Earth curvature of space2 curvature of space1
Банк задач

Вход на сайт
Регистрация
Забыли пароль?
Статистика решений
Тип решенияКол-во
подробное решение60032
краткое решение7560
указания как решать1341
ответ (символьный)4704
ответ (численный)2335
нет ответа/решения3772
ВСЕГО79744

База задач ФизМатБанк

 54801. Электрическая цепь собрана так, что один ее свободный конец, изображенный на рисунке стрелкой, упирающейся в точку Р3, может быть присоединен к любой из точек Р0, P1,..., Рn. 1. Найдите выражение для мощности, выделяемой в сопротивлении R, если цепь замкнута в точке Рm, где 0 < m < n. 2. Допустим, что R = 1000 ом, L = 10 генри, С = 20 мкф, w = 100 рад/сек. а) При каком значении m найденная мощность максимальна? б) Каково максимальное значение напряжения между точками Р0 и Р2 при m = 2 и V0 = 100 в? На концах сопротивления R?
 54802. Найдите приближенно «резонансную» частоту для полости, изображенной на рисунке, предполагая, что d << a и d << (b - a). Какими основными эффектами вы пренебрегли? Если полость равномерно остывает (т. е. температура во всех точках полости в один и тот же момент времени одинакова), приведет ли ее тепловое сжатие к увеличению или уменьшению резонансной частоты? А может быть, она останется неизменной?
 54803. Единица длины линии передачи обладает индуктивностью L0 и емкостью С0. Покажите, что если напряжение V и ток l в линии передачи меняются медленно (что соответствует передаче сигналов с длиной волны, много большей, чем расстояние между секциями линии передачи), то V и l удовлетворяют следующим уравнениям: dV/dx = -L0 dl/dt, dl/dx = -C0 dV/dt, т. е. l и V удовлетворяют волновому уравнению d2l/dx2 = 1/v2 d2l/dt2; d2V/dx2 = 1/v2 d2V/dt2, где v2 = 1/L0C0. Заметьте, что предположение о медленном изменении сигналов отнюдь не обязательно, но обоснование этого утверждения выходит за рамки гл. 24.
 54804. Характеристический импеданс равен Z0 = |/ L0/C0, где L0 — индуктивность, а С0 — емкость единицы длины. Покажите, что для линии передачи, состоящей из двух тонких полос шириной b, находящихся на расстоянии а друг от друга (а << b), характеристический импеданс равен Z0 ~ 1/e0c a/b.
 54805. Секция цилиндрической коаксиальной линии передачи закрыта с обоих концов проводящими пластинами. Длина полости, образованной таким способом, равна l. Для самой низкой моды, электрическое поле которой радиально: а) найдите частоту; б) найдите выражение для Е; в) сравните найденную частоту с w0 = 1/ |/LС, где L — индуктивность, а С — емкость, приходящиеся на длину l бесконечной коаксиальной линии.
 54806. Волновод в форме прямоугольного параллелепипеда (стороны сечения а и b) изготовлен из идеального проводящего материала. Концы одной секции волновода, длина которой l, закрыты пластинами из проводящего материала, так что полость внутри волновода фактически представляет собой резонатор. Если электрическое поле в полости определяется вещественной частью выражения Е(х, у, z, t) = E0(x, z) еy e^iwt, то чему равна амплитуда Е0(х, z) для колебания самой низкой резонансной частоты? Чему равна сама резонансная частота?
 54807. Коаксиальный кабель состоит из двух концентрических проводящих цилиндров. Один конец (x = 0) кабеля подсоединен к генератору переменного напряжения V(t) = V0 cos wt. Другой конец (x = l) закрыт проводящей пластиной. Индуктивность и емкость единицы длины кабеля равны L0 и С0. Поле в таком кабеле можно представить в виде суперпозиции двух волн: падающей и отраженной от закороченного конца. Амплитуды и фазы этих волн должны быть подобраны так, чтобы суммарное напряжение между проводниками было равно нулю при х = l и V0 cos wt при х = 0. а) Напишите выражения для падающей и отраженной волн. б) Нарисуйте кривую зависимости напряжения между проводниками от расстояния х, если длина кабеля l равна 5пс/2w (с — скорость света). Укажите значения х, для которых напряжение максимально. в) Чему равен ток в точках x = 0, x = l/2 = 1/2 (5пс/2w) и х = l = 5пс/2w? г) Предполагая источник напряжения идеальным, определите средний момент сил, который должен быть приложен к его ротору, чтобы последний вращался с угловой скоростью w.
 54808. Покажите, что если при х = l линия передачи замкнута (включен элемент с импедансом Zт), то импеданс на «входе» линии (х = 0) равен Zs = iZ0 tg w |/LC l - iZт/Z0 / 1 + iZт/Z0 tg w |/LC l, где Z0 = |/L/C — характеристический импеданс линии. Чему равно Zs, если а) Zт = 0? б) Zт = oo? в) Zт = Z0?
 54809. Линия передачи с характеристическим импедансом Z1 соединена с другой линией с характеристическим импедансом Z2. Покажите, что если система работает от генератора, подключенного к первой линии (Z1), «коэффициент отражения», определяемый отношением Vотр/Vпад, равен Vотр/Vпад = Z2 - Z1/z2 + z2, а «коэффициент пропускания» Vпроп/Vпад = 2Z2/Z1 + Z2.
 54810. Электрические поля внутри волноводов, описанных в гл. 24 «Лекций», обладают тем свойством, что проекция вектора напряженности электрического поля на направление распространения волны равна нулю, т. е. электрическое поле поперечное. Кроме того, могут существовать бегущие волны, у которых равна нулю проекция напряженности магнитного поля на направление распространения (так называемые поперечные магнитные волны). Для волновода в форме прямоугольного параллелепипеда (см. «Лекции», вып. 6, стр. 224, фиг. 24.3 и 24.4) векторный потенциал поперечной магнитной волны имеет вид A = ez sin mпx/a sin nпy/b e^i(wt-kzz), где kz = |/ (w/c)2 - (mп/a)2 - (nп/b)2. а) Убедитесь, что магнитное поле, найденное с помощью этого потенциала, действительно поперечно, и покажите, что электрическое поле Е и магнитное поле В удовлетворяют волновому уравнению и соответствующим граничным условиям. Примечание. Мы полагаем, что Е = -vф - dA/dt, B = v x A, где v*А = -1/c2(dф/dt). б) Покажите, что поперечная магнитная волна не распространяется, если w < c |/ (mп/a)2 + (nп/b)2.
 54811. Запишите в 4-векторной форме выражения (ф2 - А2), (A*j - рф).
 54812. Комптон-эффект состоит в том, что фотон, налетая на покоящийся электрон, рассеивается на нем, как частица на частице. Выразите энергию рассеянного фотона через энергию падающего фотона и угол отклонения его направления распространения от первоначального.
 54813. Позитрон может быть создан в результате бомбардировки покоящегося электрона фотоном: у + е- --- > e- + (е+ + е-). Какова минимальная энергия фотона, необходимая для осуществления этого процесса? При решении задачи пользуйтесь, где это возможно, 4-векторами и их инвариантными комбинациями.
