Earth curvature of space2 curvature of space1
Банк задач

Вход на сайт
Регистрация
Забыли пароль?
Статистика решений
Тип решенияКол-во
подробное решение57480
краткое решение7556
указания как решать1341
ответ (символьный)4703
ответ (численный)2335
нет ответа/решения3776
ВСЕГО77191

База задач ФизМатБанк

 56001. С высоты Н = 50 метров без начальной скорости отпускают камень. В тот же момент из точки, находящейся прямо под камнем, начинает удирать по горизонтальной плоскости с постоянной скоростью заяц. При какой минимальной скорости зайца расстояние между ним и камнем в процессе движения не будет уменьшаться?
 56002. Заяц бежит по прямой с постоянной скоростью 10 м/с. Скорость лисы составляет 20 м/с, лиса в каждый момент времени бежит точно в ту точку, где находится заяц (это не самый разумный для лисы вариант, но она ничего в кинематике не понимает). В начальный момент расстояние между лисой и зайцем составляет 300 метров, направление движения зайца перпендикулярно отрезку, который в этот момент соединяет его с лисой. Через какое время лиса его догонит? Через какое время она могла бы догнать зайца, если бы бежала наилучшим способом?
 56003. Материальная точка движется вдоль прямой. Вначале она двигалась в течение отрезка времени т с ускорением а (без начальной скорости). После этого ускорение изменило знак на противоположный и стало равно по величине 2а. Через какое время точка снова окажется в начальном положении?
 56004. Элемент электрической цепи Э имеет два вывода. При увеличении напряжения, приложенного между этими выводами от очень малого значения до 2 В ток через Э остается практически постоянным по величине и составляет 1 мА; как только напряжение достигает 2 В, ток мгновенно возрастает и при дальнейшем увеличении напряжения остается равным 2 мА (не стоит увеличивать напряжение более, чем до 6 В - при этом Э просто сгорает). Если же, не доводя до этого, начать снижать приложенное напряжение, то ток остается равным 2 мА до того момента, пока напряжение не упадет до 1 В, после чего мгновенно уменьшается до 1 мА и остается равным этому значению при снижении напряжения вплоть до очень малой величины. Незаряженный конденсатор емкости 1000 мкФ соединяют с элементом Э параллельно и к получившейся цепочке подключают батарейку напряжением 100 В последовательно с резистором 60 кОм. Как будет меняться со временем напряжение на конденсаторе?
 56005. К источнику переменного напряжения подключены катушка, резистор и конденсатор, в цепь включены три амперметра переменного тока, их показания 1 А, 0,7 А и 0,5 А (рис.). Как изменятся показания приборов после отключения резистора? Элементы цепи считать идеальными.
 56006. Найти среднее число пар соседей в спиновой модели Изинга, используя приближение Бете. Обозначим числа пар типов «++», «--» и «+-» соответственно через N++,N-- и N+-. Показать, что для этих чисел выполняется следующее соотношение: N2+-/N++N-- = 4e^-4J/kT.
 56007. Один из способов усовершенствования приближения молекулярного поля для спиновой модели Изинга состоит в следующем: явно учитывается лишь взаимодействие одного из спинов с окружающими его z спинами s1, ..., sz, т. е. Js0 E sj, а все остальные взаимодействия в системе учитываются путем введения молекулярного поля H', действующего на z спинов s1, ..., sz. Таким образом, энергия z + 1 спинов предполагается равной H = ####. Молекулярное поле H' должно определяться из условия s0 = sj, т. е. из условия равенства средних значений спина s0 и спина sj (j = 1, 2, ..., z) (условие самосогласованности). Найти таким методом точку Кюри Тс для спиновой модели Изинга (приближение Бете).
 56008. Статистическую сумму для бинарного сплава можно записать в виде Z(X) = ####, где b = v/2kT. Здесь E означает суммирование по значениям ± 1 каждого изингового спина sj при условии, что степень дальнего порядка есть X, а (А) представляет собой среднее, определяемое как (A) = ####, где W(X) = E 1. Вычислить In Z (X) с точностью до членов порядка b2, разлагая выражение (ехр (bА)) по степеням b и вычисляя (Аn) простейшим образом (почленно), а затем найти приближенную величину температуры Тс перехода порядок — беспорядок (приближение Кирквуда).
 56009. Предположим, что положительный заряд равномерно распределен с плотностью n0е и пусть в этой же области распределены электроны со средней плотностью n0. При внесении в некоторую точку среды (которую можно взять за начало координат) дополнительного заряда ze распределение электронов изменится. Вывести выражение для распределения электронов в следующих двух случаях: 1) температура настолько высока, что электронный газ невырожден, и 2) температура равна 0° К и электронный газ полностью вырожден. (В связи с тем что уравнение для определения распределения электронов оказывается нелинейным, рассмотреть его с помощью соответствующего линейного приближения.)
