Earth curvature of space2 curvature of space1
Банк задач

Вход на сайт
Регистрация
Забыли пароль?
Статистика решений
Тип решенияКол-во
подробное решение57480
краткое решение7556
указания как решать1341
ответ (символьный)4703
ответ (численный)2335
нет ответа/решения3776
ВСЕГО77191

База задач ФизМатБанк

 54601. Предположим, что когда пучок плоско поляризованного света падает на поляроидную пластинку, то часть его а2l0 (l0 — интенсивность падающего света) проходит через пластинку, если ось поляроида параллельна направлению поляризации. Если же эти оси образуют прямой угол, то через пластинку проходит только доля падающего света е2l0. (Если поляроид идеальный, то а2 должно быть равно единице, а е2 — нулю.) Неполяризованный свет интенсивности l0 проходит через пару поляроидных пластинок, оси которых образуют угол Q. Какова интенсивность прошедшего света? (Пренебречь эффектами отражения.)
 54602. Покажите, что для угла Брюстера (угол падения i, при котором отраженный луч полностью поляризован) справедливо соотношение tg i = n.
 54603. Оцените интенсивность и поляризацию излучения электрона, движущегося с постоянной скоростью по круговой орбите, для точек, расположенных: а) на оси, проходящей через центр круга, б) в плоскости окружности.
 54604. Показатели преломления кристаллического кварца для света с длиной волны 600 ммк равны n0 = 1,544 и nе = 1,553 для обыкновенного и необыкновенного лучей соответственно. В кристалле кварца, вырезанном параллельно оптической оси, можно получить максимальную разность скоростей обыкновенного и необыкновенного лучей, если они нормально падают на поверхность кристалла. Какова должна быть толщина кристалла, чтобы произошел сдвиг фаз этих лучей на 90°, если используется свет указанной длины волны?
 54605. Первокурсник КАЛТЕХа, прогуливаясь с девушкой, видит Луну под углом 10° над горизонтом и ее отражение в спокойном озере. С тоской вспоминая гл. 33 «Лекций», он делает попытку рассчитать яркость изображения по сравнению с яркостью самой Луны, полагая, что излучение от Луны не поляризовано (почти), и забывая, что обиженная спутница уйдет. Какой результат он получит? Покажите, что интенсивность отраженных касательных лучей достигает 100 %.
 54606. Свет падает перпендикулярно плоскости одной из граней алмаза (n = 2,40). а) Какая доля падающего излучения отражается? б) Чему равен угол Брюстера для алмаза?
 54607. В дополнение к задаче 33.5 предположим, что показатели преломления кварца для света с длиной волны L1 = 410 ммк равны n0 = 1,557 и nе = 1,567 и что кристалл кварца есть четвертьволновая пластинка для света с длиной волны L2 = 600 ммк. Полностью опишите состояние поляризации света с длиной волны L1, прошедшего через кристалл, если падающие лучи были линейно поляризованы.
 54608. Вам дана отполированная пластинка из черного обсидиана, нужно измерить показатель преломления этого материала. Как вы поступите?
 54609. Диск радиуса А катится без скольжения по горизонтальной плоскости. Напишите уравнение пути, проходимого точкой, находящейся на расстоянии R < A от центра диска в зависимости от A, R и угла поворота диска Q. Ось х направлена вертикально от центра диска, а ось z — в направлении его движения. Найдите ускорение d2x/dt2 точки при z = ct.
 54610. Полученное в предыдущей задаче выражение необходимо для вычисления интенсивности излучения частицы, движущейся по круговой траектории радиуса R. Выразите результат через наблюдаемые величины R, v (скорость частицы) и х (положение частицы в момент наблюдения).
 54611. Найдите отношение интенсивностей излучения заряженной частицы, когда она движется по направлению к наблюдателю и от него по круговой орбите.
 54612. Получите формулу sin Q = v/c, используя преобразования Лоренца.
 54613. Покажите, что скорость электрона с энергией 1 Гэв отличается от скорости света на одну восьмимиллионную часть.
 54614. При наблюдении D-линии излучения атомов натрия (лабораторная длина волны 589,0 ммк) установлено, что она сдвинута в спектре излучения звезды и имеет длину волны 588,0 ммк. Чему равна скорость звезды относительно наблюдателя?
 54615. Астроном из КАЛТЕХа Р. Минковский пришел к выводу, что наиболее отдаленная туманность, которую он наблюдал, имела скорость движения 0,6с (удаленные космические объекты движутся от нас). Чему равен допплеровский сдвиг для света, приходящего от этой туманности? Найдите наблюдаемую длину волны в спектре света от этой туманности, если длина волны в лабораторной системе составляет 300 ммк.
