобной независимо от того, являются ли эти два вектора пространственноподобными, изотропными или времениподобными.
 66510. Доказать, что площадь поперечного сечения параллельного пучка света инвариантна относительно преобразований Лоренца.
 66511. Доказать, что ED^цц и EDцц не инвариантны относительно преобразований координат, а сумма EDц^ц инвариантна. (Тензор D задан своими компонентами Dцv.)
 66512. Тензор Fab антисимметричен по двум своим индексам. Доказать, что Fц^a,v Fva = -Fцa,b Fab.
 66513. В системе отсчета с координатами хц инвариантный линейный элемент имеет вид ds2 = habdx^adx^b. Доказать, что если координаты подвергнуть преобразованию хц -- > xц, то линейный элемент примет вид ds2 = gцv - dx^цdx^v, и выразить gцv через частные производные dxц/dxv. Доказать также, что если U и V — два произвольных 4-вектора, то U*V = UaVbhab = UaVbgab.
 66514. Доказать, что определитель метрического тензора g = det(gцv) не является скаляром.
 66515. Доказать, что если Лав и Лав — две матрицы, преобразующие компоненты тензора из одной системы координат в другую, то матрица ЛayЛab также задает некоторое преобразование координат.
 66516. Дан тензор Kab. Можно ли проверить, является ли он прямым произведением двух векторов Kab = AаВb? Можно ли записать ход проверки в безындексных обозначениях?
 66517. Доказать, что в общем случае тензор второго ранга в n-мерном пространстве нельзя представить в виде прямого произведения двух векторов, но его можно представить в виде суммы нескольких прямых произведений двух векторов.
 66518. Геометрический «объект» с двумя индексами, Хцv, определен как «прямая сумма» двух векторов: Xцv = Aц + Вv. Можно ли считать Xцv тензором? Существует ли закон, позволяющий преобразовывать X в новую систему координат, т.е. получать Xцv из Xцv?
 66519. Доказать, что тензор второго ранга F, антисимметричный в одной системе координат (Fцv = -Fцv), антисимметричен во всех системах координат. Доказать, что контравариантные компоненты тензора F также антисимметричны (Fцv = -Fvц). Доказать также, что симметричность тензора второго ранга инвариантна относительно выбора системы координат.
 66520. Пусть Ацv — антисимметричный тензор (Ацv = -Аvц), a Sцv — симметричный тензор (Sцv = Svц). Доказать, что AцvSцv = 0. Вывести следующие два тождества, справедливые для произвольного тензора Vцv: VцvAцv = 1/2(Vцv - Vvц)Aцv, VцvSцv = 1/2(Vцv + Vvц)Sцv.
 66521. Сколько независимых компонент существует у тензора Tab... r-го ранга, не обладающего никакими симметриями, в n-мерном метрическом пространстве? б) Сколько независимых компонент существует у тензора Тab..., симметричного по s индексам? в) Сколько независимых компонент существует у тензора Tab..., антисимметричного по а индексам?
 66522. Определим квадратные и круглые скобки, содержащие некоторые наборы индексов, следующим образом: ####. Суммы берутся по всем перестановкам п чисел 1, 2,..., р, а коэффициент (-1)п равен +1 или -1 в зависимости от того, четна или нечетна перестановка п. У величины V могут быть и другие индексы, не входящие в число р индексов a1, a2,..., ap, но введенные нами скобочные операции действуют лишь на явно выписанные индексы. Индексы п1, п2,..., пр означают те числа, в которые переходят 1, 2,..., p под действием перестановки п. Например, ####, или, что то же, ####. а) Пусть F — антисимметричная, Т — симметричная и V — произвольная величины. Пользуясь приведенными выше определениями, вычислить в явном виде V[цv], F[цv], F(цv), T[цv], T(цv), V[aby], T(ab,y), F[ab,y]. б) Вывести следующие формулы: ####. в) Пользуясь «скобочными обозначениями», доказать, что из соотношения Fцv = Av.ц - Aц.v следует соотношение Fab,v + Fbv,a + Fva,b = 0. (Половина уравнений Максвелла!)
