Earth curvature of space2 curvature of space1
Банк задач

Вход на сайт
Регистрация
Забыли пароль?
Статистика решений
Тип решенияКол-во
подробное решение60032
краткое решение7560
указания как решать1341
ответ (символьный)4704
ответ (численный)2335
нет ответа/решения3772
ВСЕГО79744

База задач ФизМатБанк

 55001. Две взаимно перпендикулярные полубесконечные стены OA и ОВ (рис. ), пересекающиеся в начале координат О, преграждают путь двухмерному гидродинамическому потоку несжимаемой жидкости плотностью р от точечного источника интенсивностью К, расположенного в точке с координатами (а, b). Рассчитать давление на стены.
 55002. Обозначим массы Солнца и Луны соответственно М и m; расстояния между Солнцем и Землей, между Луной и Землей — соответственно R и r. Каково отношение амплитуд приливных волн, индуцированных Солнцем и Луной, на экваторе?
 55003. Найти основной период колебаний изолированного несжимаемого водяного шара (радиус шара равен 6300 км), колеблющегося под действием собственного гравитационного притяжения. Предполагать, что поток скоростей безвихревой.
 55004. Системы координат S1 и S2 движутся в направлении оси х соответственно со скоростями v1 и v2 относительно системы координат S. Измеренный в системе координат S интервал времени, за которое стрелка часов в системе координат S1 сделает один оборот, равен t. Каков этот же интервал времени t2, измеренный в системе координат S2?
 55005. В межзвездное пространство стартует с Земли ракета. Спустя короткое время после старта ускорение ракеты, измеренное пассажирами, оказывается постоянным. Ракета направлена на звезду, находящуюся на фиксированном расстоянии от Земли, и движется прямолинейно. Сколько времени по часам пассажиров понадобится ракете, чтобы достигнуть звезды? Обозначить D — фиксированное расстояние от Земли до звезды, а а' — постоянное ускорение в системе отсчета, связанной с ракетой.
 55006. Частица массой покоя m движется вдоль оси х инерциальной системы отсчета и притягивается к началу координат О с силой (производная от импульса по времени) mw2х. Частица начинает осциллировать с амплитудой а. Выразить период этого релятивистского осциллятора через определенный интеграл и вычислить приближенное значение этого интеграла.
 55007. Антипротоны после остановки поглощаются дейтерием по реакции р + D -- > n + п0 (мы здесь пренебрегаем другими возможными реакциями). Определить полную энергию п0-мезонов. Массы покоя: Mp = Mp = 938,2 Мэв, MD = 1875,5 Мэв, Мn = 939,5 Мэв, Mп0 = 135,0 Мэв.
 55008. Рассмотреть процесс образования электрон-позитронной пары. а. Определить скорость системы, в которой пара имеет нулевой импульс (система центра масс). б. Вывести выражение для энергии частицы в этой системе отсчета. в. Вывести выражение для величины относительной скорости частиц, т. е. для скорости одной частицы, измеряемой в системе отсчета, связанной с другой частицей пары.
 55009. Быстрый (ультрарелятивистский) электрон входит в конденсатор под углом а (рис. ). Вывести уравнение траектории электрона, если приложенная к пластинам разность потенциалов равна V, а расстояние между пластинами d.
 55010. Нейтральный п-мезон (масса покоя М) распадается на два y-кванта. Угловое распределение у-квантoв изотропно в системе покоя п0-мезона. В лабораторной системе координат п0-мезон имеет скорость v, направленную по оси z. Какова вероятность P(Q)dW вылета фотона в телесный угол dW под углом Q при распаде мезона на лету? Здесь Q — угол в лабораторной системе координат между направлением вылета y-кванта и осью z. Скорость мезона v может быть сравнима со скоростью света.
 55011. Какова должна быть минимальная энергия нейтронов, рожденных во взаимодействиях космических лучей на расстоянии одного светового года от Земли, если они достигают последней с вероятностью не менее 1/е? б. Если эти нейтроны распадаются на лету, то каков максимальный угол между направлением вылета электрона распада и первоначальным направлением полета нейтрона? в. Каков максимальный угол вылета нейтрино распада? г. Какова максимальная энергия нейтрино, вылетевшего под максимально возможным углом?
 55012. Прецессия перигелия траектории планет была предсказана общей теорией относительности. Однако даже специальная теория относительности предсказывает такой эффект вследствие зависимости инерциальной массы от скорости. Вывести формулу специальной теории относительности, описывающую прецессию перигелия для планеты с заданным моментом количества движения L, массой покоя m и энергией E. Планета движется в гравитационном поле Солнца. Указание. Использовать полярные координаты u = 1/r и Q и составить дифференциальное уравнение, в которое время не входило бы явно.