 56010. Рассмотреть раствор полимерных молекул В в растворителе, состоящем из молекул А. Пусть каждая молекула В является цепочкой, состоящей из r структурных единиц, соединенных последовательно и способных поворачиваться друг относительно друга. Предположим далее, что структурные единицы молекул В и молекул А имеют одинаковый размер, как представлено на фиг. 121. Показать, что число способов размещения полимерных молекул в N узлах приближенно равно W = ####, где N1 — число молекул растворителя, N2 — число молекул растворенного вещества, так что N = N1 + rN2 — полное число узлов решетки (приближение Флори), z — число ближайших соседних узлов, s — число, учитывающее симметрию и равное 2, если полимерная молекула симметрична относительно своего центра, и 1 в противном случае. Пользуясь приведенным выражением для W, найти энтропию смешения, которая может быть записана в виде dS = - k(N1lnф1 + N2lnф2), где ф1 = N1/N1 + rN2, ф2 = rN2/ N1 + rN2 — объемные концентрации растворителя и растворенного вещества.
 56011. Пусть система N изинговых спинов образует кольцо, как показано на фиг. 120. Предположим, что энергия такой системы есть H = - J E sjsj+1 (s N+1 = s1), где si, согласно предположению, принимает значения +1 и -1). Показать, что формула F = - NkT ln(2 ch J/kT) является точным выражением для свободной энергии системы. Найти соотношение между теплоемкостью и температурой. (Отметим, что e^asisj = ch а + sisjsh а.)
 56012. Энергия спиновой модели Изинга в магнитном поле H, согласно (5.1), равна H = -gцBH E sj - J E sisj. Если мы сможем представить статистическую сумму этой системы Zl = #### в форме функции от H и T, то из нее можно получить статистическую сумму бинарного сплава, рассмотренного в § 3, как функцию X и Т. Объяснить эту взаимосвязь. (Будем называть r-атомами атомы А в подрешетке а или атомы В в подрешетке b и считать, что они соответствуют положительным спинам, а остальные атомы назовем w-атомами и будем отождествлять их с отрицательными спинами. Тогда Zl будет большой статистической суммой если считать, что число положительных или отрицательных спинов неограниченно велико.)
 56013. Температура Нееля TN для антиферромагнетиков определяется как критическая температура, ниже которой обе подрешетки обладают спонтанной намагниченностью, равной соответственно Ма и Мb. Найти температуру Нееля для модели Ван Флека. Использовать при этом приближение молекулярного поля.
 56014. Найти магнитную восприимчивость модели Ван Флека при температурах Т < TN. Снова воспользоваться приближением молекулярного поля. (Намагниченности подрешеток ниже температуры Нееля равны по величине, но противоположны по направлению: Ма = - Мb = М'.) Обратить внимание на различие между случаями, когда внешнее поле Н перпендикулярно и параллельно M', чему соответствуют поперечная (X l) и продольная (X ll) восприимчивости.
 56015. Пусть газ состоит из частиц, между которыми действуют центральные парные силы, так что потенциал взаимодействия равен EE u(rij). Показать, что в пределах применимости классической статистической механики давление такого газа определяется выражением p = nkT - 2п/3 n2 int du(r)/dr g(r) r3 dr; здесь g(r) — двухчастичная корреляционная функция. [ Указание. Совершить преобразование ri ---> ari всех координат в статистической сумме QN и заменить производную QN по V производной по а. Получив таким образом формулу для р (теорема вириала), соответствующим образом преобразовать ее.]
 56016. Свободная энергия F раствора электролита как функция зарядов ионов еа, еb, ... должна удовлетворять соотношению d/deb dF/dea = d/dea dF/deb. Показать, что функция фa = dF/dеа, найденная в теории Дебая — Хюккеля, удовлетворяет приведенному равенству.
 56017. Пусть n-частичная функция распределения однокомпонентной жидкости описывается выражением ####. Показать, что F1(r) является плотностью числа частиц и что среднее значение (U) суммы парных взаимодействий U = EE u(ri - rj) имеет вид (U) = N2/2V u(r) g(r) dr, где функция g (r1 - r2), определяемая соотношением F2(r1,r2) = n2g(r1 - r2), характеризует пространственную корреляцию двух частиц.
 56018. Вывести уравнение для нахождения степени дальнего порядка в бинарном сплаве типа АВ, в котором отношение концентраций атомов различных сортов отлично от 1 : 1. Использовать приближение Брэгга — Вильямса. Найти соотношение между температурой фазового перехода и отношением концентраций. (Указание. Пусть полное число атомов А и В равно соответственно NA и NB и пусть NA < NB. При этом хА = Na/(Na + Nb) < 1/2. Степень дальнего порядка X определяется выражениями [ A a] = N/2 xA(1 + X), [ A b] = N/2 xA(1 - X), [ B a] = N/2 (xB - xA X), [ B b] = N/2 (xB + xA X), где хB = 1 - хА и N = NA + NB.)
 56019. Используя приближение Брэгга — Вильямса и решеточную модель жидкости, найти свободную энергию и химический потенциал каждого из компонентов двухкомпонентного раствора. При этом учитывать взаимодействие только между ближайшими соседями. Обратить внимание на различие между случаями взаимной растворимости и нерастворимости.
