Earth curvature of space2 curvature of space1
Банк задач

Вход на сайт
Регистрация
Забыли пароль?
Статистика решений
Тип решенияКол-во
подробное решение57480
краткое решение7556
указания как решать1341
ответ (символьный)4703
ответ (численный)2335
нет ответа/решения3776
ВСЕГО77191

База задач ФизМатБанк

 65101. Изучить движение, определяемое комплексным потенциалом f(z) = m/2пi ln z. Найти компоненты скорости vr, vQ (r, Q — полярные координаты), циркуляцию скорости и расход жидкости через окружность с центром в начале координат. Найти линии тока и эквипотенциальные линии.
 65102. Изучить движение, определяемое комплексным потенциалом f(z) = -c/z. Найти линии тока, эквипотенциальные линии и скорость течения жидкости.
 65103. Изучить движение, определяемое комплексным потенциалом f(z) = y/2п ln z, где y — комплексное число. Найти линии тока и эквипотенциальные линии.
 65104. Основное дифференциальное уравнение, описывающее продольное сверхзвуковое обтекание тонкого тела вращения, имеет вид d2ф/dR2 + 1/R*dф/dR = b2 d2ф/dx2, b2 = M2 - 1 > 0. Доказать, что решением этого уравнения будет ф(R, x) = ####, где q(e) — некоторая непрерывная, дважды дифференцируемая функция, тождественно равная нулю при e < 0. Найти радиальную и осевую составляющие вектора скорости, соответствующей этому потенциалу.
 65105. Показать, что если в предыдущей задаче в выражении для потенциала взять q(e) = Ae, то получим обтекание конуса сверхзвуковым потоком. Найти границы области применения полученного решения при больших М.
 65106. Найти выражение оператора Лапласа в случае осевой симметрии в изотермических координатах e и h, связанных с цилиндрическими координатами зависимостью z + ir = f(e + ih). Рассмотреть случай эллиптических координат z + ir = c*ch(e + ih).
 65107. Тело, имеющее форму вытянутого эллипсоида вращения, обтекается однородным потоком идеальной жидкости, направленным по оси вращения эллипсоида (в сторону отрицательных z). Найти потенциал скоростей. Получить выражение потенциала в сферических координатах R, Q.
 65108. Определить потенциальное движение идеальной несжимаемой жидкости, находящейся в сосуде эллипсоидальной формы, вращающемся вокруг своей оси Oz с угловой скоростью W. Вычислить момент количества движения массы жидкости относительно оси Oz. Изучить движение жидкости относительно эллипсоида. Определить траектории.
 65109. В пространстве изучить течение, являющееся результатом суперпозиции равномерного течения со скоростью voо, направленной в отрицательном направлении оси Oz, и источника интенсивности 4пQ, помещенного в начале координат. Изучить осесимметричную поверхность тока, проходящую через точку нулевой скорости.
 65110. Из идеальной несжимаемой жидкости, заполняющей все пространство, внезапно удаляется сферический объем радиуса а. Определить время, в течение которого образовавшаяся полость заполнится жидкостью.
 65111. Погруженная в идеальную несжимаемую жидкость сфера расширяется по заданному закону R = R(t). Определить давление жидкости на поверхности сферы.
 65112. Вывести уравнение распространения малых возмущений для сжимаемой жидкости (газа), движущейся с постоянной скоростью v1|0 = voo, v2|0 = 0, v3|0 = 0 относительно выбранной системы координат.
 65113. Поставить и решить задачу о сверхзвуковом стационарном обтекании профиля, бесконечно близкого к положительной части оси Ох и заданного уравнениями y+ = hh+(x), y- = -hh-(x); h± = 0, h±(x) > 0, 0 < x < оо, симметричным плоскопараллельным потоком сжимаемого газа.
 65114. Неограниченное пространство заполнено покоящимся идеальным газом. В момент времени t = 0 в некоторой фиксированной точке этого пространства начинает непрерывно действовать сферически симметричный источник газа мощностью Q(t). Найти потенциал скоростей частиц газа при t > 0, предполагая возмущения, вызываемые источником, малыми.
 65115. На фиксированной прямой в неограниченном пространстве, заполненном покоящимся идеальным газом, непрерывно распределены источники газа, начинающие действовать в момент t = 0, причем мощность источников единицы длины равна Q(t). Найти потенциал скоростей частиц газа при t > 0, предполагая, что возмущения, вызываемые источниками в окружающем газе, малы (вне бесконечно малой окрестности прямой, на которой расположены источники).
