Earth curvature of space2 curvature of space1
Банк задач

Вход на сайт
Регистрация
Забыли пароль?
Статистика решений
Тип решенияКол-во
подробное решение57480
краткое решение7556
указания как решать1341
ответ (символьный)4703
ответ (численный)2335
нет ответа/решения3776
ВСЕГО77191

База задач ФизМатБанк

 64101. Найдите закон движения первоначального неподвижного консервативного осциллятора после прекращения действия внешней силы, зависящей от времени по закону F(t) = p E d(t - nT). Постройте график зависимости амплитуды установившихся колебаний от безразмерного параметра wТ. При каких значениях этого параметра амплитуда максимальна? Равна нулю?
 64102. На рис. изображена механическая модель возбуждения атома ультрарелятивистким электроном. Заряженный шарик на пружинке представляет собой связанный в атоме электрон на внешней электронной оболочке. Из бесконечности с очень большой скоростью v мимо осциллятора пролетает другой шарик, с таким же зарядом е, в результате чего первый шарик начинает совершать колебания. Найдите их амплитуду. Предполагается, что движения пружинки могут происходить только в горизонтальном направлении и выполняется условие v >> Iw0, w0 — собственная частота колебаний. Масса "электрона" m.
 64103. На осциллятор с собственной частотой w и добротностью Q >> 1 действует периодическая сила, зависящая от времени по закону F(t) = {f0, nТ < t < (n + 0,5)T, n = 0, ±1, ±2,...; {0, в остальные моменты времени, причем Т = 2п/w. Найдите величины постоянного смещения осциллятора от положения равновесия и амплитуду его колебаний.
 64104. Маятник в виде невесомого стержня длины l с маленьким грузом на конце вращается на горизонтальной платформе с угловой скоростью w вокруг оси, проходящей через точку подвеса. При какой величине w нижнее вертикальное положение маятника является устойчивым?
 64105. Частица массы m движется по круговой орбите радиуса R в поле центральных сил, потенциал которого равен U(r) = -сm/r^n, с > 0. При каких n круговая орбита устойчива по отношению к малым возмущениям движения частицы?
 64106. Математический маятник длины I = 1 м отклонили от верхнего положения равновесия на угол 0,01° и отпустили без начальной скорости. За какое время угол отклонения увеличится в 100 раз?
 64107. Частица движется в "потенциальной яме" вида U(x) = U0[(x/l)3 - p(x/l)], где -oо < р < оо. При каких значениях параметра р возможно состояние неустойчивого равновесия в системе? Получите уравнения движения частицы вблизи устойчивого и неустойчивого положений равновесия.
 64108. На плоскости действительных параметров а и b выделите область, соответствующую устойчивому состоянию равновесия системы с характеристическим уравнением р4 + (а + b)p3 + p2 + ар + b = 0.
 64109. Найдите условия устойчивости состояния равновесия динамических систем, заданных характеристическими уравнениями. На плоскости действительных параметров а и b выделите области, соответствующие асимптотически устойчивому состоянию равновесия. 1) ар + b = 0 2) р2 + ар + b = 0 3) р3 + ар2 + bp + 1 = 0 4) р4 + ар3 + bp2 + р + 1 = 0.
 64110. На плоскости действительных параметров а и b выделите область, соответствующую устойчивому состоянию равновесия системы с характеристическим уравнением p3 + (b + 3)р2 + Зар + а + b = 0.
 64111. Постройте D-разбиение области комплексного параметра L для системы с характеристическим уравнением Lр5 + р4 + 2р3 + р2 + 2р + 1 = 0.
 64112. Исследуйте на тип и устойчивость положения равновесия динамической системы ах = х2 + у -1, у = ху.
 64113. Для системы x = x/2 - xy/а + х - bx2, у = xy/а + х - y/2, где а > 0, b > 0, 2аb > 1, найдите положения равновесия, исследуйте их типы и устойчивость.
