Earth curvature of space2 curvature of space1
Банк задач

Вход на сайт
Регистрация
Забыли пароль?
Статистика решений
Тип решенияКол-во
подробное решение60032
краткое решение7560
указания как решать1341
ответ (символьный)4704
ответ (численный)2335
нет ответа/решения3772
ВСЕГО79744

База задач ФизМатБанк

 56301. Химический потенциал однокомпонентного идеального газа имеет вид ц = ф(Т) + kТ In [ р/р0 (Т) ]. Получить выражение для (большого) термодинамического потенциала J (T, V, ц) и доказать справедливость соотношения (3.5).
 56302. На рисунке приведены экспериментальные данные для температурной зависимости напряжения в случае определенным образом вулканизированной резиновой ленты, длина которой поддерживается постоянной. Пусть l0 — естественная нормальная длина ленты при температуре Т0, а I — ее действительная длина. Полное натяжение (равное напряжению, умноженному на поперечное сечение) связано с I соотношением Х = АТ {l/l0 - [ 1 + а(T - T0) ] (l0/l)^2}. Здесь а — коэффициент теплового расширения, равный примерно 7*10^-4 град^-1. Вычислить изменение температуры dT в случае, когда резиновая лента, находящаяся при температуре Т0, быстро адиабатически растягивается от ее естественной длины l0, до длины, в L раз большей. (Этот эффект называется эффектом Джоуля.) Представить графически зависимость dT от L.
 56303. Пусть для а- и b-фаз однородного вещества известны свободные энергии Fa и Fb как функции Т и V. Показать, что точку перехода между этими фазами можно определить, проведя общую касательную к кривым Fa (V) и Fb (V) при заданной температуре Т. б) Основываясь на решении п. «а», получить правило Максвелла.
 56304. Теплота плавления льда при 0° С и давлении 1 атм составляет 80 кал/г. Отношение удельных объемов льда и воды равно 1,091 : 1,000. Оценить изменение точки плавления при изменении давления.
 56305. Известен коэффициент изменения температуры кипения воды с давлением (при 100° С и давлении 1 атм): dT/dp = 1/27,12 град/мм рт.ст. Оценить теплоту парообразования воды при 100° С.
 56306. Вблизи тройной точки кривая равновесия (кривая р — Т) между твердой и газообразной фазами имеет обычно больший наклон к температурной оси, чем кривая равновесия между жидкой и газообразной фазами. Дать термодинамическое объяснение этого явления.
 56307. Теплота плавления льда при 0° С и давлении 1 атм равна 80 кал/г, а отношение удельного объема воды к удельному объему льда равно 1,000 :1,091. Давление насыщенного пара и теплота парообразования для воды при 0° С составляют соответственно 4,58 мм рт. ст. и 600 кал/г. По приведенным данным приближенно оценить температуру тройной точки. (Указание. Тройная точка должна быть очень близка к 0° С, так как температура равновесия между водой и льдом очень мало изменяется с давлением.)
 56308. Предположим, что в системе выполняются следующие условия: а) температура не очень близка к критической, так что давление ps достаточно мало; б) скрытую теплоту парообразования L можно считать постоянной во всей рассматриваемой области. Показать, что в этом случае справедлива следующая формула для давления насыщенных паров жидкости: ps ~ e^-L/RT.
 56309. Пусть у — поверхностное натяжение кривой поверхности с главными радиусами кривизны р1 и р2. Показать, что разность давлений по обе стороны поверхности описывается формулой dp = y(1/p1 + 1/p2) (формула Лапласа).
 56310. Поверхностное натяжение у(Т) задано как функция температуры. Найти количество тепла, поглощаемого при изотермическом расширении такой поверхностной пленки. Показать далее, что изменение температуры при адиабатическом расширении определяется условием s dy/dT = const.
 56311. Бинарный раствор находится в равновесии со своим паром. На рисунке показана температурная зависимость (при постоянном давлении) молярных долей жидкой и газовой фаз. Газообразной фазе соответствует область выше сплошной кривой, а жидкой — область ниже пунктирной. Смесь газов постепенно охлаждается от точки Р. При этом в точке А начинает появляться жидкая фаза, а в точке С газообразная фаза исчезает полностью. а) Найти молярные доли растворенных веществ в точке А. б) Найти молярные доли в газовой фазе в точке С. в) Найти молярные доли жидкости и газа в промежуточном состоянии, представленном на рисунке точкой В. Показать, что в этой точке отношение масс газа и жидкости определяется величиной В В' : ВВ".
 56312. Бинарный раствор содержит n1 молей одного и n2 молей другого вещества. Пусть J есть некоторая экстенсивная величина, характеризующая раствор. Зависимость величины J(n1 + n2) от молярной доли х2 изображается сплошной кривой на рисунке. Пунктирная линия QPR касается этой кривой в точке Р. Доказать справедливость следующих соотношений: Q0 = (dJ/dn1)p,т,n2 = J1, RO' = (dJ/dn2)p,т,n2 = J2.
 56313. Обозначим фугативности [см. (4.22)] компонентов газовой смеси через vi (i = 1,..., с). Показать, что при постоянных, давлении и температуре выполняется следующее соотношение: E = nid ln vi = 0. Здесь ni (i = 1,..., с) — молярная доля i-го компонента.
 56314. Пусть молярные доли двух компонентов в бинарном растворе равны x1 и х2. Химический потенциал одного компонента определяется соотношением G1 = G1*(T, p) + RT ln x1. Показать, что при этом химический потенциал второго компонента имеет вид G2 = G2*(T, p) + RT In x2.
