Earth curvature of space2 curvature of space1
Банк задач

Вход на сайт
Регистрация
Забыли пароль?
Статистика решений
Тип решенияКол-во
подробное решение57480
краткое решение7556
указания как решать1341
ответ (символьный)4703
ответ (численный)2335
нет ответа/решения3776
ВСЕГО77191

База задач ФизМатБанк

 55101. Два идентичных плоских ротатора с координатами Q1, Q2 связаны так, что гамильтониан системы имеет вид H = А (p2Q1 + p2Q2) - В соs(Q1 - Q2), где А и В — положительные константы (заметим, что Qi + 2п эквивалентно Qi). Определить из уравнения Шредингера собственные значения энергии и собственные функции для В << Аh2 (учитывать лишь члены, линейные по B, остерегаться вырождений) и для В >> Аh2 (свести задачу к задаче об осцилляторе, малые колебания).
 55102. Частица массой m движется в двухмерной потенциальной яме V(x, y) = { 0 для | х | и | у | < а, оо в остальной области. Определить средние значения операторов х, у для основного состояния, когда приложено малое возмущение V = F1x + F2y (F1 и F2 — константы). Учесть члены только в первом порядке по F1 и F2. Матричные элементы вычислять не надо, достаточно их выразить в интегральном виде и указать, какие из них отличны от нуля.
 55103. Рассмотреть два идентичных линейных осциллятора с коэффициентами упругости k. Потенциал взаимодействия задан выражением H' = сх1х2, где х1 и х2 — осцилляторные переменные. а. Найти точные значения энергетических уровней. б. Считая, что с << k, определить в первом порядке теории возмущений два нижних возбужденных состояния. (Энергии уровней определить в первом порядке, а собственные функции — в нулевом порядке теории возмущений.)
 55104. Гамильтониан двумерного осциллятора равен H = 1/2 (p2x + p2y) + 1/2 (1 + dху)(х2 + у2), где h = 1, а d << 1. Определить волновые функции для трех нижних уровней энергии в случае d =/= 0. Вычислить смещение этих уровней для d =/= 0 в первом порядке теории возмущений.
 55105. В однородном магнитном поле, параллельном оси z, находится электрон. Измерения показали, что в момент времени t = 0 спин электрона был направлен по оси x. Провести квантовомеханический расчет вероятности того, что электрон в момент t > 0 будет в состоянии а) с Sx = 1/2; б) c Sx = -1/2; в) c Sz = 1/2.
 55106. Тритий 3Н спонтанно распадается с излучением электрона, максимальная энергия которого примерно равна 17 кэв. Остаточным ядром является 3Не. Вычислить вероятность того, что единственный электрон этого иона остается в состоянии с главным квантовым числом 2. Отдачей ядра пренебречь. Атом трития до распада находился в основном состоянии.
 55107. Атом с J = 1/2, mj = 1/2 находится в однородном магнитном поле. Поле мгновенно поворачивается на угол ф = 60°. Вычислить вероятность того, что сразу же после изменения направления поля атом окажется в одном из подсостояний с mj = ±1/2 относительно нового направления поля.
 55108. Каково физическое обоснование правила отбора, согласно которому переход с излучением одного фотона из одного состояния с нулевым моментом количества движения в другое состояние с нулевым моментом количества движения запрещен? Имеется ли какая-либо другая возможность перехода 0 -- > 0 с излучением света? Какова физическая причина того, что радиационный переход, при котором необходимо большое изменение спина, происходит медленно?
 55109. Показать, что сечение фотопоглощения атома с отрывом электрона с K-оболочки изменяется как Z5 при больших по сравнению с энергией связи K-электрона энергиях фотона. Использовать теорию возмущения. Отдачей можно пренебречь.
 55110. Трехмерная прямоугольная яма имеет глубину V0 и радиус а. Частица с положительной энергией Е и массой m захватывается в состояние с орбитальным моментом L =/= 0. Пренебрегая орбитальным моментом внутри ямы, вычислить время жизни т частицы.
 55111. Квантовомеханическая система находится в состоянии с орбитальным моментом L1 = 0. Система распадается с излучением электрического дипольного фотона, переходя в более низкое состояние с орбитальным моментом L2 = 1. Это состояние спустя некоторое короткое время, в свою очередь, распадается также с излучением электрического дипольного фотона, переходя в основное состояние системы с орбитальным моментом L3 = 0. Оба фотона регистрируются детекторами. Вычислить вероятность W того, что направления квантов образуют угол ф. Зависит ли результат от того, является система атомом или ядром? Указание. Использовать теорию возмущений во втором порядке.
