Earth curvature of space2 curvature of space1
Банк задач

Вход на сайт
Регистрация
Забыли пароль?
Статистика решений
Тип решенияКол-во
подробное решение60032
краткое решение7560
указания как решать1341
ответ (символьный)4704
ответ (численный)2335
нет ответа/решения3772
ВСЕГО79744

База задач ФизМатБанк

 54901. Пучок частиц со спином 1/2 и магнитным моментом ц проходит через фильтр Штерна — Герлаха, пропускающий лишь частицы в состоянии |+ > со спином, направленным вдоль положительного направления оси z. Затем частицы проводят время Т в однородном магнитном поле В0, параллельном оси х. Покинув это поле, они попадают во второй фильтр Штерна — Герлаха, который пропускает лишь частицы в состоянии |- > (спином вниз) по отношению к оси z. Считайте, что ц и J параллельны. а) Каково минимальное значение В0, при котором все частицы пройдут через второй фильтр? б) Если частицы находятся в магнитном поле только половину времени, чему равна вероятность того, что они пройдут через второй фильтр?
 54902. Пучок частиц со спином 1/2 и магнитным моментом ц проходит через прибор Штерна — Герлаха, пропускающий только частицы в состоянии |+ > со спином, направленным вдоль положительного направления оси z. Затем пучок попадает в магнитное поле, направленное под углом 45° к оси z в плоскости х - z. Какова вероятность того, что по истечении времени Т эти частицы будут обнаружены в состояниях с Jx = h/2 или Jу = h/2? Векторы ц и J снова считайте параллельными.
 54903. В момент времени t = 0 спин частицы направлен вдоль оси +z (величина спина 1/2). Частица помещена внутрь прибора, который задает постоянную амплитуду переворота спина частицы в единицу времени, равную iA/h, т. е. H12 = H21 = -A, где А — положительная константа. Кроме того, H11 = H22 и их можно положить равными нулю. а) Чему равна вероятность обнаружить частицу в момент времени Т в состоянии +z? б) Найдите две линейные комбинации амплитуд состояний + и -, которые соответствовали бы стационарным состояниям. Чему равны энергии этих стационарных состояний? в) В любой момент времени Т существует направление, вдоль которого спин направлен вверх с вероятностью единица. Найдите это направление. г) Можете ли вы придумать физический прибор для реализации рассмотренного эффекта.
 54904. В гл. 7 «Лекций» (вып. 8) рассчитывалась вероятность перевода молекулы аммиака из состояния | ll > в состояние | l > при помощи облучения ее радиоволнами с очень короткой длиной волны; состояние | ll > имеет меньшую энергию, чем состояние | l >, поэтому такой переход соответствует поглощению энергии излучения. Попробуйте развить эти идеи и применить их к вычислению вероятности индуцировать излучение молекулы аммиака. Как относится вероятность излучения к вероятности поглощения? Как эта вероятность связана с коэффициентами Эйнштейна Аmn и Bmn, которые были определены в вып. 4, стр. 79? Найдите интенсивность спонтанного излучения молекулы аммиака.
 54905. Протоны с магнитным моментом ц, находящиеся в водном образце, помещены в однородное магнитное поле. Амплитуда поля постоянна, а направление изменяется со временем (проводится эксперимент по ядерному магнитному резонансу — ЯМР): Bx = B sinQ cos wt, Ву = -В sin Q sin wt, Bz = B cos Q. В начальный момент t = 0 спины всех протонов направлены вдоль магнитного поля (находятся в состоянии +1/2). Предположим, что Q, полярный угол в сферических координатах, очень мал. Каково должно быть значение w, чтобы наблюдался резонанс? Какова вероятность того, что частица имеет спин, направленный вниз в момент времени t, если частота w имеет резонансное значение?
 54906. Частица со спином 1/2 помещена в сильное магнитное поле В0. В направлении, перпендикулярном В0, приложено осциллирующее магнитное поле 2Вn cos wt, причем Вn << В0. Если спин частицы первоначально был ориентирован антипараллелыю вектору В0, какова вероятность того, что в момент времени Т спин будет направлен параллельно этому вектору?
 54907. Покажите, что спиновые матрицы Паули можно рассматривать как компоненты вектора s, для которого справедливы следующие соотношения: s x s = 2is, s*s = 3(10 01). Найдите произведение sхsуsz.
 54908. Молекула двуокиси углерода имеет линейную структуру (ОCО) и с легкостью присоединяет лишний электрон, превращаясь тем самым в отрицательный ион. Предположим, что этот электрон будет иметь энергию Ео, если присоединится к атому кислорода, и энергию Еc, если к атому углерода. Ни одна из этих энергий, однако, не будет соответствовать стационарному состоянию, поскольку всегда существует небольшая вероятность перехода лишнего электрона с кислорода на углерод и обратно. (Мы будем считать вероятность того, что электрон «перепрыгнет» непосредственно с одного атома кислорода на другой, пренебрежимо малой.) а) Получите значения энергии уровней иона СO2, выразив их через Ео, Ес и еще один параметр. б) Дайте физическое описание каждого стационарного состояния для случая, если значения энергий Еo и Еc совпадают.
 54909. В молекуле метана СН4 атомы водорода располагаются в вершинах тетраэдра, а единственный атом углерода — в центре тетраэдра. В ионе метана не хватает электрона на одной из этих четырех связей, а вместо него остается «дырка», которая может «перескакивать» с одной связи на другую. Это пример системы с четырьмя состояниями. Опираясь на соображения симметрии, сведите к минимуму число различных матричных элементов гамильтониана и предскажите число различных энергетических уровней, которые должны наблюдаться у электронной оболочки иона метана. Колебательным и вращательным взаимодействием атомов пренебрегите. Выразите расстояние между уровнями через минимально возможное число матричных элементов.