 55013. Баллон с гелием свободно плавает в замкнутом сосуде, наполненном воздухом при нормальных давлении и температуре. Сосуд, в свою очередь, находится в межзвездном пространстве и движется в заданном направлении с ускорением, равным по величине гравитационному ускорению на поверхности Земли. В каком направлении движется баллон с гелием относительно вектора ускорения?
 55014. Ребра куба представляют собой одинаковые сопротивления R, соединенные друг с другом в вершинах. Два противоположных угла одной грани куба присоединены к батарее. Каково эффективное сопротивление такой цепи?
 55015. В электрическую цепь, представляющую собой бесконечно протяженную плоскую сетку с прямоугольной ячейкой (рис. ), через точку А подводится, а через точку С снимается ток i. Найти силу тока, протекающего по проводу АС.
 55016. Имеются два одинаковых стальных бруска, один из которых намагничен, а другой нет. Каким образом можно определить, какой из брусков намагничен, не используя внешнее магнитное поле? (Имеется возможность измерять силы.)
 55017. Проводник заряжается электрическим зарядом при многократном соприкосновении с металлической пластиной, которая после каждого соприкосновения дозаряжается до величины заряда Q. До какой конечной величины зарядится проводник, если после первого соприкосновения его заряд оказался равен q?
 55018. Переменный конденсатор присоединен к батарее с э.д.с., равной Е (рис. ). С0 и q0 — начальные емкость и заряд конденсатора. В дальнейшем емкость конденсатора изменяется во времени так, что ток в цепи l остается постоянным. Вычислить мощность, потребляемую от батареи, и сравнить ее со скоростью изменения во времени энергии, запасенной в конденсаторе. Если сравниваемые величины различаются, объяснить — почему.
 55019. После погружения конденсатора в среду с проводимостью g сопротивление между его зажимами оказалось равным R. Показать, что независимо от формы его пластин имеет место соотношение RC = e/g, где е — диэлектрическая постоянная среды, а С — емкость конденсатора в среде.
 55020. В цилиндре радиусом b просверлено oтверстие радиусом а (а < b). Ось отверстия параллельна оси цилиндра, а расстояние между осями равно d (рис ). По цилиндру течет ток l. Какова напряженность магнитного поля на оси отверстия?
 55021. Проводник имеет форму бесконечной проводящей плоскости с полусферическим выступом радиусом а. Над центром выступа на расстоянии р от плоскости расположен заряд q. Вычислить силу, действующую на заряд.
 55022. Имеется толстостенный полусферический колпак, внутренний и внешний радиусы которого равны соответственно а и b (рис ). Колпак однородно намагничен вдоль оси симметрии (ось z на рисунке). Показать, что помещенная в начало координат небольшая стрелка компаса будет свободно вращаться.
 55023. Тонкий однородный металлический диск лежит на бесконечной проводящей плоскости. Однородное гравитационное поле направлено перпендикулярно к плоскости. Вначале диск и плоскость не заряжены, к ним медленно подводится заряд. Какова должна быть плотность заряда, чтобы диск приподнялся над плоскостью?
 55024. Вычислить емкость С сферического конденсатора, внутренний и внешний радиусы которого равны соответственно R1 и R2. Конденсатор наполнен диэлектриком с диэлектрической проницаемостью e = е0 + e1cos2 Q, где Q — полярный угол.
 55025. Длинный прямой провод, по которому течет ток I1, расположен на расстоянии а над полубесконечной магнитной средой с магнитной проницаемостью ц. Вычислить силу, действующую на единицу длины провода, и определить направление этой силы.
 55026. Коэффициент самоиндукции круговой петли из тонкой проволоки (столь тонкой, что потоком через проволоку можно пренебречь) измеряется в следующих случаях: а) плоскость петли совпадает с плоскостью ху, которая представляет собой раздел сред с магнитной проницаемостью ц = 2(z < 0) и ц = 1 (вакуум, z > 0); б) петля находится в среде c ц = 1. Каково отношение коэффициентов самоиндукции L в этих двух случаях?
 55027. Внутри металла с проводимостью s0 имеется небольшое включение с проводимостью s1(рис. ). Это включение возмущает электрическое поле, которое в отсутствие включения было бы постоянным. Найти зависимость возмущения от расстояния до включения. (Решить задачу только для случая установившегося состояния.)
