Earth curvature of space2 curvature of space1
Банк задач

Вход на сайт
Регистрация
Забыли пароль?
Статистика решений
Тип решенияКол-во
подробное решение60032
краткое решение7560
указания как решать1341
ответ (символьный)4704
ответ (численный)2335
нет ответа/решения3772
ВСЕГО79744

База задач ФизМатБанк

 54701. Пусть v (х, у, z) — поле скоростей твердого тела, вращающегося вокруг некоторой оси. Покажите, что а) v*v = 0, б) v x v = 2w, где w — вектор угловой скорости.
 54702. Покажите прямым вычислением, что если А — постоянный вектор, a R — радиус-вектор, то rot (A x R) = 2A. Если, однако, в хорошо известную формулу В х (А х С) = А(В*С) - (В*А)С вместо векторов В и С формально подставить v и R, то получится неверный результат v x (A x R) = A(v*R) - (v*A)R = 3A. В чем тут дело?
 54703. Длинный стальной стержень подвергается некоторой термической обработке, в результате чего в некоторый момент времени после начала остывания стержня распределение температуры Т(х) вдоль стержня имеет вид, изображенный на фиг. 1. Изотермы, нанесенные с интервалом температур в 10°С, изображены на фиг. 2. Будем предполагать, что температура в каждой точке стержня зависит только от расстояния х до конца стержня. Нарисуйте в точках A, В, С векторы, направление и длина которых совпадают с направлением и величиной vT. В какой из пяти отмеченных точек дивергенция теплового потока h максимальна? В каких из пяти точек v x h = 0?
 54704. Уравнения Максвелла в гл. 1 «Лекций» были сформулированы словесно, а в гл. 2 — в дифференциальной форме. Покажите, что обе формы уравнений Максвелла эквивалентны, б) Покажите, что уравнение v*j = -dp/dt, где р — плотность зарядов, a j — вектор плотности тока, есть не что иное, как закон сохранения заряда.
 54705. Поверхность шара покрыта равномерным слоем радиоактивного вещества, которое испускает а-частицы высокой энергии. Вообразим, что а-частицы вылетают только наружу от поверхности шара, причем только в радиальном направлении. С поверхности шара тем самым стекают заряды, т. е. течет некоторый ток. Создает ли этот ток магнитное поле?
 54706. Напряженность электрического поля точечного заряда, помещенного в начало координат, имеет вид Е = K/r3 r, где r = (x2 + y2 + z2)^1/2, r = ix + jy + kz (К — некоторая постоянная). а) Вычислите поток вектора напряженности электрического поля Е через поверхность сферы радиуса а, центр которой совпадает с зарядом. б) Воспользовавшись теоремой Остроградского — Гаусса, представьте поток вектора Е через поверхность сферы в виде объемного интеграла от (v*E). Можете ли вы объяснить полученный вами результат? в) Вычислите циркуляцию вектора Е вдоль контура, изображенного на рисунке (контур лежит в плоскости ху). Убедитесь в правильности полученного результата, воспользовавшись теоремой Стокса.
 54707. Воспользовавшись решением задачи 2.3(a), получите формулу (практически бесполезную) для произвольного объема в виде интеграла по поверхности этого объема. Убедитесь в правильности вашего ответа для сферы и прямоугольного параллелепипеда.
 54708. Найдите потенциал ф в точке Р, удаленной на расстояние r от заряженной нити длиной l1 + l2 м. Линейная плотность зарядов на нити равна L (см. рисунок). Сравните полученный результат с тем, которого следует ожидать в случае r >> (l1 + l2). Проверьте ваш ответ в предельном случае r << (l1 + l2), сравнив напряженности электрического поля, найденные с помощью ф и по теореме Гаусса.
 54709. Вычислите напряженность электрического поля в точке Р, расположенной на оси тонкого равномерно заряженного диска радиуса R на расстоянии r от его центра.
 54710. Две металлические сферы имеют общий центр, причем внутренней из них сообщен заряд q', а внешней — заряд q. а) Найдите зависимость электрического потенциала от радиуса на далеких расстояниях. б) Найдите зависимость напряженности электрического поля от радиуса. в) Чему равен потенциал на поверхности внутренней сферы? г) Как изменится электрическое поле на расстояниях r > rс и rc > r > rb, если центры внутренней и внешней сфер слегка разойдутся?
 54711. Покажите, что электрический потенциал ф обладает следующим интересным свойством: среднее значение ф на воображаемой сферической поверхности равно значению ф(0) в центре этой сферы при условии, что внутри сферы нет никаких зарядов. В каких задачах, по вашему мнению, удобно воспользоваться этим свойством?
 54712. Найдите напряженность электрического поля во внутренних точках очень длинного равномерно заряженного цилиндра, достаточно удаленных от его концов. Чем отличается результат от получающегося в случае равномерно заряженного шара?
 54713. Две широкие параллельные металлические пластины находятся друг от друга на расстоянии d. Края этих пластин соединены металлическим проводом. Между пластинами на расстоянии 1/3d ниже верхней пластины натянута тонкая равномерно заряженная пластмассовая пленка, на единицу площади которой приходится заряд s. Найдите напряженности электрического поля Е1 и Е2 вблизи верхней и нижней пластин.
 54714. Найдите выражение для x-компоненты электрического поля, если плотность зарядов р в пространстве зависит только от х.
 54715. В электронной лампе электроны вылетают из раскаленной металлической пластины (катод) и собираются на плоской металлической пластине (анод), расположенной параллельно эмиттирующей поверхности на расстоянии d от нее. (Расстояние d предполагается малым по сравнению с размерами обеих пластин.) Потенциал электрического поля между пластинами меняется по закону ф = kх^4/3, где х — расстояние от эмиттера. а) Чему равна плотность поверхностных зарядов на эмиттере? На коллекторе? б) Как меняется плотность объемного заряда р(х) в пространстве между пластинами, т. е. в интервале 0 < x < d?
 54716. Пусть на поверхности проводника распределены заряды с плотностью s кулон/м2, где s — вообще говоря, переменная величина. Покажите, что сила, действующая на заряд, заключенный в элементарной площадке dA, нормальна к поверхности проводника и равна 1/2(s2/e0)dA. (Множитель 1/2 правилен. Объясните, почему он возникает?)
