Earth curvature of space2 curvature of space1
Банк задач

Вход на сайт
Регистрация
Забыли пароль?
Статистика решений
Тип решенияКол-во
подробное решение60032
краткое решение7560
указания как решать1341
ответ (символьный)4704
ответ (численный)2335
нет ответа/решения3772
ВСЕГО79744

База задач ФизМатБанк

 56201. Доказать соотношение dp = k(- dV/V + avdT), связывающее малые изменения dp, dV и dT давления р, объема V и температуры Т при квазистатическом процессе.
 56202. При нормальных температуре и давлении для кислорода ср = 0,2203 кал/г*град, cv = 0,1578 кал/г*град. Считая кислород идеальным газом, вычислить механический эквивалент тепла.
 56203. При постоянной температуре 20° С идеальный газ квазистатически расширяется из состояния с давлением в 20 атм; конечное давление равно 1 атм. Какую работу совершает 1 моль газа (в джоулях)? Какое количество тепла (в калориях) необходимо передать газу?
 56204. Найти адиабатическую сжимаемость хад идеального газа при квазистатическом адиабатическом сжатии. Скорость звука определяется соотношением с = |/ dp/dp (р — плотность). Считая, что дифференцирование производится при адиабатическом изменении, вычислить скорость звука в воздухе при 1 атм и 0° С и найти ее зависимость от температуры.
 56205. Идеальный газ квазистатически и адиабатически переходит из состояния (р1, V1, T1) в состояние (р2, V2, Т2). Показать, что если в конечном состоянии сообщить газу (при постоянном объеме) количество тепла, эквивалентное работе, совершенной газом при этом переходе, то температура его снова станет равной исходной.
 56206. Переход идеального газа из начального состояния (р1, V1, T1) в конечное состояние (р2, V2, Т2) совершается с помощью трех квазистатических процессов, изображенных на диаграмме рисунке: а) 1A2, б) 1В2 и в) 1DC2. Чем определяется возрастание внутренней энергии при переходе 1-- > 2? Определить также для каждого процесса работу, совершаемую системой, и передаваемое тепло. Удельную теплоемкость считать постоянной.
 56207. Принимая, что воздух, поднимаясь в атмосфере, расширяется как идеальный газ, определить изменение его температуры с высотой. Насколько уменьшается температура на высоте 1 км?
 56208. Идеальный газ совершает квазистатический циклический процесс (цикл Карно), изображенный на рисунке. Переход из 1 в 2 представляет собой изотермическое расширение, при котором газ находится в контакте с тепловым резервуаром с температурой T1, переход из 2 в 3 — адиабатическое расширение, переход из 3 в 4 — изотермическое сжатие, при котором имеет место контакт с тепловым резервуаром с температурой Т2, и, наконец, переход из 4 в 1 является адиабатическим сжатием. Доказать соотношение Q1/T1 + Q2/T2 = 0 (уравнение Клаузиуса), где Q1 — тепло, полученное от теплового резервуара с температурой T1, a Q2 — тепло от резервуара с температурой T2. Удельную теплоемкость считать постоянной.
 56209. Для процесса, при котором параметр х сохраняется постоянным, доказать, что pvf - const, где f = (сх - ср)/(сх - cv), p — давление, v — удельный объем, сх, ср и cv удельные теплоемкости соответственно при постоянном значении х, постоянном давлении и постоянном объеме.
 56210. Один моль идеального газа с начальными давлением p1 и объемом V1 свободно (и адиабатически) расширяется до объема V2. Затем он квазистатически сжимается до объема V1 при постоянном давлении р2. Наконец, газ квазистатически нагревается при постоянном объеме V1 до тех пор, пока его давление не станет равным р1. Такой цикл, изображенный на рисунке, называется циклом Майера. Доказать с помощью этого цикла соотношение Майера. Молярную теплоемкость считать постоянной.
 56211. Рассматривается газ, подчиняющийся уравнению состояния Дитеричи: p = nRT/V - nb e^-na/RTV, где р — давление, V — объем, T — абсолютная температура, n — число молей, R — газовая постоянная, а и b — константы, характеризующие вещество. Показать, что в критической точке давление, объем и температура имеют вид pc = a/4e2b2, Vc = 2nb, Тс = a/4Rb, и записать уравнение состояния в универсальной форме закона соответственных состояний.