 65116. В неограниченном пространстве, заполненном идеальным покоящимся, газом, находится сфера фиксированного радиуса R. С момента t = 0 центр сферы совершает малые колебания со скоростью v(t) вдоль оси Oz, причем |v(t)| << с0. Найти потенциал скоростей частиц.
 65117. Пусть свободная поверхность несжимаемой жидкости, находящейся в равновесии в поле сил тяжести, является плоской. Поставить задачу об определении движения в жидкости, которое возникает, если под влиянием малого внешнего воздействия поверхность жидкости вывести из положения равновесия.
 65118. Доказать, что интенсивность вихревой трубки, определяемая соотношением Г = int vdl = int 2wds, w = rot v, где L — замкнутый контур, охватывающий вихревую трубку, а s — поверхность, ограниченная контуром L, постоянна по длине трубки (кинематическая теорема Гельмгольца).
 65119. Доказать, что для идеальной баротропной жидкости в случае, когда массовые силы потенциальны, имеет место уравнение dw/dt + rot[w, v] = 0, w = 1/2 rot v.
 65120. Доказать, что если массовые силы имеют потенциал и жидкость баротропна, то циркуляции скорости по любому физическому (состоящему из одних и тех же частиц жидкости) замкнутому контуру во все время движения жидкости остается неизменной, т. е. dГ/dt = 0, Г = int v*ds (теорема Томсона).
 65121. Доказать, что в условиях Задачи 9.4 имеет место теорема: частицы жидкости, образующие в некоторый момент времени вихревую поверхность, вихревую трубку или вихревую линию, во все время движения образуют соответственно вихревую поверхность, трубку или линию (теорема Гельмгольца о сохранении вихрей).
 65122. Пусть (s'ij, e'ij) и (s''ij, е''ij) — два напряженно-деформированных состояния, подчиняющихся в декартовой прямоугольной системе координат обобщенному закону Гука: s'ij = cij^mn e'mn, s''ij = cij^mn e''mn, cij^mn = cmn^ij. Доказать, что в этом случае имеет место тождество Бетти: s'ij e''ij = s''ij e'ij.
 65123. Пусть (s'ij, u'i, е'ij) и (s''ij, u''i, e''ij) соответственно компоненты тензора напряжений, вектора перемещения и тензора деформаций, которые возникают в линейно-упругом теле под действием внешних сил (объемных и поверхностных) pF', P'v и рF", P''v. Доказать, что в этом случае имеет место теорема взаимности Бетти: ####.
 65124. Используя теорему взаимности Бетти, найти средние значения величин Q = e11 + e22 + e33, е11 и e23 по объему v в изотропном твердом теле.
 65125. Подучить формулу, определяющую средние значения по объему составляющих тензора напряжений, возникающих в твердом теле от действия поверхностных нагрузок.
 65126. Доказать, что перемещения, возникающие в неограниченной упругой среде от действия сосредоточенной силы, приложенной в начале координат, являются однородными функциями степени -1. Показать, что решение u = A xz/r3, v = A yz/r3, w = A[z2/r3 + (3 - 4v)/r] соответствует действию сосредоточенной силы, направленной вдоль оси Oz.
 65127. Показать, что напряженное состояние, возникающее в неограниченном пространстве от действия сосредоточенной силы, приложенной в начале координат и направленной вдоль оси Оz, является чисто радиальным для несжимаемого материала.
 65128. Доказать, что значение гармонической функции в точке равно среднему арифметическому от этой функции по объему шара с центром в той же точке.
 65129. Доказать, что значение бигармонической функции f в центре шара радиуса R определяется по формуле f(0) = 3/8п [5/R3 int f dv - 1/R2 int f ds].
 65130. Найти смещение центра деформируемого шара, если известны перемещения на его поверхности. Показать, что если нормальное перемещение на поверхности отсутствует и коэффициент Пуассона материала шара равен 0,25, то смещение центра всегда равно нулю (предполагается, что массовых сил нет).
 65131. Найти значения компонент тензора деформаций в центре деформируемого шара, если известны перемещения на его поверхности.
 65132. Показать, что если нормальное перемещение на поверхности деформируемого шара равно нулю и коэффициент Пуассона материала равен нулю, то все компоненты тензора напряжений в центре шара равны нулю.
 65133. Определить деформацию полой цилиндрической трубы (внутренний радиус а, наружный — b), находящейся под действием равномерного внутреннего давления р0 и равномерного внешнего давления p1. Какому условию должны удовлетворять параметры a, b, р0 и р1, чтобы кольцевое напряжение sQQ обращалось в нуль на внутренней поверхности трубы?
