Earth curvature of space2 curvature of space1
Банк задач

Вход на сайт
Регистрация
Забыли пароль?
Статистика решений
Тип решенияКол-во
подробное решение60032
краткое решение7560
указания как решать1341
ответ (символьный)4704
ответ (численный)2335
нет ответа/решения3772
ВСЕГО79744

База задач ФизМатБанк

 63401. Найти закон квазистационарной релаксации в однородной среде с проводимостью s магнитного поля, заданного в начальный момент времени в виде гармонической функции координаты х: Ну = H0 sin kx.
 63402. В однородной среде с проводимостью s магнитное поле Н в начальный момент времени локализовано в конечной области с характерным размером L. Оценить характерное время релаксации поля т, полагая выполненным условие sт >> 1.
 63403. Найти распределение комплексной амплитуды Е(х) вектора переменного электрического поля, представляемого в виде Re(E(х) е^iwt), внутри проводящего плоского слоя толщины 2а с проводимостью s >> w и магнитной проницаемостью ц. На границах слоя (х = ± а) задана амплитуда тангенциальной компоненты поля: Еу(-а) = Еу(а) = Е0. Изобразить графически «моментальные снимки» поля при различных t для двух случаев: а) а >> d и б) а << d (d = c/ |/2пsцw — толщина скин-слоя в проводнике).
 63404. В предыдущей задаче найти также при a >> d: а) распределение магнитного поля в слое Hz(x) e^iwt; б) сдвиг фаз ф между полями Еу и Hz при х = ± а; в) поверхностный импеданс Es = Ey/Hz на границах слоя; выразить Es через ц и комплексную диэлектрическую проницаемость е = 4пs/iw; г) силу тока i0, протекающего через единицу длины поперечного сечения слоя у = const; д) средний за период вектор Пойнтинга в слое S(x); е) среднюю за период мощность потерь на единицу площади слоя Q.
 63405. Решить задачу, аналогичную 6.8, если на одной границе слоя (х = -а) Еу(-а) = E0, а на другой границе (х = 0): а) лежит идеально проводящий лист; б)задан поверхностный импеданс Es = Ey(0)/Hz(0) = 1.
 63406. Как изменится коэффициент самоиндукции L на единицу длины коаксиальной линии (см. задачу 5.17.) в случае сильного скин-эффекта (при а >> d)?
 63407. Плоский конденсатор с круглыми пластинами подключен к источнику переменного напряжения U = U0 sin wt. Найти магнитное поле внутри конденсатора Н при условии d << a << с/w, где d — расстояние между пластинами, а — радиус пластин, с — скорость света.
 63408. Бесконечный соленоид с числом витков в обмотке на единицу длины n питается переменным током I = l0 sin wt. Найти электрическое поле внутри соленоида при условии а << с/w (а — радиус соленоида).
 63409. Найти магнитное поле Н в ближней зоне (на расстоянии r << L) переменного электрического диполя с моментом p = p0 e^iwt.
 63410. Сила тока I, текущего в обмотке тороидального (замкнутого на самого себя) соленоида, линейно растет со временем: I = A t. Полное число витков в обмотке равно N. Большой радиус тора а (в его экваториальном сечении) много больше малого радиуса b (в меридиональном сечении). Найти, пренебрегая компонентой электрического тока, перпендикулярной меридиональным сечениям: а) магнитное поле внутри и вне соленоида; б) электрическое поле на большом расстоянии от соленоида r >> а.
 63411. Точечный заряд q движется с постоянной скоростью v << с по направлению к плоской границе идеального проводника. Найти: а) напряженность магнитного поля Н(r, t); б) плотность поверхностного электрического тока i на границе.
 63412. Найти частоту собственных колебаний квазистационарного закрытого контура, получаемого в результате вращения фигуры, изображенной на рис. , вокруг оси ОО'. Границы контура идеально проводящие; обозначения размеров указаны на рисунке; размер d мал по сравнению с a, h и b - а.
 63413. Найти частоту w собственных колебаний вибратора, представляющего собой два металлических шара радиуса а, соединенных отрезком проволоки длины I с радиусом поперечного сечения b. Считать выполненными условия b << а << I << с/w.
 63414. В однородное магнитное поле Н0, вращающееся с угловой частотой w, внесен идеально проводящий шар радиуса а. Частота вращения w << с/а. Найти: а) магнитное поле вблизи шара Н(r, t); б) распределение магнитного давления по поверхности шара.
 63415. Найти дипольные электрический (р) и магнитный (m) моменты идеально проводящего шара радиуса а в поле бегущей плоской волны с компонентами Ех = Ну = Е0 е^i(wt - kz). Длина волны L = 2п/k >> а.
 63416. Найти эффективную магнитную проницаемость ц искусственного магнетика, набранного из круглых проволочных рамок радиуса а. Плоскости рамок перпендикулярны магнитному полю, меняющемуся с частотой w >> с/а. Коэффициент самоиндукции рамки L, сопротивление R, число рамок в единице объема n.