 55028. Длинный проводник, имеющий форму полого цилиндра радиусом а, разрезан по образующим на две половинки, разделенные небольшим расстоянием. K половинкам приложены потенциалы V1 и V2. Показать, что потенциал в любой точке внутри цилиндра определяется выражением V = V1 + V2/2 + 2 V1 - V2/п E (-1)^n-1/2n -1 (r/a)^2n-1 cos [(2n - 1)Q], где r — расстояние от точки до оси цилиндра (см. рис. ).
 55029. Найти, каким образом убывает во времени начальная плотность заряда в любой точке внутри проводника. Оценить время, в течение которого первоначальный заряд внутри медного проводника исчезает (удельное электрическое сопротивление меди равно 1,7*10^-6 ом*см). Если проводник совершенно изолирован, то как распределяется заряд?
 55030. Небольшая сфера радиусом а и поляризуемостью а расположена на очень большом расстоянии от сферы радиусом b, изготовленной из проводящего материала, которая поддерживается при потенциале V. Найдите приближенное выражение для силы, действующей на сферу из диэлектрика, справедливое при условии а << r, где r — расстояние между сферами.
 55031. Вывести соотношение Клаузиуса — Моссотти, связывающее диэлектрическую постоянную е с поляризуемостью среды а.
 55032. В простой кубической решетке постоянная решетки равна 2А, а показатель преломления (скажем, для длины волны излучения натрия) равен n = 2,07. Предположим, что среда подвергается такому давлению, что происходит двухпроцентное удлинение вдоль одного из ребер куба и однопроцентное сокращение вдоль двух других ребер. Вычислить показатель преломления деформированной решетки для случаев, когда электрический вектор Е направлен а) параллельно и б) перпендикулярно к главной оси деформации. Считать атомную поляризуемость а постоянной скалярной величиной. Указание. Локальное поле, действующее на атом в описанной среде, можно найти следующим образом. Представим себе сферическую полость, окружающую атом и шесть соседних атомов. Вне этой полости среду можно считать непрерывной и изотропной. Локальное поле в центре полости может быть выражено в виде Eл = E + E' + E E''j, где E — приложенное поле, E' и E''j — поля, вызванные соответственно поляризованным континуумом вне сферической полоcти и диполем, индуцированным в j-м атоме внутри полости. В анизотропной среде E E''j не обращается в нуль. Более того, эта величина зависит от направления приложенного поля E.
 55033. Каков критический угол полного отражения для коротковолнового рентгеновского излучения с длиной волны L, падающего на металлическую пластину, в которой все N электронов в единице объема являются «свободными».
 55034. Ионосферу можно рассматривать как ионизованную среду, содержащую N свободных электронов в единице объема. Показать, что если линейно поляризованная волна распространяется в ионосфере в направлении, параллельном направлению слабого однородного магнитного поля Земли Н, то плоскость поляризации волны будет поворачиваться на угол, пропорциональный пройденному волной расстоянию. Вычислить коэффициент пропорциональности.
 55035. Показать, что электромагнитные волны могут распространяться внутри полой металлической трубы прямоугольного поперечного сечения, стенки которой полностью проводящие. Каковы групповая и фазовая скорости распространения? Показать, что имеется граничная частота и что электромагнитные волны с частотой меньше граничной не могут распространяться по такому волноводу.
 55036. Предположим, что внутри сверхпроводника вместо закона Ома (J = sЕ) справедливы уравнения Лондона для плотности тока J: c rot(LJ) = -В, d/dt(LJ) = Е (в гауссовой системе), L мы считаем константой. В остальном уравнения Максвелла (с е = 1, ц = 1) и соответствующие граничные условия остаются неизменными. Рассмотрим бесконечную сверхпроводящую пластину толщиной 2d (-d < z < d), вне которой имеется постоянное магнитное поле, параллельное плоскости: Нх = Hz = 0, Ну = H0 (одинаковые как для z > d, так и для z < -d), и Е = D = 0 везде. Вычислить Н и J внутри пластины, если поверхностных токов и зарядов нет.
 55037. Поляризованный свет распространяется вдоль оси стеклянного цилиндра длиной L, который вращается вокруг своей оси с угловой скоростью W. Найти угол, на который повернется плоскость поляризации на выходе из цилиндра. (Предполагается, что показатель преломления постоянный, а магнитная проницаемость равна единице.)