 65134. Определить деформацию сплошной сферы радиуса а под влиянием собственного гравитационного поля. Найти области сжатия и растяжения.
 65135. Пусть функции фi(x, у, z), (i = 1, 2, 3) и ф(х, у, z) являются гармоническими. При каком условии формулы 2цu = ф1 + z dф/dx, 2цv = ф2 + z dф/dy, 2цw = ф3 + z dф/dz определяют решение однородных уравнений Ляме?
 65136. Получить выражения для объемного расширения и вращения в цилиндрических координатах r, z, если деформация является симметричной относительно оси z. Выписать для этого случая систему уравнений, которым должны удовлетворять объемное расширение и вращение, предполагая материал линейно-упругим, однородным и изотропным.
 65137. Пусть функции фi(x1, х2, x3), (i = 1, 2, 3) и ф(х1, х2, х3) являются гармоническими. При каком условии следующие формулы: ui = фi + (r2 - а2) dф/dxi, r2 = x1^2 + x2^2 + x3^2, а = const определяют решение однородных уравнений Ляме?
 65138. Определить распределение напряжений в неограниченной упругой среде с шаровой полостью, подвергаемой на бесконечности однородной деформации. На поверхности полости считать перемещения равными нулю. Рассмотреть отдельно случаи простого растяжения и чистого сдвига.
 65139. Пусть f — произвольный бигармонический вектор (ddf = 0). При каком значении постоянной А выражение u = df + A grad div f будет определять решение однородных уравнений Ляме?
 65140. Показать, что уравнениям равновесия в случае отсутствия массовых сил можно удовлетворить, полагая sx = d2ф3/dy2 + d2ф2/dz2, тxy = -d2ф3/dxdy, sy = d2ф1/dz2 + d2ф3/dx2, тyz = -d2ф1/dydz, sz = d2ф2/dx2 + d2ф1/dy2, тzx = -d2ф2/dzdx. Найти условия, налагаемые на функции фi сплошностью тела. Показать, что указанное решение уравнений равновесия можно получить, исходя из следующего общего выражения для перемещений: 2цu = d/dх(ф1 - ф2 - ф3), 2цv = d/dy(ф2 - ф3 - ф1), 2цw = d/dz(ф3 - ф1 - ф2).
 65141. Показать, что интеграл однородных уравнений Ляме можно написать в виде цu = dH/dz - 1/3 - 4v z grad divH, где Н — гармонический вектор. Найти выражения для напряжений тzx, тzy и sz.
 65142. Получить общее решение задачи теории упругости при отсутствии массовых сил для полупространства z > 0 в двух случаях: а) на границе z = 0 равны нулю касательные перемещения; б) на границе z = 0 равны нулю касательные напряжения.
 65143. Определить деформированное состояние, возникающее в упругом полупространстве z > 0 от действия сосредоточенной силы Р, приложенной в точке (0, 0, d > 0) и направленной вдоль оси Oz, если а) на границе z = 0 равны нулю перемещения; б) на границе z = 0 равны нулю напряжения тxz, туz и sz.
 65144. Найти распределение напряжений в полубесконечном теле z > 0, подверженном воздействию радиально симметричного давления, нормального к его поверхности и определяемого формулой р(r) = Pa/2п(r2 + a2)^3/2, а > 0, r2 = х2 + у2. Рассмотреть предельный случай а -- > 0.
 65145. Пусть два твердых тела соприкасаются друг с другом в точке, не являющейся особой точкой их поверхностей. Определить контур, ограничивающий поверхность контакта, и распределение давления по поверхности контакта, если результирующая сила давления между телами равна F. Трением на поверхности контакта пренебречь. Рассмотреть случай соприкосновения двух шаров.
 65146. Определить напряженное состояние, возникающее в упругом полупространстве z > 0 под эллиптическим штампом, нагруженным в центре силой Р. Трением на поверхности контакта пренебречь.
 65147. Определить деформированное состояние неравномерно нагретого шара со сферически симметричным распределением температуры.
 65148. Определить деформированное состояние неравномерно нагретого цилиндра с аксиально-симметричным распределением температуры.
 65149. Определить деформированное состояние в полупространстве z > 0 при наличии на поверхности точечного источника тепла мощностью Q. Грaницу z = 0 считать теплоизолированной.