 54814. На покоящуюся частицу массы m налетает другая частица с массой М и импульсом р. В результате полностью неупругого соударения частицы сливаются, образуя новую частицу. Какова масса и скорость этой частицы? Сравните ваш результат с тем, который получается в нерелятивистском приближении.
 54815. Распишите подробно и вычислите выражение vцFцy.
 54816. Найдите 4-вектор, пространственные компоненты которого совпадают с компонентами вектора pE + j x B. Каков физический смысл временной и пространственных компонент этого 4-вектора?
 54817. Покажите, что Е2 - В2 и (Е*В) инвариантны относительно преобразований Лоренца. Убедитесь, что если векторы Е и В образуют острый угол в какой-нибудь системе координат, то этот угол будет острым во всех других системах координат. Для какого важного физического явления оба инварианта равны нулю?
 54818. Пусть Е и В — напряженности электрического и магнитного полей в некоторой точке пространства в данной системе координат. Определите скорость другой системы координат, в которой электрическое и магнитное поля параллельны. Систем координат, обладающих таким свойством, много. Действительно, если найдется хотя бы одна такая система координат,то указанные векторы будут параллельны и во всех других системах координат, движущихся с постоянной скоростью относительно найденной в направлении, общем для векторов Е' и В'. Поэтому удобно и в тоже время достаточно рассмотреть систему координат, вектор скорости которой перпендикулярен к векторам Е и В.
 54819. В гл. 26 «Лекций» (вып. 6) 4-мерный потенциал Aц, создаваемый движущейся с постоянной скоростью заряженной частицей, был найден путем перехода от системы координат, где частица покоится, к лабораторной системе координат. Напряженности Е и В электрического и магнитного полей с помощью Aц определялись согласно общим формулам. Найдите Е и В, исходя из известного их вида в системе координат, где заряд покоится, и перейдя к движущейся системе координат.
 54820. Покажите, что электрическое и магнитное поля заряда, движущегося с постоянной скоростью, могут быть представлены в виде E = qr/4пe0r3 1 - v2/(1 - v2 sin2Q)^3/2, B = q/4пe0 v x r/r3 1 -v2/(1 - v2 sin2Q)^3/2, где r — радиус-вектор, проведенный из точки, где в данный момент находится заряд, в точку наблюдения, a Q — угол между векторами r и v.
 54821. По очень длинному прямому проводу течет ток l, создаваемый электронами, движущимися со скоростью v. Полная плотность зарядов в каждой точке провода равна нулю благодаря наличию положительно заряженных ионов. а) Найдите поля вне провода в системе координат, где провод покоится. б) Найдите те же поля в системе координат, движущейся вместе с электронами. В «Лекциях» электрическое поле в такой системе координат было найдено другим методом [см. вып. 5, стр. 271, выражение (13.28)].
 54822. Два электрона с одинаковой скоростью v движутся параллельно друг другу по обе стороны от бесконечной положительно заряженной плоскости на расстоянии а от нее; плотность покоящихся поверхностных зарядов равна s. а) При какой величине s расстояние между электронами будет оставаться равным 2 а? б) Сравните величину s, которая получается для электронов с энергией 500 Мэв, с той, которая будет в случае медленно движущихся электронов.
 54823. Пусть fц — 4-вектор силы, действующей на частицу, а uц — 4-вектор ее скорости. Покажите, что fцuц = 0.
 54824. Частица с зарядом q движется с постоянной скоростью в плоскости ху вдоль траектории, изображенной на рисунке пунктирной линией (в начале координат частица рассеивается). Величина скорости частицы вдоль всей траектории остается постоянной. В момент времени t = t1 частица находится в точке х = а, y = 0. а) Найдите электрическое поле в точке Р (х = у = а) при t = t1, если v/c = 0,5 (с — скорость света). б) Как изменился бы ваш ответ, если бы до рассеяния в начале координат частица двигалась вдоль оси у?
 54825. Методом, использованным в «Лекциях» (вып. 6, стр. 288) при выводе выражения (27.11), представьте в ином виде выражения v x (A x B), v(A*B).
 54826. Выразите в мегатоннах (мгт) энергию магнитного поля Земли, заключенную во всем пространстве, внешнем по отношению к Земле (1 мгт — энергия, освобождаемая при взрыве 1 млн. тонн тринитротолуола, т. е. 4,2*10^15 дж). Предположите, что магнитное поле Земли — это поле диполя с напряженностью на экваторе примерно около 2/3 гc (2/3*10^-4 вебер/м2). Как вы считаете, может ли водородная бомба 1 мгт, взорванная высоко над поверхностью Земли, существенно исказить магнитное поле Земли?
 54827. Вычислите поток вектора Пойнтинга S через поверхность длинного прямолинейного провода, сопротивление единицы длины которого равно R. Сравните ваш результат с омическими потерями.
 54828. Длинный коаксиальный кабель изготовлен из двух идеально проводящих концентрических цилиндров. Один конец кабеля подсоединен к электрической батарее, напряжение на клеммах которой равно V. К другому концу кабеля присоединено сопротивление R. Следовательно, ток, протекающий по кабелю, равен I = V/R. С помощью вектора Пойнтинга вычислите скорость потока энергии.
 54829. Средняя мощность, излучаемая широковещательной станцией, составляет примерно 10 квт. а) Чему равна величина вектора Пойнтинга на поверхности Земли в точках, удаленных от станции на 10 км? На таком расстоянии излучаемые волны можно считать плоскими. Разумно предположить, что вся мощность излучается 1/4 L антенной, помещенной над идеально проводящей плоскостью. б) Найдите максимальные значения напряженностей электрического и магнитного полей.
 54830. Поля, соответствующие наинизшей по частоте поперечной электрической волне в волноводе прямоугольного сечения (см. фиг. 24.6, вып. 6 «Лекций», стр. 227), имеют вид Е = еуЕ0 sin пx/a cos(wt - kzz), В = -exE0 kz/w sin пx/a cos(wt - kzz) - ezЕ0 п/wa cos пx/a sin(wt - kzz). а) Покажите, что приведенное выше решение удовлетворяет граничным условиям задачи. б) Вычислите вектор Пойнтинга S и плотность энергии U. в) Вычислите средний поток энергии через поверхность, перпендикулярную оси z. г) Вычислите среднюю плотность энергии в волноводе. д) Используя результаты пунктов (в) и (г), вычислите среднюю скорость распространения энергии. Покажите, что эта скорость совпадает с групповой скоростью [см. формулу (24.27), вып. 6, стр. 229].
 54831. Найдите плотность потока энергии, излучаемой диполем с осциллирующим дипольным моментом р cos wt. Примечание. Следует принять во внимание только члены, убывающие с расстоянием по закону 1/r. б) Путем интегрирования по поверхности сферы большого радиуса, центр которой совпадает с диполем, покажите, что средняя излучаемая мощность равна 1/3 р2/4пe0c2 w4/с.