 55038. Щелевая линза (рис. ) имеет отверстие, длина которого значительно превышает его ширину у0. Слева от линзы электрическое поле равно Е1, справа Е2. Пучок заряженных частиц, сфокусированный на расстоянии х1 от щели слева, за щелью вновь фокусируется на расстоянии х2 справа от нее. До щели частицы ускоряются разностью потенциалов V0. Показать, что 1/x2 + 1/x1 ~ E2 - E1/2V0, если V0 >> Е1х1 и V0 >> Е2х2, x1 и х2 >> y0.
 55039. Ион движется по спиральной траектории вокруг оси длинного соленоида, намотанного так, что величина поля на траектории иона постепенно возрастает от значения В1 до значения В2. При каких условиях ион будет отражен?
 55040. На рис. показано сечение цилиндрического анода (радиусом b) и цилиндрического катода (радиусом а) магнетрона. Катод заземлен, а потенциал анода равен V. Однородное магнитное поле Н направлено вдоль оси цилиндра. Электроны испускаются катодом с нулевой начальной скоростью и под действием приложенных полей движутся в направлении анода по некоторым криволинейным траекториям. Определить величину потенциала V, ниже которого ток будет подавляться магнитным полем Н.
 55041. Магнитная квадрупольная линза, сечение которой показано на рис. , обладает свойством фокусировать пучок заряженных частиц, движущихся почти параллельно оси z. Фокусировка происходит или в плоскости х = 0 или в плоскости у = 0 в зависимости от знака заряженных частиц. Определить простейшее распределение магнитных «полюсов», которые аналогичным образом фокусируют нейтральные частицы с магнитным моментом ц, поляризованные параллельно (или антипараллельно) оси х.
 55042. Хорошо сколлимированный пучок протонов имеет форму цилиндра радиусом R. Скорость протонов в пучке равна v, а их число в единице объема р. Найти силы, действующие на протон на расстоянии r от оси пучка. Качественно исследовать стабильность пучка.
 55043. Вывести нерелятивистское уравнение движения электрически заряженной частицы около фиксированного магнитного монополя с силой Г. Найти интегралы движения.
 55044. Стандартным методом калибровки орбит заряженных частиц с импульсом р в статических магнитных полях является метод эмпирического определения конфигурации в полях достаточно гибкой проволоки, по которой течет ток l при натяжении T. Дать физическое обоснование этого метода. Указание. Вывести общие дифференциальные уравнения для орбиты частицы d2r/ds2 и для равновесного положения токонесущей проволоки.
 55045. Атом со сферически симметричным распределением заряда находится во внешнем магнитном поле Н. Показать, что поле на ядре, обусловленное диамагнитным током, равно dН = -(еН/Зmс2) ф(0), где ф(0) — электростатический потенциал, создаваемый на ядре атомными электронами. Грубо оценить величину dН/Н для атома с Z = 50.
 55046. Заряд, распределенный в ограниченном пространстве сферически симметрично, пульсирует в радиальном направлении с некоторой частотой w. Как можно зарегистрировать эти радиальные пульсации? Пояснить ответ.
 55047. Маховик радиусом R, на ободе которого равномерно распределен заряд Q, вращается с угловой скоростью w. Какова интенсивность излучения энергии?
 55048. Покажите, что, согласно классической теории излучения, при столкновении нерелятивистских бесспиновых тождественных частиц невозможно электрическое или магнитное дипольное излучение.
 55049. Линейно поляризованная плоская волна электромагнитного излучения падает на атом с поляризуемостью а. Определить в рамках классической электромагнитной теории электрическое поле рассеянной волны на большом расстоянии и полное сечение рассеяния.
 55050. Тонкое медное кольцо вращается вокруг оси, перпендикулярной к однородному магнитному полю Н0 (рис. ). Начальная скорость вращения равна w0. Вычислить время, за которое частота вращения уменьшится в е раз, считая, что энергия расходуется на джоулево тепло (проводимость меди равна s = 5*10^17 СГСЭ, плотность р = 8,9 г/см3, H0 = 200 гс).
 55051. Частица массой m и зарядом е подвешена на нити длиной L. На расстоянии d под точкой подвеса находится бесконечный плоский проводник. Вычислить частоту колебаний маятника при условии, что амплитуда их достаточно мала, так что применим закон Гука, и потери энергии в единицу времени на излучение материальной точкой, колеблющейся с малой амплитудой а.