 56020. Пусть каждый атом в кристалле может находиться в одном из r собственных состояний, которые будут обозначаться через s, и пусть взаимодействие между атомом в состоянии s' и его ближайшим соседом в состоянии s" дается выражением u (s', s"). [ Для простоты предположим, что u (s', s") = u (s", s'). ] Такую систему можно рассматривать с помощью следующего приближенного метода, аналогичного методу Брэгга — Вильямса. Если вероятность пребывания атома в состоянии s есть f(s), а энергия взаимодействия U = 1/2 Nz EE u(s', s'') f(s') f(s''), где z — число ближайших соседей, то энтропия в соответствии с (1.101) может быть представлена в виде S = - Nk E f(s) In f(s), а функция f(s) должна быть такой, чтобы свободная энергия F = U - TS была минимальна. Найти для этого случая уравнение, определяющее f (s).
 56021. Электроны вырываются из металла и притягиваются к положительному заряду, индуцированному на поверхности, образуя некое распределение пространственного заряда вблизи поверхности металла (фиг. 119). Считая плотность электронов в этой области достаточно малой, показать, что она подчиняется соотношению n(х)~ (х0 + х)^-2, где n(х) — плотность электронов на расстоянии х от поверхности, а х0 — константа.
 56022. Используя приближение молекулярного поля, вывести уравнение для спонтанной намагниченности гейзенберговского ферромагнетика. Исследовать, в частности, поведение намагниченности вблизи точки Кюри Тс и при низких температурах (T --> 0).
 56023. Рассмотреть антиферромагнитный кристалл, каждый атом которого имеет спин S. В отличие от гейзенберговского ферромагнетика обменное взаимодействие соседних спинов, равное 2 |J | Sj*Si, способствует их антипараллельной ориентации. Пусть кристалл имеет такую структуру, что его решетку можно разделить на две взаимопроникающие подрешетки (подобно идеальному сплаву типа АВ). При этом спины, принадлежащие одной подрешетке, имеют тенденцию к параллельной ориентации, а принадлежащие к разным подрешеткам — к антипараллельной (модель антиферромагнетика Ван Флека). В рамках приближения молекулярного поля вычислить парамагнитную восприимчивость X при температурах выше Тс. Использовать предположение о том, что молекулярное поле равно — q2Ma - q1Mb для подрешетки а и — q2Mb - q1Ma для подрешетки b.
 56024. Используя приближение Брэгга — Вильямса, вычислить аномальную теплоемкость бинарного сплава типа АВ.
 56025. В случае достаточно сильного магнитного поля (kТ << цBH << ц) в выражении для магнитной восприимчивости системы электронов, появляется осциллирующий член, зависящий от Н. Получить явный вид этого осциллирующего члена (эффект де-Гааза — ван Альфена).
 56026. В приближении молекулярного поля вычислить теплоемкость изинговского ферромагнетика. Исследовать ее поведение вблизи точки Кюри и при достаточно низких температурах Т << Тс. Чему равна разность энтропии dS = S (Т) - S (0); (Т > Tс)?
 56027. Найти несколько первых членов вириального разложения для идеального квантового газа в случае слабого вырождения.
 56028. Написать матрицу плотности для идеального ферми-газа в q-представлении. Спин частиц не учитывать.
 56029. Предполагая сильное вырождение kТ << ц, найти магнитную восприимчивость, обусловленную орбитальным движением электронов в слабом магнитном поле цBH << kТ. Указание. Использовать формулу суммирования Эйлера E f (l + 1/2) ~ int f(x) dx - 1/24 { f'(b) - f'(a) } [ f(x + 1/2) - f(x - 1/2) - f'(x) << f(x) ].
 56030. Определить химический потенциал и теплоемкость ультрарелятивистского сильно вырожденного идеального ферми-газа (спин 1/2).
 56031. Рассмотрим идеальный бозе-газ из частиц, обладающих внутренними степенями свободы. Будем предполагать для простоты, что, кроме основного энергетического уровня е0 = 0, существует только один возбужденный уровень внутренней энергии частицы е1. Определить температуру бозе-эйнштейновской конденсации как функцию энергии e1.
 56032. Показать, что внутренняя энергия идеального бозе-газа в случае слабого вырождения имеет вид E = ####, где ц — химический потенциал. Написать аналогичные разложения для уравнения состояния, энтропии и свободной энергии Гельмгольца.
 56033. При рассмотрении фермионов со спином 1/2, обладающих высокой энергией, необходимо учитывать релятивистские эффекты. В этом случае энергия частицы имеет вид е = с |/ p2 + (mс)2, где р — импульс, m — масса покоя, а с — скорость света в вакууме. Показать, что средние значения полного числа частиц N, полной энергии Е и давление р выражаются следующими формулами: N = ####, E = ####, p = ####; здесь b = 1/kT, ц — химический потенциал, вычисленный с учетом энергии покоя mс2, а переменная Q определяется соотношением |p| = mc sh Q. Оценить значения приведенных величин при 0° K.
 56034. Предполагая, что релятивистский идеальный ферми-газ, полностью вырожден, получить предельные выражения E = E0 + K = N(mc2 + 3/5 |p0|2/2m), pV ~ 2/3K, в нерелятивистском пределе h/mc(3n/8п)^1/3 << 1 и E ~ K = N 3/8 |p0|c, pV ~ 1/3K, в ультрарелятивистском пределе h/mc (3n/8п)^1/3 >> 1. Здесь n = N/V — плотность числа частиц, а р0 — импульс Ферми, т. е. импульс, которому соответствует энергия, равная химическому потенциалу при 0° К.