 54717. Максимальная напряженность электрического поля, которое может существовать на поверхности проводника, граничащего с вакуумом, по порядку величины равна 10 в/м. Полагая, что поверхностный заряд, создающий это поле, отрицателен, сравните число избыточных электронов, приходящееся на единицу площади, с числом атомов, приходящихся на ту же площадь. Сравните величину силы, действующей на электрон в таком поле, с величиной силы, которую испытывает электрон в поле протона на расстояниях порядка атомных.
 54718. Отрицательный мюон (ц-мезон) — это частица, заряд которой равен заряду электрона, а масса в 207 раз тяжелее массы электрона. При торможении в веществе отрицательный мюон может быть захвачен ядром какого-нибудь атома и заместить один из вращающихся вокруг ядра электронов, образовав «мезоатом». Так как масса мюона велика, то размер его орбиты во много раз меньше размеров орбит атомных электронов, например, для тяжелых ядер орбита мюона, соответствующая его наинизшему энергетическому состоянию, даже находится внутри ядра. Мюон взаимодействует с ядерным веществом с помощью не ядерных сил, а электрических, причем ядро им воспринимается как равномерно заряженный шар. Из независимых экспериментов было найдено, что радиус ядра зависит от суммарного числа протонов и нейтронов (А) следующимобразом: R = R0*A^1/3 (R0 ~ 1,2*10^-15 м). Рассмотрим модель мезоатома свинца, в котором мюон осциллирует относительно центра ядра вдоль произвольной линии, проходящей через этот центр. Чему равна собственная частота w таких осцилляции? Вы уже знаете, что квантовые уровни гармонического осциллятора отстоят друг от друга на энергию hw. Чему равна разность энергий двух самых низких состояний мезоатома в рассматриваемой модели? Экспериментально было обнаружено, что при образовании мезоатомов в свинце испускаются y-лучи с энергией 6 Мэв. Как бы вы интерпретировали этот факт?
 54719. Представьте себе, что через земной шар по диаметру прорыт туннель. Плотность пород, образующих земной шар, можно считать постоянной. Покажите, что если в этот туннель бросить какой-то предмет, то он будет совершать колебания относительно центра земного шара с периодом, равным периоду обращения спутника, запущенного вокруг Земли над самой ее поверхностью.
 54720. Известно, что за год Земля выделяет тепловую энергию, примерно равную Q = 8*10^20 дж. Не строя последовательной теории этого явления, можно рассмотреть несколько весьма упрощенных моделей, позволяющих сделать правильные оценки по порядку величины. В качестве примера рассмотрим модель, согласно которой все тепло создается в результате распада радиоактивных веществ, однородно распределенных по объему земного шара: кинетическая энергия испускаемых ими частиц полностью переходит в тепло. По существующим оценкам температура в центре Земли примерно равна 2500°С, а теплопроводность земных пород в среднем равна 0,03 дж/см*сек*град. Находится ли описанная выше модель в согласии с этими оценками?
 54721. Два длинных коаксиальных проводящих цилиндра заряжены так, что на далеком расстоянии от их концов на единицу длины внутреннего цилиндра приходится L1 кулонов, а на единицу длины внешнего цилиндра L2 кулонов. Внутренний и внешний радиусы внутреннего цилиндра равны r1 и r2, а внешнего цилиндра равны r3 и r4. Найдите поле Е(r) в точках, расположенных вблизи середины цилиндров (т. е. там, где краевыми эффектами можно пренебречь). Определите разность потенциалов между цилиндрами. Опишите качественно, в какую сторону будут меняться напряженность поля и потенциал, если: 1) r1 будет уменьшаться; 2) r2 будет увеличиваться; 3) внешний контур сечения внутреннего цилиндра имеет форму квадрата со сторонами, равными 2r2 (при этом предполагается, что |/ 2r2 < r3)?
 54722. Методом изображений найдите силу, действующую на заряд q, помещенный на расстояниях а и b от двух проводящих полуплоскостей, образующих между собой прямой угол.
 54723. Частица с зарядом q, в начальный момент времени закрепленная на расстоянии х0 от поверхности заземленной проводящей плоскости, освобождается и начинает двигаться по направлению к поверхности. а) Как зависит кинетическая энергия частицы от расстояния х до поверхности? (Потерями энергии частицы на излучение пренебречь.) Есть ли что-нибудь нефизическое в вашем ответе? б) Реальную металлическую пластинку можно рассматривать как идеальную проводящую плоскость лишь на расстояниях, превышающих межатомные, т. е. лишь до расстояний примерно 2-3 А. Оцените кинетическую энергию электрона, который в момент t = 0 был освобожден на расстоянии 1 см от проводящей пластинки. Ответ выразить в электрон-вольтах.
 54724. Прямоугольный пластмассовый брусок с размерами 1 см x 10 см x 100 см равномерно заряжен. Плотность зарядов равна р кулон/см3. Нарисуйте примерный ход потенциала ф как функции расстояния до центра бруска вдоль прямой линии, перпендикулярной стенке с размерами 10 см x 100 см и проходящей через центр бруска. Рассмотрите интервал расстояний от 0,001 см (внутри бруска) до расстояний, во много раз превышающих 100 см. Масштаб возьмите дважды логарифмический, т. е. нарисуйте logф как функцию логарифма расстояния. На том же графике нарисуйте кривую зависимости напряженности электрического поля Е от расстояния.
 54725. Земля непрерывно облучается космическими лучами высокой энергии, приходящими из пространства вне Солнечной системы. С помощью измерений, выполненных на зондах и спутниках, было установлено, что космические лучи в основном состоят из протонов и лишь малую часть их составляют а-частицы, тяжелые ядра и электроны. Средняя энергия протонов в космических лучах оказалась равной нескольким миллиардам электрон-вольт; интенсивность потока протонов, достигающих земной атмосферы, примерно равна одному протону в секунду на 1 см2. Интересно, какое время необходимо, чтобы заряженные частицы космических лучей подняли потенциал Земли настолько, чтобы протоны уже не могли попасть на поверхность Земли из-за электрического отталкивания? Велико ли это время по сравнению с возрастом Земли, оцениваемым примерно в 5 миллиардов лет? Если это время меньше возраста Земли, то почему космические лучи продолжают достигать ее поверхности?
