Earth curvature of space2 curvature of space1
Банк задач

Вход на сайт
Регистрация
Забыли пароль?
Статистика решений
Тип решенияКол-во
подробное решение60032
краткое решение7560
указания как решать1341
ответ (символьный)4704
ответ (численный)2335
нет ответа/решения3772
ВСЕГО79744

База задач ФизМатБанк

 57901. Получить выражения для кривизны и радиуса кривизны луча в плоскослоистой среде.
 57902. Исследовать зависимость кривизны К луча от вертикальной координаты в точке z0 входа в плоскослоистую среду, скорость звука в которой c(z) = Az2 + В, В > 0. В какую сторону искривляется луч в зависимости от знака А?
 57903. Найти радиус кривизны и траекторию луча в среде с постоянным градиентом скорости звука c(z) = с0(1 + z/H).
 57904. Рассчитать траекторию луча в плоскослоистой среде с постоянным градиентом скорости (см. (12.1)), используя закон Снеллиуса и выражая пройденное расстояние через начальный X0 и конечный X углы скольжения.
 57905. При распространении звука в океане вертикальное отклонение луча z, как правило, много меньше размера неоднородности Н. Используя это условие, получить из формулы (12.3) явное выражение z = z(x) для траектории луча.
 57906. Источник находится на глубине z0 в плоскослоистой среде с постоянным отрицательным градиентом скорости с = c0*(1 - z/H). Найти горизонтальное расстояние L от источника до границы геометрической тени (см. рисунок).
 57907. Звук распространяется в приповерхностном волноводном канале с постоянным градиентом скорости (см. (12.1) Н > 0). Найти длину цикла луча D в зависимости от угла скольжения X на поверхности.
 57908. Найти длину цикла в условиях предыдущей задачи, если волновод имеет глубину h. Рассмотреть предельные случаи h << Н, X << 1, X = п/2.
 57909. Волноводный канал образован двумя слоями с постоянными градиентами скорости звука (см.рисунок): Н = Н2 при z > 0 и H = -H1 при z < 0. Найти длину цикла D(X0), а также радиусы кривизны луча в верхней (Rв) и нижней (Rн) полуплоскости в зависимости от угла наклона X0 луча на оси канала.
 57910. Показать, что траектории луча в среде, в которой с = с0(1 - a2z2)^-1/2, n = n0(1 - а2z2)^1/2, представляют собой синусоиды. Найти длину цикла D(X0) и иследовать случай малых углов X0 для приосевых лучей.
 57911. Рассчитать траекторию луча в плоскослоистой среде с показателем преломления n = n0(1 + а2z2)^1/2.
 57912. При определении скорости звука часто используют различные эмпирические формулы, которые позволяют по измерениям температуры t (в градусах Цельсия), солености s (в промиллях; 1 ‰ = 0,1 %), глубины z (в метрах) расчитать скорость звука с (в м/с). Формулы различаются точностью определения скорости. Одной из них является формула с = 1449,2 + 4,6t - 0,055t2 + 0,00029t3 + (1,34 - 0,010t(s - 35) + 0,06z. (1) Она обеспечивает точность до 1 м/с в диапазоне темпертур t от 0 до 35°С, солености s от 0 до 45 ‰, глубины z от 0 до 1000 м. Пусть судно находится в широком устье реки, несущей пресную воду в море. Верхние 5 м — это пресная вода при температуре 20°С. Ниже находится толща морской воды с соленостью 20 ‰ и температурой 15°С. Максимальная глубина Н = 20 м. Найти и построить профиль скорости звука. Необходимо ли учитывать добавку к скорости звука, (связанную гидростатическим давлением, — последнее слагаемое # (1)? Найти коэффициент отражения по давлению V от скачка скорости.
 57913. Температура воды на поверхности океана t = 20°С, соленость s = 10 ‰. На глубине Н = 100 м соленость s = 30 ‰, а температура воды t = 6°С. На глубинах, больших 300 м, температура постоянна и равна t = 6°С, соленость s = 35 ‰. Считая, что градиент скорости звука постоянен на глубинах h < 100 м и h > 300 м, найти радиус кривизны R луча, вышедшего горизонтально, на глубинах h1 = 99 м, h2 = 500 м. Куда будет загибаться луч?