 65150. Доказать, что поле температурных напряжений, возникающее в толстой плите 0 < z < h или в полупространстве z > 0, при произвольном распределении температуры на границах является плоским и параллельным границам, т.е. тzx = тzy = sz = 0 для любой точки тела.
 65151. При каком распределении температуры напряженное состояние внутри односвязного тела, не загруженного массовыми и поверхностными силами, отсутствует?
 65152. Предполагая плотность массовых сил равной нулю и поле перемещений плоским (u = u(x, у), v = v(x, у), w = 0), показать, что а) напряженное состояние можно представить в виде sх = d2F/dy2, sу = d2F/dx2, тxy = тyx = -d2F/dхdу, где F — бигармоническая функция напряжений (ddF = 0); б) выражение 1 - v/1 - 2v*Q + iw = h(z), где Q = du/dx + dv/dу и w = 1/2(dv/dх - du/dу), есть функция от комплексного переменного z = x + iy; в) перемещения u, v выражаются через функцию напряжений F по формулам 2цu = -dF/dx + 2цE, 2цv = -dF/dy + 2цh, где E + ih = int h(z)dz; г) общее решение уравнений теории упругости в комплексной форме можно представить в виде 2ц(u + iv) = (3 - 4v)ф(z) - zф'(z) - ф(z), где ф(z) и ф(z) — аналитические функции комплексного переменного z = х + iy; д) граничные условия для определения аналитических функций ф(z) и ф(z) имеют вид ф(z) + zф'(z) + ф(z) = i int(Xn + iYn)ds + const = i(X + iY) + const, где (X, Y) — главный вектор усилий, приложенных на границе со стороны положительной нормали к дуге (0, s).
 65153. Определить поле перемещений и напряженное состояние для случая h(z) = 1 - v/1 - 2v Q + iw = A/x + iy = A/z. Показать, что данное напряженное состояние соответствует действию силы, равномерно распределенной по прямой, проходящей через начало координат нормально к плоскости х, у и направленной по оси х.
 65154. Найти комплексные потенциалы ф(z) и ф(z), соответствующие решению предыдущей задачи.
 65155. Определить плоское деформированное состояние в упругой полуплоскости x > 0, нагруженной внутри сосредоточенной силой Rx, действующей вдоль оси х. Границу х = 0 считать свободной от внешних усилий.
 65156. Доказать, что конформные преобразования, при которых данная бигармоническая функция F, представленная в виде F = Re[zф(z) + x(z)], опять переходит в бигармоническую функцию, есть или подобие, или одно из преобразований, определяемых формулой z' = A[ф(z) - iCz] + В, где A, В и С — постоянные, А =/= 0 и постоянная С — действительная.
 65157. Определить распределение напряжений в неограниченной пластинке с круглым отверстием радиуса а, подвергаемой на бесконечности одноосному растяжению.
 65158. При решении задачи о чистом кручении призматического стержня с произвольным поперечным сечением, не изменяющимся вдоль оси стержня Oz, следуют «полуобратному методу», полагая u = -тzy, v = тzx, w = тф(x, у), т = const. Предполагая отсутствие массовых сил и считая боковую поверхность стержня свободной, найти условия, которым должна удовлетворять функция кручения ф(х, у).
 65159. Сформулировать задачу о чистом кручении призматического стержня с произвольным поперечным сечением, не изменяющимся вдоль оси стержня Oz, посредством функции напряжений F, полагая sх = sy = sz = тхy = 0, тxz = 2цт dF/dy, тyz = -2цт dF/dx. Рассмотреть случай, когда поперечное сечение стержня является многосвязным.
 65160. Доказать, что циркуляция касательного напряжения при кручении определяется по формуле int Tidl = 2цтs. Здесь Ti = тxz cos(t, х) + тyz cos(t, у) — проекция касательного напряжения в какой-либо точке контура с на направление касательной к этому контуру в рассматриваемой точке, s — площадь, охватываемая контуром с.
 65161. Пусть имеется тонкостенный трубчатый вал произвольного сечения с наружным контуром с0 и внутренним — c1. Доказать, что при кручении вала крутящий момент М и величина тангенциальной составляющей напряжения Тi определяются по формулам: M = 4цт s'/int dl/t, Ti = M/2s't, где с' — контур, проходящий посредине между контурами с0 и с1; s' — площадь, охватываемая контуром с' и t — малая переменная толщина стенки вала.
 65162. Стержень эллиптического сечения f(x, y) = x2/а2 + y2/b2 - 1 = 0 скручивается моментом Mz = M. Исследовать напряженно-деформированное состояние стержня.