 55112. Проанализировать рассеяние частицы на простой кубической решетке с периодом d. Взаимодействие частицы с узлами решетки имеет вид V = - 2пah2/m E d(r - ri). Анализ провести в борцовском приближении. С помощью полученного результата показать, что рассеяние имеет место лишь тогда, когда выполняется условие Вульфа — Брэгга.
 55113. Выражение J = h2/2mi [ф*vф - фvф*] определяет вероятность того, что через единичную поверхность, перпендикулярную к направлению J, в единицу времени пройдет одна частица. Пучок частиц с одинаковой скоростью v попадает в некоторую область, в которой часть частиц поглощается. Это поглощение можно описать введением в волновое уравнение постоянного комплексного потенциала Vr - iVi. Показать, что сечение поглощения на атом равно s = 2Vi/hNv, где N — число поглощающих атомов в единице объема.
 55114. Частица рассеивается полностью поглощающей («черной») сферой, радиус которой больше длины волны де Бройля L/2п = 1/k. Какова зависимость параметров hl и dl амплитуды рассеяния f(Q) = 1/2ik E (2l + 1) (hl е^2id l - 1)Рl (cos Q) от l? Вычислить сечение упругого рассеяния, сечение поглощения и полное сечение.
 55115. Вычислить дифференциальное и полное сечения рассеяния бесспиновой частицы с массой m, падающей на бесконечно тяжелую и бесконечно жесткую сферу радиусом а. Рассмотреть случай, когда частица движется достаточно медленно, чтобы можно было пренебречь сдвигом фазы D-волны. Ответ представить в виде полинома от ka и оставить лишь члены более низкого, чем а2(kа)^4 порядка. Можно воспользоваться следующим рекуррентным соотношением, справедливым как для регулярного, так и для нерегулярного решения: если Fl удовлетворяет уравнению F''l (x) + 2/x F'l(x) + Fl(x)[1 - l(l + 1)/x2] = 0, то Fl + 1(x) = -x^l d/dx [Fl(x) x^-l].
 55116. Пучок бесспиновых частиц рассеивается на жесткой сфере радиусом а с потенциалом V = { оо для r < а, 0 для r > а. Для случая а << L найти полное сечение, если L = 1/k. Рассмотреть случай а >> L. Показать, что в направлении вперед различные парциальные волны дают когерентный вклад в амплитуду рассеяния f(Q), создавая тем самым дифракционную картину фраунгоферовского типа. Полезные формулы: Рn (cos Q) ~ J0 (nQ) для больших n и малых Q, d/dz [z^n+1 Jn + 1(z)] = z^n+1 Jn(z), f(Q) = 1/2ik E (2n + 1)(e^2id n - 1) Pn (cos Q).
 55117. Определить связанные состояния для случая одномерного притягивающего потенциала в виде d-функции. Предполагается, что слева на яму падает поток частиц. Определить относительные интенсивности рассеянного и прошедшего пучков.
 55118. Вывести следующие соотношения (уравнения Максвелла): (dT/dV)s = -(dP/dS)v, (dT/dP)s = (dV/dS)p, (dP/dT)v = (dS/dV)т, (dV/dT)p = -(dS/dP)т; (1) TdS = CvdT + T(dP/dT)v dV и (dU/dV)т = T(dP/dT)v - P. (2)
 55119. Вычислить коэффициент Джоуля — Томсона (dU/dV)т для газа Ван дер Ваальса, для которого Р = RT/V - B - a/V2.
 55120. Замечено, что в определенных фазовых переходах энтальпия Н или объем V не претерпевают скачкообразных изменений, в то время как их первые производные по температуре изменяются скачком. Вывести два термодинамических соотношения, которые заменяют собой уравнение Клапейрона — Клаузиуса. Фазы обозначить индексами 1 и 2.
 55121. Для воды при T = 27°С 1/V (dV/dT)p = 0,00013 град^-1. Определить изменение температуры большой массы воды при Т = 27° С, если она течением перенесена на глубину 1 км.
 55122. Рассмотреть диаграмму зависимости давления от объема для данной массы вещества, на которой приведено семейство адиабатических кривых. Показать, что ни одна пара кривых из этого семейства не может пересекаться.
 55123. Один моль Н2O охлаждается от температуры 25°С до 0°С и замерзает. Все тепло, полученное охлаждающей машиной, работающей с максимальной теоретически допустимой эффективностью (энтропия не увеличивается), передается другому молю Н2O при 25°С, в результате чего его температура повышается до 100°С. а. Сколько молей Н2O переходит в пар при 100°С? Теплота испарения L' при 100°С равна 9730 кал/моль. Теплота плавления льда L при 0°С равна 1438 кал/моль. б. Какую работу должен произвести рефрижератор?