 54832. Плоская электромагнитная волна, падая на свободный электрон, заставляет его осциллировать. Найдите отношение энергии, излучаемой электроном в единицу времени, к плотности потока энергии падающей электромагнитной волны. Частота волны предполагается малой. Поэтому влиянием магнитного поля В волны на движение электрона можно пренебречь.
 54833. Частица пыли в Солнечной системе испытывает действие двух сил: силы притяжения к Солнцу и планетам и силы светового давления, пропорциональной ее поперечному сечению. Существует такой размер частицы, при котором эти силы уравновешивают друг друга. Предполагая, что частица имеет форму шарика и поглощает весь падающий на нее свет, найдите радиус частицы, отвечающий ее равновесию в поле этих двух сил. Объяснение того факта, что «хвосты» комет направлены в сторону от Солнца, покоится на предположении о существовании такого равновесия и о том, что «хвост» кометы состоит из частиц малого размера, возможно даже из молекул газа. Разумно ли такое объяснение? Мощность, излучаемая Солнцем, равна 4*10^26 вт, его масса 2*10^30 кг.
 54834. На полый тороид, средний радиус которого равен R, а радиус поперечного сечения r (r << R), намотано N витков проволоки. В момент времени t = 0 по проволоке пропускается ток, сила которого нарастает со временем по линейному закону l(t) = Kt. а) Найдите магнитное поле и энергию, запасенную в тороиде к моменту времени t. б) Найдите направление и величину вектора Пойнтинга в любой внутренней точке тороида в момент времени t. в) Используя вектор Пойнтинга, найдите скорость изменения со временем энергии электромагнитного поля внутри тороида в произвольный момент времени. Убедитесь в правильности вашего ответа, используя решение к пункту (а) задачи.
 54835. Предполагая, что энергия покоя электрона совпадает с его электростатической энергией и что заряд электрона равномерно распределен по объему сферы, вычислите радиус этой сферы. Сравните полученный результат с выражением Uэл = e2/2а [вып. 6, стр. 303, формула (28.2)].
 54836. Хорошо известно, что электроны, кроме заряда и массы, обладают еще и собственным моментом количества движения (спином) и магнитным моментом, которые связаны соотношением Момент количества движения/Магнитный момент = m/q. Это соотношение выполняется с точностью до 0,1 %. Будем предполагать, что вся масса электрона электромагнитная, т. е. Мэ.м. = 2е2/3ас2 [см. вып. 6, стр. 305, формула (28.4)]. а) В центре однородно заряженной сферической оболочки радиуса а и с полным зарядом q поместите магнитный диполь с магнитным моментом ц и покажите, что момент количества движения электромагнитного поля равен L = 2/3 qц/4пе0с2 1/а. б) Определите отношение момента количества движения к магнитному моменту и сравните это отношение с величиной m/q. в) Считая, что цz электрона равно hq/2m, вычислите максимальную скорость электрона на поверхности, обусловливающую данное значение магнитного момента. Приведите необходимые, с вашей точки зрения, пояснения. Величина (4пe0ch/q2) = 1/a равна 137.
 54837. Заряженная частица (заряд q, масса покоя m0) в момент времени t = 0 покоится в начале координат. Затем на нее начинает действовать постоянное электрическое поле, направленное вдоль оси х. а) Вычислите релятивистскую скорость и координаты частицы как функции времени. б) Как изменится ваш ответ, если в начальный момент частица имела скорость v0, направленную вдоль оси у?
 54838. В циклотроне протоны движутся в однородном магнитном поле по круговым траекториям. Найдите зависимость «циклотронной частоты» и угловой скорости протонов от q, В, m для протонов низкой энергии. Как изменится значение циклотронной частоты при увеличении энергии? При каком изменении энергии частота изменится на 1 %?
 54839. В момент времени t = 0 частица массы m с зарядом q покоится в начале координат. На частицу действует однородное электрическое поле Е, направленное по оси у, и однородное магнитное поле В, направленное по оси z. а) Найдите последующее движение частицы, т. е. ее координаты x(f), y(t), z(t), предполагая движение нерелятивистским. Какое условие на Е и В накладывает это предположение? б) Какой характер будет иметь движение в том случае, если Е/В > с? в) Пусть разность потенциалов между двумя параллельными пластинами, одна из которых совпадает с плоскостью xz (y = 0), а другая находится на расстоянии d (y = d), равна V0 = E*d, и между пластинами приложено магнитное поле, параллельное пластинам. Пусть кинетическая энергия электронов, вылетающих из отрицательно заряженной пластины, равна нулю. При каком значении напряженности магнитного поля испущенные электроны не будут достигать другой пластины?
 54840. Принцип фокусировки частиц в неоднородном поле может быть продемонстрирован с помощью следующей оптической модели. Даже при одинаковых по модулю фокусных расстояниях линз существуют условия, когда такая система будет фокусировать. а) Определите зависимость l от d для света, падающего вдоль оптической оси. б) При каких условиях изображение будет реальным, при каких — мнимым?
 54841. В «Лекциях» рассматривалось распространение волн в веществе, состоящем из неполярных частиц. Было показано, что квадрат показателя преломления при низких частотах равен диэлектрической проницаемости. Будет ли этот вывод верен для других (изотропных) веществ?
 54842. На частоте примерно 6 Мгц ионосфера становится прозрачной. В рамках модели свободных электронов оцените плотность электронов в ионосфере.
 54843. К металлу в течение долгого времени приложено постоянное электрическое поле, а затем оно мгновенно выключается. Используя модель свободных электронов, покажите, что время релаксации (т. е. время, в течение которого дрейфовая скорость электронов падает в е раз) равно т, где т — среднее время между столкновениями.
 54844. Внутри металла существуют решения уравнений Максвелла, имеющие вид плоских волн: Ex = E0e^i(wt-kz), где k — комплексное число. Для низких частот k = (1 - i) |/ sw/2e0c2. а) Напишите выражение для магнитного поля такой волны. б) Какой угол образуют векторы Е и В для произвольного z? в) Какова разность фаз векторов Е и В? [Если момент времени t1 соответствует максимальной величине Е, a t2 — максимальной величине В, то разность фаз определяется как ±w(t1 - t2).]
 54845. При выводе выражения (32.50) «Лекций» (вып. 7, стр. 66) предполагалось, что в металле переход от вещественных значений n2 к мнимым в ультрафиолетовой области очень резкий. На опыте же столь резкого перехода не наблюдается. Покажите, что с помощью более удачной аппроксимации n2 теорию можно согласовать с экспериментом.
 54846. Определите коэффициент пропускания для плоской электромагнитной волны, проходящей через трехслойный диэлектрик. б) Покажите, что в случае n2 = |/ n1n3 и l = L2/4 коэффициент пропускания равен единице. (Покрытия такого рода используются для «просветления» оптики в хороших фотокамерах и биноклях.) в) Какова толщина l для обычного бинокля, т. е. для оптического диапазона длин волн? г) Одну ли сторону линзы можно просветлять? Важно ли, какая сторона покрыта пленкой? Почему?