 56315. В разбавленном идеальном двухкомпонентном растворе (при постоянной температуре) давление пара растворителя p1 подчиняется закону Рауля p1 = x1p1|0 (здесь p1|0 — давление пара для чистого растворителя). Это соотношение справедливо при x1 -- > 1. Используя этот закон и уравнение Гиббса — Дюгема, получить закон Генри (4.29) для давления пара растворенного вещества р2 и формулу (4.30б) для химического потенциала растворенного вещества.
 56316. Доказать справедливость следующих утверждений относительно кривых зависимости давления пара p1 или р2 от молярной доли x1 (или х2) в случае бинарного раствора. а) Пусть a1 и a2 — наклоны касательных к этим кривым в точках A1 и A2 соответственно, a b1 и b2 — наклоны линий, связывающих точки A1 и А2 с началами координат O1 и O2. Тогда a1/b1 = a2/b2. б) Если касательная в точке А1 проходит через начало координат О1, то касательная в точке А2 проходит через O2.
 56317. В случае идеального бинарного раствора химический потенциал i-го компонента выражается формулой (4.34) Gi = G0i(T, р) + RT ln xi. Здесь хi — молярная доля i-го компонента, a G0i — его химический потенциал в чистом состоянии. Пусть такой идеальный раствор получают путем смешения чистых жидких компонентов. Доказать, что в этом случае справедливы следующие положения: а) Не происходит изменения объема. б) Не происходит поглощения и выделения тепла. в) Изменение энтропии равно энтропии смешения (4.19). Найти также изменение внутренней энергии.
 56318. Имеется идеальный раствор, пары которого можно рассматривать как идеальный газ. Показать, что давление пара приближенно пропорционально молярной доле [см. (4.36)]. Показать далее, что это приближение справедливо в большинстве случаев.
 56319. Вывести формулу для осмотического давления в случае идеального бинарного раствора.
 56320. В случае идеального разбавленного раствора давление p1 насыщенных паров растворителя примерно пропорционально его молярной доле х1 (~ 1). Исходя из этого, показать, что изменение точки кипения такого раствора пропорционально молярной доле х2 (<< 1) растворенного вещества. (Следует иметь в виду, что растворенное вещество тоже может испаряться.)
 56321. Концентрация растворенного вещества х'2 в твердой фазе, выпадающей в осадок из разбавленного раствора, пропорциональна концентрации (молярной доле х2) растворенного вещества в растворе (в жидкой фазе): х'2 = kх2. Здесь k есть некоторая функция температуры. В предположении, что жидкая фаза представляет собой идеальный разбавленный раствор, а твердая — идеальный разбавленный твердый раствор, получить формулу, связывающую изменение точки замерзания с молярной долей х2.
 56322. Два металла 1 и 2 (с точками плавления Т1 и Т2 и теплотами плавления L1 и L2) хорошо смешиваются в жидкой фазе и совсем не смешиваются в твердой. Получить фазовую диаграмму и уравнение для определения эвтектической точки, предполагая для простоты, что теплота плавления не зависит существенно от температуры.
 56323. Два металла А и В хорошо смешиваются как в жидкой, так и в твердой фазах. Пусть смеси ведут себя как идеальные растворы, а температуры плавления и теплоты плавления (на 1 моль) для металлов А и В равны соответственно T1, Т2 и L1, L2. а) Получить уравнения для кривых солидуса (твердой фазы) и ликвидуса (жидкой фазы) на фазовой диаграмме в общем случае. б) Упростить полученные уравнения и показать, что фазовая диаграмма имеет сигарообразную форму, если справедливы следующие предположения: 1) энтропии плавления для металлов А и В (на 1 моль) равны и имеют порядок величины газовой постоянной R; 2) температурной зависимостью величин L1 и L2 можно пренебречь; 3) | T1 - Т2 | << Т1, Т2.
 56324. Газовая реакция аА + bВ +... < -- > lL + mM +... происходит при постоянной температуре и постоянном объеме. Показать, что величина [L]^l [M]^m.../ [А]^а [В]^b... = Кc(T) зависит только от температуры (Гулдберг и Вааге, 1867). Квадратные скобки обозначают число молекул в единице объема. Считать, что каждый компонент подчиняется формулам для идеального газа.
 56325. В случае химической реакции в смеси идеальных газов получить уравнения d ln Kc/dT = dU/RT2 (изохора реакции) и d ln Kp/dT = dH/RT2 (Вант Гофф, 1885). Здесь dU и dН обозначают стандартную внутреннюю энергию и стандартную энтальпию реакции (на 1 моль).
 56326. Константа равновесия реакции А2 < -- > 2А, протекающей в идеальном газе при 18°C, определяется соотношением Кс (18°С) = [A]2/[A2] = 1,70*10^-4 моль/см3, где квадратные скобки обозначают число молей в единице объема. Определить степень диссоциации при давлении газовой смеси, равном 1 атм. Какую величину должна иметь степень диссоциации при 19°С и 1 атм, если теплота реакции равна 5,0*10^4 кал/моль?
 56327. Рассмотреть поглощение газа А2 твердым телом Т. Предполагая, что в Т молекулы А2 диссоциируют на атомы А, найти соотношение между давлением газа рA2 и концентрацией А в Т.
 56328. При нагревании твердый карбонат кальция (СаСO3) диссоциирует на твердую окись кальция (СаО) и углекислый газ. Наблюдаемое значение (в атмосферах) давления диссоциации (т. е. давление рСO2 газообразного СO2) между 1100 и 1500° К может быть выражено следующей формулой: lg pCO2 = - 11355/T - 5,388 lg Т + 26,238. Найти изменение dH0т стандартной энтальпии этой реакции диссоциации.