 56035. При учете спина электрона каждому донорному уровню следует поставить в соответствие два электронных состояния. Кулоновское взаимодействие между электронами, однако, препятствует одновременному заполнению уровня двумя электронами. В указанной ситуации определить магнитную восприимчивость системы электронов на донорных уровнях.
 56036. Показать, что магнитная восприимчивость X невырожденного электронного газа дается формулой X = n(ц2B - 1/3 ц*2B)/kT, где n — плотность электронов, цB — магнетон Бора, а ц*B = еh/2m*с — эффективный магнетон Бора для орбитального движения, m*— эффективная масса электрона. Кулоновское взаимодействие между электронами не учитывать.
 56037. Показать, что ток фотоэлектронной эмиссии I, возникающей под действием света с частотой v и единичной интенсивностью, равен I ~ AT2ф(h(v - v0)/kT), где ф(d) = int In (1 + e^d-y) dy, v0 — пороговая частота фотоэффекта, определяемая работой выхода X (hv0 = X), А — некоторая постоянная. Получить, далее, следующее разложение для ф (d): ф = ####. Замечание. Внешний фотоэффект в металле возникает в том случае, когда электрон проводимости при поглощении фотона приобретает добавочную энергию, достаточную для того, чтобы покинуть металл, как схематически показано на фиг. 93. Можно считать, что компоненты импульса электрона, параллельные поверхности металла, не меняются при поглощении фотона.
 56038. В однородном магнитном поле H, направленном по оси z, точка, представляющая собой проекцию движущегося электрона на плоскость ху, вращается по окружности с угловой частотой w0 = еН/mс, определяемой силой Лоренца е | V х H | /с (фиг. 92). Это вращательное движение можно рассматривать как квантованные гармонические колебания. Энергетические уровни электрона, таким образом, описываются формулой Е(l,pz) = eh/mc H (l + 1/2) + 1/2m p2z (l = 0,1, 2, ...), где р2z/2m — кинетическая энергия электрона, связанная с его поступательным движением вдоль оси z. Показать, что магнитный момент электрона равен М = - NцBL (цBH/kT ), L(х) = cth x - 1/x, где цB = eh/2mc — магнетон Бора. Температура предполагается достаточно высокой, чтобы можно было использовать статистику Больцмана. Спином электронов и кулоновским взаимодействием между ними пренебречь. Указание. Следует иметь в виду, что энергетический уровень, характеризуемый квантовым числом l, сильно вырожден, так как ему соответствует большое число уровней в нулевом магнитном поле. В энергетический уровень 2цBН (I + 1/2) в магнитном поле Н объединяются все уровни, лежащие в случае нулевого магнитного поля в интервале 2цBHl < (p2x + p2y)/2m < 2цBH(l + 1).
 56039. Рассмотрим германиевый полупроводник, содержащий ND = 10^15 см^-3 доноров и NA = 10^14 см^-3 акцепторов. Донорные уровни лежат на расстоянии ED = 0,04 эв ниже дна зоны проводимости. На фиг. 94 приведена кривая зависимости энергии Ферми ц от температуры Т для данного полупроводника. За начало отсчета принята середина запрещенной зоны. Объяснить характер зависимости ц от Т. Для простоты можно считать, что эффективная масса электрона в зоне проводимости m* = 0,4 m.
 56040. Энергетический спектр фотонов имеет вид E(q) = hcq, где q = | q | (q — волновой вектор фотона). Вычислить свободную энергию Гельмгольца, энтропию и внутреннюю энергию для фотонного газа и определить световое давление.
 56041. Показать, что в случае двумерного идеального бозе-газа бозе-эйнштейновская конденсация не имеет места.
 56042. Определить удельную теплоемкость Сv и парамагнитную восприимчивость X невырожденного свободного электронного газа. Рассмотреть, как ведут себя эти величины при переходе к классическому пределу высоких температур.
 56043. Рассмотрим полупроводник, содержащий N акцепторов на 1 см3. Пусть акцепторные уровни лежат на расстоянии ЕА от края валентной зоны. Предполагая, что плотность акцепторов достаточно мала, чтобы систему дырок можно было рассматривать как невырожденную, и считая, что на каждом акцепторном уровне может находиться только один электрон, получить температурную зависимость плотности дырок, возникающих в заполненной зоне.
 56044. Рассмотрим полупроводник n-типа, в котором примесные уровни лежат на расстоянии ED от дна зоны проводимости. Обозначим через ND, nD и n соответственно число доноров, число донорных уровней и число электронов проводимости (в единице объема). Вычислить плотность электронов проводимости и их энергию Ферми в предельных случаях низких и высоких температур. (Указание. Использовать условие электронейтральности n = ND - nD). Построить кривую зависимости In s от 1/kT, предполагая, что электропроводность s полупроводника дается выражением s = e2n/m*т, где время релаксации т — постоянная. Каков физический смысл наклона этой кривой?
 56045. Рассмотрим образец металла, содержащий N атомов. Пусть химический потенциал системы электронов равен ц, а энергетическая зона, содержащая 2N электронных уровней еi, занята 2N - N' электронами. Показать, что эти электроны дают такой же вклад в термодинамические характеристики, как и электронный газ с энергетическими уровнями - ei и химическим потенциалом - ц.