 54910. Рассмотрим шесть атомов, расположенных по окружности на равных расстояниях друг от друга. Добавим лишний электрон и обозначим базисные состояния символами |1 >, |2 >,..., |6 >, где |1 > обозначает, что этот добавочный электрон находится в атоме 1, и т.д. Предположим далее, что этот электрон может перескакивать со «своего» атома лишь на один из двух соседних, но не дальше. Покажите, что | l > — это стационарное состояние, если амплитуды Сi = < i | l > (где | i > — i-е базисное состояние) все равны (1/|/6)exp(-iEl t/h). Найдите El. Сколько еще существует стационарных состояний у такой системы? Можно показать, что если ф — стационарное состояние, то амплитуды Ci = < i | ф > связаны между собой следующим образом (при надлежащем выборе постоянной d): С2 = C1e^id, С5 = С4е^id, C3 = C2e^id, C6 = C5e^id, C4 = C3e^id. Чему равны эти «надлежащим образом» выбранные значения d? Постройте диаграмму уровней рассматриваемой системы и найдите расстояния между уровнями.
 54911. Молекула состоит из трех одинаковых атомов, расположенных в вершинах равностороннего треугольника. В отрицательном ионе такой молекулы есть дополнительный электрон, способный перескакивать с каждого из трех атомов на любой другой. а) Пусть матричный элемент такого перехода равен -А. Рассчитайте расстояние между уровнями молекулярного иона. б) Ион помещен в электрическое поле, направление которого совпадает с плоскостью иона, а по отношению к его вершинам поле направлено так, как показано на рисунке. Если напряженность поля такова, что потенциальная энергия электрона, расположенного «в вершине» треугольника, на еA = 0,01A больше, чем в двух других вершинах, как изменятся расстояния между уровнями?
 54912. Рассчитайте величины расщеплений уровня атома водорода с j = 1, помещенного в межзвездное пространство, где напряженность магнитного поля составляет 10^-5 гс, на поверхности Земли (примерно 0,5 гс) и в самом сильном магнитном поле, которое можно получить в лабораторных условиях (порядка 100 000 гс). Ответ выразите через частоту и через длину волны.
 54913. Рассмотрим бесконечную цепочку атомов, расположенных друг от друга на равных расстояниях b (координата атома n равна х = bn), и предположим, что электрон может находиться в каждом из атомов в двух состояниях i и j с различными энергиями Ei и Еj т. е. набор базисных состояний можно записать следующим образом: |электрон на атоме хn в состоянии i > = |xn, i >, | электрон на атоме хn в состоянии j > = |хn, j >. Предположим далее, что электрон может перескакивать со своего атома на ближайший соседний с амплитудами: -Аii/ih для перехода с |хn, i > на |хn+1, i > или |xn-1, i >, -Ajj/ih для перехода с |хn, j > на |хn+1, j > или |хn-1, j >, -Aji/ih для перехода с |хn, i > на |хn+1, j > или |хn-1, j >, -Aij/ih для перехода с |xn, j > на |xn+1, i > или |xn-1, i >. Рассмотрим случай, когда Aij = Aji = B и Ajj = Aii = A. С помощью процедуры, описанной в гл. 11 «Лекций», найдите допустимые значения энергии такой системы. Опишите зонную структуру в предельных случаях |Еi - Еj| << 2В и |Ei - Ej| >> 2B. Сравните свой ответ с решением, найденным в гл. 11.
 54914. Рассмотрим бесконечную цепочку, состоящую из атомов двух типов а и b: ####. Пусть амплитуда обнаружения электрона на n-м атоме типа а будет Сa|n, а на n-м атоме типа b — будет Сb|n. Предположим, что энергия электрона в атоме а равна E0 + dE, а в атоме b равна E0 - dE; допустим еще, что матричный элемент гамильтониана для перехода между ближайшими соседями равен -A. Расстояние между атомами равно с. Рассчитайте и приближенно начертите график зависимости энергии стационарного состояния от волнового числа k. (Для каждого заданного значения k получатся два значения энергии.) Какие ограничения следует наложить на значения k, чтобы учесть каждое состояние ровно один раз?
 54915. Рассмотрим рассеяние на примеси (см. пример, приведенный в гл. 11, вып. 9). Пусть атом под номером n = 0 отличается от всех остальных. Положим Н00 = Е0, H01 = H10 = H0(-1) = H(-1)0 = -B, где В =/= А. Найдите b и у и убедитесь в том, что |b|2 + |y|2 = 1.
 54916. В предыдущей задаче, как и в примере, приведенном в гл. 11 (вып. 9), b = y - 1. Легко проверить также, что в любом более общем случае, являющемся комбинацией этих двух, равенство b = y - 1 также справедливо. Следовательно, в общем случае одномерного рассеяния существует «закон сохранения числа частиц» |b|2 + |1 + b|2 = 1. а) Покажите, что для его выполнения необходимо, чтобы Re(b/1 + b) = 0. б) Покажите, что b можно записать следующим образом: b = ie^ih sin h, где h — вещественное число. Величина h называется «сдвигом фазы при рассеянии» и содержит информацию как о фазе, так и об амплитуде рассеянной волны. (Это утверждение в трехмерном случае справедливо так же, как и в одномерном.)