 56329. Внутри электрохимического элемента протекает реакция (4.676) Ag (тверд.) + 1/2 Hg2Cl2 (тверд.) --- > AgCl (тверд.) + Hg (жидк.). При 25°С и давлении 1 атм получены следующие экспериментальные значения для э.д.с. и ее температурной зависимости: Е = 0,0455 в и (dЕ/dТ)р = 0,000338 в/град. Определить термодинамический потенциал, энтальпию и энтропию этой реакции.
 56330. Для ртути имеются следующие экспериментальные данные: точка плавления Тm = 234,2° К; значение энтропии твердой ртути при температуре Тm, полученное численным интегрированием теплоемкости при нормальном давлении Ss (234,2°) = int Ср dT/T = 59,9*10^7 эрг/моль*град; теплота плавления 2330*10^7 эрг/моль; точка кипения Тb = 630° К; возрастание энтропии жидкой ртути, определяемое по экспериментальным значениям теплоемкости при постоянном нормальном давлении S1 (630°) - S1 (234,2°) = int Ср dT/T = 26,2*10^7 эрг/моль*град; теплота парообразования 59300*10^7 эрг/моль. Исходя из этих данных и предполагая, что пары ртути можно рассматривать как одноатомный идеальный газ, получить значение для ее химической постоянной i.
 56331. Металл, нагретый до достаточно высокой температуры, начинает испускать электроны. Показать, что химическую постоянную тепловых электронов можно определить по температурной зависимости давления электронного газа, находящегося в равновесии с металлом, если предположить, что химический потенциал электронов в металле постоянен.
 56332. Имеется электрохимический элемент с водородным электродом (Pt) H2 (газ) | HCI (вод.), х | AgCl (твёрд.) Ag (твёрд.), на электродах которого происходят следующие реакции: 1/2 Н2 (газ) --- > Н+ (HCl, вод., х) + e, AgCl (твёрд.) + е --- > Ag (тверд.) + Cl- (HCl, вод., х). Какова результирующая реакция? Показать, что э.д.с. Е этого элемента можно представить в виде E = E0 - (2RT/u) ln (xy) + (RT/u) ln pH2^1/2. Здесь х — концентрация HCl, у — средняя активность ионов, а рН2 — давление газообразного водорода.
 56333. Ниже критической точки рассматриваемая система подчиняется уравнению ван дер Ваальса. Показать, что при увеличении давления при постоянной температуре изменение термодинамического потенциала происходит в соответствии с рис. Объяснить, какие изменения происходят с такой системой при этом процессе, если температура меньше критической.
 56334. Две фазы 1 и 2 находятся в равновесии друг с другом. Показать, что температурная зависимость теплоты перехода из фазы 1 в 2 определяется уравнением dL/dT = Cp2 - Cp1 + L/T - L V2b2 - V1b1/V2 - V1. Здесь Cp1 и Cp2 — удельные молярные теплоемкости при постоянном давлении, a b1 и b2 — коэффициенты теплового расширения фаз 1 и 2. Показать, в частности, что в случае, когда первая фаза является жидкой или твердой, а вторая представляет идеальный газ, приведенное выше уравнение можно заменить приближенным: dL/dT ~ Cp2 - Cp1.
 56335. Показать, что удельная теплоемкость насыщенного пара при температуре T, т. е. удельная теплоемкость, соответствующая процессу нагревания, при котором пар все время остается насыщенным, дается выражением с = срg - r/T = ср1 + dr/dT - r/T = ср1 + T d/dT (r/T). Здесь r обозначает теплоту парообразования на единицу массы, а ср1 — удельную теплоемкость жидкости при постоянном давлении. Вычислить с для воды при 100°С, если для нее ср1 = 1,01 кал/г*град, dr/dT = - 0,64 кал/г*град, r = 539 кал/г. Каков физический смысл отрицательных значений с?
 56336. Из-за поверхностного натяжения давление насыщенного пара рr над жидкой каплей радиусом r больше, чем давление рoo (обычное значение давления насыщенного пара) над плоской границей жидкой фазы. а) Вывести соотношение между рr и r. б) При каком критическом значении радиуса rс такой капли она может расти в перенасыщенном паре, для которого р > р oo?
 56337. Исходя из того, что теплоемкость с насыщенного пара отрицательна, объяснить, почему при внезапном расширении в камере Вильсона возникает пересыщенный пар. (Указание. Рассмотреть адиабаты и кривую давления насыщенного пара в плоскости р — Т.)
 56338. При низких температурах некоторые металлы становятся сверхпроводящими. В этом состоянии они обладают замечательным свойством (эффект Мейсснера), заключающимся в том, что внешнее магнитное поле не проникает внутрь металла (В = 0 даже при Н =/= 0). Однако, когда внешнее магнитное поле становится больше определенного критического значения Нc (Т), сверхпроводящее состояние разрушается и переходит в нормальное, так что В становится равным Н (при | H | > Hc имеем В = H). На рисунке приведена кривая зависимости критического магнитного поля Нc (Т) от Т. Она делит плоскость Н — Т на две части, соответствующие сверхпроводящему состоянию s и нормальному состоянию n. а) Определить скрытую теплоту s -- > n-перехода при Н =/= 0 и Т < T0. б) Вывести формулу Рутгерса (dHc/dT)2 T = T0 = 4п/V (Cs - Cn/T)T = T0. Здесь Cs и Сn — удельные молярные теплоемкости соответственно сверхпроводящего и нормального состояний, a V — удельный молярный объем. в) Найти соотношение между Cs и Сn при произвольной температуре, считая, что Hс = H0 [ 1 - (Т/Т0)2 ].