 63417. Тонкий диэлектрический стержень с проницаемостью е, длиной l, площадью поперечного сечения s (|/s << I) свернут в круглое кольцо. Найти эквивалентный магнитный дипольный момент m кольца, который оно приобретает во внешнем переменном магнитном поле Н0 е^iwt, перпендикулярном его плоскости.
 63418. Найти частоту собственных колебаний квазистационарного контура, представляющего собой диэлектричекое кольцо, описанное в предыдущей задаче.
 63419. Найти магнитный дипольный момент m диэлектрического шара радиуса а с проницаемостью е в однородном переменном магнитном поле Н0 е^iwt. Длины волн в вакууме (L0 = 2пс/w) и в веществе шара (L = L0/ |/е) велики по сравнению с радиусом шара а.
 63420. Шар радиуса а с проводимостью s помещен во внешнее однородное электрическое поле Е0, вращающееся с угловой частотой w << s. Считая радиус шара а малым по сравнению с длиной волны L = 2пс/w и с толщиной скин-слоя d = c/ |/2пsw, найти: а) электрическое поле внутри и вне шара; б) вращающий момент М, действующий на шар.
 63421. Найти ускорение свободного падения а круглой металлической пластинки в однородном магнитном поле, параллельном поверхности земли. Пластинка ориентирована своей плоскостью параллельно магнитному полю и перпендикулярно поверхности земли. Толщина пластинки d много меньше ее радиуса R, масса пластинки m, напряженность магнитного поля H.
 63422. Вектор электрического поля гармонической плоской однородной волны задан в комплексной форме Е = Е0 е^i(wt-kr). Векторы Е0 и k лежат в плоскости xz. 1) Записать комплексные и действительные выражения для проекций электрического и магнитного полей на направления х, у, z, которые содержали бы явные зависимости от переменных х, y, z, t и параметров |Е0|, w, kx, kz, для случая, когда волна распространяется в вакууме. 2) Определить пространственные периоды поля Lх, Lz по осям х и z, если заданы: частота w, диэлектрическая и магнитная проницаемости среды е, ц и угол а между вектором k и осью z. 3) Определить Lх, если заданы: w, е, ц, Lz. 4) Определить частоту w, если заданы: е, ц, Lх, v(z), где v(z) — скорость, с которой перемещается вдоль оси z точка пересечения фазового фронта с этой осью. 5) Построить графики зависимости отличных от нуля компонент электрического и магнитного полей от координат x, у, z в различные моменты времени t для случая, когда вектор k направлен по оси z. 6) Построить графики зависимости поля от координат х, z для различных значений угла а между k и осью z.
 63423. Волновой вектор k плоской однородной волны направлен под углом а к оси z. Среда имеет проницаемости е и ц. Найти поперечные (по отношению к оси z) характеристические импедансы волны связывающие поперечные компоненты полей соотношением E = E [Hz0], для поляризаций типа ТЕ (Еz = 0), ТМ (Hz = 0), ТЕМ (Ez = HZ = 0).
 63424. Выразить амплитуды электрического и магнитного полей гармонической плоской однородной волны Е0 и H0 в среде с проницаемостями е и ц через среднюю за период плотность потока энергии S. Вычислить значения Е0 (в В/см) и H0 (в эрстедах и в А/м) в вакууме при S = 1 кВт/см2.
 63425. Рассматривая колебания свободных электронов в переменном электрическом поле частоты w, получить выражение для диэлектрической проницаемости плазмы е(w). Найти и изобразить графически зависимости w(k), L(w), v(w) для плоской волны в плазме (L — длина волны, v — фазовая скорость).
 63426. Найти комплексную диэлектрическую проницаемость среды ес = er + iei, если ее магнитная проницаемость ц = 1 и если для распространяющейся в данной среде плоской волны известны: а) ее частота w, скорость v перемещения волнового фронта и расстояние L, на котором амплитуда убывает в е раз; б) сдвиг фаз между электрическим и магнитным полями ф и отношение их амплитуд E0/H0 = р.
 63427. Найти и изобразить графически зависимость переменного поля частоты w от координаты х в вакууме, если известно, что от у поле не зависит, а его зависимость от переменных z, t представляет собой волну, бегущую с фазовой скоростью v(z). Рассмотреть случаи: v(z) > с, v(z) < с, v(z) = с. Для указанных трех случаев сравнить длину волны Lz, характеризующую зависимость поля от z, с длиной плоской однородной волны L = 2пс/w.
 63428. Найти магнитное поле Н неоднородной плоской волны в среде с проницаемостями e и ц, если электрическое поле волны задано в виде Еу = E0 exp(i(wt - hz) - кх), Ех = Ez = 0. Каким образом связаны между собой параметры к, h, w, e, ц? При каком условии поляризация магнитного поля близка к круговой?