 54917. Рассмотрим одномерный аналог поверхности раздела, где бесконечный кристалл претерпевает изменение своих свойств. Пусть частица падает слева, как в гл. 11. Пусть в области l значения параметров равны Е0, -A, b, а в области ll равны Е'0, -A', b'. Аналог амплитуд А и А' для атомов, расположенных по обе стороны линии раздела, обозначим буквой B. Предположим, что A, A' и В — вещественные числа. а) Покажите, что у = B/A' (1 + b) в разрыве между атомами n = 0 и n = +1. б) Выразите b через A, A', B, kb, k'b'. Покажите, что |b| = 1 при мнимом (k'b'). Каков физический смысл этого результата? При каких значениях (Е - Е'0) получается полное отражение? в) Проверьте закон сохранения числа частиц, показав, что IbI2 + lyl2 v'g/b'/vg/b = 1, где vg и v'g — групповые скорости в разных областях. Как вы объясните появление множителя при |y|2?
 54918. Ниже приведена обычная схема проведения экспериментов по циклотронному резонансу. В = В0 — статическое магнитное поле, направленное по оси z. Переменное электрическое поле E = E0 cos wt направлено по оси х. Частота циклотронного резонанса wс определяется по максимуму поглощаемой мощности поля Е. Элементарное решение задачи о движении частицы в однородном магнитном поле дает wc = qB0/m*, где m*— эффективная масса. Предположим, что эффективная масса не зависит от направления, по которому движется частица. Уравнение движения электрона (или дырки) в полупроводнике имеет вид m*(dv/dt + v/т) = q(E + (v x B)), где т — среднее время между столкновениями (см.«Лекции», вып. 7, гл. 32). Пусть vx = v0e^iwt, а Ех = Е0e^iwt. Покажите, что vx/Ex = qт/m*[ 1 + iwт/1 + (w2c - w2)т2 + 2iwт]. Поглощаемая мощность пропорциональна Re [vx/Ex]. Почему? Кaк получить сразу обе величины т и m*из данных по циклотронному резонансу? Обратите внимание на то, что для наблюдения резонанса необходимо, чтобы wст > 1. Что это означает физически?
 54919. На рисунке (стр. 542) показана типичная энергетическая диаграмма для дырок в р - n-переходе (например, в полупроводниковом диоде) в отсутствие внешнего напряжения. В равновесном состоянии в этом случае имеется ток «тепловых дырок» Ig. Эти дырки диффундируют из области n в область р, и «ток рождения» в точности равен «току рекомбинации дырок» lr, который течет из области р в область n. Если приложить «обратное напряжение» или «прямое напряжение» к р - n-переходу, то энергетическая диаграмма изменится (см, фиг. б и в). Рассмотрите эти три случая и покажите, что выражение для результирующего дырочного тока имеет вид l (дырка) = Ig(e^qV/kT-1). А какое выражение получится для полного тока? (V — напряжение, приложенное к р - n-переходу.)
 54920. Структуру молекулы бутадиена можно изобразить следующим образом: ####. Мысленно удалим четыре электрона, осуществляющие двойные связи, а затем будем добавлять их по одному. Такую задачу можно рассматривать с помощью модели независимых частиц. В частности, эту систему можно рассматривать как совокупность четырех потенциальных ям с энергиями E0 и матричными элементами гамильтониана — А. Чему равна длина волны излучения, испускаемого молекулами бутадиена при переходе с первого возбужденного уровня на основной? Считайте, что А = 1 эв. В однократно ионизованной молекуле бутадиена имеется только три электрона из двойных связей. Что вы можете сказать о распределении этих электронов в молекуле?
 54921. Нужно оценить энергию, необходимую для разрыва бензольного кольца, и рассчитать разность энергий двух конфигураций, показанных на рисунке. Используйте для этой оценки теорию молекулярных орбит в приближении независимых частиц. Ответ выразите в эв на молекулу, используя тот факт, что при переходе с первого возбужденного состояния на основное молекулы бензола испускают излучение с длиной волны 2000 А.
 54922. К ферромагнитному веществу при очень низких температурах применимы те рассуждения о спиновых волнах, которые приведены в гл. 13 «Лекций» (вып. 9). В частности, для любого состояния К с энергией Ек ~ К2b2А существует определенная вероятность (ее можно найти из термодинамических соображений) обнаружить несколько атомов в состояниях «спином вниз», если при нулевой температуре все атомы находились в состояниях «спином вверх». Покажите, что среднее число атомов со спинами, направленными вниз, пропорционально 1/e^Eк/kT - 1. Если распространить эти рассуждения на трехмерный случай, то Ек ~ Ab2(K2|x + К2|y + К2|z) и полное число атомов «спином вниз» в единице объема определяется выражением Число атомов спином вниз/Объем = int d3K/(2п)3/e^Eк/kT-1. Докажите это. В пределе при T --- > 0 намагниченность выходит на насыщение и принимает значение Мнасыщ. Покажите, что при низких температурах справедлив закон M/Mнасыщ = 1 - const T^3/2 = 1 - 2(kT/4пA)^3/2 [4/ |/п int x2dx/ex2 - 1]. Вычислите интеграл, разложив подынтегральное выражение в ряд.