 55124. Две колбы объемами V1 и V2 наполнены одинаковым идеальным газом, находящимся при одном давлении Р, но при различных температурах T1 и Т2. Число частиц N в обеих колбах одинаково. Определить изменение энтропии после того, как колбы соединены и система пришла в равновесие.
 55125. Газонепроницаемый поршень с малой теплоемкостью скользит без трения внутри термически изолированного цилиндра. Объемы А и В (соответственно под и над поршнем) наполнены одинаковым количеством идеального одноатомного газа. Предположим, что в начальный момент температура газа в объеме А равна Т0, а в объеме В — 3Т0. Пусть система все время находится в состоянии механического равновесия и с течением времени она приходит в тепловое равновесие. Каково отношение объемов А и В в начальный момент и при t = оо? Как изменится энтропия системы в целом в расчете на один моль газа за время от t = 0 до t = oo? Какую полезную работу могла бы совершить система (при подходящем переходе) в расчете на один моль газа при условии, что передача тепла от одного объема к другому полностью обратима?
 55126. Выразить изменение температуры свободно расширяющегося одноатомного газа через начальный и конечный объемы и константы уравнения Ван дер Ваальса для газа. Оценить приблизительно изменение энтропии и энтальпии.
 55127. Один грамм воды, находящейся при температуре 20°С, выдавливается через изолированную пористую пробку под давлением 10^4 атм в большой сосуд, где давление равно 1 атм. Определить состояние, в котором находится вода, вытекающая из пробки. Плотность воды предполагается неизменной как при давлении 10^4 атм, так и при давлении 1 атм. Теплота испарения равна 540 кал/г.
 55128. Колба наполнена газообразным гелием при температуре 10° К (выше критической точки) и термоизолирована. Газ может медленно вытекать через капиллярную трубку до тех пор, пока давление в колбе не станет равным 1 атм, а температура 4,2° К (точка кипения гелия). Предполагая, что газ идеальный, найти начальное давление газа в колбе Рi, если в конце процесса колба оказывается полностью наполненной жидким гелием. Удельная теплота испарения для Не при температуре 4,2° К равна 20 кал/моль. Для газообразного гелия Cv = 3 кал/(моль*град).
 55129. Тонкий длинный металлический стержень колеблется с основной частотой продольных колебаний. В какой области частот колебания будут изотермическими? Модуль Юнга для материала, из которого изготовлен стержень, Е = 10^12 дин/см2, плотность р = 10 г/см3, удельная теплопроводность К = 1 кал/(см*град*сек) и удельная теплоемкость С = 0,1 кал/(г*град).
 55130. Две колбы одинакового объема V соединены трубкой (рис. ) длиной L и малым поперечным сечением А (LA << V). Первоначально одна из колб наполнена смесью газов СО и N2 с парциальными давлениями соответственно Р0 и Р - P0, в то время как другая колба наполнена N2 при давлении Р. Коэффициент диффузии СО в N2 или N2 в СО равен D. Определить зависимость парциального давления СО в первой колбе от времени.
 55131. Стальной шар радиусом 20 см равномерно нагревается до температуры 100°С, а затем температура поверхности шара поддерживается постоянной и равной 0°С. Определить температуру в центре шара спустя 15 мин после того, как началось охлаждение. Отношение удельной теплопроводности к удельной теплоемкости на единицу объема К/Ср = 0,185 в единицах СГС (р — плотность шара).
 55132. Шар радиусом R погружен в бесконечно протяженную жидкость с температурой Т0. В начальный момент времени t = 0 температура шара Т1 > Т0 и поддерживается таковой в дальнейшем. Теплопроводность жидкости равна К, удельная теплоемкость С, плотность р. Выразить температуру в любой точке среды вне шара в момент времени t > 0 в виде определенного интеграла. Найти в явной форме предельное распределение температуры в среде при t -- > оо.
 55133. Найти зависимость плотности электромагнитной энергии Е от температуры в резонаторе с идеально отражающими стенками, воспользовавшись термодинамическими соображениями.
 55134. Шарообразный спутник радиусом r, окрашенный в черный цвет, вращается по круговой орбите вокруг Солнца. Расстояние между спутником и центром Солнца равно D (r << D). Солнце представляет собой шар радиусом R, излучающий подобно черному телу при температуре Т0 = 6000° К. Угол, под которым Солнце видно со спутника, составляет 2а = 32'. Какова равновесная температура спутника?
 55135. Можно предположить, что свободная энергия F (функция Гельмгольца) ферромагнетика в отсутствие внешнего поля зависит от намагниченности следующим образом: F = F0 + a (T - Tк)M2 + bM4 (1), где Т — температура ферромагнетика, близкая к температуре Кюри Тк; а и b — положительные величины, почти не зависящие от температуры; F0 — свободная энергия в ненамагниченном состоянии, может приближенно рассматриваться как не зависящая от температуры. Вывести зависимость от температуры средней намагниченности М(Т), которая следует из уравнения (1), если флуктуациями пренебречь. Как влияют флуктуации на М(Т)? Определить также магнитную восприимчивость выше точки Кюри.