 65163. Стержень с поперечным сечением в форме равностороннего треугольника высотой а скручивается моментом М. Исследовать напряженно-деформированное состояние стержня.
 65164. Какому сечению соответствует комплексная функция кручения ф + iфi = -ia(z - b2/z) - 1/2ib2, а > b > 0?
 65165. Имеется нелинейно-вязкая жидкость, векторные свойства которой выражаются совпадением направляющих тензоров напряжений и скоростей деформаций, а скалярные свойства определяются соотношениями vu = su/3ц(1 + as2u), s = -p + (L + 2/3ц) div v, где su, vu — интенсивности напряжений и скоростей деформаций, s = 1/3 skk, р — гидростатическое давление, а L, ц, а — константы. Выразить компоненты тензора скоростей деформаций через компоненты тензора напряжений. Написать эти соотношения для частного случая несжимаемой жидкости. Убедиться, что при а = 0 указанные соотношения переходят в соотношения между тензорами скоростей деформаций и напряжений для классической вязкой жидкости.
 65166. Изучить ламинарное установившееся течение нелинейно-вязкой несжимаемой жидкости, обладающей свойствами, указанными в Задаче 1.1, в круглой цилиндрической трубе, вызванное перепадом давления вдоль трубы. Определить распределение скоростей по сечению трубы и расход. Сравнить полученное решение с соответствующим решением Пуазейля для течения классической вязкой жидкости (Задача 10.2 раздела 4).
 65167. Нелинейно-вязкая несжимаемая жидкость, обладающая свойствами, указанными в Задаче 1.1, движется прямолинейно-поступательно между двумя неподвижными параллельными стенками у = ±h так, что компоненты скорости определяются соотношениями vx = v(y), vy = vz = 0. Найти функцию v(y).
 65168. Изучить течение нелинейно-вязкой несжимаемой жидкости, обладающей свойствами, указанными в Задаче 1.1, между двумя коаксиальными цилиндрами радиусов а и b, когда внешний цилиндр (r = b) неподвижен, а внутренний (r = а) вращается с постоянной угловой скоростью w. Получить, как частный случай, решение для течения Куэтта классической вязкости жидкости.
 65169. Для идеальной жесткопластической среды Сен-Венана написать замкнутую систему уравнений для определения компонент тензора напряжений и компонент вектора скорости при плоском течении и отсутствии массовых сил, предполагая, что течение медленное, и пренебрегая вследствие этого в уравнениях движения членом, содержащим ускорение dv/dt.
 65170. При плоском течении жесткопластической среды могут быть введены два ортогональных семейства линий скольжения — линий, в каждой точке касающихся площадки максимального касательного напряжения т. Написать дифференциальные уравнения линий скольжения семейств а и b (рис. '). Показать, что условие пластичности будет удовлетворено, если принять sхх = s - k sin2Q, syy = s + k sin2Q, sху = k cos2Q (k = 1/ |/3ss). Из дифференциальных уравнений равновесия получить систему уравнений для определения функций s(х, у) и Q(x, у). Показать, что вдоль линий скольжения семейств а, b имеют место соответственно соотношения s - 2kQ = с1, s + 2kQ = с2, где с1, с2 — константы, зависящие от линии скольжения.
 65171. Показать, что поле напряжений sxx = -k(x/h - 2|/1 - y2/h2) - c, syy = -k x/h - c, sxy = k y/h (1) и поле скоростей vx = v0(x/h - 2|/1 - y2/h2), vy = -v0 y/h (2) дают решение задачи о сжатии тонкого пластического слоя протяженностью 2l и толщиной 2h(h/l << 1) жесткими шероховатыми плитами, которые движутся навстречу друг другу со скоростью v0, в предположении, что на поверхностях контакта касательные напряжения достигают максимального значения, т.е. |sху| = k (рис. ). Найти линии скольжения, соответствующие решению (1), (2).
 65172. Изучить неограниченное пластическое течение в цилиндрической трубе, возникающее под действием внутреннего и внешнего давлений р и q (p > q), предполагая материал трубы жесткопластическим и считая, что весь материал находится в условиях пластического течения, а концы трубы не могут перемещаться в осевом направлении (vz = 0). Найти значения давлений р и q, необходимые для поддержания трубы в чисто пластическом состоянии. Задачу рассмотреть в статической постановке, пренебрегая ускорениями точек.