 56339. При возгонке смеси двух разных сортов жидкостей может возникнуть такая ситуация, что для некоторой температуры и концентрации состав раствора будет совпадать с составом пара. Это явление называется азеотропией. Показать, что указанная температура соответствует максимуму или минимуму на кривых газообразной и жидкой фаз на фазовых диаграммах типа изображенных на рисунке.
 56340. Рассмотрим вещество А, содержащее примесь В. В области фазовой диаграммы, соответствующей малым концентрациям В, кривые жидкой и твердой фаз можно приближенно считать прямыми. Обозначим через С концентрацию примеси В в твердой фазе, выпадающей в осадок из жидкой фазы, где концентрация примеси равна Сm. Отношение С/Сm = k называется константой сегрегации. Изображенный на рисунке расплавленный стержень длиной L, концентрация вещества В в котором равна Сm0, охлаждается с левого конца и затвердевает. Показать, что концентрация примеси В на расстоянии х от левого конца описывается формулой C(x) = kCm0 (1 - x/L)^k-1. Предполагается, что в твердой фазе диффузии атомов не происходит, а в жидкой фазе диффузия происходит так быстро, что концентрация все время остается однородной (принцип метода зонной плавки).
 56341. Для некоторых типов высокополимерных растворов химические потенциалы растворителя и растворенного вещества приближенно выражаются следующим образом: G1 = G1|0 (T, р) + RT [ ln ф1 + (1 - 1/r) (1 - ф1) ] + w (1 - ф1)2, G2 = G2|0 (Т, р) + RT [ In ф2 - (r -1) (1 - ф2) ] + rw (1 - ф2)2. Здесь r обозначает степень полимеризации, а фi — объемные доли: ф1 = N1/N1 + rN2, ф2 = rN2/N1 + rN2, где N1 и N2 — соответственно число молекул растворителя и высокополимерных молекул растворенного вещества. Предполагается, что каждая молекула полимера состоит из r мономеров, а объем, занимаемый мономером, примерно равен объему молекулы растворителя. В этом случае: а) показать, что приведенные выше химические потенциалы удовлетворяют уравнению Гиббса — Дюгема; б) сравнить энтропию смешения данного раствора с энтропией смешения идеального раствора; в) вывести соотношение, связывающее теплоту смешения с концентрацией раствора; г) исследовать зависимость осмотического давления и давления пара растворенного вещества от концентрации его в растворе.
 56342. Водный раствор с концентрацией х1|0 молекул М+Х- налит в резервуар I, а другой раствор с концентрацией х2|0 молекул M+R- — в другой резервуар II, отделенный от первого полупроницаемой мембраной, через которую проходят ионы М+ и Х-, но не проходят ионы R-. В результате диффузии ионов М+ и X- через мембрану в системе устанавливается равновесие (равновесие мембраны Доннана). Найти равновесные концентрации х'1 и х"2 вещества М+Х- в резервуарах I и ll. Растворы для простоты считать очень сильно разбавленными и удовлетворяющими всем соотношениям для разбавленных идеальных растворов. (Указание. Растворы все время должны оставаться электрически нейтральными.)
 56343. Водный раствор с концентрацией x1|0 молекул М+Х- налит в резервуар I, а другой раствор с концентрацией x2|0 молекул M+R- — в другой резервуар II, отделенный от первого полупроницаемой мембраной, через которую проходят ионы М+ и Х-, но не проходят ионы R-. В результате диффузии ионов М+ и X- через мембрану в системе устанавливается равновесие (равновесие мембраны Доннана). На противоположных стенках полупроницаемой мембраны возникает разность потенциалов. Рассмотрев электрохимические потенциалы, получить формулу для этой разности потенциалов. Растворы для простоты считать очень сильно разбавленными и удовлетворяющими всем соотношениям для разбавленных идеальных растворов. (Указание. Растворы все время должны оставаться электрически нейтральными.)
 56344. Полупроницаемая мембрана (непроницаемая для ионов R-) помещена в U-образную трубку, одна половина которой заполнена раствором M+R-. Измеряется осмотическое давление. При добавлении раствора электролита М+Х-, который может проходить через мембрану, наблюдается уменьшение осмотического давления. Объяснить это явление, считая для простоты растворы разбавленными и идеальными.
 56345. В таблице приведены экспериментальные значения понижения Q температуры замерзания в зависимости от моляльности водного раствора НСl. Определить по этим данным осмотический коэффициент g и сравнить его с предельным значением, получаемым из закона Дебая — Хюккеля.
 56346. В примесном полупроводнике n-типа атом примеси (донор) D ионизуется в ходе реакции D < -- > D+ + e, причем освобождается электрон проводимости е. Считая кристалл с примесью атомов D и ионов D+ идеальным разбавленным твердым раствором, а электроны проводимости — идеальным газом, вывести на основе термодинамического рассмотрения формулу для равновесной плотности электронов проводимости. Замечание. Так как электроны проводимости могут свободно двигаться в кристалле, их можно рассматривать как своего рода газ. При низкой концентрации электронов применимо приближение идеального газа.