 54726. Определите емкость, приходящуюся на единицу длины бесконечного цилиндрического конденсатора, изготовленного из двух проводящих коаксиальных цилиндров, радиусы которых равны а (внутренний цилиндр) и b. Ответьте качественно на вопрос, что случилось бы, если бы в конструкции конденсатора оказались дефекты, скажем на поверхности внешнего цилиндра имелся бы острый выступ?
 54727. Чему равна плотность поверхностных зарядов, индуцированных на поверхности незаряженной изолированной проводящей сферы, расположенной на расстоянии b от точечного заряда q, б) Чему равна сила, действующая на заряд со стороны сферы, если потенциал последней равен V?
 54728. В гл. 6 «Лекций» (вып. 5) на основе качественных рассуждений было показано, что электрическое поле вне сферы, плотность поверхностных зарядов на которой меняется в зависимости от полярного угла Q как cos Q, можно себе представить как суперпозицию электрических полей двух слабо сдвинутых относительно друг друга и противоположно заряженных шаров. Покажите теперь это путем вычислений и найдите электрическое поле как вне, так и внутри сферы, считая, что плотность поверхностных зарядов на ней зависит от полярного угла Q: s(Q) = AcosQ, где А — некоторая постоянная.
 54729. Поле электрического диполя определяется выражениями (6.14) и (6.15) «Лекций» (вып. 5, стр. 113). а) Найдите радиальную и тангенциальные составляющие вектора напряженности электрического поля диполя в точке (r, Q, ф). б) Покажите, что электрическое поле диполя направлено в одну и ту же сторону во всех точках прямой, проходящей через диполь. в) Найдите направление и относительные величины напряженности Е на некотором произвольном расстоянии от диполя в точках, определяемых углами Q, п/4, и п/2, отсчитанными от направления вектора р?
 54730. Пусть диполь находится в однородном электрическом поле с напряженностью Е0. а) Если направление дипольного момента совпадает с направлением электрического поля, то существует эквипотенциальная поверхность, охватывающая диполь. Покажите, что такой поверхностью является сфера, и найдите величину дипольного момента, для которой сфера имеет радиус а. б) Опишите электрическое поле вне этой сферы. в) Изменится ли электрическое поле, если с этой эквипотенциальной поверхностью совпадет тонкая проводящая сфера, заряженная до того же потенциала? г) Как будут распределены заряды на сфере? д) Каким дипольным моментом будет обладать это распределение зарядов? е) Как бы вы использовали полученные результаты?
 54731. Частица с дипольным моментом р помещена на расстоянии r от длинного провода, на единицу длины которого приходится заряд L (L — константа). Вектор дипольного момента расположен в плоскости, проходящей через провод и частицу. а) Чему равна сила, действующая на частицу, и момент этой силы, если вектор р направлен нормально к проводу? б) Чему равна сила, действующая на частицу, и момент силы, если вектор р параллелен проводу?
 54732. Найдите потенциал, создаваемый большой пластиной, на единицу площади которой приходится N диполей, как функцию расстояния от этой пластины. Считайте, что все диполи обладают одинаковым дипольным моментом р, направленным перпендикулярно поверхности пластины.
 54733. Электрический заряд +q равномерно распределен по тонкому кольцу радиуса а. Центр кольца совпадает с началом координат, а плоскость кольца совпадает с плоскостью уz. В начале координат помещен заряд -q. а) Найдите потенциал ф в точке Р, расположенной на оси х на расстоянии х от начала координат. б) Чему равно электрическое поле в этой точке? в) Как зависит электрическое поле от х на расстояниях х >> а? Убывает ли оно быстрее электрического поля диполя на больших расстояниях? Как это объяснить?
 54734. Плоский конденсатор емкостью 100 пф, расстояние между обкладками которого 1 см, заряжается с помощью батареи до разности потенциалов 10 в. После этого батарея отключается. Нижняя пластина конденсатора затем облучается синим светом, выбивающим из нее электроны, кинетическая энергия которых лежит в интервале от 0 до 1,5 эв. Обкладки заряжены так, что электроны притягиваются к верхней из них. На приведенном рисунке показана зависимость от времени полного тока, текущего на верхнюю пластину конденсатора. Сколько времени понадобится для того, чтобы разность потенциалов на обкладках обратилась в нуль (время t1 на рисунке)? Чему равна разность потенциалов в момент времени t >> t2? Как изменится ваш ответ, если перед зарядкой конденсатора расстояние между пластинами увеличить вдвое? Как изменится ваш ответ, если расстояние между пластинами было увеличено вдвое лишь после того, как конденсатор был полностью заряжен и батарея отключена?
 54735. Палочка из изолятора длиной 1 м и радиусом R = 1 см вытянута вдоль оси х так, что ее концы расположены в точках с координатами x = 0,5 м и х = -0,5 м. Плотность объемного заряда в палочке равна р = ar2, где r — расстояние до оси палочки, в а — положительная постоянная, равная 2 кулон/м^-5. а) Найдите напряженность электрического поля Е в четырех точках x = 0, z = 0, y = 0, 0,5, 1,0 и 2,0 см. В этой части задачи считайте палочку бесконечно длинной. б) Дайте разумную оценку потенциала в точке х = 0, у = 0, z = 0, взяв за нуль потенциала его значение на бесконечности. Укажите неопределенность вашей оценки и обоснуйте ее. в) Будет ли потенциал в точке x = 0,5 м, у = z = 0 больше, меньше или равен потенциалу в начале координат?
 54736. Покажите, что эквипотенциальные поверхности вокруг двух параллельных противоположно заряженных нитей представляют собой цилиндры вращения. Нити находятся на расстоянии d, линейная плотность зарядов на них равна +L и -L кулон/м. б) Используя результат предыдущей части задачи, найдите емкость, приходящуюся на единицу длины двух параллельных проводов с радиусом поперечного сечения r0, оси которых находятся на расстоянии d. Считайте, что d >> 2r0. в) Покажите, что при х, y > d потенциал может быть представлен в комплексном виде f(z) = U + iV = 1/z = 1/x + iy.
 54737. Согласны ли вы с утверждением, содержащимся в гл. 8 «Лекций» (вып. 5), что электростатическая энергия ядра, содержащего Z протонов, более или менее однородно распределенных по объему сферы радиуса r, примерно равна величине U = 3/5 Z(Z - 1) e2/r?