 56046. Показать, что уравнение состояния идеального ферми-газа может быть записано в виде pV = 2/3U, и вывести формулу для сжимаемости в случае сильного вырождения. Оценить сжимаемость кристаллического натрия. Считать, что в кристаллическом натрии приходится по одному свободному электрону на атом. Атомный вес натрия равен 23, плотность 0,97 г/см3.
 56047. Пусть — w — потенциал свободных электронов в металле, а химический потенциал ц0 при 0° К меньше - w на величину ф (фиг. 91). При конечных температурах электроны, обладающие большой энергией (т. е. находящиеся в верхней части распределения Ферми), могут вылететь из металла наружу. Используя данный металл в качестве катода и создавая определенную разность потенциалов между ним и каким-либо анодом, можно собрать все электроны, покинувшие металл. Показать, что возникающий при этом термоэлектронный ток I через единицу поверхности металла определяется формулой Ричардсона I = AT2 e^-ф/kT (ф обычно имеет порядок 1 эв, a ф/kT ~ 10^2).
 56048. Оценить удельную электронную теплоемкость и спиновую парамагнитную восприимчивость (на единицу массы) для Li и Na, предполагая, что валентные электроны в обоих случаях можно рассматривать как свободные. Плотности Li и Na равны соответственно 0,534 и 0,97 г/см3.
 56049. Рассмотреть спиновую парамагнитную восприимчивость свободного электронного газа. Объяснить физический смысл различия между ее значениями для случаев сильного и слабого вырождения. Выяснить смысл отношения этих величин. Обратить особое внимание на выяснение физического смысла полученного соотношения.
 56050. Показать, что спиновая парамагнитная восприимчивость системы электронов при произвольной температуре имеет вид X = 2ц2B int D'(e) f(e) de, где D - одноэлектронная плотность состояний на единицу объема без учета спинового вырождения. Получить формулы для предельных случаев очень сильного и очень слабого вырождения и применить их к системе свободных электронов.
 56051. Предполагается, что в металлах всегда имеется некоторое количество электронов, которые могут перемещаться свободно. Если считать, что выполняется закон равномерного распределения энергии по степеням свободы, то атомная теплоемкость кристаллического натрия (атомный объем 24 см3/моль) при одном свободном электроне на атом будет равна 4,5 R. Показать, каким образом можно получить этот результат; объяснить, почему атомные теплоемкости металлов обычно подчиняются закону Дюлонга и Пти и почему вклад свободных электронов оказывается практически равным нулю в противоположность приведенному выше заключению.
 56052. Пусть некоторая физическая величина I, характеризующая систему электронов, выражается интегралом, в который входит функция распределения Ферми f (е): I = ####; здесь D - плотность состояний. Для случая достаточно сильного вырождения получить следующие формулы: (dl/dT)ц = 1/3 п2k2Tg'(ц0) + O(T3), (dl/dц)T = g(ц0) + O(T2), (dl/dT)N = 1/3 п2k2ф'(ц0) D(ц0) + O(T3).
 56053. Энергия электрона в магнитном поле H равна ±цB Н в зависимости от того, параллелен или антипараллелен полю спиновый магнитный момент электрона. Вычислить парамагнитную восприимчивость системы свободных электронов при 0° К в случае полного вырождения.
 56054. При конечных температурах функцию распределения Ферми f (е) можно (весьма приближенно) представить линией, изображенной на фиг. 90. Используя это приближение, дать простейшее объяснение линейной зависимости удельной теплоемкости от температуры при низких температурах.
 56055. Найти явное выражение для группового интеграла b3 и получить соотношение b3 = 1/2 b2|1 + 1/3 b2, где b1 и b2 — неприводимые групповые интегралы: b1 = 1/V $$ f12 dr1dr2, b2 = 1/2V $$$ f12f23f31 dr1 dr2 dr3.
 56056. Полное число электронов в образце равно N. Плотность состояний электронов имеет вид D = const при е > 0, D = 0 при е < 0. 1. Вычислить энергию Ферми ц0 при 0° К. 2. Вывести условие отсутствия вырождения системы. 3. Показать, что в случае сильного вырождения удельная теплоемкость пропорциональна Т.
 56057. Рассмотрим классическую систему, состоящую из N одинаковых молекул, не обладающих внутренними степенями свободы. Пусть v^-n Fn (х1, у1, z1, ..., zn) dx1 . . . dzn (v = V/N, где V - объем системы) есть вероятность обнаружения n частиц в области (x1, x1 + dx1), ..., (zn, zn + dzn). В предположении парного взаимодействия получить следующее выражение: e^-ц/kT = ####, где m - масса частицы, ц - химический потенциал, f0i = ехр (-u0i/kT) - 1, а u0i - потенциал взаимодействия между нулевой и i-й молекулами.
 56058. Определить поправки первого порядка, показывающие отклонения величин F, G, S, U, Сv, Ср в случае реального газа от соответствующих величин для идеального газа (F — свободная энергия Гельмгольца, G — свободная энергия Гиббса, S — энтропия, U — внутренняя энергия, Сv — теплоемкость при постоянном объеме, Ср — теплоемкость при постоянном давлении).