 57914. Каков минимальный радиус кривизны луча, рефракция которого определяется изменением скорости, связанным исключительно с увеличением гидростатического давления. Насколько сильно изменится этот радиус, если глубина равна h = 1000 м? Температура постоянна и равна 6°С, соленость s = 35 ‰.
 57915. Считая, что температура t спадает с глубиной по линейному закону с градиентом 0,5 К/м, найти радиус кривизны R звукового луча, выходящего горизонтально из точки, лежащей на глубине 25 м. Скорость звука в этой точке c0 = 1475 м/с. Определить, на каком расстоянии L звуковой луч отклонится на величину dh = 50 м.
 57916. Градиент скорости звука в слое постоянен и равен dc/dz = 0,05 с^-1, скорость звука у поверхности c0 = 1500 м/с, глубина слоя h = 200 м. Источник звука находится у поверхности. Найти горизонтальное расстояние, на котором луч, скользнувший по дну, выйдет на свободную поверхность (см рисунок).
 57917. Узконаправленный источник, расположенный на глубине z0 = 200 м, излучает звук в угловых пределах X0 = ± а (а = 3°) относительно горизонта (см. рисунок). Определить, на каком расстоянии (по горизонтали) х звук выйдет на поверхность. Какова будет длина d озвученного участка на поверхности? Градиент скорости звука постоянен и равен dс/dz = 0,03 с^-1, скорость звука на горизонте излучателя c0 = 1500 м/с.
 57918. Слой воды имеет постоянный отрицательный градиент скорости звука -а = |H|^-1 = 5*10^-5 м^-1. На каком расстоянии L луч, направленный у поверхности горизонтально, достигает глубины h = 200 м. Найти угол скольжения X в этой точке, фактическую длину луча I.
 57919. Найти поправку на глубину объекта вследствие рефракции луча в среде с постоянным отрицательным градиентом скорости звука -а = 1/H = 6*10^-4 м^-1 (см.рисунок). Кажущаяся глубина объекта в однородной среде равна h; при угле скольжения X0 = 10° h = 50 м.
 57920. Скорость звука в плоскослоистом океане измерена в n точках: с(z1) = с1 — скорость звука на поверхности, с(z2) = с2,..., c(zk) = ck,..., с(zn) = сn — скорость звука вблизи дна. Предложить алгоритм построения лучевой картины, используя кусочно-линейную аппроксимацию скорости звука.
 57921. Построить лучевую картину для источника, находящегося на оси волноводного канала при z0 = z2 = h1 = 200 м, если скорость у поверхности (z1 = 0) c1 = 1500 м/с, на оси канала (z2 = h) c2 = 1470 м/с, скорость у дна (z = z3) с3 = 1520 м/с. Глубина океана z3 = 3200 м/с, h2 = z3 - z2 = 3000 м. Найти аналитические выражения для длины цикла D(X0) при малых углах выхода X0 и критические углы Xп и Xд, когда луч касается поверхности и дна. Найти длину цикла для луча, касающегося поверхности.
 57922. В условиях задачи 3.2.10 построить лучевые картины и найти критические углы, если профиль скорости такой же, но глубина z3 = 1200 м.
 57923. Построить профили скорости звука и лучевые картины, используя линейную аппроксимацию для следующих данных: а) z1 = 0, с1 = 1500 м/с; z2 = 80 м, с2 = 1500 м/с; z3 = 200 м, с3 = 1450 м/с; координата источника z0 = 80 м; б) z1 = 0, с1 = 1450 м/с; z2 = 80 м, с2 = 1450 м/с; z3 = 200 м, с3 = 1500 м/с; z0 = 40 м; в) z1 = 0; с1 = 1500 м/с; z2 = 60 м, с2 = 1480 м/с; z3 = 120 м, с3 = 1440 м/с; z4 = 200 м/с, с4 = 1480 м/c; z0 = 120 м.