 55136. Скорость звука v в парамагнитном газе изменяется под воздействием приложенного магнитного поля H. Вычислить [v(H) - v(0)]/v(0) в предположении, что намагниченность одного моля газа в низшем порядке по у равна М = yH/T. Удельную теплоемкость газа (для Н = 0) можно считать не зависящей от температуры.
 55137. Согласно Мейсснеру, в сверхпроводнике B = 0. В нормальном состоянии намагниченность М пренебрежимо мала. При фиксированной температуре Т < Tк, если внешнее поле Н уменьшается до значения, меньшего критического значения Нк(Т) = H0[1 - (T/Tк)2], нормальное состояние (фаза 1 на рис. ) претерпевает фазовый переход в сверхпроводящее состояние (фаза 2). Показать, что эта точка зрения правильна. Для этого определить разность функций Гиббса (функция Гиббса при наличии магнитного поля определяется выражением G = U - TS - HМ) для нормального и сверхпроводящего состояний металла при Т < Tк, т. е. вычислить величину GH(T, Н) - Gc(T, H). Определить теплоту перехода L из нормального состояния в сверхпроводящее при Н = 0 и скачок удельной теплоемкости при таком переходе. Является ли этот фазовый переход переходом первого или второго рода?
 55138. Определить, пользуясь термодинамическими принципами, давление пара Рr для капли жидкости с очень малым радиусом r, выразив его через давление пара Роo большой массы той же жидкости, для которой отношение поверхности к объему пренебрежимо мало. Указание. Для очень малых количеств вещества отношение поверхности к объему растет и, следовательно, поверхностные явления становятся доминирующими.
 55139. В космическое пространство запущена ракета массой 1000 кг. В предположении, что все звездные тела в среднем имеют массу порядка 10^30 кг и движутся в среднем с произвольно направленной скоростью 10 км/сек, определить среднюю скорость ракеты спустя достаточно долгое время после запуска (вероятность падения ракеты на какую-либо звезду мала).
 55140. Имеется газообразный водород при температуре Т (близкой к температуре жидкого азота) и давлении Р (примерно 1 см pт.ст.) с концентрацией ортоводорода х. Вывести уравнения а) для молярной удельной теплоемкости этого газа и б) для теплопроводности К этого газа. Кроме величин T, Р, х и фундаментальных констант выведенные выражения должны содержать только три параметра, характеризующих молекулу Н2: массу молекулы М, межатомное расстояние R и сечение столкновения s. Можно предположить, что при температуре жидкого азота число молекул, находящихся во вращательном состоянии (J > 2), пренебрежимо мало.
 55141. Вычислить отношение теплопроводности газообразного гелия при давлении Р = 0,1 атм и температуре 300° К к его теплопроводности при давлении Р = 0,5 атм и той же температуре. Вычислить также отношение вязкостей при этих давлениях.
 55142. Определить среднюю векторную скорость молекул газа, выходящих через малое отверстие в полости, поддерживаемой при температуре Т. Число частиц в единице объема полости равно N.
 55143. Небольшое круглое отверстие радиусом а (радиус мал по сравнению со средней длиной свободного пробега молекул ртути) просверлено в стенке очень тонкостенного прямоугольного сосуда, содержащего пары ртути при температуре Т и очень низком давлении Р. На расстоянии h над отверстием параллельно стенке сосуда расположена металлическая собирающая пластина (рис. ), охлаждаемая до такой температуры, что попадающие на нее атомы ртути конденсируются. Вывести выражение для поверхностной плотности ртути на собирающей пластине в момент времени t как функцию полярного угла Q между нормалью к плоскости отверстия и радиусом-вектором точки на собирающей пластине.
 55144. Сколькими различными маршрутами можно пройти от пункта А к пункту В, расположенному на m кварталов восточнее и на n кварталов севернее пункта А (рис. ), если никогда не идти в направлении, противоположном направлению к пункту B?
 55145. Согласно закону Стефана — Больцмана, энергия излучения полости (черного тела) зависит от температуры Т как TK, где К = 4. Заменить обычную трехмерную полость N-мерной (N — целое). Получить показатель степени К в зависимости энергии от температуры для фотонного газа, заключенного в N-мерную полость.
 55146. Если предположить, что Солнце подобно черному телу с диаметром 10^6 км и температурой 6000° К, то какова будет мощность микроволнового излучения с длиной волны 3 см при ширине полосы 1 Мгц.