 54847. Луч света с длиной волны 4500 А (в пустоте) падает на призму и полностью отражается на угол 90°. Показатель преломления призмы 1,6. Вычислите расстояние от длинной стороны призмы, на котором напряженность электрического поля уменьшается в е раз по сравнению с ее значением на поверхности. Предполагается, что свет поляризован так, что вектор Е перпендикулярен к плоскости падения. Изменится ли ваш ответ, если Е лежит в плоскости падения?
 54848. Заряженная частица движется в плоскости, перпендикулярной однородному магнитному полю В. Покажите, что если В меняется медленно, магнитный момент орбитального движения частицы остается постоянным. Что мы понимаем под словом «медленно»?
 54849. В циклотроне, рассчитанном на низкие энергии, период обращения протонов по круговой орбите составляет 0,13 мксек. Ядерный магнитный резонанс для протона в магнитном поле циклотрона наступает при частоте 21 Мгц. Определите по этим данным g-фактор протона.
 54850. Выведите формулу (35.9) способом, указанным в гл. 35 (вып. 7, стр. 124). Находится ли этот вывод в противоречии с утверждением, содержащимся в гл. 34 (вып. 7, стр. 104), о том, что в рамках классической физики парамагнетизм отсутствует?
 54851. В 1 см3 парамагнитной соли содержится 10^22 атомов с магнитным моментом в один магнетон Бора каждый. Соль помещается в однородное магнитное поле напряженностью 10000 гс (1 вебер/м2). Выразите в процентах избыток параллельных полю спинов при комнатной температуре и температуре жидкого гелия.
 54852. Следуя выводу, приведенному в гл. 35, для спина 1/2, найдите квантовомеханическое выражение для парамагнитной восприимчивости частиц со спином 1.
 54853. Шар радиуса а однородно намагничен так, что его полный магнитный момент равен 4/3па3М, где М — намагниченность. Каковы должны быть поверхностные токи, создающие магнитное поле вне шара (тех же размеров), которое совпадает с полем, создаваемым намагниченным шаром. Покажите, что найденное распределение токов обладает таким же полным магнитным моментом.
 54854. Сердечник магнита изготовлен из мягкого железа и обмотан 2150 витками проволоки, через которую течет ток силой 5 а. Толщина сердечника (в направлении, перпендикулярном плоскости рисунка) постоянна и равна 28 см. Кривая зависимости В от Н для материала каркаса приведена на нижнем рисунке. Оцените величину магнитного поля в воздушном зазоре магнита. (Все размеры в сантиметрах.) Каковы те главные эффекты, которыми следует пренебречь при решении задачи? Примечание. Так как эмпирическая зависимость В от Н носит нелинейный характер, не нужно смущаться, что задача не решается аналитически и точно.
 54855. Система состоит из постоянного магнита и двух полюсов, изготовленных из мягкого железа. Пропусканием сильного тока по внешней обмотке брусок намагничивается до точки Р на кривой зависимости М от H. Найдите напряженность магнитного поля в зазоре после выключения тока, предполагая, что магнитная проницаемость мягкого железа бесконечна, и пренебрегая утечкой магнитного потока на краях зазора.
 54856. Очень длинный железный стержень в форме цилиндра однородно намагничен так, что вектор намагниченности М направлен по оси цилиндра. Найдите B и H внутри стержня, пренебрегая краевыми эффектами. Чему будет равна магнитная индукция В в центре игольчатой полости, если ее вырезать вдоль оси стержня?
 54857. В ракетной технике необходимы конструкции, которые обладают максимальной прочностью при минимальном весе. а) Сравните радиусы двух цилиндрических стержней из алюминия и из стали, обладающих одинаковой жесткостью и длиной. (Жесткость определяется как отношение приложенной поперек стержня силы к результирующему смещению.) б) Сильно ли отличаются массы этих стержней?
 54858. Алюминиевый стержень квадратного сечения одним концом заделан, а к свободному его концу прикреплена масса m. Найдите собственную частоту колебаний такой системы, если площадь сечения стержня равна a2, масса его во много раз меньше массы m; размерами самой массы m можно пренебречь.
 54859. В начале курса (вып. 4, стр.163) скорость звука в жидкости определялась как производная давления по плотности. Покажите, что для продольных волн в твердом теле (плоские волны сжатия) фазовая скорость определяется выражением vпрод = (1 -s)Y/(1 - 2s)(1 + s)р, где a — отношение Пуассона; Y — модуль Юнга. Эта формула справедлива лишь для продольной волны в «безграничной» среде. В такой волне частицы движутся параллельно направлению распространения. Поперечное же смещение частиц в продольной волне отсутствует в отличие от того, что имеет место, скажем, при сжатии стержня, когда поперечные размеры стержня увеличиваются. Каковы, по вашему мнению, должны быть размеры тела, чтобы приведенное выше выражение для фазовой скорости было справедливо?
 54860. Стальная линейка длиной L = 30 см, шириной а = 1,5 см и толщиной b = 0,08 см концами упирается в две планки, прибитые к столу на расстоянии l = 29 см одна от другой, как показано на рисунке. а) Какой кривой описывается форма изогнутой линейки? б) Какова сила, с которой линейка упирается в планки?
 54861. Нижний конец вертикального стержня заделан, а к его верхнему свободному концу приложена сила. Длина стержня равна L. Поперечное сечение стержня имеет форму прямоугольника со сторонами t (толщина) и w (ширина). Определите силу, приводящую к показанной на рисунке деформации стержня.
 54862. Докажите справедливость сделанного в гл. 40 (вып. 7) утверждения о том, что в невязкой жидкости давление одинаково во всех направлениях. б) В качестве математического упражнения докажите весьма полезное векторное тождество, использованное в гл. 40: (v*v)v = 1/2v(v*v) + (W x v), где W = (v x v).
 54863. Жидкость вращается в цилиндре кругового сечения с постоянной угловой скоростью w. Найдите форму воронки, образующейся на поверхности жидкости, если на расстоянии r от оси частица жидкости вращается со скоростью v = wr. Покажите, что циркуляция жидкости, отнесенная к единице площади, т. е. rot v, равна удвоенной угловой скорости вращения жидкости.
 54864. Шар массы m и радиуса а движется с постоянной скоростью в «сухой» воде. Покажите, что сумма кинетических энергий шара и жидкости равна 1/2 (m + M/2) v2, где М — масса жидкости, вытесненная шаром. Чему равен суммарный импульс шара и жидкости?
 54865. Если шар радиуса а движется в вязкой жидкости равномерно и достаточно медленно, так что поток обтекающей жидкости можно считать ламинарным, то сила, заставляющая его двигаться, равна вязкой силе трения, действующей со стороны жидкости на шар. Хотя эту силу вы можете определить точно, представляет интерес найти для нее выражение из размерных соображений, перечислив все параметры, от которых эта сила может зависеть. Проделайте это. Можете ли вы качественно обосновать, почему параметры входят в найденное выражение так, а не иначе?