 57924. При физическом моделировании распространения звука в океане используют спиртовые и солевые растворы, обеспечивающие большие градиенты скорости звука. Построить лучевые картины, найти длину цикла для малых углов выхода D(X0) для источника, находящегося на оси канала, найти критические углы касания поверхности Xп и дна Хд. определить длину цикла для луча, коснувшегося первый раз либо поверхности, либо дна, для следующих профилей скорости звука, считая вертикальные градиенты скорости звука постоянными: а) z1 = 0, c1 = 1500 м/с; z2 = 20 см, с2 = 1450 м/с; z3 = 50 см, с3 = 1600 м/с; б) z1 = 0, c1 = 1550 м/с; z2 = 20 см, с2 = 1500 м/с; z3 = 50 см, с3 = 1500 м/с.
 57925. Найти зависимость скорости звука c(z) от выcоты в неподвижной адиабатической атмосфере.
 57926. Вывести формулу для времени пробега луча в плоскослоистой среде.
 57927. Вывести формулу для времени пробега луча в плоскослоистой среде с постоянным градиентом скорости звука (см. (1.12.1)) через начальный и текущий углы скольжения X0 и X(z).
 57928. Пусть рефракция луча определяется неоднородностью скорости звука, связанной исключительно с увеличением гидростатического давления. Найти длину цикла D(X0) и время пробега т по этому циклу. Сравнить это время с временем распространения т0 вдоль горизонтального луча на такую же дальность D в "однородном океане". Найти длину цикла и времена пробега для углов X0 = 5, 10, 20°.
 57929. Найти время распространения сигнала по длине цикла луча, вышедшего с оси волноводного канала и состоящего из двух слоев с постоянными градиентами скорости звука (см. задачу 3.1.18).
 57930. Температурный профиль в Арктике близок к изотермическому, а скорость звука возрастает с глубиной только из-за роста гидростатического давления. Пусть температура воды равна 0°С и соленость 35 ‰. Определить начальный угол выхода луча X0, расстояние D(X0) и время распространения сигнала т по лучу, который начинается у поверхности, касается дна и возвращается к поверхности. Глубина h = 2 км.
 57931. Для волноводного канала, приведенного в задаче 3.2.10, вычислить время, необходимое для прохождения пути между двумя последовательными пересечениями оси канала, для лучей, вышедших вверх под углами X0 = 5, 10, 20, 40, 80°.
 57932. Вычислить полное время пробега t импульса от излучателя до приемника при N циклах, считая, что они находятся на оси волноводного канала, образованного двумя слоями с постоянным градиентом скорости звука (см. задачу 3.1.18).
 57933. Пусть скорость звука волноводного канала (см. задачу 3.2.11) у поверхности больше, чем скорость звука у дна. Оценить уширение очень короткого импульса в таком канале, если r = 1470 км.
 57934. Звук распространяется от поверхности Земли вертикально вверх. Температура у поверхности Земли t0 = 16°С (T0 = 289 К), а вертикальный градиент температуры постоянен и по модулю равен b = 0,007 К/м. Считая атмосферу идеальным газом, найти время пробега т звука от поверхности до высоты h = 10 км. Сравнить это время со временем пробега т0 в изотермической атмосфере Т = T0 = const. Начиная с каких высот, относительная поправка, связанная с неизотермичностью атмосферы, превысит d = 5 %?
 57935. Ненаправленный излучатель находится в волноводном канале. Скорость звука на глубине источника равна c0, у поверхности — сп, у дна — сд (см. рисунок). Найти коэффициент захвата энергии пoдводным каналом, считая, что коэффициент отражения от дна V < 1. Рассмотреть случаи спокойной и взволнованной поверхностей.
 57936. Излучатель находится на глубине z0 в приповерхностном волноводном канале с постоянным градиентом скорости звука (см. (1.12.1)). Глубина волновода h = 2 км, Н = 90 км. Найти зависящий от глубины коэффициент захвата K(z0) и его максимальное значение. На какой глубине z*коэффициент захвата в два раза меньше максимального?
 57937. Волноводный канал характеризуется следующими значениями скорости звука у поверхности, на оси канала (z = za) и на дне (см. рисунок): 1) сп = 1500 м/с, сa = 1450 м/с, сд = 1550 м/с. 2) сп = 1550 м/с, сa = 1450 м/с, сд = 1500 м/с. Найти максимальный коэффициент захвата в случае спокойной и взволнованной поверхностей. Построить качественную зависимость коэффициента захвата от глубины излучателя.