 56212. Вычислить удельную теплоемкость воздуха при постоянном объеме, считая его смесью кислорода О2 и азота N2 с отношением масс компонентов 23 : 77. Удельная теплоемкость газообразного кислорода при постоянном объеме равна 0,158 кал/г*град, а газообразного азота 0,176 кал/г*град.
 56213. Первоначально ненамагниченная небольшая железная иголка медленно вносится из бесконечности в магнитное поле постоянного магнита прямоугольной формы. При этом ориентация иголки все время сохраняется параллельной оси магнита, как показано на рисунке. Пусть наличие иголки не меняет силы магнита и объем иголки остается постоянным. Доказать в этих предположениях, что работа, совершаемая при намагничивании иголки до значения ее магнитного момента m1, определяется соотношением A = int H dm, где m — магнитный момент иголки в той точке, где магнитное поле равно H.
 56214. Рассмотреть вертикальный столб воздуха бесконечной высоты и постоянного сечения. Вычислить его теплоемкость, считая воздух идеальным газом, находящимся в постоянном гравитационном поле.
 56215. Пусть имеется замкнутая система, для описания термодинамически равновесного состояния которой в качестве независимых переменных можно взять любую пару из трех величин: давления р, объема V и температуры Т. Доказать, что: а) теплоемкость при постоянном объеме Cv = (dU/dT)v, а при постоянном давлении Ср = (dН/dТ)р; б) Cp - Cv = (dV/dT)p [ p + (dU/dV)т ] = - (dp/dT)v [ p(dV/dp)т + (dU/dp)т ]; в) (dH/dp)т - V = (dU/dp)т + p(dV/dp)т; г) (Cp - Cv) d2T/dpdV + (dCp/dp)v (dT/dV)p - (dCv/dV)p (dT/dp)v = 1, где U — внутренняя энергия, Н = U + pV — энтальпия. Замечание. Так как в левой части соотношения «г» стоят измеряемые величины, это соотношение можно использовать для экспериментальной проверки первого закона термодинамики.
 56216. Доказать, что внутреннюю энергию u и энтальпию h единицы массы идеального газа с постоянной удельной теплоемкостью можно записать в форме u = c2/y(y - 1) + const, h = c2/y - 1 + const, где с = |/ (dр/dр)ад — скорость звука (р — давление, р — плотность, производная вычисляется для адиабатического процесса), у — отношение удельной теплоемкости при постоянном давлении к удельной теплоемкости при постоянном объеме.
 56217. Доказать, что для однородного магнитного вещества теплоемкость при постоянном магнитном поле Н можно записать в виде Cн = (dU/dT)н - H(dI/dT)н, где U — внутренняя энергия, I — магнитный момент, Т — абсолютная температура магнитного вещества. Изменением объема при намагничивании можно пренебречь.
 56218. Доказать следующее соотношение между изотермической и адиабатической магнитной восприимчивостью однородного вещества: x ад = Cм/Cн xT, где См — теплоемкость при постоянной намагниченности, Сн — теплоемкость при постоянном магнитном поле. Изменением объема при намагничивании можно пренебречь.
 56219. Рассмотреть цикл Карно, в котором в качеств рабочего вещества используется тепловое излучение. Плотность внутренней энергии излучения u определяется законом Стефана — Больцмана u = sT4, где Т — абсолютная температура (постоянная s > 0), а давление излучения р определяется уравнением состояния р = u/3.
 56220. Пренебрегая внутренним трением (вязкостью) и теплопроводностью, доказать, что сумма плотностей энтальпии и кинетической энергии стационарного потока жидкости (или газа) сохраняется постоянной. Предполагается, что внешние силы типа гравитационного поля отсутствуют.
 56221. Найти конечную температуру и верхний предел скорости стационарного потока перегретого пара, вытекающего через сопло в атмосферу из камеры, где он имел температуру 300° С и находился при давлении 5 атм; давление наружного воздуха равно 1 атм. Перегретый пар можно считать идеальным газом, у которого удельная теплоемкость при постоянном давлении ср = 0,49 кал/г*град и отношение теплоемкостей у = 1,33. Теплопроводностью и влиянием поля тяжести можно пренебречь.