 55147. Три частицы со спином 1/2 расположены по углам равностороннего треугольника. Гамильтониан спин-спинового взаимодействия трех частиц определяется выражением Н = L/3 (s1s2 + s1s3 + s2s3). Составить систему энергетических уровней для такой системы с указанием значений полного спина и степени вырождения. Определить функцию распределения Z.
 55148. В объеме V имеется газ, находящийся при температуре Т. Он состоит из N различных частиц с массой покоя, равной нулю; энергия и импульс частицы связаны соотношением Е = рс. Число одночастичных энергетических состояний в интервале импульсов (р, р + dp) равно 4пVp2dp/h3. Вывести уравнение состояния и найти внутреннюю энергию газа. Сравнить результат с соответствующими параметрами для обычного газа.
 55149. Слабовзаимодействующие бесспиновые идентичные частицы (масса каждой частицы равна массе электрона) подчиняются классической статистике. Частицы заключены в куб со стороной, равной 10^-6 см. Каждая из частиц испытывает потенциальное взаимодействие двух типов с кубом. Первый тип взаимодействия характеризуется притяжением и приводит к связанному состоянию с энергией — 1 эв, локализованному вблизи центра куба. Второй тип взаимодействия — это сильное отталкивание, которое препятствует выходу частиц через стенки. Определить температуру, при которой давление в кубе равно 1 атм.Число частиц равно 10^10.
 55150. Металлическая поверхность нагрета до температуры 800°С. Сталкиваясь с нею, атомы натрия испаряются и с вероятностью 0,99 ионизируются. Атомы же хлора при столкновении с той же поверхностью превращаются в отрицательные ионы лишь с вероятностью 10^-6. Потенциал ионизации Na равен ф = 5,1 эв. Определить электронное сродство хлора.
 55151. Атомы гелия могут адсорбироваться поверхностью металла, работа выхода из которой для атома гелия равна ф. Движение атомов гелия по двухмерной поверхности металла происходит совершенно свободно, без взаимодействия. Сколько атомов гелия в среднем адсорбируется единицей площади поверхности металла, если такую поверхность привести в контакт с газообразным гелием, находящимся при давлении Р? Равновесная температура для всей системы в целом равна T. Ответ должен быть выражен через приведенные в задаче величины и фундаментальные константы.
 55152. LC-контур используется в качестве термометра. При этом измеряется возникающее в цепи шумовое напряжение на индуктивности и емкости, включенных параллельно. Вывести соотношение, связывающее среднеквадратичное значение шумового напряжения с абсолютной температурой T.
 55153. Твердое тело состоит из N не взаимодействующих между собой ядер со спином 1. Каждое ядро, следовательно, может находиться в одном из трех квантовых состояний, характеризуемых квантовым числом m (m = 0, ±1). Вследствие электрического взаимодействия с внутренними полями, имеющимися в твердом теле, состояния с m = ±1 вырождены, т. е. имеют энергию е > 0, в то время как энергия состояния с m = 0 равна нулю. Вывести выражение для энтропии N ядер как функцию температуры Т и выражение для теплоемкости в пределе e/КТ << 1.
 55154. Рассмотреть систему трехмерных ротаторов (с двумя степенями свободы, но без поступательного движения), находящихся в тепловом равновесии в соответствии со статистикой Больцмана. Учесть квантование энергии. Вычислить свободную энергию, энтропию, энергию и теплоемкость (приходящуюся на один ротатор) для случая высокой температуры. Использовать в расчетах аппроксимационную формулу Эйлера: E f(J + 1/2) = int f(x) dx + 1/24 [f'(0) - f'(oo)] +....
 55155. Средняя энергия системы, находящейся в тепловом равновесии, равна < E >. Доказать, что среднеквадратичное отклонение энергии от < E >, < (E - < E >)2 > дается выражением < (E - < E >)2 > = kT2Cv, где Cv — теплоемкость системы в целом при постоянном объеме. Используя полученный результат, показать, что энергию макроскопической системы обычно можно считать постоянной, если система находится в тепловом равновесии.
 55156. Ансамбль из N частиц со спином 1/2 выстроен по прямой линии. Взаимодействуют лишь соседние частицы. Это взаимодействие равно J, если спины соседних частиц параллельны, и -J, если антипараллельны. (На языке квантовой механики это означает, что энергия взаимодействия двух соседних частиц i и j равна J siz sjz). Определить функцию распределения Z ансамбля, находящегося при температуре Т.
 55157. Согласно сильно упрощенной теории, температурная зависимость молярной удельной теплоемкости С, обусловленной переходом ионов со спином s = 1/2 из парамагнитного состояния в ферромагнитное, определяется функцией, график которой приведен на рис. , т. е. С = Смакс (2T/T0 - 1) для Т0/2 < Т < Т0 и С = 0 при всех других значениях T. Выразите Смакс через фундаментальные константы.