 57938. Подводный звуковой канал имеет вид с = c0 (0 < z < h, z > h2) и с = c(z) (h < z < h2). Существует ли такой профиль с(z), при котором часть лучей, идущих с поверхности океана, будет захватываться каналом?
 57939. Оценить, какой выигрыш по амплитуде по сравнению со сферически расходящейся волной амплитуды рп дает волноводный канал, параметры которого даны в задаче 3.3.3, если поверхность взволнована, z*= 1,5 км, r = r1 = 1000 км, r = r2 = 10000 км. Ненаправленный излучатель расположен на оси канала.
 57940. В условиях предыдущей задачи оценить акустическое давление, если акустическая мощность излучателя W = 10 кВт.
 57941. Гидролокатор лоцирует объект, находящийся под слоем резкого отрицательного скачка скорости звука (под термоклином; см. рисунок). Найти ослабление принимаемого сигнала К, связанное с наличием термоклина.
 57942. Найти ослабление силы звука при эхолоцировании с поверхности подводного объекта, находящегося непосредственно под термоклином, с перепадом скорости dс = 50 м/с (с1 = 1450 м/с), если расстояние до объекта r = 1 км, а термоклин расположен на глубине h = 100 м.
 57943. Фактором фокусировки F в гидроакустике называется отношение интенсивности поля I(R) в неоднородной среде в точке, удаленной на расстояние R от источника звука, к интенсивности l0 в однородной среде на том же расстоянии R от источника: F = l/l0. Вычислить фактор фокусировки в плоскослоистой среде.
 57944. Показать, что в однородной среде фактор фокусировки F, определяемый выражением (9.6), действительно равен единице.
 57945. Найти фактор фокусировки звука в слоисто-неоднородной среде с постоянным градиентом скорости звука (см. (1.12.1)).
 57946. Скорость звука в среде изменяется по закону с = c0 (z < 0), с = c0 1 + z/H) (z > 0). Сферический источник находится на высоте z = -z*над уровнем излома скорости. Найти уравнение отраженных лучей в верхнем полупространстве, уравнение для каустики.
 57947. В условиях задачи 3.2.12 (случай б) найти уравнения каустик: для лучей, не отраженных от поверхности; для лучей, отраженных один раз. Найти расстояние rп для выхода каустики на поверхность. Рассмотреть глубины излучателя z0 = 80, 40, 0 м.
 57948. Найти уравнения каустик в приповерхностном канале с постоянным градиентом скорости звука с = c0(1 + z/H). Считать, что излучатель расположен на поверхности, и ограничиться малоугловым приближением.
 57949. Рассмотреть сферически-симметричные пульсации сферы, излучающей расходящуюся гармоническую волну. Рассчитать интенсивность звука и мощность источника, полное механическое сопротивление (импеданс), а также присоединенную массу.
 57950. Определить полную мощность излучения сферы радиусом 1 см, совершающей колебания в воздухе (а) или в воде (б) с амплитудой E0 = 1 мм на частоте f = 100 Гц.
 57951. Рассчитать активную составляющую удельного акустического импеданса и соколеблющуюся (присоединенную) массу на единицу площади сферического излучателя радиусом а, колеблющегося в воздухе с частотой f. Рассмотреть два случая: а) а = 0,25 м, f = 100 Гц, б) а = 1 м, f = 400 Гц.
 57952. Рассмотреть поступательное осцилляторное движение сферы (происходящее без изменения ее объема) вдоль полярной оси z сферической системы координат. Рассчитать интенсивность звука и мощность источника, полное механическое сопротивление (импеданс), а также присоединенную массу.
 57953. Определить полную мощность излучения звука сферой радиусом 1 см, совершающей в воздухе поступательные колебания на частоте f = 100 Гц с амплитудой смещения E0 = 1 мм. Как изменится мощность, если колебания происходят в воде?
 57954. Массивный плоский поршень массой М и площадью S, закрепленный на пружинке с жесткостью b, совершает свободные квазигармонические колебания на входе в газонаполненную трубу того же сечения. При этом поршень излучает плоскую звуковую волну, бегущую вдоль оси х трубы и испытывает вязкое трение, сила которого пропорциональна скорости. Как процесс излучения влияет на собственную частоту и затухание колебаний?