 55052. Семь антенн, излучающих как электрические диполи, поляризованные по направлению оси z, расположены на оси х в точках х = 0, ±L/2, ±L, ±ЗL/2. Все антенны излучают волны с длиной L и возбуждаются в фазе. а. Вычислить угловое распределение излучаемой мощности как функцию полярного Q и азимутального ф углов (пренебрегая постоянными множителями). б. Начертить примерный график зависимости излучаемой мощности от угла ф в плоскости ху. в. Определить направление, в котором интенсивность излучения максимальна 1) для данной конфигурации антенн и 2) для одной единственной антенны. Каково отношение этих интенсивностей?
 55053. Показать, что потеря энергии на излучение за один оборот частицы с единичным зарядом пропорциональна L = b3/(1 - b2)2*r0/R, где R — радиус орбиты, b = v/c, a r0 = e2/m0c2.
 55054. Пучок света интенсивностью l0 и частотой v0, направленный вдоль положительной полуоси z, отражается под прямым углом от идеального зеркала, движущегося вдоль положительной полуоси z со скоростью v. Каковы интенсивность l и частота v отраженного света, выраженные соответственно через l0 и v0?
 55055. Два тонких параллельных бесконечно длинных непроводящих стержня, разделенные расстоянием а (рис. ) и имеющие одинаковую постоянную плотность заряда L на единицу длины в системе покоя стержней, движутся со скоростью v, не обязательно малой по сравнению со скоростью света. Вычислить силу взаимодействия стержней, приходящуюся на единицу длины, в покоящейся и в движущейся системах координат и сравнить их.
 55056. Электрон движется в зависящем от времени аксиально симметричном магнитном поле с В0 = 0. Каким условиям должен удовлетворять лагранжиан L = -mс2(1 - v2/c2)61/2 + ev/c А (B = v x A), чтобы электрон двигался по фиксированной в пространстве круговой орбите с постоянным по времени радиусом? Каковы угловая частота и энергия электрона на такой орбите? Исследовать устойчивость круговых орбит. Предполагать, что форма поля вблизи орбиты может быть представлена выражением Вz = В0(r0/r)^n, где Вz — мгновенное значение поля на равновесной орбите r = r0, z — ось симметрии, n — положительное число, а В(r, z, t) = B(r, z)T(t). Считать, что внешнее поле мало меняется за время одного оборота электрона по орбите. а. Показать, что если n > 1, то орбита неустойчива по отношению к радиальным колебаниям. б. Показать, что сумма квадратов частот радиальных и вертикальных колебаний равна квадрату частоты обращения по равновесной орбите.
 55057. Найти ковариантное обобщение а) силы Лоренца F = е(Е + [vB]) и б) уравнения движения частицы со спином S dS/dt = ge/2m[SB], где g — гиромагнитное отношение.
 55058. Электронная лампа и LC-цепь используются обычным способом как радиочастотный генератор. Каков порядок величины верхней граничной частоты такого генератора, если к электродам приложена разность потенциалов 200 в, а расстояние между электродами около 1 мм?
 55059. Показать, что бесконечная цепь индуктивностей L и емкостей С (рис. ) действует как фильтр низких частот. Выразить граничную частоту wгр через собственную частоту w0 = 1/ |/LC.
 55060. Необходимо ослабить сигнал, вырабатываемый электронной схемой, с минимальными искажениями формы сигнала (максимальной шириной полосы). Использовать для этого показанную на рис. высокоомную схему ослабления, дополнив ее необходимыми элементами. Определить величины этих элементов.
 55061. Триод в схеме генератора с настроенным анодом (рис. ) имеет коэффициент усиления р и внутреннее сопротивление Rp. На какой частоте будет работать генератор? При каких условиях произойдет срыв генерации? Указание. Предполагать, что сеточный ток триода равен нулю.
 55062. На вход А диодной схемы (рис. ,а) подается периодический сигнал (рис. ,б). Предполагая, что в начальный момент конденсаторы не заряжены, нарисовать зависимость напряжения от времени в точках В и D в течение трех периодов входного сигнала. Считать, что диоды представляют собой идеальные ключи. Каково предельное значение напряжения в точке В?
 55063. Тонкая линза с показателем преломления n и радиусами кривизны R1 и R2 расположена на границе раздела двух сред с показателями преломления n1 и n2 (рис. ). Пусть S1 и S2 — соответственно расстояния от объекта до линзы и от изображения до линзы, а f1 и f2 — соответствующие фокусные расстояния. Показать, что в этом случае справедливо соотношение f1/S1 + f2/S2 = 1.