 56222. Рассмотреть совокупность систем А, В, С,..., термически равновесное состояние каждой из которых определяется давлением р и удельным объемом v. Доказать, что в соответствии с нулевым законом термодинамики для каждой системы существует характеристическая функция QА = fА (p, v),..., причем условием теплового равновесия между системами (например, А и В) является равенство этих функций (например, QА = QB) (теорема существования температуры). При этом следует воспользоваться эмпирически установленным фактом существования функционального соотношения между независимыми параметрами двух систем, находящихся в равновесии.
 56223. Магнитное тело помещено в катушку и намагничивается магнитным полем, создаваемым током, протекающим через катушку. Считать, что магнитное поле Н, намагниченность М и плотность магнитного потока В неоднородны. Показать, что отнесенная к единице объема тела работа, совершаемая электрическим источником в процессе намагничивания, равна A = Int(H dM). Предполагается, что магнитное тело не деформируется в процессе намагничивания.
 56224. С помощью принципа Клаузиуса доказать неравенство Клаузиуса E = Qi/Ti^(e) < 0.
 56225. Если система путем обратимого изотермического изменения возвращается в свое исходное состояние, то полное количество поглощенного тепла равно нулю и совершенная работа также равна нулю. Доказать это утверждение: а) с помощью неравенства Клаузиуса и б) непосредственно с помощью принципа Томсона.
 56226. Доказать, что пересечение двух квазистатических адиабат невозможно, так как это приводит к нарушению принципа Томсона.
 56227. Доказать, что к.п.д. тепловой машины h не может превышать 1 - (Тмин/Тмакс), где Tмакс — максимальная температура тепловых резервуаров, от которых тепловая машина получает тепло, а Tмин — минимальная температура тепловых резервуаров, которым она передает тепло.
 56228. Доказать приводимые ниже выражения для к. п. д. следующих трех циклов (рабочим веществом является идеальный газ): а) цикл Отто (рис. а) h = 1 - (V2/V1)^y - 1, б) цикл Джоуля (рис. б) h = 1 - (p1/p2)^(y - 1)/y, в) цикл Дизеля (рис. в) h = 1 - 1/y (V2/V1)^y - (V3/V1)^y / (V2/V1) - (V3/V1). При этом считать, что Сv, Ср и Ср/Сv = у — константы.
 56229. Пусть для некоторого вещества адиабаты а, а' и изотермы t, t' на р — V-диаграмме пересекаются в точках А, В, С, D. Доказать, что при циклическом процессе ABCD отношение количества тепла, поглощаемого при процессе АВ, к количеству тепла, отдаваемого при процессе CD, определяется значениями t и t' и не зависит от выбора адиабат.
 56230. Вывести выражение для энтропии идеального газа для случая, когда удельная теплоемкость при постоянном объеме Cv = Сv0 = const.
 56231. Идеальный газ адиабатически расширяется из объема V1 в вакуум. Вычислить возрастание энтропии, если в конечном состоянии газ имеет объем V2, и показать, что процесс расширения является необратимым.
 56232. Рассмотреть возрастание энтропии при нагревании идеального газа от T1 до Т2: а) при постоянном давлении и б) при постоянном объеме . Доказать, что в первом случае возрастание энтропии в у раз больше, чем во втором случае, где у — отношение теплоемкостей при постоянном давлении и постоянном объеме.
 56233. Для некоторого газа экспериментально установлено, что произведение давления р и удельного объема v зависит только от температуры и что внутренняя энергия также зависит только от температуры. Что можно сказать относительно уравнения состояния такого газа с точки зрения термодинамики?
 56234. Для газа заданы соотношения: a) pV = f(Q) и б) (dU/dV)Q = 0. Показать, что f(Q) имеет смысл абсолютной температуры. Здесь Q — температура в некоторой произвольной температурной шкале, р — давление, V — объем и U — внутренняя энергия.
 56235. Вычислить плотность энтропии s поля излучения, используя следующие соотношения между плотностью энергии u, радиационным давлением р и абсолютной температурой Т: р = 1/3 u, u = sТ4 (s = const). Изобразить также изотермы и адиабаты и рассмотреть цикл Карно для такого газа.