 54923. Рассмотрим одномерное движение частицы с массой m в прямоугольной потенциальной яме. Для простоты предположим, что V0 -- > oo. а) В стационарном состоянии с наименьшей энергией Е0: ф0(x, t) = u0(x)e^-iE0t/h. Мы должны считать, что u0(x) = 0 во всех точках вне ямы (т. е. уже при x = -е или х = а + е). Почему? б) Решите уравнение Шредингера внутри ямы, используя граничное условие, приведенное в пункте (а). Найдите Е0 и изобразите зависимость u0(х). Нормировать u0(х) не нужно. в) Найдите разность энергий первого возбужденного и основного состояний. г) Для самого нижнего состояния изобразите грубо вероятность обнаружить у частицы значение импульса в интервале от р до p + dp. Точного интегрирования не требуется, о нормировке тоже не беспокойтесь. Но масштаб по оси импульсов укажите.
 54924. Рассмотрим движение частицы с массой m в одномерной потенциальной яме, которая изображена на фиг. 1. а) Найдите такое значение V0, при котором энергия частицы в основном состоянии отличается на 10 % от энергии основного состояния при V0 -- > оо. б) Пусть V0 — значение, найденное в пункте (а). Не пускаясь в длинные вычисления, найдите энергию первого возбужденного состояния в яме, изображенной на фиг. 2 и определяемой следующими условиями: V = V0 x < -a, V = 0 -a < x < +a, V = V0 x > a.
 54925. Рассмотрим следующую одномерную задачу. Частица массы m находится в прямоугольной потенциальной яме: V = V0 |х| > а, V = 0 |х| < а. Ниже приведены два равенства. Покажите, что их можно получить, потребовав, чтобы волновые функции, являющиеся решениями уравнения Шредингера, удовлетворяли необходимым граничным условиям. Речь идет о таких равенствах: a ctg aa = -b или a tg aa = + b, где a = (2mE/h2)^1/2, b = +[2m(V0 - E)/h2]^1/2. Если V0a2 = 4h2/2m, оцените значения энергии основного и первого возбужденного состояний. Нанесите на график волновые функции этих состояний. Сколько всего существует связанных состояний, если V0a2 < (п2h2/8m)?
 54926. В гл. 14 «Лекций» (вып. 9) был найден разброс по импульсам для случая, когда волновая функция имеет гауссову форму. В общем случае, однако, пространственная протяженность волнового пакета не останется постоянной, а будет увеличиваться: ф(x, t) = Ke^-[a(t) x2 + c(t)]. Используя уравнение Шредингера, покажите, что для свободной частицы 1/a(t) = 1/a0 + 2th/m t. Чему равно c(t)? Если волновая функция описывает электрон, первоначально находившийся внутри области шириной 1 А, то какова будет ширина этой «области локализации» через 1 сек? Преобразуем волновую функцию в импульсное представление, т. е. найдем вероятность обнаружения частицы с заданным значением импульса р. Как изменяется со временем ширина распределения вероятностей для импульсов? Покажите, что найденный таким образом «разброс по импульсам» согласуется с «разбросом по скоростям», который можно непосредственно получить из временной зависимости координатной волновой функции.
 54927. Некоторое возбужденное состояние атома имеет спин 1 и может «разрядиться», испустив фотон и перейдя в состояние со спином, равным нулю. Рассмотрим возбужденный атом, у которого проекция момента на ось z равна нулю. Пусть A(Q) — амплитуда испускания фотона с правой круговой поляризацией в малый интервал телесных углов dW в направлении, образующем с осью z угол Q. Как A(Q) зависит от Q?
 54928. Частица X, имеющая спин 1/2, распадается по схеме X -- > Y + y, где частица Y имеет спин 1/2 и положительную четность. Если спин частицы X направлен вдоль оси z, то продукты распада, движущиеся вдоль оси z, могут получаться в восьми состояниях, представленных на рисунке (стр. 548), Волнистая и штрихованная линии со стрелками указывают соответственно направление движений фотона и частицы Y, а стрелка у Y — направление спина этой частицы. а) Какие амплитуды конечных состояний обязательно равны нулю? б) Рассчитайте угловое распределение частиц Y, поляризованных вдоль направления своего движения, если распадающиеся частицы X поляризованы вдоль оси z. в) Рассчитайте угловое распределение всех частиц Y независимо от их поляризации. г) Тщательные эксперименты не обнаружили в этом распаде каких-либо отклонений от изотропного углового распределения. Какой физической причиной это можно объяснить?
 54929. На синхротроне исследуется реакция y + р -- > p*-- > p + п0. Значком р*обозначено возбужденное состояние протона, которое распадается на протон и п0-мезон. Известно, что в определенном интервале энергий фотона состояние р*имеет полный момент 3/2. Предположим, что пучок фотонов, обладающих правой круговой поляризацией и энергией, лежащей в упомянутом интервале, падает вдоль оси z на мишень, состоящую из неполяризованных протонов. Угловое распределение этой реакции можно анализировать, рассуждая следующим образом. Фотон и протон образуют р*в состоянии |j = 3/2, m = +1/2 > с амплитудой а и в состоянии |3/2, +3/2 > — с амплитудой b. Возбужденное состояние распадается на п0-мезон с нулевым спином и протон, движущиеся в противоположных направлениях. Пусть f — амплитуда вылета протона вдоль оси z со спином, направленным вверх, a g — со спином, направленным вниз. Объясните, почему для состояния р*разрешенными являются только значения m = +3/2 и m = +1/2, а для конечного состояния — только значения m' = +1/2 и m' = -1/2 (m' обозначает проекцию на направление испускания). Выразите угловое распределение п0-мезонов через а, b и Q. Полагайте f = g.