 65173. Изучить установившееся течение вязкопластической среды, обладающей свойствами, указанными в Задаче 3.1, в круглой цилиндрической трубе, вызванное перепадом давления вдоль трубы. Найти область, где имеется пластическое течение, и область, где среда перемещается, как абсолютно твердое тело. Сравнить полученное решение с решением для течения Пуазейля классической вязкой жидкости в круглой цилиндрической трубе.
 65174. Изучить установившееся течение вязкопластической среды, обладающей свойствами, указанными в Задаче 3,1, между двумя коаксиальными цилиндрами радиусов а и b, когда внешний цилиндр (r = b) вращается с постоянной угловой скоростью w, а внутренний (r = а) удерживается в покое крутящим моментом М. Найти условия, при которых осуществляются различные режимы движения: вся пластическая масса перемещается как абсолютно твердое тело; во всей области, занимаемой средой, имеется пластическое течение; одновременное наличие областей пластического течения и движения среды как абсолютно твердого тела. Сравнить полученное решение с решением задачи о течении Куэтта классической вязкой жидкости.
 65175. Скалярные свойства среды в теории малых упругопластических деформаций при изотермическом активном процессе деформации выражаются соотношениями su = Ф(еu), s = ЗКe, а векторные — совпадением направляющих тензоров напряжений и деформаций; здесь su, еu — интенсивности напряжений sij и деформаций eij, s = 1/3skk, е = 1/3ekk, К — модуль объемного сжатия. Написать соотношения между напряжениями и деформациями и дать математическую постановку задачи теории малых упругопластических деформаций в перемещениях, считая процесс деформации квазистатическим, при заданных на части su поверхности тела перемещениях и на части ss — напряжениях.
 65176. Доказать, что при заданных массовых Fi и поверхностных qi силах и перемещениях фi напряжения sij и деформации eij определяются краевой задачей теории малых упругопластических деформаций (Задача 4.1) единственным образом.
 65177. Пусть на тело произвольной формы, материал которого обладает свойствами, указанными в Задаче 4.1, действуют массовые Fi и поверхностные qi силы, пропорциональные параметру L, являющемуся некоторой функцией времени Fi = L(t)Fi0(x1, x2, x3), qi = L(t)qi0(x1, х2, x3). Доказать, что для того чтобы нагружение в каждой точке тела было простым, достаточно выполнения двух условий: закон упрочнения su = Ф(еu) имеет вид su = Aеu^x, где A и х — произвольные постоянные, и материал тела является несжимаемым е = 0.
 65178. В рамках теории малых упругопластических деформаций рассмотреть задачу о кручении сплошного стержня круглого поперечного сечения, предполагая, что поперечные сечения поворачиваются вокруг оси стержня как жесткое целое, причем относительный поворот двух поперечных сечений пропорционален расстоянию между ними. Построить решение при произвольном законе упрочнения su = Ф(еu), а также рассмотреть случаи линейного упрочнения: su = 3G eu(1 - w), w = #### и отсутствия упрочнения (L = 1).
 65179. Определить напряжения и деформации при упругопластической деформации толстостенной трубы, находящейся под действием равномерных внутреннего и внешнего давлений в условиях, когда осевая деформация отсутствует (ezz = 0), считая материал трубы несжимаемым. Для случая, когда отсутствует упрочнение и действует только внутреннее давление p, найти величину давления, при котором весь материал трубы находится в пластическом состоянии, и распределение напряжений в этом случае. Определить остаточные напряжения при снятии давления р.
 65180. Построить решение задачи теории малых упругопластических деформаций о деформации полого шара под действием равномерных внутреннего и внешнего давлений с учетом сжимаемости материала.
 65181. Напряжения sij и деформации eij в теории линейной вязкоупругости в случае, когда по отношению к объемным свойствам среда не обладает вязкостью, связаны соотношениями sij(t) = int Г(t -т)eij(т)dт, s = 3Ke, где s = 1/3 skk, е = 1/3 ekk, sij = sij - sdij, eij = eij - edij. Найти зависимости между деформациями и напряжениями в дифференциальной форме для среды Максвелла, ядро сдвиговой релаксации Г(t) которой имеет вид Г(t) = 2Gd(t) - 2G2/ц e^-G/ц*t, где G, ц — константы, а d(t) — дельта-функция Дирака.
 65182. Соотношения (1) Задачи 5.1, разрешенные относительно деформаций, имеют вид eij(t) = int K(t - т)sij(т)dт, e = s/3K. Здесь K(t) — ядро сдвиговой ползучести, К — модуль объемного сжатия. Найти зависимости между напряжениями sij и деформациями eij в дифференциальной форме для среды Фойгта, ядро К(t) которой выбрано в форме K(t) = 1/2ц e^-G/ц*t.