 54866. Медленный поток вязкой жидкости в цилиндрической трубке можно считать ламинарным, причем профиль скоростей потока выглядит примерно так, как представлено на рисунке. Покажите, что если r — расстояние от оси трубки, h — коэффициент вязкости, а (Р1 - P2)/L — перепад давления на единице длины трубки, то профиль скоростей в жидкости описывается выражением v(r) = 1/4h (P1 - P2)/L (a2 - r2). Пo аналогии с законом Ома пропускную способность трубки Q можно связать с перепадом давления dР = Р1 - Р2 соотношением dP = QR, где R — сопротивление трубки. Найдите сопротивление R для трубок радиуса а и длины L. Как вы думаете, проведение подобной аналогии лишь простая игра слов или есть основания считать такие аналогии полезными? Что является аналогом конденсатора?
 54867. Дно широкого бассейна покрыто тонким слоем воды (любой «несжимаемой» жидкости с вязкостью h). На поверхности воды плавает тонкая деревянная доска, «дно» которой находится на расстоянии d от дна бассейна. Все остальные размеры доски во много раз больше d. Доска движется горизонтально с малой скоростью v. Чему равна скорость диссипации энергии в единице объема в воде вблизи середины доски?
 54868. В этой главе описан мысленный эксперимент по интерференции электронов на двойной щели. По интерференционной картине, приведенной на фиг. 1.1 «Лекций» (вып. 8, стр. 11), можно оценить длину волны L, связанную с амплитудными функциями ф1 и ф2. Обозначим расстояние между центрами щелей буквой a. а) Чему равна L? б) Используя кривые для Р1 и Р2, рассчитайте ожидаемую величину Р12 в центре полосы, в первом боковом максимуме и первых двух минимумах интерференционной картины. Сравните полученные результаты с кривой Р12.
 54869. Рассмотрите эксперимент по интерференции электронов на двойной щели, описанный в предыдущей задаче, предположив, что расстояния от электронной пушки до щели и от щелей до экрана очень велики по сравнению с промежутком между щелями, а ширина щелей много меньше этого промежутка. Дайте ответ (по возможности количественный) на следующие вопросы: а) Что произойдет с интерференционной картиной Р12, если электронную пушку сдвинуть вверх на расстояние D? б) Как изменится интерференционная картина, если расстояние между щелями удвоить? в) Что случится, если первую щель сделать вдвое шире второй?
 54870. Монохроматический свет, поляризованный в вертикальной плоскости, падает на пленку — поляроид, «ось пропускания» которой образует с вертикалью угол Q. Чему будет равно отношение интенсивности света, прошедшего через пленку, к интенсивности падающего света? А что сделает поляроид с единичным падающим фотоном?
 54871. Пучок электронов с энергией 20 кэв проходит через тонкую поликристаллическую золотую фольгу, а затем попадает на фотопластинку. Области почернения на пластинке имеют форму концентрических колец с центрами на оси пучка. Почему? Рассчитайте диаметр колец, если расстояние от фольги до пластинки равно 10 см.
 54872. Вернемся к обычному интерференционному опыту с двойной щелью (см. фиг. 1.1 «Лекций», вып. 8, стр. 11). Если а1 и а2 — два комплексных числа, равные амплитудам вероятности нахождения электронов соответственно в щелях 1 и 2, то как выглядит формула для относительной интенсивности распределения электронов на экране в зависимости от х — расстояния от центральной точки? Считайте х приближенно малой величиной; ответ должен выражаться через расстояния между щелями и от щелей до экрана.
 54873. В дифракционном опыте (схема которого приведена на рисунке) частицы, испускаемые источником, имеют импульс р0, массу М и скорость v. а) Чему равно расстояние а между центральным максимумом и его ближайшим соседом? Считайте L >> d, L >> a. б) Внешнее воздействие меняет фазу для верхнего пути на dф1, а для нижнего пути на dф2. Покажите, что центральный максимум смещается при этом на расстояние S, определяемое выражением S = +(dф1 - dф2) L/d h/p0. Таким образом, если величина (dф1 - dф2) для всех путей одинакова, то на расстояние S смещается вся дифракционная картина и мы можем сказать, что на расстояние S отклоняются все частицы. в) Предположим, что в области А частицы обладают небольшой потенциальной энергией, которая зависит только от вертикальной координаты. Тогда импульс частиц на высоте х над центральной линией [обозначим его р(х)] будет несколько отличаться от р(0) — своего значения на центральной линии. Покажите, что p(x) = p(0) + M/p0(V(0) - V(x)), или, когда V(x) меняется с расстоянием медленно, P(x) = p(0) + Fx/v, где F = -dV/dx. г) При условиях, описанных в пункте (в), импульсы при движении по прямым (1) и (2) будут oтличаться друг от друга (как и длины волн). Покажите, что разность фаз для верхнего и нижнего путей равна (dф1 - dф2) = d/2v F/h L. (Заметим, что среднее вертикальное расстояние между двумя этими прямыми равно d/2.) Покажите, что интерференционные полосы смещаются вверх на величину 1/2T2(F/M), где T = L/v - время пролета (в классическом смысле) от щели до экрана. Поясните смысл результата.
 54874. Электроны со спином 1/2 испускаются источником S, помещенным перед экраном с двумя щелями, как показано на рисунке. Предположим, что электрон, достигший щели, проходит через нее с амплитудой a, если его спин направлен вверх, и с амплитудой b, если его спин направлен вниз. Предположим далее, что различить, через какую щель электрон прошел, невозможно. а) Если все электроны испускаются «спином вверх», рассчитайте распределение интенсивностей на экране в точке х, выразив ее через а, b и амплитуды < x|s > (см. вып. 8, стр. 12, 13). б) Как отличается это распределение от того случая, когда все электроны испускаются «спином вниз», при прочих равных условиях? в) Если направление спинов случайно, а все остальные условия опыта сохраняются, то чем будет отличаться интерференционная картина от случая (а)?
 54875. Сколь это ни удивительно, но большие интерференционные эффекты можно наблюдать даже в том случае, если одна из «интерферирующих возможностей» имеет не очень большую вероятность. Покажите, что в эксперименте по дифракции на двух отверстиях, даже когда вероятность проникнуть через одно из них в 100 раз меньше, чем через другое, дифракционный максимум все еще на 50 % выше минимума.