 66523. Доказать, что для любого тензора X с двумя индексами Xab = X(ab) + X[ab], где скобки () и [ ] означают соответственно симметризацию и антисимметризацию заключенных в них индексов. Доказать также, что в общем случае Yaby =/= Y(aby) + Y[aby].
 66524. Доказать, что дельта-символ Кронекера dцv — тензор.
 66525. Доказать, что существует единственный с точностью до умножения на постоянную тензор eabyd, полностью антисимметричный по всем своим 4 индексам. Обычно его выбирают так, что в координатах Минковского е0123 = 1. Каковы компоненты тензора e в общей системе координат с метрикой gцv?
 66526. Доказать, что в локально ортонормированной системе координат eabyd = -eabyd. Как выглядит аналогичное соотношение в произвольной системе координат с метрикой gцv?
 66527. Вычислить eцvps e^цvps.
 66528. Доказать, что для любого тензора Aab eabyd АaцАbvАyLАds = ецvLs det|Aab|, где |Aab| — матрица с компонентами Aab.
 66529. Доказать, что четыре вектора u, v, w, х линейно-независимы в том и только том случае, если u л v л w л х # 0. Доказать также, что произведение u л v л w л х четырех линейно-независимых векторов u, v, w, х с точностью до константы совпадает с полностью антисимметричным тензором е. (Произведение u л v двух векторов по определению равно их антисимметризованному прямому произведению, т.е. u л v = u x v - v x u.)
 66530. Пусть F — антисимметричный тензор второго ранга с компонентами Fцv. Построим по F другой антисимметричный тензор второго ранга*F (так называемый тензор, дуальный тензору F), определив его следующим образом:*F = 1/2 e^цvabFabeц x ev. Доказать, что*(*F) = -F.
 66531. Доказать, что VsV^s = -1/3!(*V)aby(*V)^aby.
 66532. Тензор dц...L p...s задан соотношением ####. Доказать, что если число верхних (или нижних) индексов больше 4, то этот тензор тождественно равен нулю.
 66533. Доказать, что dцv Lx = -1/2 e^цvps eLxps, и обобщить это соотношение на случай тензоров dц...v L...x других рангов.
 66534. Доказать, что если антисимметричный тензор раb является бивектором (т.е. рab = A[аВb]), тo рabруd + рayрdb + рadрbу = 0 (соотношения Плюккера).
 66535. Определим в 4-пространстве 3-мерный элемент объема на гиперповерхности ха = ха(а, b, с) как d3Eц = (1/3!) х eцaby dadbdc [d (хa, xb, ху)/d(а, b, с)], где последний множитель представляет собой якобиан 3 x 3. Вычислить компоненты элемента объема d3Eц для пространственноподобной гиперповерхности х0 = const, параметризованной так, что x1 = a, x2 = b, х3 = с.
 66536. Доказать, что инвариантный собственный элемент объема в 4-мерном пространстве определяется соотношением dV = (-g)^1/2 d4x, где дифференциал d4x = dxdydzdt вычислен в системе координат с метрикой gцv.
 66537. Доказать, что собственный 3-мерный элемент объема наблюдателя, движущегося с 4-скоростью u, имеет вид d3V = (-g)^1/2 u0d3x и является скалярным инвариантом.
 66538. Какой вид имеет инвариантный элемент объема контравариантного импульса d4P в 3-мерном импульсном пространстве? Какой вид имеет инвариантный 3-мерный элемент объема на «массовой оболочке», т.е. при наложении ограничения (-P*P)^1/2 = m?
 66539. По данным наблюдений группа из N частиц занимает в 6-мерном фазовом пространстве объем dxdydzdPxdPy x dPz, в силу чего плотность частиц N в фазовом пространстве определяется соотношением N = Ndx dy dz dPxdPydPz. Доказать, что плотность частиц N лоренц-инвариантна, т.е., что все наблюдатели получат для N одно и то же числовое значение.
 66540. Векторное поле Ja(xц) удовлетворяет уравнению Jа,a = 0, а его компоненты Ja на больших расстояниях от начала координат убывают быстрее, чем r^-2. а) Доказать, что величина int J0d3x постоянна по времени. б) Доказать, что интеграл int J0d3x — скаляр, т.е. что int J0d3x = int J0'd3x'.