 56236. Известно, что внутренняя энергия парамагнетика не зависит от его намагниченности М. Доказать, что температура, определяемая обратной величиной магнитной восприимчивости этого материала Q = 1/X (X = М/Н), пропорциональна абсолютной температуре.
 56237. А) Доказать, что отношение адиабатической сжимаемости к изотермической сжимаемости равно отношению теплоемкости при постоянном объеме к теплоемкости при постоянном давлении. Б) Доказать, что отношение адиабатической магнитной восприимчивости к изотермической магнитной восприимчивости равно отношению теплоемкости при постоянной намагниченности к теплоемкости при постоянном магнитном поле.
 56238. Доказать следующие соотношения: а) (dU/dV)т = T(dp/dT)v - p. (Указание: dU — полный дифференциал.) б) (dH/dp)т = - T(dV/dT)p + V. (Указание: dS и dH — полные дифференциалы.)
 56239. Доказать следующие соотношения: а) (ds/dT)v = cv/T, (ds/dT)p = cp/T; б) d2u/dT dv = T d2s/dT dv, d2h/dT dp = T d2s/sT dp; в) (ds/dv)т = (dp/dT)v, (ds/dp)т = - (dv/dT)p (соотношения Максвелла), где u, h и s — соответственно энергия, энтальпия и энтропия единицы массы, a cv и ср — удельные теплоемкости при постоянном объеме и постоянном давлении.
 56240. Доказать следующие соотношения: а) cp - cv = T(dv/dT)p (dp/dT)v = a2vT/b, где a = 1/v (dv/dT)p, b = - 1/v (dv/dp)т; б) (dcp/dp)т = - T(d2v/dT2)p, (dcv/dv)т = T(d2p/dT2)v.
 56241. Вычислить изменение энтропии, свободной энергии и термодинамического потенциала Гиббса при сжатии 1 моль идеального газа от 1 до 100 атм при 20° С.
 56242. При 25° С объем воды V определяется выражением V = 18,066 - 0,000715 р + 0,000000046 р2 см3/моль для давлений р от 0 до 1000 атм, а (dV/dT)p = 0,0045 + 0,0000014 р см3/град*моль. Определить работу, необходимую для сжатия 1 моль воды от 1 до 1000 атм при 25° С и найти возрастание ее внутренней энергии.
 56243. Теплота плавления льда при 1 атм и 0° С равна dH = 1436,3 кал/моль, а теплота испарения при 1 атм и 100° С dH = 9717,1 кал/моль. Считая, что средняя теплоемкость воды при 1 атм между 0 и 100° С равна 18,046 кал/град*моль, вычислить разность между энтропией 1 моль льда при 1 атм и 0° С и энтропией 1 моль пара при 1 атм и 100° С.
 56244. Теплоемкость некоторого вещества массой М в твердом состоянии равна cs, а в жидком состоянии сl. При переходе из твердого состояния в жидкое, происходящем при температуре Т0, поглощается скрытая теплота Q0. Полагая, что все удельные теплоемкости не зависят от температуры, вычислить приращение энтропии этого вещества при температуре T1 (< T0) в переохлажденном жидком состоянии по сравнению с твердым состоянием при той же температуре. (Считать, что удельная теплоемкость переохлажденной жидкости также равна сl.)
 56245. Пусть для некоторого твердого тела экспериментально найдено, что при температуре Т в интервале давлений рА < р < рB имеет место следующая зависимость: (dV/dT)p = a + bp + cp2. Насколько возрастет энтропия при сжатии тела от давления рА до рB при постоянной температуре T?
 56246. Выразить коэффициент V (dT/dV)s, определяющий изменение температуры при квазистатическом адиабатическом расширении газа, через величины, которые могут быть найдены из уравнения состояния.
 56247. В эксперименте Джоуля — Томсона газ, заключенный в трубку с адиабатическими стенками, протекает при стационарных условиях через пористую перегородку из области с высоким давлением в область низкого давления, причем давления по обе стороны пористой перегородки поддерживаются постоянными. В результате этого температуры по обе стороны перегородки различны. Доказать, что в этом эксперименте энтальпия остается постоянной, и выразить через Ср и (dV/dT)p величину (dТ/dр)н, определяющую изменение температуры (коэффициент Джоуля — Томсона). Кроме того, для тех случаев, когда в достаточно хорошем приближении уравнение состояния можно записать в виде pV = RT + В(Т)р, выразить коэффициент Джоуля — Томсона через В.