 54876. Диаметр ближайших к Земле звезд слишком мал, и его нельзя определить даже при помощи лучших современных телескопов, поскольку их угловое разрешение больше «углового диаметра» звезд. Диаметр звезд впервые определил Майкельсон, используя оптический интерферометр. Но точности этого метода едва хватает для самых близких звезд. В 1956 г. Браун и Твисс предложили новый метод для таких измерений, названный ими «методом корреляции интенсивностей» [Nature, 178, 1046 (1956)]. Они опробовали его на звезде Сириус. Для этого они взяли два параболических рефлектора (авторы использовали зеркала от старых прожекторов), в фокусе каждого из которых был установлен фотоумножитель. Выходы умножителей соединялись коаксиальным кабелем с электронной схемой, которая регистрировала среднее значение от произведения токов в обоих умножителях (так называемую «корреляционную функцию»). По поведению этого произведения в зависимости от расстояния между зеркалами определялся угловой диаметр звезды. В то время многие физики утверждали, что этот метод не годится, поскольку свет — это фотоны, а каждый фотон попадает либо на одно зеркало, либо на другое, и никакой корреляции двух токов, следовательно, наблюдаться не может. Вы можете опровергнуть этот аргумент, рассматривая следующий идеализированный эксперимент. Два небольших источника света, скажем две лампочки А и В, помещаются на больших расстояниях от фотоумножителей а и b. Геометрические условия опыта показаны на рисунке. С детекторами а и b соединены счетчики, сосчитывающие числа фотонов р1 и р2, регистрируемых в секунду каждым счетчиком. Счетчики а и b включены, кроме того, еще в «схему совпадений», которая регистрирует р12 — количество случаев в единицу времени, когда фотоэлектроны появляются одновременно (т. е. в течение одного малого промежутка времени т) в обоих умножителях. Пусть < а|A > — амплитуда появления фотона, испущенного источником А, в детекторе а в течение данного промежутка времени, определяемого разрешающей способностью схемы. Тогда < а|A > = ce^ia1, где с — комплексная постоянная, a a1 = kR1 (R1 — расстояние от А до a, k — постоянная). Аналогично, < b|A > ce^ia2, где а2 = kR2, a R2 — расстояние от А до b. Покажите, что скорость счета совпадений пропорциональна 2 + cos2k(R2 - R1). Как использовать этот результат для определения D, если R известно? Пренебрегайте тем фактом, что реальный процесс есть «наложение» таких простых модельных процессов, поскольку свет приходит из всех областей поверхности звезды, а не только из крайних, диаметрально противоположных точек.
 54877. Радиопередатчик излучает мощность 1000 квт на частоте 1 Мгц. а) Какова энергия (в эв) каждого излученного кванта? б) Сколько квантов излучается за каждый период колебаний электромагнитного поля? (Высокая степень когерентности этих квантов возможна, поскольку они являются бозе-частицами.)
 54878. Внутри полости в абсолютно черном теле величина l(w) dw — интенсивность излучения в интервале частот от w до w + dw на единицу объема — дается формулой Планка. а) Как ведет себя l(w) при малых w? При больших w? б) При какой частоте на единичный интервал приходится максимальная энергия? в) При какой длине волны на единичный интервал длин волн приходится максимальная энергия? г) Оцените температуру на поверхности Солнца, предполагая, что максимум интенсивности его излучения приходится на середину видимого спектра.
 54879. Оцените напряженность магнитного поля, которая потребуется для того, чтобы выстроить спины обоих электронов в атоме гелия в одном направлении. (Приближенно рассматривайте атом гелия как гармонический осциллятор с основной частотой, соответствующей видимому свету. У атома гелия «в основном состоянии» оба электрона находятся на самом нижнем уровне и их спины направлены в противоположные стороны. Согласно принципу запрета Паули, для того чтобы направления спинов электронов совпали, одному из них придется перейти на следующий уровень.)
 54880. До открытия нейтронов предполагалось, что ядра состоят из протонов и электронов. Покажите, что в таком случае атом (атом азота, масса ядра которого примерно в 14 раз больше массы протона) был бы бозе-частицей. Опытные факты (спектр молекулы) показывают, что этот атом есть ферми-частица. Это было первое свидетельство в пользу существования новой ядерной частицы. Покажите, как нейтронная гипотеза решает эту задачу.
 54881. Предположим, что в некоторой системе могут наблюдаться «переходы» между определенными энергетическими уровнями, т. е. заселенность уровней, или число атомов на каждом уровне, меняется, и это сопровождается излучением или поглощением квантов. Два возбужденных состояния и основное состояние находятся в тепловом равновесии между собой, тогда как вся система находится в поле излучения с частотой hw = dЕ. Прямые переходы с частотой 2dЕ/h запрещены. а) Выразите отношения N1/N0 и N2/N1 через число фотонов n(w). б) Получите простое выражение для числа фотонов n(w), учитывая, что фотоны являются бозонами. Искомое выражение должно содержать только dE/kT. в) Найдите приближенные выражения для n(w) в двух предельных случаях: hw >> kT, hw << kT.
 54882. В лазере большое число атомов одновременно переводится в возбужденное состояние. Потом появление небольшого количества света определенного типа индуцирует лавинообразное излучение, в которое дают вклад все возбужденные атомы, что приводит к образованию очень большого числа фотонов с совершенно одинаковой длиной волны, испускаемых строго в одном направлении. Можно ли надеяться, что в один прекрасный день кто-нибудь создаст подобное же устройство, излучающее нейтрино (частица с массой, равной нулю, и спином 1/2)?
 54883. Покажите, что для двух неодинаковых невзаимодействующих частиц вероятность того, что одна переместится из а в b, в то время как другая переместится из с в d, есть произведение двух сомножителей Pаb и Рсd, где Раb — вероятность, что первая частица в отсутствие второй частицы переместится из а в b, а Рcd — вероятность, что вторая частица в отсутствие первой переместится из с в d. Является ли неодинаковость частиц существенным обстоятельством?
 54884. Дейтрон является бозе-частицей со спином единица; таким образом, пучок дейтронов может находиться в одном из трех состояний с проекциями спина +1, 0, -1. Производится опыт, в котором дейтроны рассеиваются на дейтронах. Как зависит вероятность регистрации дейтронов от угла рассеяния Q (угол между направлениями движения дейтрона до и после столкновения в системе центра масс)? Предположим, что направление спина в процессе рассеяния не меняется, а f(Q) — это амплитуда отклонения на угол Q.
 54885. Пусть f1(Q) — амплитуда рассеяния п-мезона на протоне, а f2(Q) — на нейтроне. Как выразить вероятность того, что п-мезон рассеется на ядре гелия на угол Q через Р1 и Р2 — вероятности рассеяния на протоне и на нейтроне? Рассмотрите два случая: а) отдача протона или нейтрона после рассеяния разрушает ядро; б) отдача настолько слаба, что ядро остается «неповрежденным». Можете ли вы сказать, в каком случае рассеяние сильнее? Ваши ответы должны зависеть от предположений, сделанных при описании процесса (а).
 54886. Предположим, что в эксперименте по рассеянию пучок нейтронов падает на нейтронную мишень. Детектор установлен с таким расчетом, чтобы он регистрировал нейтроны, рассеявшиеся на угол Q в системе центра масс; f — амплитуда рассеяния частицы на этот угол без изменения спинового состояния; g — амплитуда рассеяния на тот же угол с «переворотом» спина (за счет обмена направлениями спинов с частицей мишени). Если предположить, что f и g не зависят от Q, то какова будет вероятность, что детектор зарегистрирует нейтрон, если: а) спины обоих нейтронов (и рассеиваемого и рассеивающего) направлены вдоль оси +z; б) спины нейтронов пучка выстроены вдоль положительного направления оси z, а нейтроны мишени — вдоль отрицательного; в) падающий пучок не поляризован, а мишень поляризована в направлении +z; г) и пучок и мишень не поляризованы; д) как изменится ответ на вопрос (а), если мишень будет состоять из поляризованных протонов при равенстве амплитуд нейтрон-нейтронного и нейтрон-протонного рассеяния? Считайте, что детектор одинаково эффективно регистрирует и нейтроны и протоны.