 55064. На поверхность раздела двух сред под прямым углом падает свет так, что волна с единичной амплитудой в среде 1 отражается от поверхности раздела с амплитудой r, а в среду 2 проходит волна с амплитудой t. Аналогично волна с единичной амплитудой в среде 2 отражается от поверхности раздела с амплитудой r' и проходит в среду 1 с амплитудой t'. Используя принцип суперпозиции и инвариантность по отношению к обращению времени, вывести соотношения Стокса r2 + tt' = 1 и r = -r'.
 55065. Полубесконечный диэлектрик, покрытый пленкой толщиной d, помещен в вакуум; на него нормально падает плоская электромагнитная волна. Предполагается, что ц = 1 для обеих сред и что пленка и диэлектрик имеют показатели преломления, равные соответственно n1 и n2. Выразить амплитуду отраженной в вакуум волны через показатели преломления n1 и n2 и длину волны в вакууме L. При каких условиях амплитуда отраженной волны обратится в нуль?
 55066. Метод цветной фотографии был предложен Липпманом в 1881 г. Сущность этого метода заключается в следующем. Фотопластинка состоит из слоя чрезвычайно мелкозернистой эмульсии, нанесенной на стеклянную пластину. Эмульсию, в свою очередь, покрывают тонким слоем ртути, образующим отражающую поверхность. При экспонировании фотопластинка обращена к свету стеклянной поверхностью (рис. ). После проявления пластина, по-прежнему покрытая слоем ртути, освещается белым светом, и в отраженном свете наблюдается цветное изображение. Объяснить, как это происходит.
 55067. В камере с малым отверстием расстояние от отверстия до фотопластинки равно 10 см. Необходимо получить изображение Солнца в видимом спектре (L = 5000 А). Какого диаметра должно быть отверстие, чтобы разрешение было наилучшим?
 55068. Для анализа спектра натрия используется дифракционная решетка шириной 5 см. Свет падает на эту решетку нормально. Определить минимальное число линий, необходимое для того, чтобы разрешить в первом порядке дублет D натрия, компоненты которого имеют длину волны соответственно 5890 А и 5896 А. Каково в этих условиях угловое расстояние между двумя компонентами дублета?
 55069. Микроволновый детектор расположен на берегу озера на высоте 0,5 м над уровнем воды. При медленном восхождении над горизонтом радиозвезды, излучающей микроволны с L = 21 см, детектор регистрирует чередующиеся максимумы и минимумы интенсивности сигнала. При каком угле Q над горизонтом находится радиозвезда в момент регистрации первого максимума?
 55070. Две очень узкие параллельные щели в непрозрачном экране разделены расстоянием d. Экран освещается длинной прямой светящейся металлической лентой 1 шириной W, расположенной на расстоянии L перед экраном 3 (рис. ). Цветной стеклянный светофильтр 2 пропускает свет длиной волны L. Прошедший свет дает интерференционную картину на экране 4, расположенном на большом расстоянии за непрозрачным экраном. При увеличении расстояния между щелями оказалось, что при значении d = d0 интерференционные полосы исчезают. Определить ширину W светящейся ленты.
 55071. В дифракционной решетке N щелей; длина каждой щели равна половине длины предыдущей. Расстояние между щелями d. Каково угловое распределение интенсивности света с длиной волны L?
 55072. Рассмотрим отражающую решетку, бороздки которой хотя и расположены на равном расстоянии, но имеют следующую чередующуюся отражательную способность: 1 + а, 1 - а, 1 + а, 1 - а и т. д. Как будет изменяться дифракционная картина, если а увеличивать от 0 до некоторой величины, значительно меньшей единицы?
 55073. Черный экран с круглым отверстием радиусом а расположен в плоскости ху так, что центр отверстия совпадает с началом координат. На экран падает плоская волна ф = e^ikz, k = 2п/L. Найти точки на положительной оси (z >> а), где интенсивность приблизительно равна нулю.
 55074. Свет проходит через ряд идеальных поляризаторов. Плоскости поляризации выстроены в фиксированном направлении, но имеются случайные отклонения в направлении двух соседних плоскостей поляризации, подчиняющиеся гауссовому распределению Be^-aQ2, где Q — относительный угол отклонения. Найти средний коэффициент ослабления системы в расчете на один поляризатор для пучка света, прошедшего первый поляризатор. Предполагается, что а >> 1.