 56059. Можно предположить, что замена атомов их изотопами не оказывает влияния на межмолекулярные силы. Показать, что при высоких температурах (когда для внутреннего движения молекул справедливо классическое приближение), используя лишь газовые реакции, невозможно провести разделение изотопов.
 56060. Рассмотрим газ, состоящий из молекул, взаимодействующих по закону а) u(r) = a/rn (n > 0); б) u(r) = #### а < r < b. Найти второй вириальный коэффициент и коэффициент Джоуля - Томсона. Обсудить эффект Джоуля - Томсона.
 56061. Молекула Н2 при адсорбции ее некоторыми металлическими поверхностями разделяется на атомы. Найти соотношение между количеством адсорбированных атомов и давлением газообразного водорода.
 56062. Ответить на следующие вопросы, имея в виду метан (СН4). 1. Сколько степеней свободы соответствует внутримолекулярным колебаниям? 2. Написать ядерно-вращательную часть статистической суммы в высокотемпературном приближении. 3. Определить химическую постоянную. 4. Каковы основные изменения термодинамических функций при замене Н на D в ряду СН4, CH3D, CH2D2 CHD3, CD4?
 56063. Энергетические уровни молекулы в виде симметричного волчка (два главных момента инерции одинаковы) описываются выражением el,L,m = h2/8п2 { l(l + 1)/A + L2(1/C - 1/A) }; А, А и С - главные моменты инерции, a I, L, m - квантовые числа, причем m и L принимают целочисленные значения от I до - I. Энергия вырождена по отношению к квантовому числу m. Вычислить вращательную статистическую сумму и найти ее классический предел.
 56064. Колебания двухатомной молекулы при достаточно больших амплитудах становятся ангармоничными, что связано с формой потенциальной кривой (фиг. 66). В этом случае энергетические уровни приближенно описываются выражением en = (n + 1/2) hv - xe(n + 1/2)2 hv (n = 0, 1, 2, ...), где хе - параметр, характеризующий степень ангармоничности. Найти влияние ангармоничности на колебательную теплоемкость с точностью до членов первого порядка по хе.
 56065. Показать, что константа равновесия для реакций типа НСl + DBr <--> DCl + НВг стремится к единице при достаточно высоких температурах.
 56066. Используя вириальное разложение, получить формулу для давления реального газа р = #### ( v = V/N). Предполагается, что потенциал молекулярного взаимодействия u (r) зависит только от расстояния.
 56067. Вычислить с помощью статистической механики константу равновесия для реакции D2 + Н2 <--> 2HD при температурах, достаточно высоких, чтобы вращение можно было рассматривать в классическом приближении.
 56068. Определить молярную теплоемкость для NH3 при 300° К. Использовать приближение идеального газа и следующие данные: главные моменты инерции A = 4,44*10^-40 см2*г, B = С = 2,816*10^-40 см2*г, частоты нормальных колебаний v1 = v2 = 3336 см^-1, v3 = v4 = 950 см^-1, v5 = 3414 см^-1, v3 = 1627 см^-1.
 56069. Найти вклад в свободную энергию Гельмгольца, вносимый первым возбужденным уровнем молекулы O2 при 5000° К. Разность энергий первого возбужденного уровня 1dg (вырождение ge = 2) и основного уровня 3Eg (ge = 3) равна 7824 см^-1.
 56070. Вычислить константу равновесия Кр = p2N/pN2 реакции диссоциации N2 <--> 2N при 5000° К в следующих предположениях: характеристические температуры для вращений и колебаний молекулы N2 равны соответственно Qr = 2,84° К и Qv = 3,35*10^3° К. Энергия диссоциации D0 = 169,3 ккал/моль (с учетом поправки на энергию нулевых колебаний). Основное электронное состояние молекулы N2 невырождено, но основное состояние атома азота имеет четырехкратное вырождение, обусловленное электронным спином.
 56071. На фиг. 65 приведены экспериментальные значения части удельной теплоемкости, связанной с вращением, для молекулы HD. Объяснить.
 56072. Найти соотношение между числом молекул орто- и параводорода в газообразном водороде (Н2) при высокой температуре и ту же величину для D2. Замечание. У молекулы ортоводорода статистический вес ядерного спина больше. Ядерный спин атома Н равен 1/2, а атома D - единице.
 56073. Скорость превращения ортоводорода в параводород настолько мала, что орто- и параводород могут быть разделены, как если бы они представляли собой совсем различные газы. Найти теплоемкость при низких температурах и показать, что параводород имеет большую теплоемкость.
 56074. Гамильтониан ротатора с главными моментами инерции (А, В, С) имеет вид H = ####. Углы Эйлера Q, ф и ф показаны на фиг. 64. Получить вращательную статистическую сумму для многоатомной молекулы в квазиклассическом приближении. (Указание. Интегрирование выполнять в следующем порядке: рQ, рф, рф.)
 56075. Вращение двухатомной молекулы описывается двумя угловыми переменными Q, ф (фиг. 63) и соответствующими канонически сопряженными импульсами рQ,pф. Принимая кинетическую энергию для вращательного движения равной eвр = 1/2I p2Q + 1/2I sin2 Q p2ф, получить классическую формулу для вращательной статистической суммы [см. (3.9)] r(T) = 2IkT/h2 и вычислить соответствующую ей энтропию и теплоемкость.