 57955. Сферическая оболочка радиусом а и массой М совершает сферически-симметричные пульсации под действием нормальной силы F(t), равномерно распределенной по поверхности. Записать уравнение движения оболочки с учетом реакции излучения звуковой волны. Получить выражение присоединенной массы для произвольных во времени низкочастотных колебаний. Для гармонических колебаний рассчитать механический импеданс.
 57956. В условии предыдущей задачи считать, что сила f изменяется во времени по гармоническому закону, а оболочка испытывает вязкое трение. Рассчитать КПД этой излучающей системы: h = N/Ns, где N — излучаемая мощность, Ns — мощность источника, создающего силу F.
 57957. Монополем называют точечный источник, создающий сферическую расходящуюся волну. Переходя в результатах задачи 4.1.1 для пульсирующей сферы к пределу kа -- > 0, получить соответствующие выражения для монопольного источника.
 57958. Акустическим диполем называют источник, состоящий из двух одинаковых, близко расположенных монополей, колеблющихся в противофазе. Рассчитать характеристики акустического поля дипольного источника. Убедиться в том, что осциллирующая сфера (см. задачу 4.1.4) есть излучатель дипольного типа.
 57959. Рассмотреть группу монопольных излучателей, расположенных вблизи начала координат. Положение монополя с номером j задается вектором rj = (xj1, хj2, хj3). Получить выражение для потенциала акустического поля в произвольной точке с координатами R = (Х1, Х2, X3), расположенной вдали от области локализации источников (R = |R| >> max |rj|).
 57960. Рассчитать поле на оси круглого поршня радиусом а, помещенного в бесконечном плоском неподвижном экране и совершающего гармонические колебания с амплитудой v0.
 57961. Используя результат задачи 4.1.12 (cм. (12.5)), определить положение нулей и максимумов давления на оси поршня, координату наиболее удаленного максимума и поведение амплитуды на больших расстояниях.
 57962. Для поршневого излучателя рассчитать диаграмму направленности — зависимость амплитуды акустического давления от угла между осью пучка и направлением на точку наблюдения в дальней зоне.
 57963. Оценить радиус первой зоны Френеля на дне океана для гидролокатора, работающего на частоте f = 45 кГц при глубине места h = 3200 м. Скорость звука принять равной 1500 м/с.
 57964. Звук частотой f = 1 кГц, распространяясь в воздухе, проходит через круглое отверстие диаметром 2а = 1 м в экране. Оценить размер зоны уверенной слышимости на расстоянии z = 10 м от экрана.
 57965. Круглая диафрагма диаметром 2а = 30 см излучает звук в воде на частоте f = 30 кГц. Амплитуда колебательной скорости v0 = 1,4 см/с (излучаемая мощность ~ 10 Вт). На каком предельном расстоянии можно обнаружить звук приемником с чувствительностью по амплитуде колебаний давления Рmin = 1,4 дин/см2. Как изменится предельная дальность по направлению первого бокового лепестка диаграммы направленности?
 57966. Поршневой излучатель гидролокатора диаметром 2а = 1 м используется для излучения и приема. Он регистрирует сигнал, интенсивность которого на 60 дБ меньше интенсивности излученной волны. При какой минимальной частоте можно обнаружить сигнал от препятствия, расположенного на расстоянии L = 10 км и отражающего 10 % падающей интенсивности?
 57967. Сечением рассеяния s ([s] = м2) называют отношение полной рассеянной препятствием мощности к интенсивности падающей плоской волны. Пользуясь сохранением энергии при рассеянии коротковолнового звука на идеальном препятствии, выразить s через геометрические размеры тела.
 57968. Звук падает на препятствие произвольной формы, имеющее малые (по сравнению с длиной волны) размеры. Препятствие неподвижно относительно колеблющейся окружающей среды, но его объем пульсирует под действием переменного акустического давления. Рассчитать сечение рассеяния, зная частоту волны, объем V и свойства материала препятствия, а также свойства среды.
 57969. Пользуясь решением предыдущей задачи, получить сечение рассеяния звука сферой малого радиуса a, ka << 1. Оценить сечение рассеяния волны частотой 300 Гц, распространяющейся в воздухе, на капле тумана радиусом 20 мкм.