 56347. Расплавленное серебро хорошо растворяется в расплавленном золоте Ag (жидк.) --- > Ag (в Аu (жидк.)). Чтобы этот процесс протекал обратимо, Вагнер и Энгельгардт составили электрохимический элемент Ag (жидк.) | AgCl, KCl (смесь) | Agx Аu 1-х и измерили его э.д.с. Экспериментальные данные относительно зависимости э.д.с. от концентрации х приведены в таблице. Предполагая, что жидкий раствор AgxAu1-x является идеальным, найти э.д.с. при х = 0,5 и 1360° К. В таблице приведены данные для э.д.с. при одной и той же температуре. Определить из этих данных коэффициент активности у, даваемый формулой (4.43). x Е, в 0,846 0,021 0,716 0,045 0,602 0,074 0,471 0,114 0,263 0,198
 56348. В применении к случаю химического равновесия принцип Ле-Шателье означает следующее: а) Если при постоянном давлении повышать температуру, то химическое равновесие смещается таким образом, чтобы происходило поглощение тепла, б) Если при постоянной температуре увеличивать давление, то химическое равновесие сдвигается таким образом, чтобы объем рассматриваемой системы уменьшался. Доказать справедливость этих положений.
 56349. Доказать правило Максвелла для газа ван дер Ваальса. Заметим, что состояния, для которых на р — V-диаграмме (dp/dV)т > 0, являются не физическими, так как в них нарушаются условия термодинамической устойчивости. Поэтому для доказательства равенства термодинамических потенциалов для точек А и Е следует рассматривать квазистатический процесс, при котором система проходит только через физические состояния, не затрагивая упомянутые выше нефизические состояния. Использовать тот факт, что Cv является функцией только Т.
 56350. В парамагнитной области выше температуры Кюри Тс магнитная восприимчивость ферромагнетика подчиняется закону Кюри — Вейсса Хт = A/Т - Тc (A — положительная постоянная). С помощью термодинамического рассмотрения исследовать скачок теплоемкости такого вещества в точке Кюри и спонтанную намагниченность ниже температуры Кюри. (Указание. Если свободную энергию F (М, Т) представить в виде разложения F (М, Т) = F (0, Т) + 1/2a (Т) М2 + b (Т) М4/4! +..., то а (Тc) = 0 и b (Tс) > 0. В качестве приближения рассмотреть разложение лишь до членов порядка М4.)
 56351. Объяснить с помощью термодинамического рассмотрения, почему в водяном паре капли воды конденсируются вокруг ионов и при быстром расширении камеры Вильсона в ней видны следы ионов. (Указание. Свободная энергия воды понижается при поляризации ее электрическим зарядом иона.)
 56352. Для некоторых типов высокополимерных растворов химические потенциалы растворителя и растворенного вещества приближенно выражаются следующим образом: G1 = G1|0 (T, р) + RT [ ln ф1 + (1 - 1/r) (1 - ф1) ] + w (1 - ф1)2, G2 = G2|0 (Т, р) + RT [ In ф2 - (r -1) (1 - ф2) ] + rw (1 - ф2)2. Здесь r обозначает степень полимеризации, а фi — объемные доли: ф1 = N1/N1 + rN2, ф2 = rN2/N1 + rN2, где N1 и N2 — соответственно число молекул растворителя и высокополимерных молекул растворенного вещества. Предполагается, что каждая молекула полимера состоит из r мономеров, а объем, занимаемый мономером, примерно равен объему молекулы растворителя. Определить условия, при которых высокополимерный раствор, распадается на две фазы.
 56353. Магнитное тело помещено в катушку и намагничивается магнитным полем, создаваемым током, протекающим через катушку. Для простоты предположим, что в намагничиваемом теле поле Н и намагниченность М однородны. Показать, что отнесенная к единице объема тела работа, совершаемая электрическим источником в процессе намагничивания, равна A = int H*dM. Предполагается, что магнитное тело не деформируется в процессе намагничивания.
 56354. Пусть d'q — теплота, необходимая для изменения температуры 1 г вещества на величину dT при сохранении величины х постоянной. Для простоты предположим, что имеются только две независимые переменные, а именно удельный объем v и температура Т. Показать, что теплоемкость сх определяется уравнением cx = (d'q/dT)x = (du/dT)v + [ (du/dv)т + p ] (dv/dT)x, где u — внутренняя энергия на единицу массы и р — давление.
 56355. Доказать соотношение Ср = Сv + R (соотношение Майера) между изобарической теплоемкостью и теплоемкостью при постоянном объеме для одного моля идеального газа.
 56356. Вычислить механический эквивалент тепла J, если известно, что для воздуха при нормальных температуре и давлении (т. е. при Т = 0° С, р = 1 атм) плотность р = 0,00129 г/см3, удельная теплоемкость при постоянном давлении ср = 0,238 кал/г*град и ее отношение к теплоемкости при постоянном объеме у = cp/cv = 1,41. Предполагается, что воздух является идеальным газом, объем которого при этих условиях равен 22,4 л/моль.
 56357. Вычислить количество тепла, необходимое для нагревания воздуха от 0 до 20° С при постоянном объеме, если первоначально он находился при атмосферном давлении и занимал объем 27 м3. б) Какое количество тепла потребуется для нагревания воздуха от 0 до 20° С при постоянном давлении, если начальный объем был равен 27 м3? в) Пусть воздух находится в термически изолированной комнате объемом 27 м3. В комнате имеется небольшое отверстие, через которое воздух может просачиваться наружу, где давление равно 1 атм. Какое количество тепла необходимо подвести в комнату, чтобы температура медленно увеличивалась от 0 до 20° С? Теплоемкость воздуха можно считать постоянной.
 56358. Доказать, что для квазистатического адиабатического процесса, совершаемого идеальным газом, справедливо соотношение рVy = const (уравнение Пуассона), и определить работу, совершаемую газом при квазистатическом адиабатическом переходе из состояния (р1, V1, T1) в состояние (р2, V2, Т2). Удельную теплоемкость можно считать постоянной.