 66541. Найти магнитное поле В от текущего по бесконечной проволоке тока l, используя для этого соответствующие преобразования Лоренца и суперпозицию электрических полей, создаваемых распределенными вдоль бесконечной прямой зарядами.
 66542. Доказать, что для электрического и магнитного полей величины В2 - E2 и Е*В инвариантны относительно замены переменных и преобразований Лоренца. Существуют ли какие-нибудь инварианты, не сводящиеся к алгебраическим комбинациям этих двух инвариантов?
 66543. В некотором электромагнитном поле электрический вектор Е образует угол v0 с вектором магнитного поля В, причем угол v0 инвариантен для всех наблюдателей. Чему равен угол v0?
 66544. Доказать, что для электромагнитного поля величина E2 - |S|2, где E — плотность энергии, а S — вектор Пойнтинга, лоренц-инвариантна.
 66545. Доказать, что при (B*E) + (B2 - Е2)2 =/= 0 всегда найдется преобразование Лоренца, переводящее B и E в параллельные векторы (E' х В' = 0).
 66546. Предположим, что E*B = 0. Доказать, что при В2 - Е2 > 0 существует преобразование Лоренца, обращающее в нуль электрическое поле (E = 0), а при В2 - E2 < 0 — преобразование Лоренца, обращающее в нуль магнитное поле (В = 0). Что можно утверждать, если, кроме того, выполняется условие В2 - E2 = 0?
 66547. Частицы в некоторой системе отсчета обладают зарядами ei, 3-скоростями vi и движутся по траекториям x = zi(t). Вектор 4-тока обладает компонентами J0 = ####. Доказать, что его можно представить в виде J^ц = E int ekd4[xa - zak(т)]uцk dт, где uцk — 4-скорость k-и частицы.
 66548. Записав в явном виде компоненты тензора F, доказать, что уравнения Fab,y + Fby,a + Fya,b = 0, F^ab,b = 4пJa сводятся к уравнениям Максвелла v*B = 0, B + v x E = 0, v*E = 4пр, E - v x B = -4пJ.
 66549. Доказать, что если Fцv — тензор электромагнитного поля, то уравнения Максвелла в вакууме можно представить в виде Fцv,v = 0 и*Fцv,v = 0 (*Fцv означает тензор, дуальный тензору Fцv; см. задачу 3.25).
 66550. Выписав при ц = 0 компоненту уравнения для 4-силы Лоренца duц/dт = (e/m)Fцbub, устанавливающую связь между Fцv и Ei, Вi, вывести соотношение dP0/dt = ev*E.
 66551. Вывести соотношение между dP/dt и векторами E, В из пространственных компонент уравнения 4-силы Лоренца (P — пространственная часть 4-вектора Р).
 66552. Частица с зарядом q и массой m, пролетая по лаборатории со скоростью vex, попадает в однородное поле Е, направленное вдоль оси у. Найти траекторию у(х), по которой частица будет двигаться в дальнейшем.
 66553. Частица с зарядом q, массой m движется по круговой орбите радиуса R в однородном поле Веz. а) Выразить В через R, q, m и угловую частоту w. б) Скорость частицы постоянна, поскольку поле В не производит работы над частицей, однако наблюдателю, движущемуся со скоростью bех, скорость частицы не кажется постоянной. Чему равна компонента u0' 4-скорости, измеренная этим наблюдателем? в) Вычислить du0'/dт и тем самым dP0'/dт. Объяснить, каким образом может изменяться энергия частицы (поле В не производит работы над частицей).
 66554. Небольшая пробная частица (с массой m и положительным зарядом q) обращается по круговой орбите вокруг «неподвижного» (т. е. очень массивного) тела с положительным зарядом Q. Для удержания частицы на орбите приложено постоянное магнитное поле В, перпендикулярное плоскости орбиты. В инерциальной системе, в которой центральное тело покоится, пробный заряд описывает окружность в плоскости, перпендикулярной полю В, с циклической частотой w. Выразить отношение заряда пробной частицы к ее массе через w, R, В и Q.
 66555. Доказать, что тензор энергии-импульса электромагнитного поля в отсутствие зарядов имеет нулевую дивергенцию (т.е. T^цv,v = 0).