 63429. Плазма, помещенная в постоянное магнитное поле Н0, является гиротропной средой, тензор диэлектрической проницаемости которой eik в случае, если вектор Н0 параллелен оси z, имеет следующие отличные от нуля компоненты: eхх = eуу = e1, eху = -еух = ie2, ezz = e3; величины e1, e2, e3 в отсутствие поглощения действительны. а) Показать, что материальное уравнение Di = eikЕк (i, k = х, у, z; по индексу k производится суммирование) для такой среды может быть записано в форме D = ez0 Ez + еE + i [Е х g], где g — так называемый вектор гирации, параллельный постоянному полю Н0, Е — перпендикулярная g компонента вектора Е. Выразить величины е, е и вектор g через компоненты тензора еik. б) На основании записанного в п. (а) векторного материального уравнения исследовать решения уравнений Максвелла в виде монохроматических плоских волн с волновым вектором k, параллельным вектору g = z0gz. Показать, что при заданной частоте w в заданном направлении k в среде могут распространяться две поперечные циркулярно-поляризованные волны, различающиеся направлением вращения векторов поля и абсолютной величиной волнового числа |k| = k±. Найти числа k± для право- и лево-поляризованных волн.
 63430. Плоская линейно-поляризованная волна падает на плоский слой гиротропной среды толщины L. Направление падения и вектор гирации среды g перпендикулярны границам слоя. Опираясь на решение предыдущей задачи и пренебрегая отражением волн от границ слоя, показать, что, пройдя через слой, волна будет иметь линейную поляризацию, отличающуюся от первоначальной. Считая известными волновые числа k+ и k- для право- и лево-поляризованных волн в слое, найти угол поворота dф плоскости поляризации прошедшей волны по отношению к падающей.
 63431. Записать в векторной форме связь между векторами В и Н для магнитной гиротропной среды (феррит в постоянном магнитном поле), характеризуемой тензором магнитной проницаемости цik, подобным тензору eik, рассмотренному в задаче 7.8. Найти волновые числа циркулярно-поляризованных волн k±, распространяющихся в такой среде в направлении постоянного магнитного поля.
 63432. Получить дисперсионные уравнения и нарисовать кривые w(k) для поперечной (Е Н k) и продольной (Е || k) волн в плазме, исходя из материального уравнения D = eЕ + d2 grad divE, учитывающего тепловое движение частиц (е = 1 - wp2/w2, d = Vт/w, Vт — средняя тепловая скорость электронов).
 63433. Показать, что изотропная среда с материальными уравнениями вида D = е(w)Е, В = ц(w)H в переменном поле частоты w может быть описана как немагнитный диэлектрик с временной и пространственной дисперсией, электромагнитное поле в котором характеризуется тремя векторами: Е, В и D'. Найти вид материальной связи векторов D' и Е. Показать, что для монохроматической поперечной плоской волны эта связь имеет вид D' = e'(w, k)E, где е'(w, k) = е + (1 - ц^-1)(сk/w)2.
 63434. Получить выражения для полей Е и Н стоячей волны. Чему равен сдвиг фаз ф между полями? Изобразить «моментальные снимки» полей в различные моменты времени.
 63435. Электромагнитное поле представляет собой суперпозицию двух гармонических плоских однородных волн с одинаковыми частотами и амплитудами. Векторы электрического поля в обеих волнах параллельны оси х. Волновые векторы k1 и k2 лежат в плоскости уz, причем k1z = k2z, k1у = -k2у. Написать выражения для компонент суммарного поля. Построить графики, иллюстрирующие поведение полей в пространстве и времени. Нарисовать картину силовых линий магнитного поля.
 63436. Выразить структурные параметры поля в предыдущей задаче (длину волны Lz и фазовую скорость v(z) в направлении оси z, расстояние L между плоскостями у = const, на которых Ех = 0, поперечный импеданс E = Ех/Ну) через частоту поля w и угол наклона а волновых векторов к оси z. При каком а средняя по времени плотность энергии магнитного поля wm не зависит от координат?
 63437. Найти электрическое и магнитное поля Е = x0E(z, t), Н = y0H(z, t) в вакууме в отсутствие источников при следующих начальных условиях: a) E(z, 0) = H(z, 0) = E(z); б) E(z, 0) = -H(z, 0) = E0(z); в) E(z, 0) = E(z), H(z, 0) = 0; г) E(z, 0) = E(z), (dE/dt)(z, 0) = G(z).
 63438. Найти электрическое и магнитное поля Е = x0E(z, t), Н = y0H(z, t) в среде с проницаемостями е и ц на промежутке 0 < z < L при следующих граничных условиях: а) Е(0, t) = E0(t), E(L, t) = ± |/ц/eН(L, t); б) E(0, t) = E0(t), [dE/dt)(L, t) = ± (c/ |/eц)(dE/dz)(L, t).
 63439. Получить граничные условия для касательных компонент напряженностей электрического и магнитного полей Ех и Ну на плоскости, движущейся со скоростью V в направлении собственной нормали (параллельной оси z) в неподвижной среде с проницаемостями е и ц. По плоскости в направлении оси х течет ток с поверхностной плотностью i, т.е. плотность объемного тока в пространстве задана в виде: j = x0id(z - Vt), где х0 — единичный вектор, параллельный оси х.
 63440. Показать, что для гармонической плоской волны в плазме (ц = 1, е = 1 - wp2/w2 > 0): а) произведение фазовой (v) и групповой (vg) скоростей vvg = с2; б) средняя плотность электромагнитной энергии w = |Е|2/(8п).