 56248. Гей-Люссак произвел измерения изменения температуры газа, испытывающего свободное расширение в вакуум. Записать уравнение, определяющее изменение температуры dT при свободном расширении газа от объема V до V + dV.
 56249. Магнитная восприимчивость парамагнитного вещества подчиняется закону Кюри X = С/T (С — константа), а внутренняя энергия определяется выражением U = аТ4 (а — положительная константа). а) Найти теплоту намагничивания, когда поле возрастает от 0 до H1, а температура сохраняет постоянное значение T1. б) Как меняется температура при адиабатическом размагничивании, т. е. при адиабатическом уменьшении поля от H1 до 0?
 56250. В результате измерений установлено, что в некоторой области температур намагниченность М парамагнитного тела зависит только от отношения H/T, т. е. М = f (H/T). Доказать, что внутренняя энергия не зависит от М, и найти функциональную форму энтропии S.
 56251. Рассмотреть все возможные процессы, с помощью которых тело с теплоемкостью С может охладиться путем отдачи тепла от температуры Т1 до температуры Т0 (< T1) теплового резервуара. Как добиться того, чтобы работа, совершаемая при этом процессе, была максимальной? Какова эта максимальная величина? Для простоты считать С константой.
 56252. При 0° С теплота плавления льда равна 1436,3 кал/моль. Холодильник должен произвести тонну льда при комнатной температуре (25° С). Какое минимальное количество электроэнергии (в квт*ч) необходимо для этого?
 56253. Вывести принцип Каратеодори из принципа Томсона.
 56254. Доказать, что процесс перемешивания двух различных идеальных газов путем диффузии не может быть обратимым, так как это несовместимо с принципом Томсона.
 56255. Два идеальных газа, по 1 моль каждого, с теплоемкостями Сv' и Сv'' находятся в цилиндре, где они разделены адиабатическим подвижным поршнем. Доказать, что эта термически неоднородная система неголономна, т. е, для приращения d'Q не существует интегрирующего множителя.
 56256. Доказать, что для вещества, внутренняя энергия которого не зависит от объема, справедливы следующие утверждения: а) Теплоемкость при постоянном объеме Cv зависит только от Т. б) Объем V зависит только от отношения р/Т. в) Разность теплоемкостей при постоянном давлении и постоянном объеме зависит только от отношения р/Т.
 56257. Доказать, что у газа ван дер Ваальса теплоемкость при постоянном объеме зависит только от температуры, и найти выражение для внутренней энергии и энтропии.
 56258. Пусть газ подчиняется уравнению состояния ван дер Ваальса (р + a/V2) (V - b) = RT, а его молярная теплоемкость при постоянном объеме Сv постоянна и не зависит от температуры. Показать, что внутренняя энергия (на 1 моль) такого газа U определяется выражением U = CvT - a/V + const и что при адиабатическом квазистатическом изменении выполняется соотношение T(V - b)^y - 1 = const, или (p + a/V2) (V - b)^y = const, где у = (Cv + R)/Cv. Кроме того, найти изменение температуры этого газа при его свободном расширении в вакуум.
 56259. Вычислить коэффициент Джоуля — Томсона (dТ/dр)н для разреженного газа ван дер Ваальса с точностью до второго порядка по nb/V (<< 1) и na/VRT (<< 1). Кроме того, определить температуру Тi, при которой коэффициент Джоуля — Томсона обращается в нуль, и выразить ее через критическую температуру Тс = 8a/27Rb.
 56260. Ни один из реальных газов на самом деле не является идеальным. При малых значениях р уравнение состояния реального газа можно записать в виде pV = А + Bp + Ср2 +... (1) U = а + bр + ур2 +..., (2) где A, B, С,... и а, b, у,... — известные функции от температуры. Показать, как с помощью этого газа можно измерить абсолютную температуру.
 56261. Для заданного вещества коэффициент расширения а = V^-1 (dV/dQ)p измеряется с помощью произвольной температурной шкалы Q. Измеряется также количество тепла — d'Q/dp = Lp (скрытая теплота расширения), поглощаемое при изотермическом расширении вещества при изменении давления р. Рассмотреть метод, позволяющий связать эмпирическую температуру Q с абсолютной температурой, и разобрать его принципиальные основы.