 66556. Доказать, что тензор энергии-импульса электромагнитного поля имеет нулевой след.
 66557. Пусть T^цv — тензор энергии-импульса электромагнитного поля. Доказать, что ТцaТav = dцv [(E2 - В2)2 + (2E*В)2]/(8п)2.
 66558. Записать закон Ома J = sE в инвариантном виде через Jц, Fцv, s и uц (4-скорость проводящего элемента).
 66559. Для заряженной частицы вывести из действия int JцAцd4x - m int dт, где Jц — 4-ток, Ац — 4-вектор потенциала и dт2 = -hаb dxa dxb, выражение для 4-силы Лоренца.
 66560. Доказать, что переход к дуальному тензору F -- >*F сопровождается преобразованиями Е -- > -В и В -- > Е. б) Доказать, что если тензор F удовлетворяет уравнениям Максвелла для вакуума, то дуальный тензор*F и тензор e*aF = F cosa +*F sinа при произвольном а также являются решениями уравнений Максвелла. (Преобразование F -- > e*aF называется «дуальным поворотом».)
 66561. Если считать, что эстетика призвана играть немаловажную роль при выводе физических законов, то из соображений симметрии уравнения Максвелла следовало бы записать в виде Fцv,v = 4пJц,*Fцv,v = 4пKц. Каков физический смысл величины К?
 66562. В пространстве-времени Минковского существует электромагнитный ток Jц(xv). Доказать, что величина Fцv(xa) = 4/пi int ####, где rb = xb - xb, удовлетворяет уравнениям Максвелла. (Начать удобнее с построения функции Грина для уравнения пAц = -4пJц.) Каким запаздывающим граничным условиям соответствует это решение?
 66563. Вывести уравнение для конвективной скорости изменения со временем магнитного поля, «вмороженного» в идеально проводящую жидкость, выразив ее через расхождение мировых линий, поперечный сдвиг и вращение жидкости. (Определения этих величин даны в задаче 5.18.)
 66564. Вычислить в инерциальной системе отсчета S ненулевые компоненты тензора энергии-импульса для следующих систем. а) Для группы частиц, движущихся относительно системы отсчета S с одной и той же скоростью b = bex. Плотность массы покоя этих частиц, измеренная в сопутствующей им системе отсчета, равна р0. Предполагается, что плотность частиц очень велика, и приближенно их можно рассматривать как некую сплошную среду. б) Для кольца из N одинаковых частиц с массой m, вращающегося против часовой стрелки в плоскости ху вокруг неподвижной точки S и описывающего круги радиуса а с угловой частотой w. (Ширина кольца много меньше а.) Силы, удерживающие частицы на орбите, не входят в тензор энергии-импульса. Предполагается, что число N достаточно велико для того, чтобы частицы можно было считать распределенными по кольцу непрерывно. в) Для двух колец из частиц, описанных в п. б. Одно кольцо вращается по часовой стрелке, другое — против часовой стрелки; они описывают круги одного и того же радиуса а. Частицы не сталкиваются и не взаимодействуют никаким другим способом.
 66565. Какой вид имеет тензор энергии-импульса для газа с собственной (т. е. измеренной в локальной системе покоя газа) плотностью N невзаимодействующих частиц с массой m, если все частицы обладают одинаковой скоросью v, но движутся изотропно? (Задачу требуется решить без предположения о том, что v << с.)
 66566. В системе покоя идеальной жидкости ее тензор энергии-импульса, если его записать через плотность массы-энергии р и давление р, имеет диагональный вид Tцv = ####. Найти тензор энергии-импульса элемента объема жидкости с собственной плотностью р, давлением р, движущийся с 4-скоростью u.
 66567. Найти тензор энергии-импульса однородного магнитного поля. Чему равен усредненный тензор энергии-импульса, если поле В статично, но «хаотично», т.е. направление поля В изменяется, но так, что поле в среднем остается изотропным?
 66568. Площадь поперечного сечения стержня равна A, а масса, приходящаяся на единицу его длины, равна ц. Записать тензор энергии-импульса внутри стержня, к которому приложено растягивающее усилие F. (Предполагается, что F равномерно распределено по поперечному сечению стержня.)