 56359. Показать, что между адиабатической хад = -(1/v)(dv/dр)ад и изотермической сжимаемостью хт = -(1/v)(dv/dp)т существует соотношение xад = cv/cp xT, где cv и ср — удельные теплоемкости соответственно при постоянном объеме и постоянном давлении.
 56360. Определить давление рс, объем Vc и температуру Тс в критическом состоянии газа, подчиняющегося уравнению состояния ван дер Ваальса (p + an2/V2)(V - bn) = nRТ, где n — число молей, а > 0, b > 0. Записать уравнение состояния в приведенных величинах р = р/рс, b = V/Vc и t = T/Tc. Используя такое приведенное уравнение состояния, изобразить на р — b-плоскости изотермические линии, а также кривые (dp/db)t = 0 и (d (pb)/dp)t = 0 (последняя кривая носит название кривой Бойля).
 56361. В эксперименте Джоуля — Томсона газ, имеющий давление р1, медленно продавливается сквозь пористую (ватную) перегородку в область, где давление равно р2 (перегородка не позволяет газу приобрести кинетическую энергию), как это изображено на рисунке. Показать, что в этом процессе перехода газа из объема V1 в V2 энтальпия Н = U + pV сохраняется, а изменение температуры Т1 — Т2 определяется из условия постоянства энтальпии.
 56362. Вывести принцип Клаузиуса из принципа Томсона, а также принцип Томсона из принципа Клаузиуса.
 56363. Показать, что внутренняя энергия вещества с уравнением состояния в форме р = f (V) Т не зависит от объема. Здесь р — давление, Т — абсолютная температура, f (V) — функция только от V.
 56364. Внутренняя энергия и единицы объема газа является функцией только от Т, а уравнение состояния газа имеет вид р = u(T)/3. Определить функциональную форму u(Т).
 56365. Пусть цикл Карно действует между тепловыми резервуарами с температурами T1 и Т2 = T1 - dT, а рабочим веществом служит газ. Используя этот цикл, доказать следующее уравнение: (dp/dT)v = 1/T [ (dU/dV)т + p ], где р — давление, V — объем и U — внутренняя энергия.
 56366. Происходит диффузионное смешение идеальных газов двух сортов, первоначально находившихся в двух сосудах и имевших одинаковые давления и температуры. Показать, что при этом энтропия возрастает на величину dS = -R(n1 ln n1/n1+n2 + n2 ln n2/n1+n2), где n1 и n2 — число молей компонентов. Принять, что в процессе диффузии не происходит изменения давления и температуры, а парциальное давление каждого компонента смеси пропорционально молярной концентрации.
 56367. Показать, что для адиабатического изменения абсолютной температуры Т магнетика, подчиняющегося закону Кюри М = СН/Т (М — намагниченность, H — магнитное поле, С — константа), справедливо соотношение dT = CH/CнT dH, где Сн — теплоемкость на единицу объема при постоянном магнитном поле.
 56368. Доказать, что если не происходит обмен веществом между системой и термостатом, то минимальная работа dWмин равна: а) приращению свободной энергии dF при постоянных температуре и объеме; б) приращению термодинамического потенциала Гиббса dG при постоянных температуре и давлении.
 56369. Доказать справедливость следующих двух положений, поясняющих физический смысл понятия энтальпии: а) Энтальпия системы равна сумме внутренних энергий системы и источника работы, который оказывает на систему давление р^(e), равное однородному давлению р внутри системы. б) Если изменение состояния системы происходит при постоянном давлении р^(е), причем как до, так и после перехода она находится в состоянии теплового равновесия, то поглощенное системой количество тепла равно возрастанию энтальпии независимо от того, является ли изменение обратимым или необратимым.
 56370. Показать, что справедливо следующее соотношение между внутренней энергией U, энтропией S, объемом V, температурой Т, давлением р и теплоемкостью при постоянном объеме Сv: (dU/dV)T,N + p = T(dp/dT)V,N = - Cv(dT/dV)S,N.
 56371. Показать, что уравнение состояния р = f(Т, V) определяет зависимость теплоемкости при постоянном давлении Ср (Т, р) от давления и зависимость теплоемкости при постоянном объеме Cv (Т, V) от объема V. Для частного случая, когда уравнение состояния задано в виде разложения pV = А (Т) + В (Т) р + С*(Т) р2 +..., получить соответствующее разложение для теплоемкости, используя температурную зависимость коэффициентов А, В, С*,.... Показать далее, что для газа, для которого справедливо уравнение состояния типа идеального газа, выполняется соотношение (dСр/dр)т = 0. Показать, что если известно уравнение состояния, то температурную зависимость Ср можно получить из температурной зависимости Cv (или наоборот).
 56372. Показать, что если (dU/dV)т = 0, то и (dU/dp)т = 0. Здесь U — внутренняя энергия, Т — абсолютная температура, V — объем и р — давление.
 56373. Показать, что в случае однородной замкнутой системы теплоемкости при постоянном давлении и при постоянном объеме всегда положительны и что при изотермическом возрастании давления объем уменьшается. Показать далее, что темплоемкость при постоянном давлении никогда не бывает меньше теплоемкости при постоянном объеме.
 56374. Показать, что в случае квазистатического расширения однородного тела при постоянном давлении энтропия тела возрастает или уменьшается в зависимости от того, положителен или отрицателен коэффициент теплового расширения при постоянном давлении.
 56375. Для идеального газа известна теплоемкость при постоянном объеме Cv = Nf (Т) (N — число молекул). Найти свободную энергию F, внутреннюю энергию U, энтропию S и химический потенциал ц (см. задачу 12).