 56262. Показать, что внутреннюю энергию U и энтропию S единичного объема парамагнитного вещества, подчиняющегося закону Кюри — Bейсса X = С/(Т - Q) (где С и Q — константы, Т — абсолютная температура и X - восприимчивость), можно представить в виде U = int Cм dT - Q/2c M2 + const, S = int Cм dT/T - M2/2C + const, где См — теплоемкость при постоянной намагниченности М.
 56263. Доказать следующее соотношение между объемной магнитострикцией и производной от магнитного момента по давлению: (dV/dН)р,т = - (dI/dр)н,т. Далее показать, что при изотермическом увеличении поля от 0 до Н изменение объема (при |dV| << V) имеет вид dV/V = H2/2 [ bX - (dX/dp)т ]. Здесь I — магнитный момент всего образца, b = - (1/V) x (dV/dp)н,т — изотермическая сжимаемость, X = I/HV — изотермическая магнитная восприимчивость. Магнитное поле и намагниченность считать однородными во всем объеме образца.
 56264. Доказать, что количество тепла d'Q, полученное системой, не обменивающейся веществом с окружающей средой, в случае изотермического процесса при постоянном объеме связано с минимальной работой dWмин соотношением а) d'Q/T2 = - [ d/dT(dWмин/T) ]v, а в случае изотермического процесса при постоянном давлении — соотношением б) d'Q/T2 = - [ d/dT(dWмин/T) ]p. (Эти уравнения называются уравнениями Гиббса — Гельмгольца или уравнениями Кельвина. Они используются для определения dWмин по измеряемой величине d'Q.)
 56265. Как можно вычислить молярную теплоемкость газа при постоянном давлении в предельном случае р = 0, когда он становится идеальным газом, располагая реально измеренными значениями теплоемкости при конечном давлении р?
 56266. С помощью уравнения состояния Дитеричи р = nRT (V - nb)^-1 exp (- na/RTV) определить зависимость температуры инверсии для эффекта Джоуля — Томсона от давления и изобразить ее графически. Использовать закон соответственных состояний и выразить значения давления, температуры и объема через критические величины; Провести такое же рассмотрение для газа ван дер Ваальса.
 56267. Чтобы получить абсолютную температуру, нужно прокалибровать эмпирическую температуру Q, измеренную с помощью газового термометра (при постоянном давлении). Для этого необходимо при фиксированном давлении определить зависимость от Q плотности р, теплоемкости и коэффициента Джоуля — Томсона. Вывести основную формулу, необходимую для такой калибровки.
 56268. Значения коэффициента Джоуля — Томсона ц для воздуха с давлением 1 кг/см2, приведены в таблице. Плотность воздуха р аппроксимируется формулой p = 0,0012932/1 + 0,003669Q p/760 г*см^-3, где р — давление в мм рт. ст. и Q — температура в °С. В интервале температур от 0 до 100° С удельная теплоемкость при постоянном давлении почти не меняется и равна 0,240 кал*г^-1*град^-1. С помощью этих данных определить численное значение 0° С в абсолютной температурной шкале.
 56269. Доказать следующие свойства свободной энергии Гельмгольца: а) Система А находится в тепловом контакте с тепловым резервуаром R, имеющим температуру Т^(е), равную однородной температуре Т внутри системы. Изменение свободной энергии Гельмгольца F системы А равно изменению суммы внутренней энергии системы А и теплового резервуара R при условии, что тепловой резервуар R отдает тепло только системе А и над резервуаром не производится никакой внешней работы. б) При изотермическом процессе работа, производимая над системой, равна увеличению ее свободной энергии.
 56270. Внутренняя энергия U и энтальпия Н системы определяются давлением р и объемом V. Доказать, что в этом случае справедливы следующие соотношения: a) dU = Cv x/a dp + (Cp/a - pV) dV/V, б) dH = (Cv x/a + V) dp + Cp/a dV/V. Здесь Ср и Сv соответственно темплоемкости при постоянном давлении и при постоянном объеме, x — изотермическая сжимаемость, а а — коэффициент теплового расширения.