 57970. Пузырек воздухa в воде имеет сферическую форму и пульсирует в поле плоской звуковой волны частоты w, рассеивая ее энергию в виде сферической расходящейся волны. Рассчитать сечение рассеяния считая радиус а пузырька малым по сравнению с длиной волны. Использовать непрерывность давления и нормальной компоненты скорости на границе пузырька.
 57971. Получить оценочную формулу, связывающую радиус и резонансную частоту воздушного пузырька, находящегося вблизи водной поверхности и на глубиие h. Оценить размер пузырька для частоты 100 кГц. На какой глубине собственная частота вдвое больше, чем у поверхности?
 57972. Исследовать поведение сечения рассеяния звука пузырьком в области низких и высоких частот и при резонансе. Оценить добротность воздушного пузырька, находящегося у поверхности воды.
 57973. Плавательный пузырь небольшой рыбки, плывущей на малой глубине, эквивалентен воздушному пузырьку радиусом а = 0,3 см. Оценить собственную частоту и резонансное сечение рассеяния.
 57974. В 1 см3 воды содержится n = 10^3 микропузырьков одинакового радиуса а = 33 мкм. По какому закону убывает с расстоянием интенсивность плоской волны вследствие рассеяния на пузырьках? Оценить расстояния, на которых интенсивность волны с частотой f = 300 кГц убывает в е раз.
 57975. Малый шарик радиусом a (ka << 1) совершает осцилляции в поле плоской звуковой волны. Сжимаемость шарика такая же, как у окружающей среды, а его плотность р1 существенно отличается от р0. Учитывая смещение шарика относительно окружающей среды, рассчитать сечение рассеяния.
 57976. Определить сечение рассеяния и зависимость от полярного угла амплитуды давления сигнала, сформировавшегося в результате рассеяния плоской волны на шарике малого радиуса, отличающемся от окружающей среды своей плотностью и сжимаемостью.
 57977. Записать и проанализировать выражения для индикатрисы и сечения рассеяния плоской волны тяжелым несжимаемым шариком малого радиуса.
 57978. Ультразвуковой излучатель дельфина на частоте 80 кГц создает мощность излучения N = 0,1 Вт. Коэффициент осевой концентрации (см. (1.4.6)) К = 50. Оценить расстояние L, на котором дельфин способен обнаружить твердый металлический шарик радиусом а = 0,5 см, если амплитуда давления принимаемого сигнала должна быть не менее рmin = 2*10^-3 Па.
 57979. Показать, что система уравнений гидродинамики в переменных Лагранжа для одномерного плоского движения имеет решение в виде простых волн. Свести эту систему к одному нелинейному уравнению для переменной E(x,t) — смещению частиц среды из своего начального положения х.
 57980. Считая нелинейность слабой, упростить уравнение Ирншоу (1.3), сохранив в нем только два главных нелинейных члена.
 57981. Нелинейная среда занимает полупространство х > 0, а на ее границе х = 0 задан гармонический сигнал E = А х sin(wt) с частотой w. Анализируя уравнение (2.2) методом последовательных приближений, определить, какие частоты могут возникать при распространении волны в среде из-за квадратичной и кубичной нелинейности.
 57982. Указать, волны каких частот могут возникать в квадратично-нелинейной среде (в первом приближении), если на ее входе х = 0 задан бигармонический сигнал E = A1sin(w1t) + A2sin(w2t). Рассмотреть предельный случай w1 -- > w2.
 57983. Пользуясь методом медленно изменяющегося профиля, упростить уравнение (2.2), сохранив в нем только квадратично-нелинейный член.
 57984. На границе х = 0 нелинейной среды колебательная скорость изменяется по закону u(x = 0, т = t) = u0sin(wt). Решая уравнение простых волн (5.3) методом последовательных приближений, определить закон изменения амплитуды второй гармоники с увеличением расстояния х.
 57985. На границе х = 0 возмущение есть сумма гармонических сигналов u(0,t) = u1sin(w1t) + u2sin(w2t). Решая уравнение простых волн (5.3) методом последовательных приближений, найти амплитуды u+ и u- комбинационных гармоник w1 + w2 и w1 - w2. Сравнить эффективность генерации суммарной и разностной частот.