 65183. Соотношения между напряжениями sij и деформациями eij в линейной теории вязкоупругости заданы в форме sij(t) = int R(t - т)deij(т), s(t) = KQ(t), причем разрешенные относительно деформаций, они имеют вид eij(t) = int П(t - т)dsij(т), Q(t) = 1/K s(t). Здесь s = 1/3 skk, Q = ekk, sij = sij - sdij, eij = eij - 1/3 Qdij, R(t) и П(t) — функции релаксации и ползучести. Применяя преобразование Лапласа — Карсона с действительным параметром р f(p) = p int f(t)e^-pt dt к уравнениям, определяющим краевую задачу линейной теории вязкоупругости, показать, что полученная задача в изображениях совпадает с соответствующей задачей классической теории упругости, если в последней произвести замену 2G -- > R, 1/2G -- > П, sij -- > sij, s -- > s, eij -- > eij, Q -- > Q, ui -- > ui, qi -- > qi, фi -- > фi, где G — модуль сдвига в задаче теории упругости, qi, фi — заданные на поверхности напряжения и перемещения, ui — вектор перемещения.
 65184. Пусть решение некоторой задачи теории упругости представлено в виде S = ####, W = ####. Здесь S — искомая величина, размерность которой с точностью до множителя, имеющего размерность, зависящую только от длины, совпадает с размерностью силы (напряжение, изгибающий момент, реакция и т. п.), W — искомая величина, размерность которой зависит только от длины (перемещение, прогиб, кривизна, угол поворота и т. п.), К — модуль объемного сжатия, w = 2G/3K = 1 - 2v/1 + v (G — модуль сдвига, v — коэффициент Пуассона), Р — заданная сила, u — заданное перемещение. Величины rik — совокупности геометрических размеров тела и координат (величины rih не зависят от упругих свойств тела и заданных сил и перемещений). Используя результаты Задачи 5.3, найти решение (величины S и W) для соответствующей задачи теории вязкоупругости.
 65185. Консоль длиной l, имеющая прямоугольное поперечное сечение шириной 2b и высотой 2h, изгибается силой P, приложенной на конце х = 0. Решение задачи теории упругости для максимального нормального напряжения S = smах (x = l, y = h) и для максимального прогиба оси балки W = vmax (х = 0, у = 0) дает S = Phl/l, W = Pl3/3EI = Pl3/27IK(1 + 2/w), где l — момент инерции поперечного сечения (l = 4/3 bh3). Найти величины S, W для соответствующей задачи линейной теории вязкоупругости при действии на конце консоли силы P(t).
 65186. Круглый вал радиуса а закручивается приложенным к его торцам моментом М. Направив ось z по оси вала, для отличных от нуля напряжений sxz, syz и для компонент u, v вектора перемещений (по осям х, у) из решения упругой задачи найдем sxz = -M/l y, syz = M/l x, u = -M/GI yz = -2M/3KI yz 1/w, v = M/GI xz = 2M/3KI xz 1/w, где I = 1/2 па4 — полярный момент инерции поперечного сечения вала. Найти величины sxz, syz, u, v для соответствующей задачи линейной теории вязкоупругости, когда на торцах вала приложен крутящий момент M(t). Рассмотреть случай, когда в момент t = 0 к торцам вала прикладывается постоянный крутящий момент.
 65187. Неограниченный полый цилиндр внутреннего радиуса а и внешнего радиуса b находится под действием внутреннего давления р. Решение задачи теории упругости для напряжений sr, sQ и радиального перемещения и имеет вид sr = pa2/b2 - a2(1 - b2/r2), sQ = pa2/b2 - a2(1 + b2/r2), u = pa2r/b2 - a2[1 - v/E + b2/r2*1 + v/E] = pa2r/b2 - a2[2/9K + 1/3K*1/w(1/3K + b2/r2)]. Найти величины sr, sQ, u в соответствующей задаче вязкоупругости при наличии внутреннего давления p(t).
 65188. Диск постоянной толщины радиуса b вращается с переменной угловой скоростью W(t). Решение задачи теории упругости для радиального перемещения W = ur на контуре r = b дает W = (1 - v)P(t)b3/4E = P(t)b2/36K(2 + 1/w), где обозначено P(t) = pW2. Определить величину W для задачи вязкоупругости.