 54738. Максимальная емкость конденсатора настройки в радиоприемнике равна 100 пф. Путем поворота подвижных пластин емкость конденсатора может быть уменьшена до 10 пф. Предположим, что конденсатор заряжен до разности потенциалов 300 в, когда его емкость максимальна. Затем ручка настройки поворачивается и емкость конденсатора становится минимальной. Чему равна работа, совершенная при повороте ручки настройки?
 54739. Заряды на обкладках двух конденсаторов емкостью С1 и С2 равны q1 и q2. Покажите, что, за исключением особых случаев, запасенная электростатическая энергия конденсаторов уменьшается, если они соединяются параллельно. Куда при этом девается энергия? Найдите условия, при которых соединение конденсаторов не приводит к потере энергии.
 54740. Покажите, что в электрическом поле Е электростатическая энергия диполя с дипольным моментом р равна U = -р*Е. б) Вычислите момент силы, действующей на диполь в электрическом поле Е. Сделайте это как прямым путем, так и с помощью приведенного выше выражения для энергии диполя. Будет ли энергия диполя той же самой, если он создан путем последовательного помещения его зарядов в электрическое поле? Если нет, то вычислите разность энергий; если да, то приведите физические соображения в защиту вашего утверждения.
 54741. Покажите, что обкладки плоского конденсатора притягивают друг друга с силой F = q2/2e0A (А — площадь обкладки). Найдите работу, которую необходимо затратить, чтобы расстояние между обкладками увеличить с х до x + dx.
 54742. Известно, что пион (п-мезон) может находиться в трех различных зарядовых состояниях. Иными словами, существуют положительный, отрицательный и нейтральный пионы. Масса (умноженная на с2) заряженного пиона равна 139,6 Мэв, масса же нейтрального пиона равна 135 Мэв. В одной из моделей пиона предполагается, что различие масс определяется лишь электростатической энергией. Если далее предположить, что заряженные пионы имеют сферическую форму и заряд равномерно распределен по их объему, то можно вычислить радиус пиона. Вычислите радиус пиона в этих предположениях. Находится ли ваш результат в согласии с существующими оценками размеров ядер?
 54743. Внутренний радиус металлической сферической оболочки равен а, ее внешний радиус равен b, а центр находится в начале координат. В оболочке просверлено небольшое отверстие. Полный заряд оболочки равен нулю. Какую работу нужно затратить, чтобы заряд q1 перевести из бесконечности через отверстие в начало координат? Чему равна эта работа, если полный заряд оболочки равен q2?
 54744. Пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено диэлектриком, состоящим из двух половинок равных размеров, но с разными диэлектрическими проницаемостями х (см. рисунок). Покажите, что емкость такого конденсатора равна С = e0A/d x1+x2/2.
 54745. Расстояние между обкладками плоского конденсатора, имеющими форму квадратов с площадью 400 см2, равно 1 см. С помощью электрической батареи конденсатор заряжается до разности потенциалов 10 в, а затем отключается от нее. После этого между обкладками конденсатора вставляется широкая пластина из диэлектрика толщиной, немного меньшей 1 см, причем так, что остается закрытой лишь площадь 10 x 20 см2. Диэлектрическая проницаемость пластины равна 4. а) Чему равна сила притяжения обкладок конденсатора друг к другу? б) Чему равен дипольный момент единицы объема диэлектрика внутри, но достаточно далеко от краев конденсатора (чтобы можно было пренебречь краевыми эффектами)? в) Предположим, что внутри диэлектрика с диэлектрической проницаемостью 4,0 равномерно распределены маленькие металлические шарики. Будет ли при этом разность потенциалов на пластинах конденсатора больше, меньше или равна той, которая существовала бы в случае однородного диэлектрика?
 54746. Емкость плоского конденсатора с расстоянием d между его пластинами на воздухе равна С0. Между пластинами конденсатора вдвигается пластина из изолятора с диэлектрической проницаемостью х, толщиной t < d и площадью, равной площади пластин конденсатора, причем так, что ее плоскости параллельны пластинам. Пренебрегая краевыми эффектами, покажите, что емкость конденсатора при этом становится равной C = C0/1 - [(x-1)/x](t/d).
 54747. Изолированному металлическому шару радиуса а сообщен заряд Q. Поверхность шара равномерно покрыта слоем диэлектрика с внутренним радиусом а и внешним радиусом b. а) Вычислите поверхностный заряд, наведенный на внутренней и внешней поверхности диэлектрика. б) Найдите, чему равна плотность наведенных зарядов в объеме диэлектрика.
 54748. Плоский конденсатор подключен к электрической батарее, поддерживающей на его пластинах разность потенциалов V0. В пространство между обкладками конденсатора вдвигается пластина из диэлектрика с диэлектрической проницаемостью x так, что это пространство полностью заполняется диэлектриком. а) Покажите, что при этом электрической батареей совершается работа q0V0(x - 1), где q0 — заряд на обкладках конденсатора до заполнения его диэлектриком. б) Какую работу при заполнении конденсатора диэлектриком совершают механические силы? Совершается ли эта работа над диэлектриком или самим диэлектриком?
 54749. Две коаксиальные трубки радиуса а и b (а < b) погружаются вертикально в масляную ванну. Покажите, что, если между трубками существует разность потенциалов V, масло в них поднимется на высоту h = 2V2(х-1)е0/ln(b/a) p(b2 - a2)g, где х — диэлектрическая проницаемость масла.
 54750. Покажите, что силовые линии электрического поля, пересекающие поверхность раздела двух диэлектриков с диэлектрическими проницаемостями х1 и х2, образуют с нормалью к этой поверхности углы Q1 и Q2, связанные соотношением x1 ctg Q1 = x2 ctg Q2.
 54751. Найдите электрическое поле внутри и вне однородно поляризованного шара радиуса а (см. фиг. 11.7, вып. 5. стр. 223).
 54752. Диэлектрическая проницаемость газа гелия при 0°С и давлении 1 атм равна 1,000074. Найдите дипольный момент атома гелия в однородном электрическом поле с напряженностью 100 в/см.