 64114. Динамика ядерного реактора в простейшем случае описывается системой уравнений: dN/dt = sN/l, mс dT/dt - k(T- T1), где N — мощность реактора, Т — его температура, I — время жизни одного поколения нейтронов, m — масса реактора, с — удельная теплоемкость, s = -а(Т - Т0) — реактивность реактора, а > 0, Т1 — температура окружающей реактор среды, Т1 < Т0, k — коэффициент теплоотдачи от реактора к охладителю. Получите уравнения динамики реактора в безразмерном виде, найдите точки положения равновесия системы и исследуйте их на устойчивость.
 64115. Мальчик раскачивает качели, дважды за период колебаний резко приседая и резко выпрямляя ноги. В какие именно моменты он должен делать это, чтобы качели раскачивались наиболее быстро?
 64116. Емкость в колебательном контуре меняется через равные интервалы времени т от С1 до С2 и обратно, причем dС = С2 - С1 << С0 = (С1 + С2)/2. На плоскости параметров (dС/С0, w0т), w0^2 = 1/LC0, найдите зоны параметрической неустойчивости системы.
 64117. Емкость конденсатора в колебательном контуре с добротностью Q >> 1 меняется периодически по закону C(t) = С0 + dC cos(pt), где р ~ 2w0, dС << С0. На плоскости параметров ((p - 2w0)/w0, dС/С0) найдите границу зоны параметрической неустойчивости. Какова должна быть минимальная величина модуляции емкости dС/С0, чтобы неустойчивость возникла?
 64118. В колебательном контуре с собственной частотой w, возбуждены колебания, амплитуда которых U0. Емкость контура периодически меняют по закону С(t) = С0 + dC cos(2wt), где dС << С0. Какая работа совершается за один период?
 64119. Используя решение задачи 67, найдите условие для порога возникновения неустойчивости для колебательного контура с добротностью Q. Сравните полученный результат с результатом из задачи 66.
 64120. Математический маятник длины I находится в верхнем положении равновесия, а его точка подвеса совершает колебания в вертикальной плоскости с частотой р >> w0 = |/ g/l и амплитудой а (маятник Капицы). При каком условии движение маятника вблизи верхнего положения равновесия будет устойчивым?
 64121. Три шарика расположены вдоль одной прямой и соединены между собой пружинами жесткостью k, как показано на рис. , причем крайние шарики имеют массу m, а средний - 2m. Найдите собственные моды колебаний такой системы.
 64122. Балка длины L и массы М подвешена за концы на двух одинаковых пружинах жесткостью k (рис. ). В начальный момент времени один из концов балки отклонили вниз на малую величину а, а второй удерживали руками, а затем систему отпустили. Найдите закон колебания балки во времени. Указание: считайте, что концы балки могут двигаться только в вертикальном направлении.
 64123. Для системы трех идентичных маятников, связанных пружинками (рис. ) найдите собственные частоты и собственные векторы нормальных типов колебаний.
 64124. Проделайте решение задачи 83 для случая, когда в системе связаны 4 маятника. Указание. Если затруднительно решить алгебраическое уравнение 4-го порядка, то можно найти две собственные частоты из соображений симметрии и понизить порядок характеристического уравнения.
 64125. Найдите собственные моды колебаний системы, изображенной на рис. .
 64126. Три шарика массы m лежат на абсолютно гладком столе и скреплены одинаковыми пружинами так, что в состоянии равновесия шарики находятся в вершинах равностороннего треугольника (см. рис. ). Жесткости всех пружин k. Найдите все собственные частоты колебаний в такой системе.
 64127. В конденсаторе колебательного контура находится один электрон. Получите уравнения связанных колебаний заряда в контуре и электрона в конденсаторе. Оцените, на сколько изменится собственная частота контура из-за присутствия электрона. Конденсатор считайте плоским.
 64128. При каком условии гармоническая волна f(x, t) = Re {A exp[j(wt - kx)]} будет решением волнового уравнения d2f/dt2 - v2 d2f/dx2 = 0. Какова скорость распространения этой волны?
 64129. Длинная струна прикреплена к стенке. По струне распространяется со скоростью 1 м/с возмущение, имеющее вид равнобедренного треугольного импульса (рис. ). В начальный момент времени вершина импульса отстоит от стены на расстояние 2 м. Нарисуйте профиль струны спустя 2 с и спустя 5 с после начала.
 64130. Получите общее решение волнового уравнения, удовлетворяющее начальным условиям F(х, 0) = ф(x), Ft(х, 0) = ф(х).