 66569. Веревка с массой на единицу длины ц разрывается под действием статической нагрузки F. До какого максимального значения можно довести величину статической нагрузки F, не нарушая «слабое» условие энергии, согласно которому компонента Т00 тензора энергии-импульса должна быть положительна для всех наблюдателей? Сколь близок стальной трос к этому теоретическому максимуму статической нагрузки?
 66570. На концы бесконечно тонкого стержня длины 2а насажены точечные массы m. Центр стержня закреплен неподвижно в лабораторной системе отсчета, а сам стержень вращается вокруг центра с релятивистской угловой скоростью w (последнее означает, что линейная скорость wl концов стержня сравнима с с). Масса стержня равна нулю. Найти тензор энергии-импульса Tцv для стержня и точечных масс.
 66571. Плоский конденсатор состоит из двух больших пластин площадью А, перпендикулярных оси х и разделенных небольшим промежутком d. Конденсатор заряжен так, что между его обкладками возникло однородное электрическое поле Е (неоднородностью поля на краях обкладок можно пренебречь). «Электростатическая масса» конденсатора в его системе покоя составляет E2Ad/8п. Доказать, что электростатическая энергия уменьшается, если конденсатор движется в направлении оси х! Учтем теперь, что обкладки конденсатора необходимо удерживать на расстоянии d друг от друга. Предположим, что им не дает сблизиться идеальный газ с собственной плотностью р0. Доказать, что полная энергия конденсатора (электростатическая энергия + энергия газа) возрастает с увеличением скорости движения вдоль оси х точно так же, как энергия материальной точки.
 66572. Рассмотрим систему дискретных частиц с зарядом qi и массой mi, взаимодействующих посредством электромагнитных сил. Исходя из явного вида тензора энергии-импульса Tцv для частиц, доказать, что полный тензор энергии-импульса Tцv (системы частицы плюс поле) сохраняется: Tцv,v = 0.
 66573. Спектральная интенсивность lv излучения служит мерой интенсивности излучения вблизи частоты v в заданном направлении. По определению она равна потоку энергии, соответствующему единичному интервалу частот вблизи частоты v и приходящемуся на единичный телесный угол. Доказать, что величина lv/v3 лоренц-инвариантна.
 66574. Излучение, испускаемое звездой, изотропно в ее системе покоя. Светимость звезды (количество световой энергии, излучаемой в единицу времени) равна L. В некоторый момент времени звезда (по измерениям, произведенным с Земли) находится на расстоянии R и движется со скоростью v, образующей угол Ф с лучом зрения наблюдателя, который следит за звездой с Земли. Выразить поток излучения (количество световой энергии, испускаемой за единицу времени единичной площадкой на поверхности звезды), приходящий к наблюдателю на Земле, через R, v и Ф, вычисленные в тот момент, когда излучение было испущено звездой.
 66575. Сферическая частица с массой m рассеивает все падающее на нее электромагнитное излучение изотропно в своей системе покоя. Пусть А — эффективное сечение рассеяния частицы. Вывести уравнение движения частицы в постоянном поле излучения с интенсивностью S (энергией, переносимой в единицу времени через единичную площадку) и решить его для случая, когда частица первоначально покоилась (эффект Пойнтинга — Робертсона).
 66576. Черная сфера, изготовленная из теплопроводящего материала и снабженная термометром, движется со скоростью v через поле излучения абсолютно черного тела с температурой T0. Что показывает термометр?
 66577. В электронном газе с температурой T << mec2/k фотон с энергией Е << mес2 претерпевает столкновения и комптоновское рассеяние. Доказать, что в низшем порядке по Е и Т средняя энергия, теряемая фотонами при столкновениях, имеет вид < dE > = (E/mec2) (Е - 4kT).
 66578. Доказать, что в специальной теории относительности тензор энергии-импульса изолированной физической системы конечной протяженности удовлетворяет тензорной теореме вириала; int Tij d3x = 1/2 d2/dt2 int T00 xixj d3x.