 54753. Диэлектрическая проницаемость водяного пара, газа полярных частиц, весьма заметно зависит от температуры. В приведенной ниже таблице представлены экспериментальные данные по исследованию этой зависимости. Считая водяной пар идеальным газом, вычислите поляризуемость его молекул как функцию температуры и начертите график этой зависимости, откладывая по оси абсцисс обратную температуру. По наклону кривой определите дипольный момент молекулы воды.
 54754. Рассмотрите систему, состоящую из двух атомов, расположенных на расстоянии а друг от друга. Поляризуемость каждого атома равна а. Найдите связь между а и а, при которой эта система будет сегнетоэлектриком. (Ответ: a3 = а/2п.) Если эта задача покажется вам слишком простой, рассмотрите линейную цепочку атомов кислорода, расположенных на расстоянии а друг от друга, между каждой парой которых находится атом титана. Найдите соотношение между поляризуемостью атома кислорода aO и атома титана аTi при котором такая система будет сегнетоэлектриком. Примечание: E = 1/n3 = 1,20.
 54755. Диэлектрик» представляет собой пространственную решетку регулярно расположенных стеклянных шариков диаметра d с минимальным расстоянием между соседними шариками, равным 3d. Предполагая, что поляризация, наведенная во внешнем электрическом поле в каждом стеклянном шарике, не зависит от наличия остальных (т. е. пренебрегая перераспределением наведенных зарядов благодаря взаимному влиянию шариков), найдите диэлектрическую проницаемость такого «диэлектрика».
 54756. Из медной проволоки диаметром поперечного сечения b сделано кольцо радиуса а, причем b << a. Кольцо помещено в центр пластмассового шара, радиус которого во много раз больше радиуса кольца. Переменным магнитным полем в кольце наводится ток. Ток нагревает проволоку, причем в единицу времени в кольце выделяется W тепла (в дж/сек). Температура на поверхности шара равна T0. Чему равна температура в центре шара в cтационарном случае?
 54757. В задаче 5.10 была обрисована одна из простейших моделей для описания теплового баланса Земли. Другая модель (тоже сильно упрощенная) состоит в предположении, что внутри Земли существует ядро радиуса а с предельно высокой теплопроводностью. Найдите, какого размера должно быть это ядро, считая его температуру равной 2500°С, а коэффициент теплопроводности окружающих ядро пород равным 0,03 дж/см*сек*град и принимая во внимание тот факт, что Земля ежегодно выделяет 8*10^20 дж тепла.
 54758. В ряде случаев электростатический потенциал ф можно представить в виде ф = f(r)cosQ = f(r) z/r, где r2 = x2 + y2 + z2. Например, потенциал такого вида в гл. 12 «Лекций» (вып. 5) возникает при решении задачи об обтекании шара «сухой» водой. Если функцию f(r) разложить в ряд f(r) = E bnr^n, то для потенциала ф, удовлетворяющего уравнению Лапласа, только два коэффициента bn будут отличны от нуля. Найдите эти коэффициенты. б) В двумерной задаче потенциал ф может быть записан в виде ф = g(p)cosQ = g(p)*z/p, g(р) = E сnр^n, где р2 = у2 + z2. Найдите отличные от нуля коэффициенты, если потенциал ф удовлетворяет уравнению Лапласа. При решении задачи используйте декартову систему координат.
 54759. Две тонкие водопроводные трубы, расположенные параллельно на расстоянии d друг от друга, пересекают под прямым углом широкую стенку толщиной t. Теплопроводность стенки равна K, а температура на далеких расстояниях от труб равна Т0. По трубе, пересекающей стенку в точке x = +d/2, течет горячая вода, сообщающая стенке +W вт тепла. По другой трубе течет холодная вода, которая, наоборот, забирает от стенки -W вт тепла. Считая трубы бесконечно длинными, а задачу двумерной, найдите температуру в точке Р с координатами x = 100d, y = 100d. Пусть T0 = 20°С, d = 50 см, K = 0,03 вт/см*град, W = 200 вт и толщина стенки равна 10 см. Решите задачу в разумных приближениях.
 54760. Концы четырех параллельных медных проводов сечением 1 мм2 достаточно большой длины образуют квадрат со стороной 20 см (см. рисунок). По каждому проводу течет ток 20 а в направлении, указанном стрелками. Какова величина и направление вектора магнитного поля В в центре квадрата? Куда направлена сила, действующая на 1 погонный метр левого нижнего из проводов, и какова ее величина?
 54761. Длинный диэлектрический цилиндр радиуса а статически поляризован, причем вектор поляризации во всех точках цилиндра направлен радиально, а величина его пропорциональна расстоянию от оси, т. е. Р = Р0 r/2. Цилиндр вращается с постоянной угловой скоростью w вокруг своей оси. Найдите магнитное поле в точках на оси цилиндра, достаточно удаленных от его концов.
 54762. Длинный коаксиальный кабель состоит из двух концентрических проводников, размеры которых указаны на рисунке. Предполагается, что плотность токов в проводниках однородна по сечению. а) Найдите магнитное поле В в точках r внутри центрального проводника (r < а). б) Найдите В в пространстве между проводниками (a < r < b). в) Найдите В внутри внешнего проводника (b < r < с). г) Найдите В вне кабеля (r > с).
 54763. Развертка электронного луча в телевизионной электронно-лучевой трубке осуществляется магнитным полем, создаваемым системой отклоняющих катушек, расположенных в узкой части электронно-лучевой трубки. Источником электронов, как правило, служит электронная пушка, из которой электроны вылетают с энергией 3 кэв. После отклонения электроны затем ускоряются электрическим полем. Оцените напряженность магнитного поля, соответствующую максимальному отклонению электронного луча. Оцените в тот же момент времени число ампер-витков в отклоняющей катушке. При оценке ускорением электронов после отклонения можно пренебречь. В какую сторону изменятся ваши оценки, если учесть это ускорение?
 54764. По длинному прямолинейному проводу течет ток l1, а по контуру, имеющему форму прямоугольника со сторонами l и w, течет ток l2. Прямолинейный проводник и контур лежат в одной плоскости. а) Чему равна сила, действующая на контур? Какая сила действует при этом на линейный проводник? б) Какой вращающий момент приложен к контуру? Чему равен вращающий момент, приложенный к линейному проводнику?