 64131. Пусть скорость V — распространения возмущения в волновом уравнении равна. Как будет выглядеть решение при больших временах, если при t = 0: 1) f(x, 0) — прямоугольный импульс с шириной d и единичной высотой, a df(x, t)/dx = 0; 2) наоборот, f(x, 0) = 0, a df(x, t)/dx — прямоугольный импульс с шириной d и единичной высотой?
 64132. Покажите, что малые отклонения натянутой рояльной струны от положения равновесия y(x, t) удовлетворяют линейному волновому уравнению. Натяжение невозмущенной струны Т, линейная плотность р. Найдите скорость поперечных волн в струне.
 64133. Покажите, что звуковые волны в газе удовлетворяют линейному волновому уравнению. Получите формулу для скорости звука в газе. Вычислите эту скорость для кислорода, азота и воздуха.
 64134. Плоская электромагнитная волна распространяется в однородной среде с диэлектрической проницаемостью е и магнитной проницаемостью ц. Покажите, что любая отличная от нуля компонента электромагнитного поля удовлетворяет линейному волновому уравнению. Найдите выражение для показателя преломления среды.
 64135. По заданным волновым уравнениям получите дисперсионные характеристики и нарисуйте их. a) d2F/dt2 - v2 d2F/dx2 + w0F = 0; b) dF/dt + v dF/dx - a d3F/dx3 = 0; c) i dF/dt - a d2F/dx2 = 0.
 64136. Вычислите фазовые и групповые скорости для волн в средах со следующими дисперсионными уравнениями: а) w = vk + w0 b) w2 = w0^2 + v2k2 c) w2 = kg + k3a/p d) w2 = c2k2/(1 + r2dk2). Постройте зависимости vф(k) и vгp(k) графически.
 64137. Волна в среде описывается уравнением dF(x, t)/dt - i int (x - x')F(x', t)dx' = 0. Получите соответствующее дисперсионное уравнение.
 64138. По поверхности воды в реке распространяются волны, представляющие собой узкий спектральный волновой пакет. Наблюдатель, стоящий на берегу, видит, что пакет состоит из N >> 1 гребней. Сколько колебаний совершит поплавок, за то время, пока пакет будет распространяться мимо него? Волны гравитационные.
 64139. В среде с дисперсией w(k) распространяется волновой пакет с центральным значением волнового числа k0 и шириной спектра dk << k0. Покажите, что если выполняется условие vгр(k0) =/= 0, то на некотором интервале времени т движение пакета можно представить в виде f(x, t) = F [x - vгр(k0)t]е^i(w(k0)t - k0x), где F(x) — медленно меняющаяся в масштабах длины волны 2п/k0 огибающая. Дайте оценку временному интервалу т.
 64140. В условиях задачи 110 получите уравнение в частных производных, которому удовлетворяет огибающая волнового пакета F(x, t).
 64141. В среде с дисперсией w(k) распространяется волновой пакет с центральным значением волнового числа k0 и шириной спектра dk << k0, причем vгр(k0) = 0. Покажите, что движение пакета можно представить в виде f(x, t) = F(x, t)e^i(w(k0)t - k0x), где F(x, t) — медленно меняющаяся в масштабах длины волны 2п/k0 огибающая. Получите уравнение в частных производных для F(x, t).
 64142. Найдите систему отсчета в которой волна е^i(wt - kx) будет неподвижна.
 64143. В среде распространяется гармоническая волна вида е^i(wt - kr). Какое волновое поле увидит наблюдатель, двигающийся относительно среды со скоростью v? Найдите закон преобразования частоты и волнового числа при переходе из одной системы отсчета в другую.
 64144. Динамик громкоговорителя излучает звук на частоте w0. Какую частоту будет воспринимать наблюдатель в случае, если: 1) Динамик укреплен на перроне, а наблюдатель движется на поезде со скоростью V? 2) Наблюдатель стоит на перроне, а динамик находится на поезде? Скорость звука с.
 64145. Найдите формулы для эффекта Допплера в случае, когда наблюдатель двигается с релятивистской скоростью.