 54887. Пучок нерелятивистских протонов проходит через тонкую мишень из жидкого водорода, а потом, как показано на рисунке, рассеянные протоны регистрируются под некоторым углом а к падающему пучку. Процесс рассеяния можно анализировать в системе центра масс, как показано на рисунке. Два протона (р1 и р2) движутся навстречу друг другу с одинаковыми скоростями; после соударения два протона (р'1 и p'2) разлетаются вдоль прямой, которая составляет угол Q с первоначальным направлением. Если мы выберем в качестве оси z направление, перпендикулярное к плоскости рассеяния, то каждый протон может иметь значение Jz (проекции спинового момента на эту ось), равное ± h/2. Мы будем говорить про это, что спин может быть направлен «вверх» или «вниз». Предположим, что спин обоих протонов направлен вверх и что f(Q) есть амплитуда рассеяния протона р1 на угол Q с попаданием в детектор. Поскольку мы не можем сказать, какой протон зарегистрирован счетчиком, то амплитуда того, что какой-то протон вылетит под углом Q, равна f(Q) - f(п - Q). Знак минус появляется потому, что протоны — ферми-частицы. Поэтому мы можем сказать, что вероятность зарегистрировать протон под углом Q равна |f(Q) - f(п - Q)|^2. Предположим теперь, что спин протона р1 направлен вверх, а спин р2 — вниз, амплитуда рассеяния частицы р1 в направлении детектора без переворота спина равна f'(Q), а с переворотом спина g(Q); амплитуда рассеяния зависит от относительной ориентации спинов. В этом случае амплитуду появления в детекторе протона со спином, направленным вверх, можно записать в виде f'(Q) + g(п - Q). а) Какова связь между Q и а? б) Какова амплитуда появления в детекторе протона со спином вниз, если до рассеяния спины сталкивающихся протонов были направлены в разные стороны? в) Предположим, что «обычный» пучок неполяризованных протонов рассеивается на обычной неполяризованной мишени и что детектор не реагирует на поляризацию. Чему равна вероятность рассеяния на угол Q. г) Покажите, что при f' = f и g = 0 рассеяние протонов с хаотически ориентированными спинами представляет собой смесь «чисто фермионного рассеяния» с амплитудой f(Q) = f(п - Q) и «чисто бозонного» рассеяния, амплитуда которого равна f(Q) + f(п - Q), т. е. что P = A |f(Q) - f(п - Q)|^2 + B |f(Q) + f(п - Q)|^2. Вычислите А и В.
 54888. Предположим, что N электронов находятся в очень большом ящике объема V в состоянии с наименьшей возможной энергией. Покажите, что в пренебрежении взаимодействием между электронами каждый уровень в ящике занят двумя электронами, причем импульс, соответствующий каждому уровню, hk = p, меньше величины рмакс, определяемой соотношением N = int V*2 4пp2dp/(2пh)3. Чему равна энергия U всех электронов? Свяжите эту внутреннюю энергию U с объемом ящика и найдите таким образом давление этого так называемого «вырожденного электронного» газа. Покажите, что объем и давление связаны соотношением PVy = const, и найдите у.
 54889. Материя в звездах, известных под названием «белые карлики», сжата так сильно, что к ней применима теория, рассмотренная в последней задаче. Если р — плотность вещества звезды, то p/2Mp — число протонов в 1 м3 этого вещества (Мр — масса протона; кроме того, мы предполагаем, что ядра содержат примерно столько же протонов, сколько нейтронов). В уравнении к задаче 2.12 положим N/V = p/2Mp. Уравнения равновесия звезды из такого вещества, равновесия, поддерживаемого гравитационным притяжением, можно найти в книгах по астрофизике, и они записываются следующим образом: P = Ap^5/3, dP/dr = -GpM(r)/r2, dM(r)/dr = 4пpr2. Можете ли вы объяснить вид этих уравнений и вывести формулу или указать численное значение для A? Считайте, что все давление создается вырожденным электронным газом, а присутствие нуклонов практически не сказывается (кстати, почему?).
 54890. Докажите высказанное в гл. 3 «Лекций» (вып. 8) утверждение, что если прибор С можно разделить на две части А и В, то < х|С|ф > = E < х|B|k > < k|A|ф >.
 54891. Три «усовершенствованных» прибора Штерна — Герлаха, описанные в гл. 3, которые разделяют пучок на компоненты, соответствующие различным значениям проекции спина (но без пространственного разделения пучка), устанавливаются последовательно друг за другом, и через них пропускается пучок частиц со спином единица. Первая и третья установки ориентированы в одном и том же направлении, а средняя устанавливается под произвольным углом. В обозначениях, которые использовались в гл. 3, это будет выглядеть так: ### а) В установке Т открыта одна щель. Будет ли распределение пучка по трем состояниям в конечном состоянии S зависеть от входного состояния, т. е. от пропорций, в которых смешаны состояния +S, 0S и -S в начальном пучке. Почему? б) А если две щели в установке Т открыты? в) А если все три щели в Т открыты?
 54892. Тройной «усовершенствованный» эксперимент Штерна — Герлаха проводится с частицами со спином 1 по следующей схеме: ####. Все три прибора расположены на одной прямой, но средний прибор Т повернут на 90° относительно двух других. Пучок частиц со спином 1 падает слева. Пучок, который выходит из первого прибора S, имеет интенсивность N1 частиц в секунду. а) Чему равна N2 — интенсивность пучка на выходе из прибора Т? б) Какова интенсивность пучка N3 на выходе из последнего прибора S? в) Каковы будут значения N2 и N3, если заслонку из прибора Т удалить?
 54893. Рассмотрим последовательность «усовершенствованных» приборов Штерна — Герлаха S, T и S', через которые проходит пучок частиц со спином 1. (Прибор Т повернут вокруг оси х на 90° по отношению к S и S'.) а) Если из прибора S выходит N0 частиц, найдите, какое число частиц следует ожидать на выходе прибора S' в состояниях |+S' > и |0 S' >. (Обозначим соответствующие значения N+s' и Nos'.) б) Предположим, что мы имеем «прозрачные детекторы», которые можно помещать в пучки + и - прибора Т. Свойство этих детекторов состоит в том, что при прохождении частицы через такой детектор он сигнализирует об этом, не меняя спинового состояния частицы. Кроме того, импульс частицы не изменяется сколько-нибудь заметно в том смысле, что ее траектория внутри установки одинакова как при наличии детектора, так и без него. Если детекторы установлены в позициях + и - прибора Т (позиция 0 блокирована), каковы будут ожидаемые числа отсчетов N+т, N-т, N+s' и Nos', если из прибора S вылетает N0 частиц? в) Как изменится результат для N+s' в описанном эксперименте, если после его проведения обнаружится, что числа отсчетов N+т и N-т не регистрировались? г) Если эффективность каждого детектора равна 50 % (т. е. в половине случаев пролетающая через детектор частица не взаимодействует с ним), чему будут тогда равны значения N+s' и Nos'? д) Чему будут равны N+s' и Nos', если блокировки состояний +S и -S удалены и N0 частиц выходит из S (детекторы из прибора Т удалены)? Считайте пучок неполяризованным.