 54616. Брэдли открыл в 1728 г. аберрацию света, суть которой состоит в том, что при наблюдении звезды кажутся смещенными из-за того, что Земля движется по своей орбите. Поэтому в опытах телескоп должен быть направлен вперед максимум на 20,5", когда рассматриваются звезды, находящиеся вблизи от полюса эклиптики. Если считать, что скорость света равна 3,00*10^8 м/сек, то какова величина радиуса земной орбиты в этом опыте?
 54617. Предположим, что межпланетное пространство заполнено малыми крупинками пыли со средним удельным весом р и приблизительно сферической формы радиуса R. а) Покажите, что для песчинки любого размерa отношение силы гравитационного притяжения к Солнцу и радиационного отталкивания от Солнца не зависит от расстояния до него. б) Используя тот факт, что интенсивность солнечного излучения на земной орбите составляет 1374 вт/м2, и предполагая сечение поглощения излучения равным пR2, найдите, для какого значения радиуса R силы радиационного давления и гравитационного притяжения будут полностью скомпенсированы? в) Учитывая результаты, полученные в гл. 32 «Лекций» (вып. 3), можно ли утверждать, что сечение поглощения песчинки может быть значительно больше пR2?
 54618. В гл. 32 «Лекций» мы показали, что возбужденный атом излучает свою энергию определенными порциями. Это приводит к эффекту ограничения «времени жизни» возбужденного состояния и к образованию конечной ширины соответствующей спектральной линии. Покажите, что эти эффекты, интерпретируемые как неопределенности в измерении энергии и времени излучения фотона, согласуются с принципом неопределенности.
 54619. Анализируя размерности, оцените «боровский радиус» атома водорода. Покажите, пользуясь принципом неопределенности, что энергия, необходимая для отрыва электрона от протона в атоме водорода, — порядка нескольких электрон-вольт.
 54620. В ультрафиолетовой части спектра возбуждения водорода наблюдается серия линий, известных под названием серии Лаймана. Три линии этой серии имеют длины волн: 1216, 1026, 973 А. Рассчитайте длины волн, отвечающие трем другим возможным линиям в спектре возбуждения водорода, которые могут быть «предсказаны» на основе одних этих данных, а также комбинационного принципа Ритца. Две из них лежат в видимой области (серия Бальмера), а одна — в инфракрасной (первая линия серии Пашена).
 54621. Можно показать, что при адиабатическом сжатии идеального газа выполняется соотношение PVy = const [см. формулу (39.14), вып. 4, стр. 13]. С другой стороны, при всех условиях PV/T = const. Используя эти данные, найдите связь между параметрами Р и Т или V и Т для случая адиабатического сжатия.
 54622. С помощью двухтактного насоса, который используется для накачивания велосипедных шин, можно достигнуть давления 3,5 кГ/см2, начав накачку воздуха при нормальном атмосферном давлении [1 кГ/см2 при 20°С (293° К)]. Какова температура (по шкале Цельсия) воздуха, выходящего из насоса, если для воздуха у = 1,40? Потери тепла через стенки насоса пренебрежимо малы.
 54623. Гелий (газ) содержится в одной половине двух идентичных теплоизолированных сосудов, причем другая половина каждого из сосудов откачана до полного вакуума. Каждый сосуд разделен перегородкой, в которой имеется закрывающееся отверстие (см. рисунок). Ставятся два опыта: а) Отверстие в перегородке одного сосуда открывается, и газ перетекает в другую половину сосуда, пока не установится равновесие. Затем перегородку начинают медленно передвигать к одному из краев сосуда. б) Перегородку другого сосуда очень медленно двигают по направлению к вакуумированному краю до упора. Сравните количественно конечное состояние газа в этих двух сосудах (трением при передвигании перегородки можно пренебречь).
 54624. Представьте себе высокую вертикальную колонку, наполненную газом или жидкостью, плотность которых изменяется с высотой. Покажите, что в этом случае зависимость давления от высоты описывается дифференциальным уравнением dP/dh = -p(h)g. б) Решите это уравнение для случая атмосферного воздуха (молекулярный вес ц), если его температура не зависит от высоты.
 54625. Адиабатической называется атмосфера, в которой давление и плотность в зависимости от высоты удовлетворяют соотношению Pp^-y = const. а) Покажите, что температура такой атмосферы линейно уменьшается с высотой, и найдите коэффициент пропорциональности. Такой температурный градиент называется адиабатическим. Найдите температурный градиент для земной атмосферы. б) Используя аргументы, основанные на энергетических соображениях, покажите, что атмосфера с температурным градиентом, меньшим или большим адиабатического, будет соответственно стабильной или нестабильной относительно конвекции.
 54626. Цилиндр с непроницаемой абсолютно гладкой перегородкой содержит 1 м3 газа при давлении 1 атм. Газ медленно сжимается при постоянной температуре до конечного объема 0,4 м3. Какая работа затрачивается при этом?