 64146. Осциллятор с собственной частотой w0 движется со скоростью v и излучает электромагнитную волну. Угол между направлением движения осциллятора и направлением на удаленного наблюдателя в системе отсчета, связанной с осциллятором, равен ф. Какую частоту измерит наблюдатель?
 64147. Осциллятор с собственной частотой w0 движется с ультрарелятивистской скоростью v. Какова частота волн, излучаемых по направлению движения осциллятора? Выразите коэффициент преобразования частоты через релятивистский фактор y в случае, когда y >> 1.
 64148. В среде распространяется электромагнитная волна, имеющая продольную компоненту электрического поля E(x, t) = E0 cos(w0t - k0х). В том же направлении летит электрон с нерелятивистской скоростью v0. Под действием электрического поля электрон начинает совершать колебания с некоторой частотой. Найдите амплитуду этих колебаний, если при t = 0 координата электрона х = 0. Известно, что амплитуда колебаний мала по сравнению с длиной волны.
 64149. На зеркало, движущееся относительно неподвижной системы отсчета с ультрарелятивистской скоростью v, падает перпендикулярно поверхности навстречу движения плоская электромагнитная волна с частотой w. Найдите частоту отраженной волны. Ответ выразите через релятивистский фактор y >> 1.
 64150. Дисперсионное уравнение для электромагнитной волны в полой металлической трубе (металлическом волноводе) имеет вид w2 = w0^2 + c2k2, где с — скорость света. Найдите вид дисперсионного уравнения в системе отсчета, движущейся вдоль оси волновода со скоростью v относительно исходной.
 64151. В среде могут распространяться волны с фазовой скоростью vф(k). В этой среде движется с постоянной скоростью V источник возмущений и в каждой точке излучает плоскую волну с частотой w и волновым числом k. Покажите, что по всем направлениям, кроме определяемого условием черенковского излучения cosQ = vф/V, волны, испущенные в разных точках траектории будут взаимно гасить друг друга.
 64152. Система, имеющая внутренние степени свободы, движется с нерелятивистской скоростью v0 в среде с показателем преломления n и излучает фотон с энергией hw и импульсом hk. Получите формулу, связывающую изменение внутренней энергии системы dU с энергией фотона и направлением излучения. Энергия фотона мала по сравнению с кинетической энергией электрона.
 64153. При каких значениях постоянной скорости нерелятивистская частица будет излучать в среде с дисперсией w2 = сk + аk3? Найдите частоту такого излучения по направлению движения частицы. Коэффициенты с, а > 0.
 64154. Найдите связь между групповой и фазовой скоростью для гравитационных и капиллярных волн на поверхности глубокой воды.
 64155. Постройте графики зависимости фазовой и групповой скорости капилярно-гравитационных волн на глубокой воде от волнового числа k. С какой минимальной скоростью должен двигаться по поверхности жидкости объект, чтобы возбуждать бегущие волны? Выполните соответствующую оценку для глубокой воды.
 64156. Оцените длины волн на глубокой воде, которые могут считаться капиллярными (гравитационными). Выполните те же оценки для волн на поверхности ртути.
 64157. Какова групповая скорость волн, для которых океан является "мелким"?
 64158. К кораблю в океане стали приходить волны. Было замечено, что в 12 часов волны в 2 раза короче, чем в 10 часов. Когда начался шторм?
 64159. Модель корабля в 0,01 натуральной величины испытывается в бассейне. Проектная скорость равна 36 км/час. С какой скоростью надо буксировать модель, чтобы картинка гравитационных волн соответствовала реальной?
 64160. Покажите, что для гравитационных волн при условии kh << 1 (h - глубина жидкости) можно использовать приближенный закон дисперсии w = сk - bk3 и найдите константы с и b. Покажите, что учет капиллярности в этом приближении приводит лишь к поправке на величину b.
 64161. При движении судна со скоростью V за его кормой образуется последовательность волн, которые движутся вместе с судном и их фронт перпендикулярен направлению движения. Найдите длину этих волн. Проведите оценку для V = 20 км/час.
 64162. Поперек глубокого ручья лежит ствол дерева, наполовину погруженное в воду. Около ствола возникает картина стоячих волн, изображенная на рис. Какова длина волн перед деревом и после него? Скорость воды V.