 55158. Показать, каким образом из соответствующих функций распределения можно получить статистику Ферми — Дирака и статистику Бозе — Эйнштейна. Найти также распределение, вытекающее из «парастатистики», при которой не более двух частиц могут характеризоваться данным набором квантовых чисел.
 55159. Как бы изменилась теория Дебая удельной теплоемкости твердых тел, если бы фононы (кванты звука) подчинялись статистике Ферми — Дирака (вместо статистики Бозе — Эйнштейна)? При этом предположении найти зависимость удельной теплоемкости от температуры для случаев очень высокой и очень низкой температуры по сравнению с дебаевской. (Постоянные множители можно опустить.)
 55160. Предположим, что электроны внутри металла можно представить как находящиеся в прямоугольной потенциальной яме. Исходя из принципа Паули, получить зависимость распределения электронов по скоростям от температуры. Вывести формулу для тока в вакуумном диоде с плоскими электродами при отрицательном анодном напряжении.
 55161. Показать, что нейтринную звезду, если она достаточно плотная, можно рассматривать как вырожденный газ релятивистских фермионов. Вывести выражение, связывающее массу и радиус такой звезды при равновесии.
 55162. Вывести выражение для магнитной восприимчивости слабого раствора постоянных диполей, магнитный момент каждого из которых равен М, в предположении, что диполи а) ориентированы произвольно относительно направления слабого магнитного поля и б) ориентированы лишь вдоль поля или против него.
 55163. Если к газу из незаряженных частиц, подчиняющихся статистике Ферми — Дирака, со спином 1/2 и магнитным моментом ц, приложено магнитное поле Н, то спины выстраиваются, создавая удельный магнитный момент (магнитный момент, приходящийся на единицу объема). Вывести общие выражения для удельного магнитного момента при произвольных T и H. Затем определить магнитную восприимчивость газа в пределе, когда магнитное поле стремится к нулю, справедливом для достаточно низкой температуры вплоть до членов порядка Т2. Заметим, что int |/E dE/e^(E-e)/kT + 1 = 2/3 E^3/2 [1 + п2/8(kT/E)2 +...].
 55164. Капля масла радиусом 0,0001 см находится в газе вязкостью 180 мкпз при температуре 27°С. Найти среднеквадратичное смещение капли за 10 сек. Гравитационными эффектами можно пренебречь.
 55165. В горячей плазме все атомы можно считать полностью ионизованными. Хотя между ионами действуют дальнодействующие силы, обусловленные кулоновским взаимодействием, однако макроскопически плазма электрически нейтральна. Это обстоятельство наводит на мысль, что кулоновское взаимодействие экранируется и поэтому становится короткодействующим. Оценить приближенно область действия этих сил.
 55166. Получить схему энергетических уровней атома водорода для значений главного квантового числа 1, 2 и 3, пренебрегая релятивистскими эффектами и считая, что протон является точечным зарядом. Получить аналогичную схему для тех уровней атома гелия, которые соответствуют возбуждению лишь одного из двух электронов. Чем схожи и чем различаются эти две схемы и почему?
 55167. Найти три низших терма атома углерода, пренебрегая спин-орбитальной связью. Написать волновые функции для этих трех термов.
 55168. Найти три низших терма атома азота.
 55169. Найти электронные конфигурации атомов циркония и гафния и объяснить, почему трудно разделить эти два элемента химическими методами. Атомные номера циркония и гафния соответственно равны 40 и 72.
 55170. Предположим, что низшие термы в натрии (выраженные в обратных сантиметрах) имеют следующие значения: 3s 2S 1/2 41448, 3р 2Р 1/2,3/2 24484, 3d 2D 3/2,5/2 12274, 4s 2S 1/2 15705, 4р 2Р 1/2,3/2 11180, 4d 2D 3/2,5/2 6897, 4f 2F 5/2, 7/2 6858, 5s 2S 1/2 8246, 5p 2Р 1/2,3/2 6407. Указать, какие переходы будут наблюдаться, если атом натрия возбуждается в результате а) облучения светом (L = 4123 А); б) бомбардировки электронами с энергией 3,3 эв при условии, что первоначально атомы натрия находились в состоянии 3s.
 55171. Вывести приближенное выражение для энергетического сдвига основного состояния атома водорода, обусловленного конечными размерами протона, предполагая, что протон представляет собой равномерно заряженную сферу радиусом R = 10^-13 см.
 55172. Электрон находится в потенциальном поле V = - e2/r + a(x2 + y2) + bz2, где 0 < а < -b << е2/а0^3. Спином электрона пренебрегаем. Каковы пять низших орбитальных состояний? Показать схематически их относительное расположение. Вычислить линейный эффект Зеемана, если поле B параллельно а) оси z; б) оси х.