 54765. Внутри очень длинного проводящего стержня радиуса а имеется цилиндрическая полость радиуса b, ось которой параллельна оси стержня, но находится от нее на расстоянии d. По проводнику течет ток, плотность которого по сечению однородна и равна +j. Чему равно магнитное поле на оси полости, вдали от концов стержня?
 54766. При производстве пластмассовой пленки широкая тонкая полоса пластмассы протягивается со скоростью v через два последовательно расположенных ролика. В процессе обработки поверхность пленки приобретает равномерно распределенный электрический заряд s. а) Найдите векторный потенциал вблизи поверхности полосы в центре пролета между роликами (вблизи точки Р на рисунке). б) Чему равно поле В в этой же области?
 54767. По тонкому проводу течет ток l. Чему равно магнитное поле в центре полукруга, созданное: а) каждым из прямолинейных участков провода, длина которых равна l? б) криволинейным участком провода длиной пr? в) всем проводом?
 54768. В используемых на практике устройствах часто необходимо добиться высокой однородности магнитного поля. Одной из важнейших характеристик этих устройств является однородность поля, создаваемого кольцами Гельмгольца: двумя коаксиальными витками проволоки, по которым течет ток в одном направлении. Пусть радиус витков равен а, сила тока в них l, а расстояние между ними равно b. а) Найдите магнитное поле на оси витков в точке Р, расположенной на расстоянии х от средней точки между витками. б) Разложите полученное выражение в ряд по степеням х с точностью до членов х2. в) Каково соотношение между величинами а и b, при котором слагаемые с х2 обращаются в нуль? г) Покажите, что созданное витками магнитное поле в указанном в пункте (б) приближении и при условии, найденном в пункте (в), определяется выражением Bx = 8l/5^3/2 ae0c2.
 54769. По квадратной проволочной рамке со сторонами, равными а, течет ток l. а) Используя закон Био—Савара, покажите, что магнитное поле В на оси рамки в точке, расположенной на расстоянии х от ее центра, равно B = 4a2l / п(4x2 + a2)(4x2 + 2a2)^1/2 e0c2. б) Получите тот же результат, определив векторный потенциал. Примечание. Исходите из интегрального представления векторного потенциала и используйте соотношения d/dx int f(x,y) dy = int d/dx f(x,y) dy, lim int f(x,y) dy = int {lim f(x,y)} dy.
 54770. Определив векторный потенциал, вычислите магнитное поле на оси бесконечно тонкого кольца радиуса а, по которому течет ток l.
 54771. Проводящая сфера радиуса а заряжена до потенциала V. Сфера вращается вокруг одной из осей, проходящих через ее центр, с угловой скоростью w. Покажите, что магнитное поле сферы совпадает с полем магнитного диполя, магнитный момент которого равен, ц = e0wV(4/3 пa3). Покажите также, что поле внутри, сферы равно Bвн = 2wV/3c2. Эти выражения точные для всех точек соответственно вне и внутри сферы. Если вы не можете доказать этого, получите ответ на первый вопрос для расстояний, намного превышающих а, а второй результат — для центра сферы.
 54772. Как отмечалось в «Лекциях», скорость вращения Земли в принципе можно определить, измерив разность потенциалов между центром и поверхностью проводящего цилиндра, помещенного на Северном полюсе Земли так, что его ось проходит через центр земного шара. а) Покажите, что эту разность потенциалов можно представить в виде V = (v/c)2 L/4пe0, где v — линейная скорость точек на поверхности цилиндра, а L — поверхностный заряд, приходящийся на единицу длины цилиндра. б) Можно ли представить себе установку с разумными параметрами для измерения этого эффекта?
 54773. Внутри сверхпроводника поля В и Е равны нулю. а) Граничным условием для поля Е на поверхности сверхпроводника является равенство нулю его тангенциальных компонент. Как выглядят граничные условия для магнитного поля? б) Маленькая рамка с током помещена на расстоянии d от поверхности сверхпроводника, занимающего полупространство. Магнитный момент ц рамки образует угол Q с нормалью к поверхности. Несколькими словами опишите метод, с помощью которого можно найти магнитное поле в любой точке пространства, предполагая, что поле магнитного диполя уже известно. в) Найдите зависимость от угла Q вращающего момента, приложенного к диполю. Найдите углы, соответствующие равновесию диполя. Какие из них отвечают устойчивому равновесию, а какие — неустойчивому? г) Найдите зависимость от угла Q силы, притягивающей магнитный диполь к сверхпроводнику или отталкивающей диполь от него.
 54774. На приведенном рисунке изображено однородное магнитное поле В внутри цилиндра радиуса r. Напряженность магнитного поля В уменьшается с постоянной скоростью 100 гс/сек. Чему равно мгновенное ускорение (величина и направление) электрона, помещенного в точки Р1, Р2 и Р3? Величину а считать равной 5,0 см.
 54775. Жесткий провод, согнутый в полукруг радиуса r, вращается с угловой скоростью w в однородном магнитном поле. Чему равна частота и амплитуда напряжения и тока, наведенного в проводнике, если внутреннее сопротивление вольтметра М равно Rм, а сопротивление остальных частей цепи ничтожно? Предположите, что поле, создаваемое током, мало по сравнению с полем В, т. е. наведенный ток мал и неспособен существенно изменить величину В.
 54776. По круговому витку (1) провода, радиус а которого мал, течет постоянный ток l. Другой точно такой же виток провода (2) помещен на оси, проходящей через центр первого витка, на расстоянии R, причем R >> a. Плоскости витков параллельны. Затем виток (2) приводится во вращение с угловой скоростью w вокруг одного из его диаметров. Какова наведенная в цепи витка (2) э.д.с, если он разомкнут?
 54777. Металлический провод массы m скользит без трения по двум параллельным металлическим рельсам, находящимся на расстоянии d друг от друга, как показано на рисунке. При движении провод пересекает силовые линии однородного магнитного поля В, направленного вертикально. а) Генератор G создает постоянный ток l, текущий от одного рельса к другому через скользящий провод. Определите скорость (величину и направление) провода как функцию времени, предполагая, что в момент t = 0 провод покоился. б) Генератор заменяется электрической батареей с постоянной э. д. с. Провод при этом движется с постоянной скоростью. Найдите скорость установившегося движения. Достигает ли скорость такой величины в условиях задачи (а)? в) Чему равен ток в задаче (б) в условиях установившегося движения? Считайте, что магнитное поле, создаваемое током l, значительно меньше В.