 54930. Рассмотрим упругое рассеяние п+-мезонов на неполяризованной протонной мищени. Мезоны имеют спин 0; четность сохраняется. Предполагается, что в рассеянии доминирует процесс, при котором протон переходит в возбужденное состояние с j = 3/2, поглощая мезон. (Момент j = 3/2 получается за счет сложения спина протона и орбитального момента.) Затем мезон испускается снова, а протон переходит в основное состояние. Покажите, что из такого предположения следует угловое распределение рассеянных мезонов, пропорциональное (1 + 3cos2Q).
 54931. Основное состояние атома имеет спин, равный нулю, и положительную четность. Спин первого возбужденного состояния равен единице, а четность неизвестна. Пусть некоторое количество атомов находится в первом возбужденном состоянии, и все они имеют проекцию момента m = 1 на ось z. Рассмотрим фотоны, которые испускаются этими атомами при переходе в основное состояние. а) Можно ли определить четность возбужденного состояния, если измерять угловое распределение испускаемых фотонов, не обращая внимания на их поляризацию? б) Покажите, что эту неизвестную четность можно определить, измеряя угловые распределения фотонов, поляризованных вдоль направлений х' и у'. (Ось z' выбирается в направлении движения фотона и располагается в плоскости х - z.)
 54932. Некая община регулирует рождаемость детей следующим своеобразным способом: каждая пара родителей продолжает рожать детей до тех пор, пока не родится сын. Как только это случится, дальнейшее прибавление в семье прекращается. Каково соотношение между мальчиками и девочками в общине, если в обычных условиях, когда рождаемость никак не регулируется, 51 % родившихся детей — мальчики?
 54933. Игральная кость представляет собой кубик, все шесть граней которого окрашены в разные цвета. а. Сколько существенно различающихся игральных костей такого типа может быть изготовлено с использованием шести определенных цветов? б. Каково число вариантов изготовления пары игральных костей?
 54934. Грани правильного восьмигранника должны быть окрашены в различные цвета. Сколько различных восьмигранников можно изготовить, имея краски восьми различных цветов?
 54935. Колода карт состоит из четырех мастей, по 13 карт каждой масти. Какова вероятность, что при раздаче такой колоды карт двум командам (каждая команда состоит из двух партнеров) определенная пара партнеров получит целиком одну масть?
 54936. Некий процесс обладает следующим свойством: вероятность того, что произойдет событие в интервале (t, t + h), равна Lh независимо от того, произошло ли событие в интервале (0, t). Предполагается, что вероятность более чем одного события в интервале (t, t + h) пропорциональна высшим порядкам по h. Перейдя к пределу при h -- > 0, определить вероятность того, что к моменту времени t произойдет n событий. Вычислить средние значения n и n2 для функции распределения.
 54937. Невооруженным глазом на небе наблюдается 6500 звезд. Иногда две звезды появляются очень близко друг к другу, хотя тщательные исследования не обнаруживают между ними физической связи. Принято такую пару звезд называть оптической двойной звездой. а. Предполагая, что звезды на небесной сфере распределены случайным образом, вычислить ожидаемое число оптических двойных звезд с расстоянием между компонентами не более 1' по дуге. б. Определить вероятность наблюдения двух оптических двойных звезд. в. Грубо оценить вероятность наблюдения оптической тройной звезды.
 54938. Найти: а) собственные значения и б) нормированные собственные векторы матрицы M = (0 0 0 1 0 0 10 0 10 0 10 0 0).
 54939. Пусть Lt (i = 1, 2, 3) — собственные значения матрицы H = (2 -1 -3 -1 1 2 -3 2 3). Вычислить суммы E li и E Li2.
 54940. Вычислить Т = Sp(e^isa e^isb), где компоненты s - три стандартные матрицы Паули si для спина 1/2.
 54941. Пусть T — симметрический тензор второго ранга с компонентами Tik(i, k = 1, 2, 3). а. Показать, что с тензором Т связаны три инварианта (обозначим их l0, l1 и l2) по отношению к преобразованиям координат xi = E U lj xj. б. Найти связь поверхности 1 = E Tik xi xk (хj — декартовы координаты) с тензором Т. Воспользовавшись свойствами этой поверхности, дать геометрическую интерпретацию трем ранее найденным инвариантам.
 54942. Найти вычеты функций е^az/z5 и 1/sin3z в точке z = 0.
 54943. Вычислить lim int dx/(x2 - a2 - ie)3 для a > 0.
 54944. Вычислить l = int sin3x/x3 dx.
 54945. Вычислить интегралы l1 = int xdx/ex -1, l3 = int x3dx/ex - 1.
 54946. Разложить функцию f(x) = cos х2 в интеграл Фурье.
 54947. Используя обратное преобразование Лапласа, найти функцию f(t): a2/p2 + a2 = int e^-pt f(t) dt.
 54948. Вычислить int dф/a + cosф для следующих случаев: а. а > 1. б. а = а0 + ie (где а0 и е — действительные, е > 0 и 0 < а0 < 1 при e -- > 0.) в. а = -1.
 54949. Вычислить интегралы l1 = int dx/ch x и l3 = int dx/ch3 x.
 54950. Вычислить интеграл l = int b + a cosф/а2 + b2 + 2ab cosф dф, |а| =/= |b|.
 54951. Гамма-функция определяется соотношением Г(х) = int t^x-1 e^-t dt, Re x > 0. Показать, что для 0 < х < 1 int t^x-1 cos t dt = Г(x) cos пx/2, int t^x-1 sin t dt = Г(x) sin пx/2.