 54627. Два газа, А и В, занимающие один и тот же начальный объем V0, при одинаковом начальном давлении Р0 внезапно подвергаются адиабатическому сжатию, каждый — до половины своего первоначального объема. Каково конечное давление в каждом газе по сравнению с начальным, если уА = 5/3 (одноатомный газ), yB = 7/5 (двухатомный)?
 54628. Найти отношение количеств работы, необходимой для сжатия газов А и В, рассмотренных в задаче 39.7.
 54629. Две сферы объемом 200 и 100 см3 соединены короткой трубкой (см, рисунок), в которой имеется изолирующая пористая перегородка. С ее помощью можно добиться равенства давлений в сосудах, но не температуры. Система находится при t = 27°С и содержит кислород под давлением 760 мм рт. ст. Малая сфера помещается в сосуд со льдом при 0°С, а большая — в сосуд с паром при 100°С. Какое давление установится в системе? Тепловым расширением сфер пренебречь.
 54630. Резервуар на 50 л соединен с резервуаром на 15 л с помощью короткой трубки, в которой имеется специальный клапан давления, позволяющий газу просачиваться из большого резервуара в малый, если давление в большом превышает давление в меньшем на 88 см рт. ст. При t = 17°С больший резервуар содержит газ при атмосферном давлении, а меньший — полностью вакуумирован. Каково будет давление в последнем, если оба резервуара нагреть до 162°С?
 54631. При комнатной температуре четырехокись азота частично диссоциирует в двуокись азота: N2O4 < -- > 2NO2. В вакуумированный сосуд объемом 250 см3 вводится 0,90 г жидкого N2O4 при 0°С. Когда температура в сосуде увеличивается до 27°С, жидкость испаряется, а давление становится равным 960 мм рт. ст. Сколько процентов четырехокиси азота при этом диссоциирует?
 54632. Вначале 1 моль идеального одноатомного газа находится в изолированном сосуде с подвижной крышкой, занимая объем V1 при давлении Р1 и температуре T1 = 27°С. Затем он медленно нагревается с помощью помещенного внутрь нагревателя, на что полностью тратится энергия 8,31 вт-ч. В результате газ расширяется при постоянном давлении P1, нагреваясь до температуры Т2 и занимая конечный объем V2. Вычислите работу, проделанную газом при расширении, и запас энергии газа, а также найдите: а) T2, б) V2/V1.
 54633. В радиометре молекулы газа бомбардируют тонкие легкие крылышки вертушки, которые с одной стороны зачернены, а с другой — покрыты блестящей краской. Когда на крылышки попадает излучение, поглощенная ими при этом энергия уносится в основном молекулами, бомбардирующими зачерненную сторону каждого крылышка. В результате возникает результирующая несбалансированная сила, которая поворачивает вертушку. Рассмотрим сосуд, в котором имеется n молекул массы m в единице объема, при абсолютной температуре Т. Тонкое крылышко единичной площади, расположенное внутри такого сосуда, поглощает радиационную энергию со скоростью п вт, причем эта энергия уносится (изотропно) молекулами, попадающими только на одну сторону крылышка. Оцените примерно силу, действующую на крылышко в воздухе при комнатной температуре.
 54634. Какая доля молекул газа (газ находится в тепловом равновесии), достигающих в единицу времени поверхности сосуда, обладает кинетической энергией: а) большей, чем средняя тепловая, б) в 3 раза большей, чем средняя тепловая?
 54635. Молярная теплоемкость вещества при постоянном объеме Cv — это количество энергии, необходимое для повышения температуры 1 моля вещества на 1°, если объем остается постоянным. Чему равна молярная теплоемкость при постоянном объеме: а) идеального одноатомного газа? б) идеального двухатомного газа?
 54636. Газ при нормальных давлении и температуре втекает со скоростью v через гладкую трубку с постоянным поперечным сечением площадью А. Когда газ проходит через проволочную сетку, оказывающую пренебрежимо малое сопротивление потоку, он нагревается. Приобретаемая мощность равна q вт. Из трубки газ вытекает со скоростью v'. Напишите уравнения, выражающие законы сохранения массы, энергии и импульса для случая, когда через трубку протекает воздух, а затем найдите: а) v'; б) конечную температуру T, в) напор F (основная характеристика реактивного двигателя).
 54637. Обсудите достоинства воздушного реактивного двигателя в свете предыдущей задачи, если при его работе затрачивается 100 кг воздуха и 2,00 кг керосина в секунду. Теплотворная способность керосина составляет около 4,65*10^7 дж/кг. Какие обстоятельства могут сделать неправильным полученный вами результат?
 54638. Закон распределения Максвелла имеет вид dN/dv = Av2e^-bv2. Он может быть преобразован так: у = х2e^-х. а) Нарисуйте график этой функции для 0 < x < 3,0 и покажите, что при увеличении х главную роль играет экспоненциальный член. б) Найдите максимальное значение у.