 55173. В водородоподобном атоме энергии уровней 2S и 2Р отличаются на небольшую величину d, обусловленную малым эффектом экранирования, которое несущественно влияет на волновые функции этих состояний. Атом помещен в электрическое поле Е. Пренебрегая влиянием более удаленных уровней, получить общее выражение для энергетического сдвига уровней с n = 2 как функцию напряженности приложенного электрического поля E. Указание. Спином электрона можно пренебречь. Любые отличные от нуля интегралы не надо вычислять детально.
 55174. Спектральная линия ртути с длиной волны 1849 А в магнитном поле напряженностью 100 гс расщепляется на три компонента, отстоящих друг от друга на 0,0016 А. Определить, является ли эффект Зеемана нормальным или аномальным.
 55175. Электрон и позитрон имеют одинаковый (по абсолютной величине) магнитный момент, но противоположные g-факторы. Показать, что «основное состояние» атома е+е- (позитрония) — дублет 1S0, 3S1 — не может иметь линейный эффект Зеемана. Использовать оператор полного магнитного момента.
 55176. Получить точное выражение для собственных значений энергии дублетного Р-уровня (скажем, атома натрия), помещенного в магнитное поле В, пренебрегая сверхтонкой структурой. Гамильтониан системы имеет вид Н = 2e/3 SL + ц0(L + 2S)B, где е — величина расщепления при В = 0.
 55177. Вычислить сверхтонкое расщепление энергетических уровней атома водорода. Предположить, что электрон находится в s-состоянии.
 55178. Основное состояние атома водорода расщеплено на два сверхтонких состояния, отстоящих друг от друга на величину dE = 1,42*10^9 гц. Каково сверхтонкое расщепление в атоме дейтерия?
 55179. Терм D 5/2 в оптическом спектре 39|19К имеет сверхтонкую структуру, состоящую из четырех компонентов. а. Каково значение спина ядра? б. Какое следует ожидать соотношение интервалов в сверхтонком квадруплете?
 55180. Атом, не обладающий собственным магнитным моментом, называется диамагнитным. Если пренебречь спином электрона, то каков будет индуцированный диамагнитный момент атома водорода в его основном состоянии в слабом магнитном поле В?
 55181. Найти величину доплеровского уширения линии для аргоновой трубки свечения при температуре 300° К. Длину волны излучения аргона принять равной 0,5 мкм. б. При каком давлении уширение, обусловленное столкновениями атомов, станет по величине одинаковым с доплеровским уширением для рассматриваемого аргонового источника? Считать атомы аргона твердыми шариками радиусом 1 А.
 55182. Найти отношение интенсивностей последовательных линий в полосатом электронном спектре следующих молекул, находящихся в идеальном тепловом равновесии: 1Н2, 2Н2, 3Не2, 4Не2. Предполагается, что kT столь велико, что можно пренебречь изменением интенсивности, связанным с фактором Больцмана.
 55183. Потенциал двухатомной молекулы, ядра которой имеют соответственно массы М1 и М2, можно аппроксимировать следующим выражением: V(r) = -2V0 (1/p - 1/2p2), где р = r/а (а — характеристическая длина). Найти вращательные, вибрационные и вращательно-вибрационные энергетические уровни молекулы для малых колебаний, используя разложение эффективного потенциала в степенной ряд.
 55184. Дальний инфракрасный спектр НВr состоит из ряда линий, отстоящих друг от друга на расстоянии 17 см^-1. Найти расстоние между ядрами в молекуле НВr.
 55185. Энергия диссоциации молекулы Н2 равна 4,46 эв, а молекулы D2 — 4,54 эв. Найти энергию колебаний молекулы Н2.
 55186. Электрический заряд мюона равен заряду электрона, а его масса примерно в 200 раз больше массы электрона. Известно, что ц -мезоатом водорода может существовать. Также известно, что такой атом может соединиться с протоном и образовать мезомолекулу Н2+, состоящую из р+, р+, ц-. Предполагая, что мюон ведет себя в такой молекуле подобно электрону в Н2+, сделайте разумные оценки равновесного межъядерного расстояния r, энергии колебаний молекулы с n = 0 и энергии связи молекулы. Используйте следующие данные: межъядерное расстояние в молекуле Н2+ равно 1 А, энергия колебаний с n = 0 равна 0,14 эв и энергия связи — 2,7 эв.
 55187. Многие металлы могут иметь как объемно центрированную, так и гранецентрированную кубическую кристаллическую решетку. Замечено, что переход от одной структуры к другой сопровождается лишь незначительным изменением объема. Предполагая, что в таком переходе объем вовсе не изменяется, найти отношение D1/D2, где D1 и D2 — наименьшие расстояния между атомами металла соответственно в гранецентрированной и объемноцентрированной решетках.