 66579. Доказать, что тензор энергии-импульса Тцv обладает времениподобным собственным вектором в том и только в том случае, если физический наблюдатель ни в одном направлении не обнаруживает нескомпенсированного потока энергии. Какой физический смысл имеет собственный вектор тензора энергии-импульса?
 66580. Рассмотрим напряженную среду, движущуюся со скоростью |v| << 1 относительно некоторой инерциальной системы отсчета. Доказать, что в первом порядке по скорости пространственные компоненты плотности импульса равны gj = m^jk v^k, где величины m^jk («инертная масса, приходящаяся на единицу объема») определяются из соотношений m^jk = T0'0'djk + Tj'k' (т.е. выражаются через компоненты тензора энергии-импульса Tц'v в системе покоя жидкости). Чему равны mjk для идеальной жидкости? б) Рассмотрим изолированное напряженное тело, находящееся в состоянии покоя и в равновесии (Таb,0 = 0) в лабораторной системе отсчета. Доказать, что полная инертная масса такого тела, определяемая соотношением Mij = int mij dx dy dz, изотропна и равна массе покоя тела, т.е. доказать, что Mij = dij int T00 dx dy dz.
 66581. Пусть u — 4-скорость жидкости. Доказать, что vu можно представить в виде uа;b = wab + sаb + 1/3vPab - ааub, где а — «4-ускорение» жидкости аа = uа;b ub, v — «расхождение» мировых линий жидкости v = v*u = ua;a, wab — «2-форма вращения» жидкости, а sab — «тензор сдвига»: wаb = 1/2(uа;цPцb - ub;цPцa), sab = 1/2(ua;цРцb + ub;цPцa) - 1/3 vPab. Здесь Р означает так называемый проекционный тензор Pab = gab + uaub, проектирующий векторы на 3-пространство, перпендикулярное 4-вектору u.
 66582. Записать первое начало термодинамики для релятивистской жидкости (т.е. записать закон сохранения массы-энергии для элемента жидкости).
 66583. Пользуясь уравнениями движения (Tцv;v = 0) доказать, что течение идеальной жидкости изэнтропическое.
 66584. Доказать, что для идеальной жидкости с уравнением состояния р = р(n), где n — плотность барионов, след тензора энергии-импульса Тцц отрицателен в том и только в том случае, если d ln р/d ln n < 4/3.
 66585. Доказать, что в релятивистской идеальной жидкости скорость звука Vзвук определяется соотношением V2звук = dp/dp|S = const. Доказать также, что при высоких температурах в релятивистском газе с уравнением состояния р ~ ЗР (например, в фотонном газе) Vзвук ~ 1/ |/3.
 66586. Скорость звука в жидкости определяется соотношением V2звук = dp/dp|S = const. Доказать, что Vзвук = Г1р/(р + р), где Г1 — показатель адиабаты: Г1 = d In p/d ln n|S = const.
 66587. Чему равна скорость звука в идеальном ферми-газе при нулевой температуре?
 66588. В релятивистской аэродинамической трубе поток создают, открывая баллон с идеальным адиабатически сжатым газом. Предположим, что уравнение состояния газа в первом приближении имеет вид р ~ n^y, где y — постоянная, а скорость звука в газе равна а. Какова наибольшая скорость потока vмакс в такой трубе? (Гравитационными силами пренебречь. Поток считать изэнтропическим.)
 66589. Для идеализированного описания потока тепла в жидкости используют 4-вектор потока тепла q с компонентами в системе покоя жидкости q0 = 0, qj = (энергии, проходящей в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную базисному вектору еj в положительном направлении оси j). Какой тензор энергии-импульса соответствует потоку тепла?
 66590. Пусть s, n, и q означают соответственно энтропию, приходящуюся на один барион, плотность барионов и поток тепла, измеренные в системе покоя жидкости. В этой системе отсчета 4-вектор q чисто пространственный. Пусть S — 4-вектор потока плотности энтропии. Доказать, что S = nsu + q/T, где u — 4-скорость системы покоя жидкости.
 66591. Предположим, что жидкость обладает некоторой теплопроводностью, описываемой 4-вектором q потока тепла, а в остальном «идеальна». Вычислить локальную скорость производства энтропии v*S.