 63441. Показать, что для гармонической плоской волны в прозрачной среде с дисперсией всегда выполняется соотношение wvg = S, где w — средняя плотность энергии, vg — групповая скорость, S — средняя плотность потока энергии.
 63442. Получить приближенное материальное уравнение, связывающее медленно меняющиеся во времени комплексные амплитуды индукции D0(t) и напряженности Е0(t) квазигармонического электрического поля в среде с заданной зависимостью e(w). Несущая частота поля w0 (центральная частота спектра) много больше ширины спектра dw.
 63443. Получить уравнение параболического типа для медленно меняющейся во времени комплексной амплитуды E0(r, t) квазигармонического электрического поля с несущей частотой w0 в среде с дисперсией (e = e(w)).
 63444. Радиоимпульс с высокочастотным заполнением распространяется в плазме (ц = 1,е = 1 - wp2/w2, wр = const) в направлении оси z. Первоначально (в сечении z = 0) временная развертка импульса представляет собой отрезок синусоиды частоты w0 с конечной длительностью dт0. Полагая w0 >> wр, w0dт0 >> 1, найти а) характерную ширину спектра импульса dw; б) скорость v, с которой перемещаются в пространстве расположенные внутри импульса поверхности с нулевым значением поля; в) первоначальную протяженность импульса в пространстве L и время t, за которое его центр проходит заданное расстояние z; г) расстояние z, на котором заметно меняется длительность импульса, а также форму импульса и закон изменения его длительности dт(z) при z >> z.
 63445. Показать, что если скалярная функция ф удовлетворяет уравнению Гельмгольца dф + k2ф = 0, то векторы A1 = vф, А 2 = [1vф], A3 = rot A2 (где 1 — постоянный вектор) удовлетворяют уравнению dА + k2А = 0. Какие из этих векторов могут рассматриваться как комплексные амплитуды гармонического поля Е или Н в вакууме в отсутствие источников?
 63446. Найти сферически симметричное решение ф(r) скалярного уравнения Гельмгольца, описывающее простейшую стоячую сферическую волну. Используя указанное в задаче 7.24 соответствие скалярных и векторных решений, получить выражения для векторов электрического и магнитного поля этой волны. Изобразить качественно картины их силовых линий.
 63447. Найти сферически симметричное решение ф(r, t) скалярного однородного волнового уравнения в вакууме, удовлетворяющее заданным начальным условиям ф(r, 0) = ф0(r), (dф/dt)(r, 0) = ф0(r). При каких начальных условиях решение в течение некоторого промежутка времени 0 < t < т представляет собой сходящуюся сферическую волну? Как выглядит решение в точке r = 0 после прихода переднего фронта волны в эту точку?
 63448. Представляя поперечное поле широкого монохроматического волнового пучка, распространяющегося в однородной среде в направлении оси z, в виде Е = Е0(х, у, z)e^i(wt-kz) показать, что медленно меняющаяся в пространстве амплитуда Е0 приближенно удовлетворяет параболическому уравнению 2ik(dЕ0/dz) = d±Е0, где d± = d2/dх2 + d2/dу2 — поперечная часть оператора Лапласа.
 63449. Показать, что любое решение параболического уравнения (см. предыдущую задачу) обладает следующими свойствами: 1) закон сохранения энергии: W = int |E0|2 dx dy = const. 2) закон прямолинейного движения центра энергии пучка rс: rc = W^-1 int |E0|2 r dx dy = a + bz, где a, b - постоянные векторы. В приведенных выражениях интегрирование проводится по всей поперечной плоскости z = const; r — радиус-вектор в этой плоскости. Предполагается, что оба интеграла сходятся, т.е. поперечные распределения поля достаточно хорошо локализованы.
 63450. Получить выражение для комплексной амплитуды гармонического поля E0(r, z) е^i(wt-kz) осесимметричного гауссового пучка (r — расстояние до оси симметрии z). Ширина пучка много больше длины волны. Использовать два способа: а) решить уравнение поперечной диффузии поля с граничным условием на плоскости z = 0 E(r) = x0E0 exp(-r2/2a0|2); kа >> 1; б) рассмотреть точное решение скалярного уравнения Гельмгольца (1/R)е^-ikR, где R = [r2 + (z + il0)2]^1/2, в приосевой области (r << |R|), полагая l0 = kа0|2, ka0 >> 1.
 63451. Для осесимметричного гауссового пучка (см. задачу 7.29) с заданным радиусом фокального пятна a0 и волновым числом k найти (при условии kа0 >> 1): а) угол расходимости пучка Q0 на большом расстоянии от фокуса; б) радиус пучка а на расстоянии z от фокуса; в) расстояние z от фокальной плоскости, на котором квадрат амплитуды поля на оси убывает вдвое; г) амплитуду поля Е в центре фокального пятна при полном потоке энергии в пучке Р.
 63452. Оценить поперечный (а0) и продольный (l0) размеры фокального пятна, создаваемого линзой радиуса а с фокусным расстоянием f при значении волнового числа k. Какое ограничение на f накладывает условие а0 << а?