 65189. Решение Задачи 5.8 для тангенциального напряжения S = qQ на контуре r = b имеет вид S = P(t)b2/4*(1 - v) = P(t)b2/4*1 + 2w/2 + w, P(t) = pW2. Используя аппроксимацию функции ф(w) ф(w) = 1 + 2w/2 + w ~ 1/2 + 3/4 w (для 0 < w < 0,25 эта аппроксимация дает ошибку не более 3 %), найти приближенное значение величины S для задачи вязкоупругости.
 65190. Имеется установившееся движение несжимаемой вязкой жидкости в цилиндрической трубе за счет перепада давлений i - p1 - p2/l вдоль трубы. На основе анализа размерностей найти соотношения, определяющие объемный расход Q трубы (объем жидкости, протекающей в единицу времени через поперечное сечение трубы) и среднюю по сечению трубы скорость v. Конкретизировать эти соотношения для ламинарного медленного движения жидкости в трубе, когда свойство инерции жидкости несущественно.
 65191. Определить силу Р сопротивления, которое жидкость оказывает движущемуся в ней с постоянной скоростью v твердому телу, для следующих случаев: а) жидкость вязкая, несжимаемая; силы инерции существенны; б) жидкость вязкая, несжимаемая; движение медленное и силами инерции можно пренебречь; в) жидкость идеальная, сжимаемая.
 65192. Упругое тело (крыло) находится в потоке идеальной несжимаемой жидкости, движущейся поступательно с постоянной на бесконечности скоростью v. При скоростях потока, больших некоторой критической скорости vкр, возникает неустойчивость движения, приводящая к росту амплитуд перемещений для возмущенных колебаний упругого тела в потоке (явление флаттера). Считая, что свойства устойчивости движения определяются системой параметров E, l, m, р, v, v, где Е — модуль Юнга, v — коэффициент Пуассона, l — характерный размер и m — характерная масса тела, р — плотность жидкости, найти структуру соотношения, определяющего критическую скорость (скорость флаттера) vкр.
 65193. При движении корабля с постоянной скоростью v сопротивление Р, испытываемое кораблем со стороны жидкости, и смоченная площадь S определяются системой параметров l, d, р, ц, g, v, где g — ускорение силы тяжести, l — характерный размер, d — объемное водоизмещение (размерность — длина в кубе) корабля, р — плотность, ц — вязкость жидкости. Определить структуру соотношений, определяющих сопротивление Р и смоченную площадь S при движении корабля.
 65194. Жесткий круговой конус внедряется в несжимаемую вязкую жидкость, занимающую полупространство z > 0. Ось конуса направлена по нормали к поверхности z = 0, конус внедряется с постоянной скоростью v. Определить силу сопротивления Р внедрению и глубину погружения h конуса за время t при большой скорости v, когда существенны силы инерции жидкости, и при малой скорости v, когда силами инерции можно пренебречь.
 65195. Жесткий цилиндр постоянного поперечного сечения внедряется в несжимаемую вязкую жидкость, занимающую полупространство z > 0. Ось цилиндра направлена по нормали к поверхности z = 0, цилиндр внедряется с постоянной скоростью v. Определить силу сопротивления Р внедрению и глубину погружения h цилиндра за время t. Рассмотреть случай внедрения цилиндра с малой скоростью v, когда силами инерции можно пренебречь.
 65196. Рассмотреть Задачу 1.6 для случая, когда цилиндр внедряется в идеальную несжимаемую жидкость.
 65197. Жесткий круговой конус внедряется в идеальную несжимаемую жидкость с переменной скоростью v = bt^b, где b — безразмерная постоянная, а b — константа, размерность [b] которой определяется соотношением [b] = [v]/[tb]. Ось конуса направлена по нормали к свободной поверхности z = 0 жидкости. Определить силу сопротивления Р внедрению и глубину h погружения конуса за время t.
 65198. Упругий призматический брус постоянного поперечного сечения подвергается кручению приложенным на торцах крутящим моментом М. На основе анализа размерностей найти соотношения, определяющие угол закручивания Q, приходящийся на единицу длины бруса, и максимальное касательное напряжение т, действующее в поперечном сечении бруса.
 65199. На границе z = 0 полупространства приложена сосредоточенная, нормальная к границе полупространства сила Р (Задача Буссинеска). Найти прогиб w (перемещение в направлении оси z) точки границы, отстоящей на расстоянии r от точки приложения силы Р.
 65200. На границе z = 0 упругого полупространства в круге r < а действует нормальное распределенное давление q(r). Найти прогиб w0 границы полупространства в точке r = 0.