 64163. На поверхность спокойной воды падает камень. Найдите картину волн на достаточно большом расстоянии от точки падения. Размер камня порядка 10 см.
 64164. Покажите, что гравитационные волны на поверхности воды за движущимся судном заключены в пределах конуса с вершиной в точке мгновенного положения судна и углом раскрыва ~ 39°.
 64165. Постройте картину гравитационных волн за движущимся судном.
 64166. Постройте картину капиллярных волн, создаваемых движущимся точечным источником на поверхности воды.
 64167. Оцените коэффициент затухания гравитационных волн на поверхности глубокой жидкости. Каков порядок величины коэффициента затухания для волн на воде с L = 1 м?
 64168. Оцените коэффициент затухания капиллярных волн на поверхности глубокой жидкости. По какому закону зависит коэффициент затухания от длины волны? До каких значений длин волн имеет смысл говорить о распространении капиллярных волн? Проведите численные оценки для воды и ртути.
 64169. Найдите дисперсионное уравнение для системы взаимодействующих волн dF/dt + v1 dF/dx = eI, dI/dt - v2 dI/dx = ±eF, v1, v2 > 0. Нарисуйте отдельно дисперсионные характеристики, соответствующие знакам + и - в правой части второго уравнения. В каком случае в системе реализуется неустойчивость, а в каком — непропускание?
 64170. Проведите решение задачи 149, считая, что волны распространяются в одну сторону (это соответствует знаку плюс перед пространственными производными в обоих уравнениях).
 64171. Исследуйте дисперсионные характеристики для систем связанных волн из задач 149 и 150 на наличие неустойчивости. Для каждого из четырех эталонных уравнений двух связанных волн определите тип неустойчивости, если она существует.
 64172. Нарисуйте дисперсионную характеристику для случая слабой связи волн, описываемых дисперсионным уравнением k2с2/w2 = 1 - wp/w - vk - w0, 0 < v < с. Существует ли в этой системе неустойчивость? Исследуйте все возможные случаи, реализующиеся при различных соотношениях между параметрами, входящими в дисперсионное уравнение.
 64173. На рис. показана балка с погонной плотностью р и жесткостью на изгиб Е, лежащая на упругой опоре с распределенным коэффициентом жесткости К. Балка подвергается продольному сжатию с силой Р. Поперечное смещение балки y(x, t) описывается уравнением рytt + Кy + Рyхх + Eyxххх = 0. При какой силе Р малое поперечное смещение балки будет неограниченно возрастать?
 64174. Отрезок системы длины l с законом дисперсии w2 - с2k2 = -е2 замкнули в кольцо. При какой длине в системе возникнет неустойчивость?
 64175. Система двух связанных волн описывается дисперсионным уравнением [w - w1(k, b)] [w - w2(k, b)] = -e2, где w1(k, b) и w2(k, b) — заданные функции частоты и параметра b, а е — коэффициент связи. Найдите уравнения, определяющие на плоскости параметров (b, е) границу области, в которой система будет неустойчива.
 64176. В пространстве параметров найдите область неустойчивости для дисперсионного уравнения (w - vk)(w - w0 - сk2) = -e2.
 64177. Выясните характер неустойчивости в системе, описываемой дисперсионным уравнением (w - kv + w0)(w - kv - w0) = e2/k2 + d2 вблизи границы возникновения неустойчивости.
 64178. Выясните характер неустойчивости в системе с дисперсионным уравнением w = k2 + 1/k - B - iv, v -- > -0, где w, k — безразмерные частота и волновое число.
 64179. В среде могут распространяться волны, дисперсионное уравнение которых имеет вид (w2 - с2k2 - w0^2 - id) (w - kv) = -e0^3, где v > с, с, d, e0 > 0, d, e0 << w0. Длинный отрезок такой среды поместили между двумя частично отражающими зеркалами. При каких условиях система будет неустойчива?
 64180. В некоторых озерах, имеющих сильно вытянутую форму, наблюдается явление, называемое сейши. Оно состоит в том, что поверхность воды в озере совершает колебания, напоминающие колебания в стакане с чаем, когда его подносят к столу. При этом колебания в двух точках, расположенных на противоположных удаленных берегах озера, происходят в противофазе. Объясните это явление и найдите частоту колебаний. Средняя глубина озера Н, длина вдоль вытянутой стороны — L. Проведите численную оценку периода колебаний для L = 50 км, Н = 50 м.