 63453. Плоская волна с вектором электрического поля Е = x0E0 e^i(wt-kz) падает в среде с проницаемостями е и ц, занимающей область z < 0, на плоскость z = 0 с заданным поверхностным импедансом Es = Ех(0)/Ну(0). 1) Найти коэффициент отражения волны Г. 2) Получить формулу пересчета импеданса, позволяющую определить импеданс суммарного поля падающей и отраженной волн E(L) = (Ех/Hy)z = -L на расстоянии L от границы. 3) Найти функцию |E|2(z) и определить коэффициент стоячей волны КСВ = |Е|2 max/|Е|2 min. 4) Что можно сказать об импедансе Es при КСВ = 1 и при КСВ = оо?
 63454. Выразить коэффициенты отражения (Г) и прохождения (Т) плоской волны, падающей наклонно на плоскую границу раздела двух сред 1 и 2, через поперечные (по отношению к направлению нормали к границе) характеристические импедансы сред E1, E2. Выразить величины E1, E2 через значения диэлектрической и магнитной проницаемостей обеих сред е1, ц1, e2, ц2 и угол падения Q0 (волна падает на границу из среды 1). Рассмотреть две различные поляризации волны: поперечно-электрическую (волна типа ТЕ или s-поляризованная) и поперечно-магнитную (волна типа ТМ или р-поляризованная).
 63455. Пользуясь формулой пересчета импеданса (см. задачу 8.1(2), получить выражение для коэффициента отражения Г плоской волны от плоского слоя толщины d с диэлектрической и магнитной проницаемостями е, ц, разделяющего среды 1 и 2 с проницаемостями е1, ц1 и e2, ц2. Волна падает на слой по нормали из среды 1. Найти условия, при которых Г = 0, для случаев, когда среды 1 и 2: а) одинаковы, б) различны.
 63456. Не прибегая к анализу общего выражения для коэффициента отражения Г в предыдущей задаче, указать условие, при котором |Г| не зависит от толщины слоя d.
 63457. Плоская волна падает по нормали из вакуума на плоскую границу проводника с проводимостью s. Рассматривая поле в проводнике как функцию частоты волны w (в области w << а), определить, при какой частоте wm амплитуда электрического поля в проводнике на заданном расстоянии от границы z достигает максимума и какова при этом толщина скин-слоя d.
 63458. Какие значения частоты wm и толщины скин-слоя d в предыдущей задаче соответствуют максимуму амплитуды магнитного поля?
 63459. Найти коэффициент отражения Г плоской волны от плоского слоя толщины d с диэлектрической проницаемостью е = 0. Угол падения волны Q0. Вектор электрического поля Е перпендикулярен к плоскости падения (волна типа ТЕ).
 63460. Решить предыдущую задачу для волны типа ТМ (вектор Е лежит в плоскости падения).
 63461. Плоская волна частоты w падает по нормали на плоскую границу идеального проводника (s = оо). На расстоянии d от границы располагается параллельный ей проводящий слой малой толщины l (l << d = c/ |/2пsw) с проводимостью s >> w. Найти условия, при которых коэффициент отражения от данной системы Г = 0.
 63462. Плоская волна с амплитудой Е0 и частотой w падает из вакуума по нормали на границу проводника с проводимостью s >> w. Рассматривая отношение w/s как малый параметр задачи и удерживая в решении члены порядка (w/s)^1/2, найти приближенно: а) амплитуды электрического (Е) и магнитного (Н) полей на границе; б) отличие коэффициента отражения Г от его значения Г0 = -1 при s = оо; в) электромагнитное давление на проводник Р.
 63463. Плоская волна падает из вакуума на плоскую границу идеального проводника (проводимость s = оо). Вектор Е лежит в плоскости падения. При каком значении угла падения Q0 электромагнитное давление на границу Р = 0?
 63464. Плоская волна типа ТМ падает из вакуума под углом Q0 к нормали на плоскую границу диэлектрика с проницаемостью е > 0. 1) При каком значении угла падения Q0 = Qв (угол Брюстера) коэффициент отражения волны равен нулю? 2) При каком значении угла падения Q0 = Qm амплитуда электрического поля в диэлектрике достигает максимума? 3) При каком условии поляризация электрического поля в диэлектрике приближается к круговой?
 63465. Найти функцию Грина одномерного уравнения Гельмгольца u'' + k2u = 0 и решение уравнения u" + k2u = f(z).
 63466. Найти поля, создаваемые в вакууме поверхностным током с плотностью i = х0i0 е^i(wt-hy), текущим по плоскости z = 0. Рассмотреть случаи: a) h = 0; б) h < w/с; в) h > w/с.
 63467. Указать комбинацию электрического (ie) и магнитного (im) поверхностных токов на плоскости z = 0, при которой излучение существует только в области z > 0.
 63468. Тонкий неоднородный диэлектрический слой характеризуется заданной функцией e(z), отличной от единицы только внутри интервала 0 < z < L. Найти приближенно коэффициенты отражения (Г) и прохождения (Т) волны, падающей на слой по нормали (в направлении оси z), при выполнении условий k0L << 1, k0L/ |/|е|mах << 1, где k0 = (w/c), |e|max — максимальное значение модуля диэлектрической проницаемости e(z) (величины Г и T определяются соответственно как отношения комплексных амплитуд отраженной и прошедшей волн к амплитуде падающей волны на границах слоя).