 54952. Показать, что int sh(ах)/sh(пx) dx = 1/2 tg a/2, -п < а < п, интегрируя функцию е^аz/sh(пz) по подходящему контуру.
 54953. Интегрированием по контуру вычислить int x^1/2 dx/1 + x2. Показать выбранный вами контур, все полюсы и разрезы в комплексной плоскости.
 54954. Методами контурного интегрирования вычислить ряд E (-1)^n/n4 = -7п4/720. Указание. Воспользоваться тем, что функция 1/sin (пz) имеет полюсы на действительной оси в точках z = 0, ±1, ±2,.... В качестве контура интегрирования выбрать контур, показанный на рис. .
 54955. Исследовать аналитическую функцию F(z) = p(z) ln [1 - 2z/a(1 - p(z))], где р(z) = |/(z - а)/а, z — действительное положительное число. В качестве линии разреза для p(z) выбрать действительную ось от — оо до 0 и от а до oo. а. Исследовать свойства римановой поверхности функции F(z). б. Показать, что имеется один лист, где F(z) может быть представлена в виде F(z) = F(z0) + (z - z0) int W(s)/(s - z)(s - z0) ds, и найти W(s).
 54956. Вычислить lim |/ n int dx/(1 + x2)n, где n — целое положительное число.
 54957. Вычислить f(a, b) = int (e^-xa - e^-xb) dx/x.
 54958. Найти сумму следующего бесконечного ряда: S = 1 + 2х + Зх2 + 4х3 +... для |x| < 1.
 54959. Производящая функция F(x, t) полиномов Эрмита Нn(х) имеет вид F(x, t) = e^x2 - (t - x)2 = E Hk(x) tk/k!. а. Выразить Нn(х) через контурный интеграл. б. Доказать, что удовлетворяет дифференциальному уравнению Эрмита d2H/dx2 -2x dH/dx + 2nH = 0. в. Вывести рекуррентное соотношение dHn(x)/dx = 2nH n-1(x).
 54960. Производящая функция для полиномов Лежандра Pi(x), где х = cos Q, имеет вид G(x, r) = 1/(1 - 2xr + r2)^1/2 = E rl Pl(x) | r | < 1. Доказать, что xP'i (х) = P^l - 1(х) + lРl(х), где P'l(x) = dPl(x)/dx.
 54961. Ряд Лорана для функции e^(ц/2)(z-1/z) задан в виде E An zn, где An = Jn(ц). Выразить функцию Бесселя Jn(ц) через интеграл от тригонометрической функции с пределами интегрирования от -п до п.
 54962. Функция ф(х, у) задана на плоскости z = 0. Найти для z > 0 решение ф(x, y, z) уравнения Лапласа, которое на плоскости z = 0 сводится к функции ф(x, у).
 54963. Показать что K0(x) = int e^-xch ф dф удовлетворяет уравнению Бесселя нулевого порядка и мнимого аргумента, т. е. К0(х) = J0(ix). Показать, что асимптотический предел К0(х) для очень больших х равен De^-x/ |/x. Определить значение постоянной D.
 54964. Вычислить интеграл int rdA по поверхности тора.
 54965. Вычислить объем V четырехмерной единичной сферы х1 = r sin ф2 sin ф1 cos ф; х2 = r sin ф2 sin ф1 sin ф; х3 = r sin ф2 cos ф2; х4 = r cos ф2.
 54966. Газообразный гелий без турбулентности протекает со скоростью v по трубе (рис. ). Конец трубы соединен с атмосферой. На очень малых расстояниях от конца трубы гелий быстро смешивается с воздухом практически до нулевой концентрации. Составить и решить дифференциальное уравнение для концентрации воздуха в трубе (расстояние отсчитывать от конца трубы). Считать, что: 1) имеется равновесие, 2) температуры гелия и воздуха одинаковы; 3) трением о стенки и концевыми эффектами можно пренебречь и 4) коэффициенты диффузии O2 и N2 в Не одинаковы и равны D.
 54967. Уравнение, описывающее плотность нейтронов в ядерном реакторе, имеет вид v2n + К2n = 0. а. Найти радиус сферического реактора для заданного значения коэффициента К при следующих граничных условиях: плотность нейтронов вне реактора равна нулю, внутри реактора она везде конечна и положительна. б. Теперь предположим, что реактор окружен тонким слоем вещества толщиной t и что плотность нейтронов в этом слое вещества описывается уравнением v2n - ц2n = 0. Предположим далее, что на границе раздела плотность нейтронов n и grad n непрерывны. Сохраняя условие, что вне реактора, окруженного тонким слоем вещества, плотность нейтронов равна нулю, найти для фиксированных значений К, ц и t выражение для радиуса внутренней области реактора. Предполагая К << ц, вывести приближенное выражение для разности радиусов реактора при наличии поверхностного слоя вещества и без него.
 54968. Точечный источник нейтронов, расположенный на оси длинной графитовой колонны квадратного сечения со стороной 150 см, излучает 10^6 нейтронов в секунду. Вычислить поток нейтронов в точке на оси, удаленной от источника на расстояние 1 м, если коэффициент диффузии нейтронов D = Lv/З, где v — скорость нейтронов, L = 2,8 см — средняя длина свободного пробега рассеяния нейтронов в графите. Эффектами замедления и захвата нейтронов можно пренебречь.
 54969. Вывести закон Стокса с помощью теории размерностей в предположении, что сила не зависит от плотности жидкости. Что произойдет, если это предположение неверно?