 54894. Представьте себе, что пучок атомов со спином 1/2 фильтруется двумя «усовершенствованными» приборами Штерна — Герлаха, установленными один за другим. Предполагается, что каждый прибор пропускает только один пучок, как изображено на фиг.1. На фиг. 2 приведено несколько вариантов относительного расположения приборов. Пусть в прибор Р попадает N неполяризованных атомов. Сколько атомов должно появиться в точке Q?
 54895. В некий прибор попадает N частиц со спином 1/2, причем амплитуды для направления спина вверх и вниз вдоль оси равны соответственно а и b. Покажите, что вероятность обнаружения этой частицы в любой точке внутри прибора равна |aX + bY|2, где X и Y — некоторые комплексные постоянные, характеризующие прибор. Как будет выражаться эта вероятность через X и Y, если: 1) спин влетевшей частицы направлен вверх? вниз? 2) спин направлен вдоль оси +х? -х? 3) спин направлен вдоль оси, направление которой определяется полярными углами Q и ф? Представить себе, что спиновое состояние падающих частиц определяется «волей случая», можно несколькими способами: а) для решения вопроса о том, в положительную или отрицательную сторону оси z будет направлен спин данного электрона, каждый раз бросается монета; б) делается то же самое, но вдоль оси х; в) спин каждого электрона ориентируется в некотором направлении Q, ф, но это направление каждый раз выбирается случайно, так что потом приходится все усреднять по телесному углу sin Q dQdф/4п. Покажите, что вероятность обнаружения частицы одна и та же для всех трех видов определения понятия «случайная ориентация». Предположим, что частицы со спином 1/2 вылетают из отверстия в стенке, а перед этим направление их спина определяется одним из трех указанных способов. Можете ли вы придумать какой-нибудь способ, при помощи которого, находясь по «эту» сторону стенки, возможно определить, какой все-таки из трех методов в действительности использовался?
 54896. Три прибора Штерна — Герлаха установлены друг за другом в последовательности, показанной на фиг.1. Выразите N, число атомов со спином 1/2, выходящих из прибора U, через N0, а число атомов, выходящих из S, — через величины типа < +T| + U > и т. д. Затем рассмотрите ту же самую последовательность приборов, но для случая, когда поля В ориентированы согласно схеме, приведенной на фиг. 2. В частности, I) поле В прибора Т повернуто антипараллельно полю В прибора S; II) поле В прибора U образует угол Q с осью z, а) Получите явные выражения для < +Т| -S > и < -T| -S >. б) Найдите явный вид < +U| -S >, используя для упражнения только таблицы преобразований при вращениях вокруг осей z и у. в) Рассмотрите результат случая (б) для предельных значений Q = 0, Q = п. Объясните ответ при Q = п, сравнивая его с < +T| -S > для случая (а).
 54897. Призма из кальцита расщепляет пучок света, направленный вдоль оси z, на два пучка х и у. Отдельный фотон, падающий на эту призму, характеризуется определенной амплитудой попадания в один из этих пучков х, у. Такой же образец кальцита, но перевернутый, можно использовать для соединения этих лучей снова в один и т. д., аналогично тому, как это делается с частицами в приборе Штерна — Герлаха. Ось другой призмы Т можно располагать под углом Q в плоскости х — у, переводя пучок в состояния х', у' или хТ, уТ. Получите амплитуды < хT| xS >, < yT| yS > и т. д., используя свои знания классической теории поляризации света, считая, что при большом числе фотонов в пучке интенсивность будет хорошо описываться этими классическими результатами. Рассматривайте повороты только вокруг оси z, поскольку свет нельзя «остановить». (Повороты вокруг других осей можно описывать скорее по их действию на направление распространения света, а не на поляризацию; в этом смысле свет, хотя он и является системой с двумя состояниями, очень сильно отличается от электрона, который тоже представляет собой систему с двумя состояниями.)
 54898. Найдите все четыре элемента матрицы < j|A|i >, где индексы i и j могут принимать значения х и y, для следующих приборов, через которые пропускается свет: а) х, у — анализатор из кальцита и такой же синтезатор, причем луч у блокирован; б) тот же прибор, повернутый на угол Q; в) поляроид, ось которого направлена по оси х; г) поляроид, ось которого образует с осью х угол Q; д) анализатор и синтезатор из кальцита, между которыми имеется слой стекла, сдвигающий фазу луча х на угол ф; е) анализатор и синтезатор из кальцита, причем оба луча проходят через одно и то же стекло; ж) анализатор и синтезатор, повернутые на 45°, а также слой стекла в луче х, увеличивающий фазу на 90°; з) пластинка толщиной L/4; и) пластинка из двоякопреломляющего вещества, причем оптическая ось параллельна оси х (получите общую формулу для произвольной толщины слоя этого вещества); к) раствор сахара, который поворачивает плоскость поляризации вправо на угол Q; л) устройство, которое расщепляет исходный луч на х и у, приводит луч х в плоскость у (пропуская его через раствор сахара, который поворачивает плоскость поляризации на 90°) и снова соединяет оба луча в один. м) Покажите, что с помощью прибора, описанного в пункте (л), можно устроить вечный двигатель.
 54899. Согласно теории бета-распада, в одном из частных случаев этого ядерного превращения (в том, который называется «разрешенный ферми-переход» и происходит без изменения момента количества движения и четности ядра) электрон, движущийся вдоль оси z со скоростью v, испускается со спином вдоль оси z с амплитудой A |/1 - v/c sinQ/2 и со спином против оси z с амплитудой A |/ 1 + v/c cosQ/2. (Здесь А — некоторая константа, Q — угол, образуемый с осью z направлением испускания нейтрино. Так уж случилось, что спин антинейтрино всегда ориентирован вдоль направления его движения.) а) Чему равна вероятность того, что спин направлен вверх по оси z? А вниз? б) Рассчитайте вероятность того, что спин направлен вдоль оси +х (нейтрино вылетает в плоскости xz)? Вдоль направления оси -x? в) Вдоль направлений ±у? (Строго говоря, это относится к системе координат, движущейся вместе с электроном.) г) Если антинейтрино, как обычно, не регистрируется (т. е. по всем направлениям его испускания производится усреднение), каков будет ответ на вопрос (а)?
 54900. Частица со спином 1 и магнитным моментом ц в магнитном поле, направленном по оси z, может находиться в состояниях +, 0 и -, энергии которых равны +цB, 0 и -цВ соответственно. Покажите методами квантовой механики, что в неоднородном магнитном поле пучок таких частиц расщепится на три, и найдите законы, по которым эти пучки отклоняются, полагая отклонение малым. Ответ должен выражаться через протяженность области, в которой действует поле, начальный импульс частицы и т. д. Затем покажите, что такая частица будет «прецессировать» (в квантовомеханическом смысле), используя при этом коэффициенты, приведенные в § 7 гл. 3 (вып. 8), и рассуждения гл. 5 (вып. 8). Предложите по крайней мере два независимых способа экспериментального определения величины ц.
Фасадная краска форум