 55075. Плоская монохроматическая волна падает на несовершенную линейную дифракционную решетку с N идентичными щелями. Несовершенство решетки обусловлено тем, что апертуры щелей независимо друг от друга колеблются в плоскости решетки. Среднее положение щелей соответствует идеальной линейной решетке с расстоянием между щелями d. Время фотографирования дифракционной картины очень велико по сравнению с периодами колебаний. Распределение вероятности для отклонения апертуры от ее среднего положения является гауссовым, причем среднеквадратическое отклонение одинаково для всех апертур. Показать, что распределение интенсивности (т. е. интенсивность как функция угла между направлением падения и направлением наблюдения) на фраунгоферовой дифракционной картине для такой решетки может быть представлено в виде l = фl0 + N (1 - ф)i0, где l0 — распределение интенсивности для идеальной решетки, образуемой щелями, когда они находятся в своих средних положениях, i0 — распределение интенсивности на дифракционной картине для одной щели. Выразить ф через среднеквадратическое отклонение.
 55076. Свет с частотой f, излучаемый источником Р (рис. ), проходит через показанную на рисунке систему. По верхнему трубопроводу со скоростью u течет жидкость, имеющая показатель преломления n, а в нижнем трубопроводе та же жидкость покоится. Каково минимальное значение скорости u, при которой в точке Р' будет происходить деструктивная интерференция?
 55077. Для того чтобы наблюдать Солнце в монохроматическом свете, французский астроном Лио изобрел двоякопреломляющий фильтр, состоящий из ряда двоякопреломляющих кристаллов С (рис. ). Каждый последующий кристалл в два раза толще предыдущего. На концах системы и между кристаллами установлены поляризующие пленки. Все кристаллы смонтированы так, что их оптические оси параллельны и составляют прямой угол с направлением распространения света. Оси поляризации пленок также параллельны друг другу и составляют угол 45° с направлением оптических осей кристаллов (рис. ). Через такую систему может пройти свет лишь в определенном интервале частот. Вычислить пропускание фильтра, состоящего из S элементов, для света с длиной волны L. Найти ширину dL полосы частот, которые могут пройти через фильтр, а также расстояние между такими полосами.
 55078. Пусть квантовомеханические операторы В и С антикоммутируют {В, С}+ = ВС + СВ = 0 и пусть ф — собственное состояние обоих операторов В и С. Что можно сказать о соответствующих собственных значениях? Если В является оператором барионного числа, а С — зарядового сопряжения, то имеют место соотношения {В, С}+ = 0 и С2 = 1. Применить к этому случаю полученный результат.
 55079. Три матрицы Мх, Му, Мz, каждая из которых состоит из 256 строк и столбцов, подчиняются коммутационным правилам [Мx, Му] = iMz (с циклической перестановкой х, у, z). Собственные значения одной матрицы, скажем Мх, равны ±2 (одно значение); ±3/2 (8 значений); ±1 (28 значений); ±1/2 (56 значений); 0 (70 значений). Определить 256 собственных значений матрицы М2 = M2x + M2y + M2z.
 55080. Найти собственные значения матрицы Lik = [xi, [L2, xk] ]; L2 = [rp]2 (i, k = 1, 2, 3).
 55081. При рассмотрении систем, способных испускать частицы с полуцелым спином, приходится иметь дело с оператором U, подчиняющимся коммутационным соотношениям [U, Jz] = 1/2U (1), [ [U, J2], J2] = 1/2(UJ2 + J2U) + 3U/16 (2), где J — момент количества движения испускающей системы. Найти из соотношений (1) и (2) правила отбора в матричном представлении, в котором Jz и J2 диагональны; собственные значения этих операторов равны соответственно m и j(j + 1). Другими словами, какие из матричных элементов < m' j' |U| mj > отличны от нуля? Указание. Использовать Xj = j(j + 1).
 55082. Доказать, что все волновые функции, соответствующие максимальному собственному значению квадрата оператора полного спина системы из N электронов, симметричны по отношению к спиновым координатам отдельных электронов.
 55083. Доказать правило сумм Томаса — Рейха — Куна E 2m|xn0|2/h2 (En - E0) = 1. Сумма берется по полному набору собственных состояний фn с энергией Еn частицы массой m, движущейся в потенциальном поле; ф0 — связанное состояние.
 55084. Показать, что уравнения Максвелла в отсутствие источников поля могут быть представлены в дираковской форме рbSbF = i/c*d/dt F, (р — оператор импульса) введением вектора Крамерса F = Е + iH, F*= Е - iH и подходящим выбором матрицы S. Использовать это представление электромагнитного поля, чтобы показать, что спин фотона равен единице.
 55085. Использовать правило квантования Бора — Зоммерфельда, чтобы вычислить допустимые энергетические уровни мяча, упруго подпрыгивающего в вертикальном направлении.