 54778. Цепь состоит из двух соединенных последовательно катушек с индуктивностями L1 и L2. Взаимная индукция катушек равна M. Найдите полную индуктивность цепи. Как изменится суммарная индуктивность, если витки одной катушки перемотать в другую сторону?
 54779. Кабель сделан из провода и охватывающего его коаксиального проводящего цилиндра, по которому течет ток в противоположном направлении. Радиус внутреннего провода кабеля равен а, а внешний радиус цилиндра равен b. а) Покажите, что если предположить, что ток во внутреннем проводе течет только по его поверхности, то индуктивность, приходящаяся на единицу длины кабеля, равна L = 1/2пe0c2 ln(b/a). б) Вычислите индуктивнoсть, если ток равномерно распределен по сечению внутреннего провода кабеля. Сравните оба полученных результата. Сильно ли зависит результат от характера распределения тока по сечению центрального провода?
 54780. Тороидальная катушка из N витков, внутренний радиус которой равен b, в поперечном сечении имеет форму квадрата со сторонами, равными a. а) Покажите, что индуктивность катушки равна L = N2a/2пe0c2 ln(1 + a/b). б) Выразите через те же величины взаимную индукцию системы, состоящей из тороидальной катушки и длинного прямолинейного провода, вытянутого вдоль оси симметрии катушки. Считайте, что проводники, замыкающие цепь, настолько удалены от катушки, что их влиянием можно пренебречь. в) Найдите отношение индуктивности катушки к взаимной индукции системы.
 54781. Два плоских витка провода с одинаковой площадью А и током l помещены на расстоянии r друг от друга так, как показано на рисунке. Единичные векторы n1 и n2, определяющие направления нормалей к виткам, образуют с линией, соединяющей центры витков, углы а1 и а2 и лежат с ней в одной плоскости. а) Предполагая, что радиус каждого витка во много раз меньше r, найдите взаимную индукцию M двух витков. б) Используя найденное выражение для M12, найдите величину и направление силы, действующей между витками. в) Как изменится эта сила, если направление тока в одном из витков или сразу в обоих поменять на противоположное?
 54782. Круговой виток провода радиуса r1 расположен в центре соленоида длиной l, состоящего из N витков радиуса r2, причем r2 >> r1. Оси витка и соленоида совпадают. Обозначив цепь кругового витка индексом 1, а цепь соленоида индексом 2, найдите индуктивности M12 и M21.
 54783. В однородном магнитном поле В, направленном перпендикулярно плоскости рисунка, по двум проводящим рельсам со скоростью v движется провод. Какой ток течет через сопротивление R, если v = 100 см/сек, l = 10 см, В = 0,1 вебер/м2 и R = 10 ом (магнитным полем, создаваемым током, пренебречь). В какую сторону изменится найденный вами ток, если не пренебрегать полем, создаваемым движущимся проводником? Изменится ли ваш ответ, если магнит, создающий поле В, будет двигаться со скоростью v в ту же сторону, что и провод? Как меняется со временем коэффициент самоиндукции изображенной на рисунке цепи?
 54784. Рассмотрим два витка провода радиуса а, находящиеся на расстоянии d друг от друга (d >> а). Центры витков лежат на одной прямой, перпендикулярной плоскости обоих витков. Через виток А в направлении, показанном на рисунке стрелкой, пропускается ток l = К0 t2 (t — время). Сопротивление витка Б равно R. а) Если пренебречь самоиндукцией витков, то чему равен момент сил, действующих на виток Б? б) Покажите, что если пренебречь самоиндукцией, то сила, действующая на виток Б, равна 24п4a8K0t3/(4пе0с2)^2 d7R. В какую сторону направлена эта сила? в) Покажите качественно, в каком направлении изменится найденная вами величина силы и величина момента силы, если самоиндукцией витков не пренебрегать? г) Выясните, как изменится ответ к пунктам (а) и (б) задачи, если виток Б повернуть на 90° вокруг оси, перпендикулярной общей оси витков.
 54785. Решение дифференциальных уравнений иногда удобно искать в комплексном виде. а) Покажите, что если электрическое поле зависит от времени t и координаты х (зависимости от у и z нет) Е = Е0e^i(wt-kx), то каждая компонента вектора напряженности электрического поля удовлетворяет волновому уравнению. (Напомним, что физическое поле описывается вещественной частью приведенного выражения.) б) Убедитесь, что вещественная часть Е описывает плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси х. В какую сторону оси х распространяется волна? в) Покажите, что если оператор v действует на функции, подобные приведенной в пункте (а), то он имеет вид v = ex d/dx = ex(-ik), где еx — единичный вектор, направленный вдоль оси х; i = |/ -1— мнимая единица, т. е. что его действие сводится к простому умножению функции на число. Можно ли подобное утверждать относительно оператора производной по времени? г) Используя результат пункта (в), покажите, какой вид имеют уравнения Максвелла для полей, зависящих от t и х синусоидально. Какая связь должна существовать между w и k? д) Как изменятся ваши ответы, если электрическое поле имеет вид E = E0e^±i(wt+kx)?
 54786. Плоская электромагнитная волна частоты w отражается от зеркала, движущегося со скоростью v в направлении распространения волны. Используя уравнения Максвелла, найдите частоту отраженной волны, которая регистрируется неподвижным наблюдателем. Сравните ваш результат с тем, который был получен в вып. 3 с помощью теории относительности.
 54787. Выведите подробно выражение (21.26) (см. «Лекции», вып. 6, стр. 155).
 54788. С помощью уравнения (21.1) (см. вып. 6, стр. 142) можно найти электрическое поле, создаваемое движущимся зарядом. Рассмотрим диполь, образованный положительным и отрицательным зарядами, осциллирующими относительно начала координат вдоль оси z так, что координата положительного заряда меняется со временем по закону z+ = d/2coswt, а отрицательного z- = -d/2coswt. Дипольный момент такой системы зарядов равен p = dez dcoswt. Покажите, что электрическое поле диполя, найденное из упомянутого уравнения, имеет вид Еф = 0, ЕQ = p/4пe0 sinQ [(-w2/c2r + 1/r3) cosw(t - r/c) - w/cr2 sinw(t - r/c)], Er = 2p/4пe0 cosQ [1/r3 cosw(t - r/c) - w/cr2 sinw(t - r/c)]. При решении задачи считайте, что точка Р находится на расстоянии r >> d от диполя. Примечание. er+ ~ er ~ er-, a der+/dt и d2er+/dt2 — это векторы, направления которых практически совпадают с направлением вектора eQ.