 55188. Тольман экспериментально определил отношение е/m для электронов методом, в котором металлический образец получал механическое ускорение. Предполагая электроны в металле свободными, объяснить, как это можно сделать.
 55189. Определить электронное сродство F атома хлора, если известны следующие свойства: энергия решетки хлорида лития А = 192 ккал/моль; теплота образования LiCl B = 97 ккал/моль; потенциал ионизации атома лития С = 5,29 в; теплота сублимации лития D = 38 ккал/моль; теплота диссоциации молекулы хлора Е = 58 ккал/моль.
 55190. Для германия эффект Холла не имеет места. Какая часть тока в образце переносится электронами, если подвижность электронов в германии равна 3500 см2/(в*сек), а подвижность дырок 1400 см2/(в*сек)?
 55191. Кристаллическая структура железа при комнатной температуре представляет собой объемноцентрированную кубическую решетку (фаза 1). Она переходит в гранецентрированную кубическую решетку (фаза 2) при температуре 910°С. Теплота перехода L равна 253 кал/моль. Добавление небольшого количества углерода понижает температуру перехода. Оценить изменение температуры перехода, обусловленное добавлением 0,1 % атомарного углерода. (Растворимость углерода в гранецентрированной кубической решетке железа значительно больше, чем в объемноцентрированной.)
 55192. Кристаллическое тело в состоянии возбуждения упругих тепловых колебаний можно рассматривать как систему N различных независимых квантовогармонических осцилляторов с одинаковой угловой частотой w (модель Эйнштейна). Вывести выражение для закона распределения системы. Вычислить среднюю энергию системы при высоких и низких температурах. Найти удельную молярную теплоемкость С для обоих предельных случаев и проанализировать справедливость модели в этих случаях.
 55193. Удельная теплоемкость решетки определенной модификации углерода зависит от температуры как T2, а не как T3, что обычно имеет место для твердых тел. Что можно сказать о структуре этой специфичной фазы углерода?
 55194. Проводимость чистого полупроводника при Т1 = 273° К равна 0,01 сим. Из оптических измерений известно, что валентная зона лежит ниже зоны проводимости на 0,1 эв. Вычислить проводимость полупроводника при T2 = 500°К.
 55195. Параллельный пучок электронов с энергией 25 эв падает на тонкий поликристаллический экран, изготовленный из металла, имеющего кубическую решетку с постоянной решетки, равной 5 А. Когда была сделана фотография дифракционной картины, образованной прошедшими через экран электронами, обнаружилось, что угловой диаметр наименьшего круга равен 120°. Какова глубина потенциальной ямы для данного металла?
 55196. В электрическое поле напряженностью Е помещен кристаллический изолятор. Показать, что электрон в кристалле будет осциллировать в соответствии с уравнением е (х - х0)Е = e(k0 + eEt/h) - e(k0), где е и k0 — соответственно энергия и импульс электрона. Оценить характерные для таких колебаний амплитуду и период.
 55197. Позитроны аннигилируют с электронами в конденсированных средах с сечением s(v) = s0c/v, где v — относительная скорость аннигилирующих частиц. Предположим, что большая часть позитронов аннигилирует, находясь в состоянии покоя, и что два аннигиляционных фотона излучаются изотропно в системе центра масс электрона и позитрона. а. Показать, что если с позитронами аннигилируют лишь внешние (валентные) электроны, то два аннигиляционных фотона излучаются в противоположных направлениях в угловом конусе с полушириной d рад, где d ~ 1/137. б. Вывести функцию распределения W(d) для металла, содержащего известное число электронов проводимости в единице объема. Будет ли температурный эффект в этом случае?
 55198. Рассмотреть в рамках модели свободных электронов распространение звуковой волны с частотой w и волновым числом k в металле с N атомами в единице объема. Получить выражение для скорости звука в металле. Численный расчет провести для алюминия, атомный номер которого равен 27, а число валентных электронов равно 3. Указание. Решетку рассматривать как «тяжелую» плазму, экранированную электронами.
 55199. Пионы и мюоны с одинаковыми импульсами 140 Мэв/с проходят сквозь прозрачное вещество. Найти диапазон показателя преломления этого вещества, так чтобы излучение Вавилова — Черенкова давали лишь мюоны. Использовать следующие данные: mпс2 = 140 Мэв, mцс2 = 106 Мэв.
 55200. Чтобы объяснить ядерные силы, Юкава предположил существование частицы с отличной от нуля массой покоя — мезона. Получить соотношение между радиусом действия ядерных сил и массой мезона, воспользовавшись принципом неопределенности. Оценить массу мезона,