 63469. Тонкий слабоотражающий плоский слой с чисто действительной диэлектрической проницаемостью е вносится в стоячую электромагнитную волну параллельно вектору ее электрического поля Еs = x0E0 cos k0z cos wt (k0 = w/c). Плоскость симметрии слоя имеет координату z = zs. Параметры k0, е и толщина слоя L удовлетворяют условиям k0L << 1, k0L|е| << 1. Найти вектор средней по времени плотности потока энергии S в результирующем поле, устанавливающемся после внесения слоя, в случае, если стоячая волна создается: а) двумя независимыми встречными волнами с фиксированными амплитудами и фазами; б) в результате отражения волны от идеального зеркала.
 63470. Плоская волна частоты w падает по нормали на металлический слой толщины d с проводимостью s >> w. Не отыскивая точного решения задачи, найти приближенно в случае слабого скин-эффекта (при d << d = с/ |/2пsw) следующие величины: а) коэффициенты отражения (Г) и прохождения (Т) волны; б) относительные доли R, П и Q, которые составляют соответственно отраженная, прошедшая и поглощаемая мощности (на единицу площади слоя) от плотности потока энергии падающей волны. Является ли условие слабого скинирования достаточным условием прозрачности слоя (П ~ 1)? Как распределяются между собой доли поглощаемой, отраженной и прошедшей мощностей в случаях слабого и сильного отражения?
 63471. Плоская волна падает по нормали на плоский плазменный слой, находящийся в вакууме. Найти коэффициент отражения волны Г как функцию частоты волны w, толщины слоя d и числа электронов на единицу его площади N. Выполнить предельный переход d -- > 0. Указание: диэлектрическая проницаемость плазмы е = 1 - (4пe2n/mw2), е и m — заряд и масса электрона, n — число электронов в единице объема (см. задачу 7.4).
 63472. Диэлектрическая проницаемость e(z) неоднородного слоя в области -оо < z < 0 плавно нарастает от значения е = 1 при z = -оо до е = е0 при z = 0. В точке z = 0 величина е скачком обращается в единицу и остается равной единице при 0 < z < оо. Со стороны z < 0 на слой падает плоская волна, электрическое поле которой при z -- > -оо имеет вид Ех = Е0 ехр [iw(t - z/c)]. Длина волны L = 2пс/w мала по сравнению с характерным размером неоднородности слоя L (расстоянием, на котором заметно меняется е в области z < 0). Найти поля во всем пространстве в приближении геометрической оптики (L/L -- > 0).
 63473. Как изменится решение предыдущей задачи (в том же приближении геометрической оптики), если: а) при z > 0 е = е0? б) плоскость z = 0 является границей идеального проводника (при z > 0 s = оо)? в) диэлектрическая проницаемость е в области z < 0 является комплексной: е = е' - iе", причем функция e''(z) положительна и убывает (с тем же характерным масштабом L >> L) от е" = e0'' при z = 0 до е" = 0 при z -- > -оо, а величина е0'' удовлетворяет условиям е0'' << е' (w/с)е0''L >> |/e'?
 63474. Найти в коротковолновом приближении коэффициент отражения Г плоской волны, распространяющейся в направлении оси z, от скачка n-й производной диэлектрической проницаемости e(z); функция e(z) в точке z = 0 имеет n - 1 непрерывных производных (n > 1), а производная dne/dzn при переходе oт z < 0 к z > 0 меняется скачком на величину dе(n). Характерный масштаб неоднородности L функции e(z) и всех ее производных в областях z < 0 и z > 0 велик по сравнению с длиной волны (kL >> 1).
 63475. Решить предыдущую задачу для всюду гладкой функции e(z) = 1 + e0 exp (-z2/L2) при условиях e0kL << 1, kL < 1.
 63476. Получить дифференциальное уравнение для комплексной амплитуды гармонического электрического поля при отсутствии сторонних источников в двумерной задаче: Е = z0Ez(x, y) e^iwt; диэлектрическая проницаемость среды е = е(х, у), магнитная проницаемость ц = 1.
 63477. То же для комплексной амплитуды магнитного поля H = z0Hz(х, у) е^iwt в той же среде.
 63478. Получить дифференциальные уравнения для модуля и фазы комплексной амплитуды электрического поля Е = z0|E| exp(iф) exp(iwt) в неоднородной среде с ц = 1, е(х, у) = е' - ie".
 63479. Найти распределение концентрации плазмы n(z), при котором модуль амплитуды одномерного гармонического электрического поля Е(х, t) = z0|E| exp(iф) exp(iwt) постоянен (|E| = const). Указание: использовать уравнения для |Е| и ф, полученные в предыдущей задаче, и выражение для комплексной диэлектрической проницаемости плазмы е = 1 - (n/nc)(1 + id), где nс и d — некоторые константы.