 66592. Доказать, что в системе, движущейся равномерно ускоренно, условие теплового равновесия имеет вид не T = const = T0, а T = Т0 ехр(-а*x), где х — пространственная часть радиус-вектора события относительно системы отсчета, движущейся с ускорением.
 66593. Тензор энергии-импульса для вязкой жидкости имеет вид Tab = рuаub + pРab - 2hsab - EvРab, где h и E — соответственно первая и вторая вязкости. Величины sab, v, Рab определены так же, как в задаче 5.18. Давление и плотность равны р и р. Доказать, что вязкие члены приводят к производству энтропии со скоростью Sa;a = (Ev2 + 2hsab sab)/T, где Т — температура жидкости.
 66594. Тензор энергии-импульса имеет вид Tab = puaub + pPab - 2hsab - EvPab. Доказать, что уравнения движения, выведенные из соотношения Tab,b = 0, в нерелятивистском пределе переходят в уравнения Навье — Стокса.
 66595. Как и в нерелятивистской термодинамике, удельные теплоемкости газа при постоянном объеме и постоянном давлении определяются соотношениями сv = Т ds/dT|n, сp = T ds/dT|p. Доказать, что для идеального газа Максвелла — Больцмана ср = cv + k, где k — постоянная Больцмана. Доказать также, что показатель адиабаты Г1 = d ln p/d ln n|S равен отношению удельных теплоемкостей у = cp/cv.
 66596. Доказать, что если для идеального газа Максвелла — Больцмана отношение удельных теплоемкостей у в рассматриваемом режиме приближенно можно считать постоянным, то р = Кn^y и при адиабатических условиях р = mn + Кn^y/(у - 1) (K — постоянная, m — масса частиц газа).
 66597. Инвариантная функция равновесного распределения релятивистского газа имеет вид N(pa, xa) = dN/d3xd3P = (2J + 1)/h3 / exp[-P*u/kT - v] - e, где J — спин частиц, h — постоянная Планка, u — средняя 4-скорость газа, а параметр е равен 1, 0 или -1 в зависимости от того, какой статистике (Бозе — Эйнштейна, Максвелла — Больцмана или Ферми — Дирака) подчиняется газ. Параметр v не зависит от Р. Первые два момента функции распределения N определяются формулами Jц = int NPц d3P/(-P*u), Tцv = int PцPv d3P/(-P*u). Поскольку u — единственный свободный вектор, то эти интегралы должны иметь вид Jц = nuц, Tцv = (р + р) uцuv + pgцv (выписанные соотношения представляют собой не что иное, как определения, даваемые молекулярно-кинетической теорией для величин n, р, р). а) Записать n, р и р в виде 1-мерных интегралов. б) Вывести соотношение dp = (р + p)/TdT + nkTdv. в) Исходя из первого начала термодинамики, доказать, что kTv совпадает с химическим потенциалом ц = (p + p)/n - Ts. г) Доказать, что для газа Максвелла — Больцмана p = nkT при любой температуре Т. д) Доказать, что для газа Максвелла — Больцмана соотношение р = n[m + 3/2 (kT)] является приближенным и справедливо лишь при kT << m. Вывести точное соотношение для р/n. Во что переходит р/n в пределе при kT >> m? (Здесь m — масса частицы газа.)
 66598. Найти зависимость у(Т) отношения удельных теплоемкостей при постоянном давлении и объеме от температуры для идеального газа Максвелла — Больцмана.
 66599. Доказать, что 2-мерное пространство с метрикой ds2 = dv2 - v2du2(1) представляет собой не что иное, как плоское 2-мерное пространство Минковского, обычно описываемое метрикой ds2 = dx2 - dt2(2). Для этого необходимо найти преобразования координат х(v, u) и t(v, u), переводящие метрику (2) в метрику (1). б) Доказать, что для свободно движущейся частицы компонента 4-импульса Рu постоянна, а компонента Pv отлична от постоянной.
 66600. Доказать, что линейный элемент ds2 = R2 [da2 + sin2 a(dv2 + sin2v dф2)] соответствует гиперсфере радиуса R в евклидовом 4-пространстве, т. е. геометрическому месту точек, отстоящих на расстоянии R от некоторой заданной точки.