 54789. Используя симметрию уравнений Максвелла и вид электрического и магнитного полей осциллирующего электрического диполя, найдите поле осциллирующего магнитного диполя. Это поле должно совпадать с полем диполя, создаваемого контуром с током i = i0 coswt, радиус которого равен а (a << с/w).
 54790. В задаче 21.2 диполь состоял из двух зарядов, осциллирующих вокруг начала координат. Диполь, величина которого изменяется со временем по гармоническому закону, можно построить иным способом: взять два проводящих шара, соединить их проводником длиной d и по проводнику пропустить переменный ток. Тогда на концах проводника возникает переменный заряд ±q(t), а сам проводник остается в целом нейтральным; заряд q(t) можно рассматривать как вещественную часть выражения Q0e^iwt. В произвольной точке Р на расстоянии r >> d от диполя интегральное представление для запаздывающего потенциала приводит к точному выражению для ф (см. рисунок) ф = Q0/4пe0 [cosw(t - r1/c)/r1 - cosw(t - r2/c)/r2)]. а) Предполагая wd/2c << 1, покажите, что ф = Q0d cosQ/4пe0r [1/r cosw(t - r/c) - w/c sinw(t - r/c)]. б) Покажите далее, что Az ~ -Q0wd sinw(t - r/с)/4пe0c2r. в) Убедитесь, что из найденных вами потенциалов следуют те же выражения для электрического и магнитного полей.
 54791. Антенна, предназначенная для работы на частоте w = 2пс/L, изготовлена из двух колинеарных проводов, длина каждого из которых равна 1/4 длины волны. На антенну подается синусоидальное меняющееся напряжение требуемой частоты. Возникающее в антенне распределение токов с большой степенью точности описывается выражением i = -i0 sin(wt) cos(2пz/L). Для определения поля излучения антенну можно представить в виде суперпозиции большого числа диполей длины dz, причем каждый из них расположен в точке z. Величина дипольного момента меняется от диполя к диполю. а) Покажите, что дипольный момент каждого такого диполя следует брать в виде dp = {i0/w cos 2пz/L cos wt} dz. б) Покажите, что на больших расстояниях (r >> с/w) электрическое и магнитное поля антенны имеют вид ЕQ = 2i0/4пe0cr cos(п/2 cosQ)/sinQ cosw(t - r/c), Bф = 1/c EQ. в) Нарисуйте примерный вид кривой зависимости ЕQ от угла Q. На этом же рисунке нанесите кривую зависимости ЕQ от Q для одного диполя и сравните полученные кривые. i = -i0(sin wt) cos 2пz\L, (-L/4 < z < L/4).
 54792. Частица с зарядом q движется по кругу радиуса а со скоростью v. а) Найдите скалярный потенциал ф в центре круга в тот момент, когда частица находится в точке Р. б) Определите векторный потенциал А в центре круга в тот же момент. в) Определив потенциалы в окрестности центра круга,воспользуйтесь выражениями (18.16),(18.19) («Лекции», вып. 6, стр. 90) и найдите электрическое и магнитное поля в центре. Как ориентирован вектор напряженности электрического поля по отношению к радиусу-вектору, проведенному в точку Р? г) Вычислите эти поля, воспользовавшись формулой (21.1) (вып. 6, стр. 142). В этой задаче скорость v не предполагается малой по сравнению со скоростью света с.
 54793. Проволочки соединены так, что они образуют ребра куба, причем сопротивление каждого ребра 1 ом. Найдите сопротивление между различными парами вершин куба.
 54794. Найдите ток l в цепи, схема которой изображена на рисунке. б) Чему равен ток l, если изображенные на схеме катушки индуктивности обладают взаимной индуктивностью M?
 54795. Принципиальная схема устройства высокой точности звуковоспроизведения имеет такой вид, как изображено на рисунке. Эффективное сопротивление каждого громкоговорителя равно R. а) Покажите, что при R2 = L/2C импеданс на входе (на клеммах генератора) веществен и равен R. б) Покажите, что w2 = 1/LC. Частота wс определяется как та частота, при которой на каждый из громкоговорителей приходится 1/2 общей мощности.
 54796. Покажите, что амплитуда разности потенциалов (напряжение) между точками а и b цепи, изображенной на схеме, не зависит от w. Опишите качественно зависимость фазы этой разности потенциалов от частоты w. Как изменится величина разности потенциалов между точками а и b, а также фаза, если источник напряжения обладает внутренним сопротивлением R10/?
 54797. Электрическая цепь имеет вид, изображенный на схеме. а) Изобразите схематически зависимость амплитуды тока в цепи от частоты для произвольно выбранных величии L, С и R. б) Если R >> |/ L/С, сравните частоту резонанса и ширину пика резонансной кривой данной цепи с аналогичными величинами для цепи с последовательным соединением ее элементов, но при R << |/ L/C. Специально рассмотрите случай R = K|/ L/C для цепи с параллельным соединением и случай R = (1/K)|/ L/C для цепи с последовательным соединением.
 54798. Мостовая схема, изображенная на рисунке, используется для измерений индуктивности. Источником переменной э.д.с частоты w служит генератор напряжения. Если мост сбалансирован, ток через детектор RD равен нулю. Найдите L как функцию R и С.
 54799. Изображенная схема представляет собой мост Вейна, часто используемый в RС-цепях. Если ток через детектор равен нулю, говорят, что мост сбалансирован. Покажите, что баланс наступает при одновременном выполнении следующих двух условий: (r1/r2) = (R1/R2) + (C2/C1), w = 1/ |/ R1R2C1C2.
 54800. В цепи, изображенной на рисунке, действует источник переменного напряжения V(t) = V0 cos wt. а) Покажите, что если R, L и С подобраны так, что RC = L/R, ток l в цепи на зависит от частоты. б) Какова разность фаз между приложенным напряжением и напряжением на концах RC-пары (при RC = L/R)?