 56376. Имеется упругая пружина, подчиняющаяся закону Гука: при постоянной температуре удлинение х пропорционально натяжению X. Константа пропорциональности (упругая постоянная) k является функцией температуры. Найти свободную энергию F, внутреннюю энергию U и энтропию S как функции х. Тепловым расширением пренебречь.
 56377. Исходя из третьего закона термодинамики, показать, что теплоемкость стремится к нулю при стремлении температуры к абсолютному нулю.
 56378. При температуре, лежащей ниже некоторой критической, изотермы ван дер Ваальса имеют в р - V-плоскости минимум и максимум. В интервале между минимумом и максимумом давление падает при уменьшении объема, так что соответствующие состояния являются неустойчивыми и не могут реализоваться. В этой области система разделяется на две фазы: жидкую и газообразную. Каково равновесное давление сосуществования двух этих фаз для заданной изотермы ван дер Ваальса? Как распределяется вся масса системы между этими фазами? Выполнить соответствующее построение.
 56379. Термодинамический потенциал на 1 моль в двухкомпонентной системе определяется соотношением G (х) = x1G1 + x2G2. Здесь х1 и x2 — относительные молярные концентрации компонентов в 1 и 2, a G1 и G2 — химические потенциалы на 1 моль. Показать, что если кривая зависимости G (х) (х = х1 или х2) от х имеет в двух точках Q' и Q" общую касательную Q'Q", то состояния, лежащие между Q' и Q", распадаются на две фазы.
 56380. Показать, что свободная энергия на единицу площади поверхности раздела равна поверхностному натяжению у. Показать также, что внутренняя энергия на единицу площади поверхности раздела равна у — T dy/dT.
 56381. Показать, что давление пара ps(T) в случае конденсированной фазы (жидкой или твердой) определяется формулой ln ps = - L0/RT + Cp0/R ln T + int dT/T2 int C'(T) - C''p(T)/R dT + i. Здесь L0 — скрытая теплота парообразования при 0° К, а С''p — удельная молярная теплоемкость при постоянном давлении для конденсированной фазы [смысл величин Cp0, С'(Т) и i ясен из соотношений (4.15) и следующих за ними рассуждений].
 56382. На рисунке представлена фазовая диаграмма системы Сu - Ag. Жидкой фазе соответствует область выше кривой АЕВ, справа от ACF находится область а-фазы твердого раствора, а слева от BDG — область b-фазы твердого раствора. Тройная точка Е называется эвтектической. а) Как будет вести себя раствор при охлаждении, если первоначально он находился в жидком состоянии, соответствующем точке К на рисунке? б) Что будет происходить при нагревании твердого раствора, если первоначально он находился в состоянии, отвечающем точке Н (a-фаза)?
 56383. Показать, что для произвольного раствора справедливы следующие соотношения: p1 = p1|0a1, пV1|0 = dT/T1|0 L1 = - RT1|0 ln a1. Здесь a1 обозначает активность растворителя, p1 — давление пара, п — осмотическое давление, dT — понижение точки плавления (или повышение точки кипения), а р1|0, V1|0, Т1|0 и L1 — соответственно давление насыщенных паров, молярный объем, точку плавления (или кипения) и молярную скрытую теплоту плавления (парообразования) для чистого растворителя. При рассмотрении повышения точки кипения или понижения точки плавления считать, что испаряющийся газ или выпадающая твердая фаза состоит из чистого растворителя.
 56384. Рассмотрим регулярный двухкомпонентный раствор, для которого теплота смешения [см. (4.37)] dН = Ax1x2. Исследовать соотношение между давлением пара и составом. Рассмотреть, в частности, случай, когда обе фазы разделяются. Нарисовать фазовую диаграмму.
 56385. В случае разбавленного раствора сильного электролита, диссоциирующего по уравнению Av+Bv- -- > v+A^z+ + v-B^z-, осмотическое давление выражается формулой п = vC2RT/1000 g. Показать, что осмотический коэффициент g определяется формулой g = 1 + 1/m2 int m2(d ln y/dm2)тp dm2, где обозначения ясны из (4.40) и (4.51). [Указание. Учесть соотношение (4.52).]
 56386. В атмосфере некоторых звезд интенсивно протекает процесс тепловой диссоциации металлических паров: A < -- > A+ + e. С помощью закона действующих масс найти зависимость степени диссоциации а от температуры и давления. Энергия диссоциации на 1 моль газа равна W.
 56387. С помощью условия равновесия (4.73) для фаз в элементе Даниэля получить формулу (4.71) для э.д.с. (разности потенциалов) между двумя выводными контактами (сделанными из меди). Считать, что на границе растворов CuSO4 и ZnSO4 разность потенциалов не возникает.
 56388. Определить число флегмы и объемы получаемых азота и кислорода (считая на 1 м3 воздуха) в верхней колонне двухколонного воздухоразделительного аппарата (рис. ), учитывая данные предыдущего примера и принимая, что чистота азота 99 %, а кислорода 98 %.
 56389. В ректификационной колонне непрерывного действия разделяется 1790 кг/ч смеси хлороформа и бензола с начальным содержанием хлороформа 35,8 % (масс). Концентрации летучего компонента в верхнем продукте 96 %, в кубовом остатке 7,8 % (масс). Флегмовое число равно 3,0. Определить уравнения рабочих линий процесса для верхней и нижней частей колонны, необходимую поверхность теплопередачи дефлегматора и расход воды в нем при ее нагреве от 21 до 44°С. Коэффициент теплопередачи от конденсирующихся паров к воде в дефлегматоре К = 760Вт/(м2*К).