 63480. Плоская волна с амплитудой Е0 и частотой w падает из вакуума в направлении +z на неоднородный слой, диэлектрическая проницаемость которого e(z) = 1 - (z/L) при 0 < z < оо; при z < 0 e(z) = 1. Оценить по порядку величины максимальное значение амплитуды электрического поля Еm, достигающееся при wL >> с в окрестности «точки поворота» волны z = L.
 63481. Дипольный момент элементарного электрического вибратора (прямого проволочного отрезка, в котором течет переменный ток) колеблется по гармоническому закону: р = p0 exp(iwt). Длина вибратора I много меньше длины волны (kl << 1; k = w/с); окружающая среда — вакуум. 1) Найти в сферических координатах r, Q, ф (с полярной осью z, направленной вдоль вибратора, и началом координат в его центре) векторный потенциал А, электрическое Е и магнитное Н поля, создаваемые вибратором на расстояниях r >> 1. Как меняется характер зависимостей полей от координат при переходе из зоны квазистатики (kr << 1) в волновую зону (kr >> 1)? 2) Найти диаграмму направленности излучения — зависимость средней по периоду 2п/w плотности S потока излучаемой энергии в волновой зоне от направления радиуса-вектора r. Изменяется ли при переходе из волновой зоны в зону квазистатики вид функции S(r, Q)? 3) Найти среднюю по периоду полную интенсивность излучения (излучаемую мощность) Р и сопротивление излучения вибратора Rr(e) = 2P/l02 в предположении равномерного распределения амплитуды тока l0 по его длине I. Вычислить Rr(е) в омах при l = 20 см, w = 3*10^8 с^-1.
 63482. Найти диаграмму направленности вращающегося электрического диполя с моментом р = (x0 + iу0)р ехр(iwt).
 63483. Точечный заряд q вращается в пустоте с постоянной скоростью v << с по окружности радиуса а. 1) Найти вектор дипольного момента р(t) и тензор квадрупольного момента Dik(t) данного заряда (см. решение задачи 1.31), считая начало координат помещенным в центр окружности. 2) Найти и сравнить между собой средние по периоду мощности излучения заряда на первой (Рw) и второй (P2w) гармониках частоты вращения w = v/a. Указание: использовать выражения для мгновенных значений мощностей дипольного (Рd(t) = (2/Зс3)р2(t')) и квадрупольного(Рq(t) = (1/180c5)Dik2(t')) излучения (t' обозначает «запаздывающее» время).
 63484. Изобразить (качественно) картину силовых линий электрического поля Е в зоне квазистатики и диаграмму направленности излучения в полярных координатах для линейных токов l(z) ехр(iwt), заданных на оси z следующим образом: a) I(z) = C1d(z); б) I(z) = C2d'(z); в) I(z) = C3d"(z) (d(z) — дельта-функция Дирака; штрихами обозначены производные по z; С1, С2, С3 — константы).
 63485. В круглой рамке радиуса а циркулирует переменный ток I = I0 exp(iwt). Радиус рамки а мал по сравнению с длиной волны (аw/с << 1); окружающая среда — вакуум. 1) Используя принцип перестановочной двойственности и решение задачи (9.1(1)), найти отличные от нуля компоненты полей Е и Н на расстояниях от рамки r >> а. 2) Найти сопротивление излучения рамки Rr(m) и величину его отношения а к сопротивлению излучения Rr(e) прямого электрического вибратора (см. задачу 9.1(3)) той же длины I = 2па. 3) Как изменятся поля Е, Н и сопротивление излучения Rr(m) рамки с переменным током, если заполнить все пространство однородной средой с проницаемостями е и ц?
 63486. Найти диаграммы направленности следующих элементарных излучателей, находящихся на малом по сравнению с длиной волны расстоянии от бесконечной идеально проводящей плоскости: а) электрический диполь, перпендикулярный плоскости; б) электрический диполь, параллельный плоскости; в) магнитный диполь, перпендикулярный плоскости; г) магнитный диполь, параллельный плоскости.
 63487. Излучение источника распределено равномерно внутри сектора углов -а < ф < а, 90° - b < Q < 90° + b (ф - азимутальный, Q — полярный углы в сферической системе координат). Вне этого сектора излучение отсутствует. Найти амплитуду электрического поля в дальней зоне на расстоянии R от источника, если излучаемая им мощность равна Р. Найти численное значение амплитуды в единицах В/см при а = b = 5°, R = 100 км, Р = 100 кВт.
 63488. Вдоль оси z течет переменный линейный ток l е^iwt, амплитуда которого одинакова (l = const =/= 0) во всех точках отрезка |z| < L и равна нулю вне этого отрезка. 1) Начиная с каких расстояний r от начала координат можно считать сформированной диаграмму направленности данного излучателя? 2) Получить выражения для векторного потенциала А и полей Е, Н в дальней зоне. 3) Исследовать и построить в полярных координатах диаграмму направленности |Н|2(Q) для случаев kL << 1 и kL >> 1 (Q — сферический полярный угол).
 63489. Найти диаграмму направленности линейного излучателя, описанного в предыдущей задаче, для амплитуды тока I(z) = I0e^-ihz при |z| < L, l = 0 при |z| > L. Рассмотреть случаи: a) kL >> 1, (k - h)L >> 1; б) kL >> 1, h >> k; в) kL << 1, hL = nп, n = 1, 2, 3,....