 57986. Показать, что точное решение уравнения (5.3), отвечающее возмущению произвольной формы u(x = 0, t) = Ф(t) на границе нелинейной среды дается неявной функцией u(х,т) = Ф(т + (е/с0^2)uх) (1). Получить формулу (1) методом характеристик, известным из теории квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных 1-го порядка.
 57987. Используя неявное решение (8.1) уравнения простых волн, рассмотреть эволюцию "линейного профиля" — исходного возмущения u(x = 0, t) = Ф(t) = y(t - t*). Обсудить случаи y > 0 и у < 0.
 57988. Проанализировать графически процесс нелинейного искажения формы одного периода исходного гармонического сигнала u(0, т) = u0sin(wt). Воспользоваться неявным решением (8.1) уравнения простых волн, переписав его как явную функцию переменной т(х, u): т = Ф^-1(u) - (е/с0^2)uх, где Ф^-1 — функция, обратная Ф.
 57989. Используя сшивку решений вида (9.2). рассмотреть эволюцию формы одиночного треугольного импульса длительностью 2T. При х = 0 профиль аппроксимируется кусочно-линейной функцией u/u0 = 0 (т < 0, т > 2T), u/u0 = (0 < т < T), u/u0 = 2 - т/T (T < т < 2T). Рассмотреть случаи u0 > 0 и u0 < 0. Провести также анализ с использованием графической процедуры (см. задачу 5.1.10).
 57990. Найти спектр простой волны в нелинейной среде, если на входе волна задана как u(0, т) = u0Ф(wт), где Ф — функция, периодическая по своему аргументу с периодом Т = 2п.
 57991. Пользуясь ответом предыдущей задачи (см. (12.3)), найти зависимости амплитуд гармоник от z = х/хp при задании на входе в нелинейную среду гармонического сигнала u(0, т) = u0sin(wт). Найти степенные законы роста амплитуд для z << 1.
 57992. Рассмотреть взаимодействие мощного низкочастотного возмущения со слабым высокочастотным сигналом: u(0, t)/u0 = sin(wт) + m sin(Nwт) (m << 1, натуральное число N >> 1). Как изменяется в пространстве амплитуда слабого сигнала?
 57993. Пользуясь методом последовательных приближений, проанализировать вырожденное параметрическое взаимодействие в простых волнах. Для исходного возмущения u/u0 = sin(2wт) + m sin(wт + ф), m << 1, определить, при каком сдвиге фаз ф слабый сигнал усиливается, а при каком ф он подавляется.
 57994. Найти фурье-образ простой волны u(х, т) С(х, w) = 1/2п int u(x, т) ехр(-iwт) dт, считая, что возмущение исчезает при т -- > ±оо.
 57995. Исходя из решения (4) предыдущей задачи, найти универсальное поведение фурье-образа в области низких частот. Показать, что если при w -- > 0 C0(w) ~ wn и n > 1, то из-за нелинейных взаимодействий между спектральными компонентами в области низких частот (w -- > 0) формируется универсальная асимптотика спектра.
 57996. Найти составляющие спектра Свз (х, w), возникающие за счет взаимодействия интенсивной волны накачки u1(t) и слабого сигнала u2(t): u(x = 0, t) = Ф(t) = u1 + u2, u1 = u0sin(w0t), u2 = bsin(Wt).
 57997. Используя результат предыдущей задачи, рассмотреть случай низкочастотной накачки (данная задача есть обобщение задачи 5.1.14). Описать спектр сигнала на разных стадиях взаимодействия и оценить ширину спектра сигнала.
 57998. Найти максимальное расстояние — границу области, в которой справедливо решение (1.8.1) уравнения простых волн.
 57999. Решая уравнение простой волны (1.5.3) методом характеристик, дать наглядную иллюстрацию полученному в задаче 5.2.1 условию однозначности решения. Определить, какой участок профиля исходного возмущения u(х = 0, т) = Ф(т) "опрокинется" первым и на каком расстоянии от входа это произойдет.
 58000. Найти расстояние, на котором образуется разрыв в простой волне, заданной на входе в нелинейную среду в виде однополярного импульса u(x = 0, t) = u0 exp(-t2/t2|0).