 56390. Определить для нижней колонны двухколонного воздухоразделительного аппарата (рис. ) объемы образующегося азота и кубовой жидкости, обогащенной кислородом, считая на 1 м3 поступающего воздуха. Чистота получаемого азота 98 %; жидкость куба содержит 40 % кислорода.
 56391. Определить число тарелок ректификационной колонны, необходимое для разделения смеси метанол - вода под атмосферным давлением. Молярная доля метанола в питании xF = 0,3, в дистилляте xD = 0,9, в кубовом остатке xW = 0,05. Флегмовое число R = 2. Зависимость коэффициента обогащения h от состава жидкости приведена ниже в первых двух строках: ####.
 56392. В ректификационной колонне непрерывного действия разделяется под атмосферным давлением смесь этанол - вода, молярная доля этанола в смеси 25 %. Требуемое содержание спирта в дистилляте 80 %, допускаемое содержание спирта в кубовом остатке не выше 0,1 %. Определить рабочее число флегмы и относительные молярные расходы питания, подаваемого острого водяного пара и кубового остатка. (Здесь отсутствует обычный куб-испаритель - источник паров кубовой жидкости.)
 56393. Определить высоту и диаметр верхней (укрепляющей) части насадочной ректификационной колонны для разделения смеси метанол - вода при атмосферном давлении. В колонну подается 1500 кг/ч исходной смеси, в которой молярная доля спирта 40 % и воды 60 %. Молярная доля спирта в дистилляте 97,5 %, в кубовом остатке 2 %. Число флегмы R = 1,48. В качестве насадки применены кольца 25 x 25 x 3 мм. Колонна работает в режиме эмульгирования.
 56394. В ректификационную колонну непрерывного действия подается смесь, в которой молярная доля СН4 30 % и N2 70 %. Смесь поступает в количестве 1000 м3/ч в парообразном состоянии при рабс = 10 кгс/см2 и температуре насыщения. Объемный расход (в м3/ч) указан при нормальных условиях. В результате разделения в колонне получаются газообразные продукты: фракция метана с содержанием 3 % N2 и фракция азота с содержанием 5 % СН4. С помощью диаграммы l - х определить: а) объемные расходы получаемых фракций; б) минимальное число флегмы Rмин; в) число ступеней изменения концентрации при коэффициенте избытка флегмы 1,25; г) тепловой поток, передаваемый в дефлегматоре колонны; д) тепловой поток, передаваемый в кубе, если метановая фракция выходит из куба колонны в жидком состоянии.
 56395. В действующей периодически тарельчатой ректификационной колонне под атмосферным давлением разгоняется жидкая смесь тетрахлорида углерода и дихлорида серы, молярная доля SCl2 50 %. Молярная доля SCl2 в дистилляте должна составлять 90 %, в кубовом остатке после ректификации - 15 %. Коэффициент избытка флегмы 1,2. Определить минимальные числа флегмы в конце и в начале разгонки и необходимое число тарелок, если на одну ступень изменения концентрации приходится 1,7 тарелки.
 56396. Определить число тарелок в ректификационной колонне непрерывного действия для разделения смеси метанол - вода под атмосферным давлением. Молярная доля метанола в питании колонны 31,5 %, в дистилляте 97,5 % спирта, в кубовом остатке 1,1 %. Коэффициент избытка флегмы 1,77. Число тарелок, эквивалентное одной ступени изменения концентрации, равно 1,7.
 56397. При расчете ректификационной колонны с колпачковыми тарелками расстояние между тарелками принято равным 300 мм. Через колонну проходит 3200 м3/ч пара плотностью 1,25 кг/м3 (при нормальных условиях). Плотность жидкости 930 кг/м3. Абсолютное давление в колонне 1,2 кгс/см2, а средняя температура равна - 40°С. Определить требуемый диаметр колонны.
 56398. В условиях предыдущего примера найти для процесса перегонки массу греющего пара (рабс = 2 кгс/см2). Перегоняемая смесь подается в куб нагретой до температуры начала кипения. Потери теплоты составляют 10 % от полезно затрачиваемого количества теплоты. Влажность греющего пара 5 %. По диаграмме t - х, у*найдено, что температура начала перегонки при массовой доле спирта 60 % равняется 81°С, а температура в конце перегонки при массовой доле спирта 5 % составляет 95°С.
 56399. В перегонном кубе производится разгонка 1000 кг смеси, в которой массовая доля этанола 60 % и воды 40 %. После отгонки в кубовом остатке массовая доля спирта 5 %. Определить состав дистиллята, его массу и массу кубового остатка. Данные о равновесных составах приведены в табл. 6.1, в которой х обозначает массовую долю этанола в жидкости, у*- массовую долю этанола в равновесном паре.
 56400. Перегоняются в токе насыщенного водяного пара под атмосферным давлением (760 мм рт, ст.) 2500 кг загрязненного скипидара. Исходная смесь (массовая доля скипидара 88 %, воды 12 %) подается в аппарат при 30°С. Внешний подогрев отсутствует. Для перегонки применяют насыщенный пар давлением рабс = 1,5 кгс/см2. Степень насыщения водяного пара скипидаром ф = 0,7. Определить: а) расход пара на перегонку; б) массовый и молярный состав отгоняемых паров; в) парциальные давления скипидара и воды в смеси паров. Потери теплоты в окружающую среду составляют 10 % от полезно затрачиваемой теплоты. Молярная масса скипидара 136 кг/кмоль; удельная теплоемкость жидкого скипидара 1,76*10^3 Дж/(кг*К); удельная теплота испарения 310*10^3 Дж/кг.