 56076. Вычислить для аргона свободную энергию Гельмгольца, внутреннюю энергию, энтропию и химический потенциал на одну молекулу в приближении идеального газа. Атомный вес аргона равен 39,94.
 56077. Разность энергий основного электронного состояния 1S0 и первого возбужденного состояния 3S1 в атоме Не составляет 159 843 см^-1. Вычислить относительное число возбужденных атомов в гелии при температуре 6000° К. Замечание. Символы 1S0, 3S1 обозначают состояние атома. Верхний индекс обозначает мультиплетность по спину. В настоящей задаче значения 1 и 3 представляют собой степени вырождения соответствующих состояний.
 56078. Показать, что в q-представлении (ненормированная) матрица плотности ехр (- bH) для гамильтониана H (р, q) имеет вид ####. Здесь #### q-представление гамильтониана H и d (q' - q") - дельта-функция Дирака. Применить формулу к свободной частице с H = р2/2m и найти матрицу плотности в q-представлении.
 56079. Определить матричные элементы матрицы плотности р = ехр (- bH), H = р2/2m + mw2q2/2 одномерного гармонического осциллятора в q-представлении. Обсудить, в частности, предельный случай hw/кТ = bhw << 1. [ Указание. Собственные функции фn(q), соответствующие собственным значениям энергии En = (n + 1/2) hw, имеют вид фn(q) = ####, где Нn (E) - полиномы Эрмита, определяемые формулой Hn(E) = ####. Воспользоваться последней (интегральной) формой этих полиномов. ]
 56080. Гамильтониан системы, состоящей из N частиц, равен H = E p2i/2m + V(r1, ..., rN). Предполагается, что частицы различимы. Найти r-представлениe (r1, ..., rN | ехр(-bH) | r''1, ..., r''N) матрицы плотности ехр(-bH) этой системы. Показать, что в пределе h ---> 0 статистическая сумма Sp(exp(-bH)) совпадает с классическим значением Z кл = ####.
 56081. Потенциал взаимодействия N частиц, расположенных на прямой, выражается в виде функции только от взаимного расстояния между частицами. Считать систему классической. Доказать, что в том случае, когда учитывается взаимодействие только между соседними частицами, связь между давлением и объемом (расстояние L между крайними частицами) может быть описано простой однозначной функцией, и поэтому не будет происходить никаких особых явлений, соответствующих фазовому переходу. Порядок расположения частиц вдоль прямой линии предполагается неизменным.
 56082. Гамильтониан электрона в магнитном поле Н равен H = - цBs*Н, где s — спиновый оператор Паули и цB — магнетон Бора. Найти: 1) матрицу плотности в представлении, диагонализующем оператор sz; 2) матрицу плотности в представлении, диагонализующем оператор sх, и 3) среднее значение sz в этих представлениях. Ось z направлена вдоль поля.
 56083. Система А находится в контакте с источником тепла R. Всякий раз, когда система А получает энергию Е от источника R, с помощью подходящего устройства W (источник работы) энергия nЕ (n - положительная или отрицательная постоянная) передается от W к R. Показать, что каноническое распределение для системы, имеющей такой специальный источник тепла, записывается в виде р(Е) ~ ехр { - b(1 - n) Е}.
 56084. Доказать, что магнитная восприимчивость системы, подчиняющейся классической механике и классической статистике, строго равна нулю (теорема Бора — Ван Левен). [Указание. Пусть А — вектор-потенциал, определяющий магнитное поле. Тогда гамильтониан системы заряженных частиц в магнитном поле может быть записан в виде H = ####.]
 56085. Пользуясь выражением для статистической суммы классического идеального газа, вычислить плотность состояний W (Е) с помощью преобразования ###. Для простоты предполагать, что газ состоит из молекул одного типа. Пренебречь внутренними степенями свободы.
 56086. Вычислить плотность состояний W(Е) системы N (N >> 1) классических гармонических осцилляторов с частотой w с помощью преобразования ###. Определить ее асимптотическое значение, пользуясь методом перевала. Вывести отсюда формулу Стирлинга.
 56087. Два жестких диполя находятся в состоянии теплового равновесия; расстояние между их центрами равно R. Вычислить среднюю силу, действующую между диполями. Рассмотреть эту систему при высоких температурах.
 56088. Определить теплоемкость одномерного и двумерного кристаллов, применяя способ, использованный для трехмерной модели Дебая.
 56089. Обозначим через Ф (V) потенциальную энергию межатомных связей твердого тела, имеющего объем V, для случая, когда все атомы покоятся в соответствующих положениях равновесия. Нормальные частоты колебаний атомов вблизи их положений равновесия обозначим через vj (V) (j = 1, 2, ..., 3N - 6, где N — число атомов, образующих твердое тело). Предполагается, что изменение нормальных частот, связанное с изменением объема V, может быть записано в виде dln vj/dln V = - y (j = 1, 2, ..., 3N - 6) для всех нормальных частот с общей постоянной у (y > 0) (предположение Грюнайзена). Показать, что давление в твердом теле равно p = - dФ/dV + y U/V. Объяснить физический смысл первого и второго членов. (Это уравнение состояния известно как уравнение Ми — Грюнайзена.) Через U обозначена часть внутренней энергии, связанная с колебаниями атомов. Предположить, что Ф(V) = (V - V0)2/2x0V0 (x0 и V0 - постоянные). Обычно y имеет величину порядка 1 - 3 и x0CvT/V0 << 1. (Сv - теплоемкость при постоянном объеме, Т - абсолютная температура.) Учитывая эти соотношения, рассмотреть тепловое расширение твердых тел при постоянном давлении p = 0.