 54970. Газовый пузырь, образовавшийся в результате глубинного подводного взрыва, осциллирует с периодом Т ~ p^ad^be^c, где р — статическое давление, d — плотность воды, е — полная энергия взрыва. Найти a, b и с.
 54971. Спутник выведен на круговую околоземную орбиту. Сила трения, действующая на спутник в верхних слоях атмосферы, равна Fv = Ava, где v — скорость спутника. Замечено, что скорость изменения радиального расстояния r (dr/dt = -С, где С — положительная величина), обусловленная воздействием этой силы, достаточно мала, так что потеря энергии на один оборот мала по сравнению с полной кинетической энергией спутника Е. Найти выражения для A и а.
 54972. Материальная точка массой m, на которую не воздействуют внешние силы, невесомой нитью прикреплена к цилиндру радиусом R. Первоначально нить была намотана на цилиндр, так что материальная точка касалась цилиндра. В какой-то момент времени к массе m приложен импульс силы в радиальном направлении так, что нить начала разматываться (рис. ). Найти: а) уравнение движения материальной точки в наиболее удобных обобщенных координатах, б) общее решение, удовлетворяющее начальному условию, в) момент количества движения материальной точки относительно оси цилиндра, воспользовавшись результатом, полученным в п. б.
 54973. Разбрызгиватель для поливки газона имеет сферическую насадку (а0 = 45°) с большим числом одинаковых отверстий (рис. ), через которые вытекает вода со скоростью v0. Очевидно, что газон будет поливаться неравномерно, если отверстия на насадке распределены равномерно. Какова должна быть зависимость числа отверстий на единицу площади р от угла а, чтобы круговой газон поливался равномерно? Предполагается, что радиус разбрызгивающей насадки значительно меньше размеров газона и что насадка расположена на одном уровне с газоном.
 54974. Вывести дифференциальное уравнение удерживающей поверхности, на которой материальная точка осциллирует с периодом, не зависящим от амплитуды.
 54975. Три частицы (массами m1, m2, m3) расположены в вершинах равностороннего треугольника и взаимодействуют друг с другом по закону Ньютона. Найти вращательное движение системы, оставляющее относительное расположение частиц неизменным.
 54976. Частица массой m движется по круговой орбите радиусом r0 в поле центральных сил, потенциал которого равен — km/rn. Показать, что если n < 2, то круговая орбита устойчива по отношению к малым колебаниям (т. е. частица осциллирует около круговой орбиты).
 54977. Две частицы движутся друг относительно друга по круговым орбитам с периодом т под влиянием гравитационных сил. В заданный момент времени движение внезапно прекращается и частицы начинают падать друг на друга. Доказать, что они столкнутся спустя время т/4 |/2 после момента остановки.
 54978. Если rз и рз — соответственно радиус и плотность Земли, то радиус и плотность Луны равны соответственно 0,275 rз и 0,604 рз. Человек, стоящий на Земле, сгибая колени, опускает свой центр тяжести на 50 см. Собрав все силы, он подпрыгивает, поднимая центр тяжести на 60 см выше нормального положения. Как высоко он может подпрыгнуть таким способом на Луне?
 54979. Однородный тонкий негнущийся стержень весом W поддерживается в горизонтальном положении двумя вертикальными опорами у концов стержня (рис. ). В момент времени t = 0 одна из опор выбивается. Найти силу, которая действует на вторую опору сразу же после этого момента.
 54980. Три одинаковых цилиндра, оси которых параллельны, соприкасаются друг с другом по образующим. Два цилиндра из трех лежат на шероховатой плоскости, третий же цилиндр покоится на этих двух (рис. ). Найти минимальный угол между направлением силы, действующей со стороны плоскости на цилиндры, и вертикалью, при котором цилиндры еще не разойдутся.
 54981. Катушка покоится на горизонтальной поверхности (рис ). Небольшая горизонтальная тяга действует на нитку так, что катушка катится без скольжения. В каком направлении она катится и почему?
 54982. Горизонтально расположенный круглый диск массой М может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через точку на его ободе. Показать, что если собака массой m совершит один оборот по ободу, то диск повернется вокруг оси на угол а = int 4m cos2 ydy/3M/2 + 4m cos2 y.
 54983. Слой пыли толщиной h см (h мало по сравнению с радиусом Земли) образован изотропным падением на Землю метеоров. Используя момент количества движения, показать, что относительное изменение продолжительности дня приблизительно равно 5hd/RD, где R — радиус Земли, D и d — плотность Земли и пыли соответственно. Пусть начальные значения величин имеют индексы 0, а конечные значения — индекс 1. Момент инерции сферы относительно оси, проходящей через центр, равен 2MR2/5, а момент инерции тонкостенной полой сферы массой m и радиусом R равен 2mR2/3.
 54984. Простой гирокомпас представляет собой гироскоп, вращающийся вокруг оси с угловой скоростью w. Пусть момент инерции гироскопа относительно этой оси равен С, а относительно поперечной оси — А. Подвешенный гироскоп плавает в ртути, так что лишь воздействие крутящего момента удерживает его ось в горизонтальной плоскости. Показать, что если такой гироскоп поместить на экватор Земли, вращающейся с угловой скоростью W, то его ось будет осциллировать в направлении север — юг, и найти период колебаний для малых амплитуд. Напомним, что в данном случае приближение w >> W является хорошим.