 56271. В случае адиабатического квазистатического сжатия выразить Xs = (dT/dp)s (адиабатический температурный коэффициент) через коэффициент теплового расширения при постоянном давлении а и теплоемкость при постоянном давлении Ср. В случае квазистатического расширения системы при постоянном давлении выразить через Xs возрастание энтропии.
 56272. Найти формулу для вычисления термодинамического потенциала Гиббса G, энтальпии Н и энтропии S по экспериментальным значениям коэффициентов А (Т), В (Т), С (Т),... разложения уравнения состояния pV = А (Т) + В (Т)р + С (Т)р2 +....
 56273. Используя свободную энергию F и термодинамический потенциал G, доказать справедливость следующих соотношений: (dU/dV)т + p = T(dp/dT)v, (dH/dp)т - V = - T(dV/dT)p.
 56274. Показать, что (dH/dp)т - V = - T(dV/dT)p = - Cp(dT/dp)s.
 56275. Показать, что в случае газа, давление которого при постоянном объеме изменяется пропорционально абсолютной температуре, энтропия S возрастает с увеличением объема V.
 56276. Доказать неравенства: а) (dS/dp)н < 0. б) (dS/dV)U > 0. Здесь U, H, S, Р и V — соответственно внутренняя энергия, энтальпия, энтропия, давление и объем.
 56277. Показать, что следующие процессы являются необратимыми: а) свободное адиабатическое расширение газа от объема V до V + dV (dV > 0) и б) процесс Джоуля — Томсона, т. е. адиабатическое расширение газа из состояния с давлением р до р + dp (dp < 0).
 56278. Коэффициент объемного расширения при постоянном давлении для газов положителен. Показать, что в случае квазистатического адиабатического расширения всегда происходит понижение температуры, которое имеет большую абсолютную величину, чем при соответствующем уменьшении давления в адиабатическом процессе Джоуля — Томсона.
 56279. Показать, что отношение адиабатической сжимаемости к изотермической равно отношению теплоемкости при постоянном объеме к теплоемкости при постоянном давлении (использовать преобразование переменных с помощью якобиана). б) Доказать неравенство (3.37б) и использовать его для сравнения величин сжимаемостей при постоянной энтропии и при постоянной температуре. в) Дать физическую интерпретацию этого сравнения на основе принципа Ле-Шателье — Брауна.
 56280. Теплоемкость при постоянном давлении (для n молей) идеального газа обычно записывается в виде Ср = nСp0 + nСкол (Т). Здесь Cp0 — удельная теплоемкость при постоянном давлении, обусловленная поступательным и вращательным движением молекул (Ср0 = 5/2R для газа одноатомных молекул, Сp0 = 7/2R для газа двухатомных молекул, Сp0 = 4R для газа из многоатомных молекул), а Скол (Т) — удельная молярная теплоемкость, обусловленная молекулярными колебаниями [ lim Скол (Т) = 0 ]. Вывести формулы для термодинамического потенциала и энтропии.
 56281. Получить термодинамический потенциал Гиббса для смеси идеальных газов, состоящей из n1 молей одного и n2 молей другого компонента.
 56282. Путем измерения натяжения X резиновой ленты, растянутой до фиксированной длины I, найдено, что X = AT, где А (> 0) — постоянная, зависящая только от длины I, а Т — абсолютная температура. Показать, что внутренняя энергия U такой резиновой ленты является функцией только температуры, а энтропия ее S уменьшается с увеличением длины.
 56283. Путем измерения натяжения X резиновой ленты, растянутой до фиксированной длины l, найдено, что X = AT, где А (> 0) — постоянная, зависящая только от длины l, а Т — абсолютная температура. Показать, что при адиабатическом растяжении резиновой ленты температура повышается. Показать также, что лента будет сжиматься, если повышать температуру, оставляя натяжение постоянным.
 56284. Из рассмотрения свободной энергии вывести уравнение Гиббса — Дюгема (3.12).
 56285. Показать, что в соответствии с третьим законом термодинамики коэффициент теплового расширения (1/V) (dV/dT)p и коэффициент (dр/dТ)v стремятся к нулю при Т -- > 0.
 56286. Пусть X и х обозначают соответственно натяжение проволоки и ее длину. Показать, что (dX/dx)s,p > 0 и (dX/dx)т,p > 0.