 56090. На фиг. 46 представлена зависимость теплоемкости Сv твердого тела при постоянном объеме от температуры; через Сoo, обозначена теплоемкость при высокой температуре, равная ее классическому значению (закон Дюлонга и Пти). Показать, что величина заштрихованной площади над кривой теплоемкости соответствует энергии нулевых колебаний.
 56091. Вывести формулу Планка для теплового излучения в диспергирующей среде, в которой показатель преломления n зависит от частоты излучения v.
 56092. Колебательные движения в твердом теле описываются следующей дисперсионной формулой: w = Аqn. Они дают вклад в удельную теплоемкость, так как при высокой температуре играют роль тепловых возбуждений. Показать, что при низкой температуре удельная теплоемкость пропорциональна Т^3/n. (Указание. Следовать выводу формулы для теплового излучения или для удельной теплоемкости в дебаевской модели твердого тела.)
 56093. Молекула в форме цепочки состоит из N элементов, каждый из которых имеет длину а (фиг. 45). Элементы соединены таким образом, что могут свободно вращаться в сочленениях. Найти соотношение между натяжением X, действующим между обоими концами этой трехмерной молекулы, и расстоянием L между ними. (Предполагать, что колебательная и другие виды энергии не зависят от формы молекулы.)
 56094. Оценить величину теплоемкости для одномерного ангармонического осциллятора, потенциальная энергия которого равна V(q) = cq2 - gq3 - fq4. Обсудить зависимость среднего значения координаты q осциллятора от температуры Т. Здесь с, g и f — положительные постоянные. Обычно g << c^3/2 / |/(kT) и f << с2/kТ.
 56095. Молекула в виде цепочки образована N одномерными элементами, расположенными вдоль прямой линии. Предполагается, что каждый одномерный элемент может находиться либо в состоянии а, либо в состоянии b (фиг. 44). В первом случае он имеет длину а и энергию Еа, во втором случае соответствующие величины равны b и Eb. Найти связь между длиной всей молекулы L и натяжением X, действующим между обоими концами молекулы. Воспользоваться каноническим ансамблем при постоянном натяжении.
 56096. Большие статистические суммы фаз I и II соответственно равны E l (LA, LB, ..., Т, V l) и Е ll (LA, LB, ..., Т, V ll). Фазы находятся в равновесии друг с другом, причем между ними возможен обмен частицами А, В, ... . Показать, что число частиц N'A, N''B, N'B, N''B, ... в фазах I и II определяется соотношением N'A/N''A = dln E l/dLA / dln E ll/dLA (N'A + N''A = NA), где NА - полное число частиц типа A и т. д.
 56097. Показать, что статистическая сумма Z (N, V, Т) канонического ансамбля удовлетворяет следующему уравнению: N(dlnZ/dN)v,т + V(dlnZ/dV)N,т = ln Z. Для простоты предполагается, что система однокомпонентна и состоит из N частиц и что внешним параметром является только объем V.
 56098. Твердое тело и пар, состоящие из атомов одного и того же сорта, находятся в равновесии в замкнутом сосуде объемом V при температуре Т° К (фиг. 43). Предположим, что статистическая сумма для твердого тела, состоящего из Ns атомов, имеет вид Zs(T, Ns) = zs (T)Ns, и пар является идеальным газом, состоящим из Ng молекул. Показать, что условия равновесия при Ns >> 1 и Ng >> 1 приближенно имеют вид Ng = zg(T,V)/zs(T). Здесь zg (Т,V) - статистическая сумма одной молекулы газа, который для простоты предполагается одноатомным. Предполагать, что объем, занимаемый твердым телом, пренебрежимо мал по сравнению с V. Построить график зависимости свободной энергии Гельмгольца от Ns. Обсудить условия, при которых устанавливается равновесие.
 56099. Рассмотреть равновесие между твердым телом и паром, состоящим из одноатомных молекул. Предполагается, что для того, чтобы перевести твердое тело в совокупность отдельных атомов, необходимо затратить энергию ф на один атом. Для простоты колебания атомов в твердом теле рассматривать на основе модели Эйнштейна, т. е. предполагать, что каждый атом представляет собой трехмерный гармонический осциллятор, совершающий колебания с частотой w около положения равновесия независимо от других атомов. Вычислить давление пара как функцию температуры.
 56100. На поверхности, имеющей N0 адсорбирующих центров, адсорбировано N (N < N0) молекул газа. Показать, что химический потенциал ц молекул равен ц = kT [ln N/N0 - N - ln a(T)] , где а(Т) - статистическая сумма одной адсорбированной молекулы (пренебречь взаимодействием между адсорбированными молекулами).