 64181. Найдите собственные типы колебаний (то есть собственные частоты и собственные векторы) системы из N идентичных связанных маятников, если два крайних маятника закреплены. Длины всех маятников l, массы m, жесткость соединяющих пружинок k.
 64182. Найдите частоты колебаний отрезка двухпроводной линии длиной l, если она замкнута на обоих концах. Погонные емкость и индуктивность линии С и L.
 64183. Длинная линия с погонными емкостью С и индуктивностью L с одной стороны закорочена, а с другой нагружена на конденсатор С0. Найдите наименьшую частоту колебаний в такой системе для случаев Cl << C0 и Cl >> C0.
 64184. Однородная струна, имеющая массу М и длину L подвешена вертикально за один из концов. На другом конце струны закреплен шарик массы m (рис. ). Найдите частоты собственных колебаний струны при малых отклонениях от положения равновесия.
 64185. Круглая труба длиной L и радиуса R открыта с одного конца и закрыта с другого. Найдите частоту звуковых колебаний, возбуждаемых в трубе. Скорость звука c0. Как изменится ответ, если труба открыта с обоих концов?
 64186. Круглая труба длиной L и радиуса R, R << L открыта с обоих концов. Найдите частоту звуковых колебаний, возбуждаемых в трубе. Скорость звука c0.
 64187. Круглая труба длиной L и радиуса R, R, R << L открыта с одного конца и закрыта с другого. Оцените добротность звуковых колебаний, возбуждаемых в трубе. Скорость звука c0. Вязкостью воздуха пренебречь.
 64188. Оцените наинизшую частоту колебаний круглой капли жидкости под действием собственных капиллярных сил. Капля находится в невесомости. Проведите численную оценку для капли воды радиуса 5 см.
 64189. Найдите собственные частоты колебаний круглой капли жидкости под действием собственных гравитационных сил. Капля находится в невесомости.
 64190. Резиновая мембрана натянута на круглую рамку радиуса R. Найдите собственные частоты колебаний мембраны, если известно, что поверхностная плотность резины равна р, а натяжение — Т.
 64191. Волны Де-Бройля, описывающие квантомеханическое поведение электрона, подчиняются уравнению Шредингера lh dф/dt - h2/2m d2ф(x, t)/dх2 = 0, где ф(x, t) — волновая функция. Считая, что электрон находится между двумя стенками, расположенными на расстоянии L друг от друга, найдите частоты колебаний волновой функции и спектр возможных энергий электрона. Спином электрона пренебречь.
 64192. Электрон находится в ящике, имеющим форму цилиндра длиной L и радиуса R. Вычислите собственные значения энергии электрона. Спином электрона пренебречь.
 64193. С помощью акустического источника на поверхности воды в ванночке прямоугольной формы возбуждаются стоячие волны. Найдите частоты, для которых такое явление возможно. Стороны ванночки а и b. Вода глубокая.
 64194. Найдите частоты колебаний акустического резонатора в форме сферы радиуса R.
 64195. Определить число молекул воздуха в единице объема при температуре 0°С и давлении 1*10^5 Па.
 64196. Самое низкое давление, получаемое с помощью самой современной вакуумной техники, приблизительно равно 10^-12 Па. Сколько молекул содержится при таком давлении в 1 см3 при температуре 0°С?
 64197. Какова средняя кинетическая энергия молекулы кислорода при нормальных условиях? Чему равна полная кинетическая энергия поступательного движения 1 моля молекул кислорода при температуре 20°С?
 64198. Во сколько раз увеличится среднеквадратичная скорость движения молекул газа, если температура возрастает от 0°С до 100°С?
 64199. Чему равна среднеквадратичная скорость молекул азота, заключенных в объеме 8,0 м3 под давлением 2,1 атм, если полное количество азота равно 1300 молей?
 64200. Давление газа 1 МПа; концентрация молекул 10^10 молекул/см3. Найти: 1) среднюю кинетическую энергию поступательного движения одной молекулы; 2) температуру газа.