 56287. Показать, что (dц/dN)т,p > 0.
 56288. Парамагнитное тело имеет изотермическую магнитную восприимчивость Xт. Найти свободную энергию F как функцию намагниченности М и температуры Т и получить из нее внутреннюю энергию U и энтропию S.
 56289. Система состоит из N частиц одного сорта; U, Т, V и ц обозначают соответственно внутреннюю энергию, абсолютную температуру, объем и химический потенциал на одну частицу. Доказать следующие соотношения: а) (dU/dN)т,v - ц = - T(dц/dT)V,N; б) (dN/dT)v, ц/T = (dN/dц)т,v (dU/dN)т,v 1/T; в) (dU/dT)v, ц/T - (dU/dT)v,N = (dN/dц)т,v (dU/dN)т,v^2 1/T > 0.
 56290. Вывести формулу для вычисления теплоемкости при постоянном объеме Cv как функции абсолютной температуры Т, объема V и химического потенциала ц.
 56291. Сравнить теплоемкость системы при постоянном объеме и постоянном числе частиц C V,N с теплоемкостью той же системы Cv,ц при постоянном объеме и постоянном химическом потенциале. Объяснить физический смысл полученного результата на основе принципа Ле-Шателье — Брауна.
 56292. Показать, что для парамагнетика имеет место следующее соотношение между изотермической и адиабатической восприимчивостями: Xs = Xт Cм/Cн; здесь См — теплоемкость при постоянной намагниченности, а Сн — теплоемкость при постоянном магнитном поле Н. Изменение объема парамагнитного вещества предполагается пренебрежимо малым. При условии, что зависимость намагниченности М от T и H задана, получить также формулу для вычисления См — Сн. (Использовать преобразование переменных с помощью якобиана.)
 56293. Рассмотреть парамагнетик, восприимчивость которого подчиняется закону Кюри: Xт = C/T, а теплоемкость при нулевой намагниченности имеет вид: C0 = b/T2. Получить теплоемкость при постоянном магнитном поле Cн, теплоемкость при постоянной намагниченности Cм и адиабатическую магнитную восприимчивость Xs(H0) = (dМ/dН)s (Н = H0) при бесконечно малом изменении магнитного поля вблизи заданного значения Н0.
 56294. Показать, что изотермическая восприимчивость Xт удовлетворяет условию dXт/dТ -- > 0 при Т -- > 0.
 56295. Показать, что с помощью адиабатического размагничивания нельзя достичь абсолютного нуля температуры.
 56296. Задачу, рассмотренную в примере 8, можно решить также, используя свободную энергию F*(T, X) = F(Т, х) - Хх. С помощью рассуждений, аналогичных проведенным в примере 1, выяснить физический смысл этой свободной энергии и, в частности, dF*(T, X).
 56297. Свободную энергию парамагнетика с изотермической магнитной восприимчивостью Xт, помещенного в магнитное поле Н, часто записывают в виде F*(T, H) = F*(T, 0) - 1/2 VXтH2. Аналогично в качестве свободной энергии диэлектрика с диэлектрической проницаемостью е в электрическом поле Е можно использовать функцию F*(T, Е) = F*(Т, 0) - V/8п(e - 1)Е2, где V — объем. Провести сравнение этих свободных энергий со свободными энергиями F(Т, М) и F(T, Р), где М — намагниченность, а Р — поляризация. Получить также выражение для энтропии в обоих случаях.
 56298. Диэлектрик с зависящей от температуры диэлектрической проницаемостью е (Т) помещен между пластинами плоского конденсатора, соединенного с батареей, являющейся источником постоянной э.д.с.. Исследовать теплоемкость в случае замкнутой цепи и ее поведение при размыкании. Объем диэлектрика предполагается неизменным.
 56299. Диэлектрик с зависящей от температуры диэлектрической проницае-мостью е (Т) помещен между пластинами плоского конденсатора, соединенного с батареей, являющейся источником постоянной э.д.с. Определить количество тепла, выделяющееся в конденсаторе, при квазистатическом возрастании разности потенциалов от 0 до Ф. Объем диэлектрика предполагается неизменным.
 56300. Объяснить, почему диэлектрик втягивается в конденсатор, если ввести его между пластинами конденсатора, как показано на рис.