 54985. Поверхность сферы медленно колеблется таким образом, что главные моменты инерции являются гармоническими функциями времени: lzz = 2mr2/5 (1 + ecos wt), lxx = lyy = 2mr2/5 (1 - e cos wt/2), где е << 1. Одновременно эта сфера вращается с угловой скоростью W(t). Показать, что Wz остается приблизительно постоянной, a W(t) прецессирует вокруг оси z с частотой прецессии wn = 3eWz/2 cos wt при условии Wz >> w.
 54986. Три жесткие сферы соединены мягкими гибкими стержнями (рис. ). Соотношение между массами сфер равно m1 : m2 : m3 = 1 : 2 : 1. Описать нормальные моды колебаний системы и определить частоты этих колебаний.
 54987. Твердый однородный брусок массой М и длиной L поддерживается в состоянии равновесия в горизонтальном положении двумя невесомыми пружинами, прикрепленными к концам бруска (рис. ). Обе пружины имеют один и тот же коэффициент упругости k. Движение центра тяжести бруска возможно лишь в направлении, параллельном вертикальной оси х. Найти нормальные моды и частоты колебаний системы для случая, когда движение возможно лишь в плоскости xz.
 54988. Частица массой М подвешена на одном конце струны, масса которой равна m, а длина L. Другой конец струны закреплен. Частица с помощью небольшого горизонтального смещения d выведена из состояния покоя. Составить дифференциальные уравнения и сформулировать граничные условия для движения струны и частицы. Составить трансцендентное уравнение для определения собственных частот и решить это уравнение для случая m << М.
 54989. Сформулировать вариационный принцип для частоты w колебаний мембраны с поверхностным натяжением Т и поверхностной плотностью массы s, края которой закреплены, т. е., другими словами, найти интеграл по поверхности мембраны, экстремальное значение которого равно частоте колебаний мембраны.
 54990. Если часы поднять на большую высоту, будут они спешить или отставать?
 54991. Тело массой m прикреплено к невесомой струне, длина которой L, поперечное сечение S и прочность на разрыв Т. Тело, удерживаемое вблизи точки закрепления второго конца струны, внезапно освобождается и падает вниз. Каково должно быть максимальное значение модуля Юнга Е для струны, чтобы она при таком падении тела не разорвалась?
 54992. Поезд массой M, движущийся со скоростью v, тормозится буфером, представляющим собой спиральную пружину, которая имеет длину (в отсутствие сжатия) l0 и коэффициент упругости k0. Последний остается постоянным вплоть до полного сжатия пружины. Однако при полном сжатии (l << l0) коэффициент упругости скачком возрастает, становясь много больше k0. Допуская свободный выбор значения k0, найти минимальное значение l0 при условии, что максимальное торможение по своей абсолютной величине не должно превышать амакс.
 54993. Цилиндр радиусом R, длиной h и плотностью р плавает в вертикальном положении в жидкости плотностью р0. Какова будет частота w (незатухающих) гармонических колебаний цилиндра, если последнему сообщить направленное вниз смещение с амплитудой х? б. Показать, что в случае малых колебаний движение жидкости вблизи осциллирующего цилиндра распространяется на область размером d ~ |/ h/(p0w), считая от края цилиндра. Максимальный градиент скорости жидкости вблизи цилиндра равен dv/d ~ wх/d. Пренебрегая трением у основания цилиндра, показать, что максимальная величина тормозящей силы вязкости жидкости, действующей на цилиндр, приблизительно равна F ~ 2пRhp (hw3/p0)^1/2 х.
 54994. Жидкостная пленка с поверхностным натяжением т натянута между двумя круглыми рамками радиусом а. Напишите уравнение для профиля пленки r(z). При какой величине отношения d/a показанная на рис. конфигурация стабильна?
 54995. Прямая вертикальная опора длиной l и поперечным сечением а х а жестко закреплена в основании. Показать, что максимальный вес W, который она может удерживать на верхнем торце, не изгибаясь, определяется выражением W = п2а4E/48l2. Здесь Е — модуль Юнга для материала, из которого изготовлена опора.
 54996. Прямоугольная балка с поперечным сечением а x а и длиной L одним концом прикреплена к кирпичной стене. Вычислите прогиб свободного конца балки под действием собственного веса. Плотность материала, из которого изготовлена балка, равна р, а модуль Юнга Е. Прогиб предполагается малым.
 54997. Однородная тонкая труба, вертикально стоящая на Земле, падает, вращаясь относительно точки опоры. Показать, что сечение трубы в любой ее точке подвержено изгибающему усилию, и вычислить наиболее вероятную точку излома трубы при ее падении.
 54998. Открытая поверхность жидкости находится под постоянным давлением. Показать, что если несжимаемую жидкость налить в цилиндрический сосуд и затем сосуд с жидкостью вращать с постоянной угловой скоростью w, то поверхность жидкости примет форму параболоида вращения.
 54999. Ангар полуцилиндрической формы (рис. ) длиной L = 70 м и радиусом R = 10 м подвергается действию ветра, скорость которого на бесконечности voo = 72 км/ч строго перпендикулярна к оси ангара. Какая сила действует на ангар, если дверь, расположенная на участке A, открыта? Поле скоростей задано потенциалом ф = -voo(r + R2/r) cos Q. Плотность воздуха равна 1,2 кг/м3.
 55000. Температура воздуха над горизонтальной границей раздела равна 280° К. Внизу воздух имеет Т = 300° К. Предположим, что появление синусоидальных волн на границе раздела обусловлено гравитационными волнами длиной волны L и малой амплитуды. Найти фазовую скорость этих волн как функцию длины волны L, считая, что граница раздела расположена достаточно далеко от других возможных границ раздела. Предполагается, что воздух несжимаем.