 55086. Трехмерный изотропный гармонический осциллятор имеет собственные значения энергии hw(n + 3/2), где n = 0, 1, 2,... Какова степень вырождения квантового состояния n?
 55087. Три материальные точки с одинаковой массой m движутся по кругу радиусом r. Взаимное расстояние между ними фиксировано и одинаково, так что они образуют равносторонний треугольник. Эти материальные точки подчиняются статистике Бозе и не имеют спина. Исследовать вращательные энергетические уровни системы.
 55088. Вывести выражение для энергии диполь-дипольного магнитного взаимодействия между протоном и антипротоном, находящимся на фиксированном расстоянии а, в зависимости от полного спина системы, используя значение магнитного момента протона ц0. Энергия взаимодействия двух магнитных диполей определяется выражением V = 1/r3 [ц1ц2 - 3 (ц1r)(ц2r)/r2].
 55089. Найти и классифицировать собственные значения гамильтониана Н = А [s1z + s2z] + Bs1s2, где s1, s2 — спиновые матрицы Паули соответственно для частиц 1 и 2 (принцип Паули во внимание не принимать).
 55090. Система состоит из двух различных частиц со спинами 1/2. Спин-спиновое взаимодействие частиц определяется выражением Js1s2, где J — постоянная. К системе приложено внешнее магнитное поле Н. Магнитные моменты частиц соответственно равны аs1 и bs2. Найти точные собственные значения энергии этой системы.
 55091. Внутри сферы радиусом R имеется электрон. Каково давление Р, оказываемое на поверхность сферы, если электрон находится а) в наинизшем s-состоянии? б) в наинизшем р-состоянии?
 55092. Частица массой m движется в потенциальном поле V(r) = { -V0 для r < а, 0 для r > а. Найти наименьшее значение V0, при котором имеется связанное состояние с нулевой энергией и нулевым моментом количества движения.
 55093. Для одномерного уравнения Шредингера с потенциалом V(x) = { m/2 w2x2 для x > 0, +oo для x < 0 найти собственные значения энергии.
 55094. Электрон движется в вакууме под действием однородного магнитного поля В. Найти энергетические уровни. Показать, что для больших орбит магнитный поток через электронную орбиту квантуется. Спин электрона не учитывать. Показать также, что, зная энергетические уровни в нерелятивистском приближении, можно определить релятивистские поправки к этим уровням.
 55095. Квантовомеханическая система, когда возмущений нет, может находиться в одном из двух состояний: 1 или 2 с энергиями соответственно Е1 и E2. Предположим, что на систему действует возмущение, не зависящее от времени, V = (0 V12 V21 0), причем V21 = V*12. Пусть в момент t = 0 система находится в состоянии 1. Определить амплитуды обоих состояний в любой последующий момент времени t.
 55096. Использовать вариационный принцип для оценки энергии основного состояния частицы, находящейся в потенциальном поле V = { oo для x < 0, cx для x > 0. В качестве волновой функции взять функцию хе^-ах.
 55097. Электрон с зарядом е и массой m может двигаться по окружности радиусом r. Движение его возмущено однородным электрическим полем F, направленным параллельно плоскости окружности. Найти возмущение энергетических уровней вплоть до членов порядка F2. Обратить внимание, в частности, на аномальное поведение первого возбужденного состояния.
 55098. Если приложенное электрическое поле F в эффекте Штарка для основного состояния слабое, то энергетический уровень смещается на величину, пропорциональную квадрату напряженности приложенного поля F, т. е. dE = -(aF2)/2, где а — поляризуемость атома. Получить выражение для поляризуемости атома водорода в основном состоянии, используя теорию возмущений. Приблизительно оценить верхний и нижний пределы для поляризуемости, показав, что 4а3 < а < (16/3)а3, где а — радиус боровской орбиты.
 55099. Две тождественные частицы со спином 1/2 подчиняются статистике Ферми. Они заключены в куб со стороной 10^-8 см. Между парой частиц действует потенциал притяжения 10^-3 эв, если расстояние между частицами меньше 10^-10 см. Используя нерелятивистскую теорию возмущений, вычислить энергию и волновую функцию основного состояния (массы тождественных частиц считать равными массе электрона).
 55100. Пусть атом с одним 2р-электроном помещен в электрическое поле с ромбической симметрией. Потенциал поля равен V = Ах2 + By2 - (А + B)z2. Показать, что среднее значение Lz равно нулю. Спин электрона не учитывать. Предполагать, что V мал по сравнению с атомным потенциалом.