 63490. То же, что и в 9.10, для токов: а) I(z) = I0 exp(-z2/L2) (-oo < z < oo); б) I(z) = I0 exp(-z/L) при z > 0, l = 0 при z < 0.
 63491. Исследовать в коротковолновом приближении поле излучения текущего вдоль оси z переменного линейного тока l(z) ехр(iwt), амплитуда которого I(z) в нескольких точках zm имеет разрыв производной n-го порядка. В промежутках между этими точками характерный масштаб неоднородности L функции I(z) и всех ее производных много больше длины волны (kL >> 1). При z -- > ± oo l(z) -- > 0. Показать, что для направлений, не перпендикулярных оси z, поле излучения может быть представлено как суперпозиция сферических «краевых» волн, испускаемых из точек разрыва zm.
 63492. Тонкий стержень длины 2L, ориентированный вдоль оси х, имеет переменную поперечную электрическую поляризацию: дипольный момент единицы длины стержня р = z0p0 exp(iwt). Найти поле излучения в дальней зоне. Изобразить диаграмму направленности излучения в плоскостях xz, yz, ху.
 63493. Найти векторный потенциал А и поля Е, Н в дальней зоне излучателя, представляющего собой прямоугольник |х| < a, |z| < b в плоскости у = 0 с равномерно распределенным по нему поверхностным током i = z0i0 exp(iwt). Изобразите диаграмму направленности излучения в плоскостях ху и yz при больших значениях параметров kа и kb. Как зависит угловая ширина основного лепестка диаграммы направленности в этих плоскостях от размеров излучателя и длины волны? Интерпретируйте многолепестковый характер диаграммы направленности при больших ka и kb как результат интерференции «краевых волн», испускаемых границами (линиями резкого обрыва) заданного распределения плотности тока.
 63494. По поверхности бесконечного цилиндра радиуса а течет поверхностный ток с плотностью i = z0i0 е^i(nф+wt) (i0 = const; n = 0, 1, 2, 3,...; z0 — единичный вектор, параллельный оси цилиндра z; ф — азимутальный угол). Найти поля Е, Н во всем пространстве, выражая их через цилиндрические функции.
 63495. То же для поверхностного тока, текущего по поверхности цилиндра в азимутальном направлении: i = ф0i0 е^i(nф+wt).
 63496. Показать, что потенциальный переменный ток j = vф e^iwt, отличный от нуля в ограниченной области пространства, не создает поля излучения.
 63497. Переменный ток I0 e^iwt течет по тонкому проводу, плотно и равномерно намотанному на поверхность круглого тора. Обмотка является однослойной и содержит N витков. Большой (а) и малый (b) радиусы тора и длина волны L удовлетворяют условиям b << а << L. Найти: а) поля Н и Е внутри тора; б) условие, при котором поле излучения данной системы имеет круговую поляризацию; в) сопротивление излучения Rr.
 63498. Переменный электрический ток частоты w течет по линейному контуру, представляющему собой отрезок спирали, намотанной в один слой с постоянным шагом h на цилиндр радиуса а. Расстояние между концами спирали (по прямой линии) L. Параметры h, a, L и длина волны L = 2пс/w удовлетворяют условиям h << а << L, L << L. Ток одинаков во всех участках спирали и скачком обрывается на ее концах. При каком соотношении между параметрами системы поле в волновой зоне имеет круговую поляризацию? Каково при этом сопротивление излучения Rr?
 63499. Колебательный контур образован плоским конденсатором и круговым проволочным витком, соединяющим его пластины. Расстояние между пластинами d, радиус витка а. Длина волны L, отвечающая частоте собственных колебаний контура w0, много больше всех его характерных размеров. 1) При каком условии излучение данной системы близко к электро-дипольному? 2) Найти среднюю по периоду колебаний мощность этого излучения Р и определяемую им радиационную добротность колебаний в контуре Qr, если известны амплитуда колебаний заряда на пластинах конденсатора q и его емкость С. 3) Объясните, почему, несмотря на наличие переменного электрического дипольного момента, создаваемого зарядами, скапливающимися на противоположных сторонах емкостного зазора, не излучает закрытый квазистационарный колебательный контур, описанный в задаче 6.17 (рис. )?
 63500. На площадке S произвольной формы, лежащей в плоскости ху, плотность поверхностного тока is задана как «единичная» функция времени: is = х0i0Q(t), где Q = 0 при t < 0, Q = 1 при t > 0. Вне площадки is = 0. Доказать, что: а) во внутренней области бесконечного цилиндра, поперечным сечением которого является данная площадка S, максимальная величина поперечной компоненты магнитного поля Ну, достигающаяся на переднем фронте излучаемого током электромагнитного импульса, не зависит от расстояния z до площадки и равна Ну mах = 2пi0/с; б) в случае, если площадка представляет собой круг радиуса а, то в точках, лежащих на его оси и удаленных от него на достаточно большое расстояние z >> а, излученный импульс имеет прямоугольную форму; величина поля в импульсе Ну = Ну mах = 2пi0/с, его длительность т(z) = а2/(2сz).