 54639. При атмосферном давлении закон n = n0e^-mgh/kT; величина kT/mg = RT/ug = h0 определяет собой так называемую шкалу высоты (u — молекулярный вес). Рассчитайте шкалу высоты для земной атмосферы и околосолнечного пространства, если u = 29, T = З00°К, u = 1,5, Т = 5500° К, g = 2,7*10^2 м/сек2. Значения u, g, Т относятся соответственно к условиям у поверхности Солнца и Земли.
 54640. Рассчитайте (и запомните): а) температуру Т, при которой kT = 1 эв; б) величину kT (в эв) при комнатной температуре; в) длину волны фотона, соответствующей квантовому переходу с разностью энергий 1 эв.
 54641. Закон распределения излучения абсолютно черного тела имеет вид l(w)dw = hw3dw/п2c2(e^hw/kT - 1). Перейдя к новой переменной x = hw/kT, покажите, что: а) проинтегрированная по всем частотам полная интенсивность излучения пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры; б) частота wm, при которой l(w) имеет максимальное значение, пропорциональна абсолютной температуре.
 54642. Найдите относительные интенсивности света с длиной волны 0,31 мк, излучаемого двумя абсолютно черными телами, которые находятся при температуре 2000 и 4000° К соответственно.
 54643. Энергия активации, теплота испарения, теплоты образования или диссоциации и т. д. обычно выражаются в джоулях на 1 г*моль или в электрон-вольтах на 1 атом. Сколько дж/г*моль содержится в 1 эв/атом? (Химики обычно используют энергетическую единицу, называемую килокалорией; 1 ккал = 4186 дж.)
 54644. Постройте график плотности паров ртути в зависимости от 1/Т в полулогарифмической шкале (соответствующие данные возьмите из учебников физики и химии). С помощью графика определите теплоту испарения ртути. Сравните ваши результаты с табличной величиной, б) Проделайте то же самое для воды.
 54645. В температурном интервале 0 — 300°С теплота возгонки ртути изменяется только на 3 % (в среднем это составляет около 0,61 эв/атом). Какую ошибку вы сделаете при расчете плотности паров ртути при 0°С, если используете теплоту возгонки при 300°С вместо правильного значения при 0°С? Замечание. Незначительное в процентном отношении отличие в показателе экспоненты может привести к большой ошибке.
 54646. Сопротивление почти чистого кремния в зависимости от температуры показано на прилагаемом графике. Сделайте качественный вывод о природе прямого тока в этом веществе выше и ниже 300°С.
 54647. Диаметр» молекулы кислорода приблизительно равен d = 3 А. Вычислите среднюю длину свободного пробега и среднее время между двумя столкновениями для молекул кислорода при нормальных давлении и температуре.
 54648. Сосуд содержит 10^24 молекул газа, средняя длина свободного пробега одной молекулы равна l. Для какой длины пробега L вероятность того, что хоть какая-нибудь из молекул пройдет в сосуде без столкновения путь, превышающий L, меньше 50 %?
 54649. Если в веществе существует температурный градиент, то происходит перенос тепла, причем количество переносимой энергии в единицу времени пропорционально этому градиенту (без учета конвекции). Коэффициент пропорциональности, приведенный к единице площади и к единице температурного градиента, называется теплопроводностью К. Таким образом, dE/dt = KA(dt/dx). Покажите, что в отсутствие конвекции теплопроводность газа равна K = kn0v l/y - 1 = kv/(y - 1) s. Примечание. Интерпретируйте теплопроводность как перенос внутренней (тепловой) энергии U через плоскость внутри вещества, как это было сделано при рассмотрении процесса диффузии.
 54650. Когда в жидкости существует градиент скорости, причем скорость зависит от расстояния в направлении, перпендикулярном потоку, то в результате возникает тормозящий движение фактор, называемый вязкостью. В газе его появление обусловлено переносом импульса. Через каждую плоскость импульс переносится молекулами, находящимися по обе стороны от нее на расстоянии, не превышающем длину свободного пробега. Если поток движется в направлении оси х и существует градиент скорости vx в направлении оси у, то сила вязкости, отнесенная к единице площади плоскости, перпендикулярной оси у, равна F/A = hdvx/dy. Покажите, что для газа коэффициент вязкости h приближенно равен h = n0vml = vm/s, где n — концентрация молекул; m — масса молекулы; l — длина свободного пробега; s = n0l.
 54651. Отметим, что теплопроводность и вязкость газа не зависят от давления. Измените соответствующим образом формулу для количества энергии, переносимой между двумя поверхностями, имеющими температуры Т и Т + dT и находящимися на расстоянии D друг от друга, если l >> D. Проделайте то же самое, рассматривая процесс переноса импульса между двумя такими поверхностями, движущимися со скоростями v и v + dv.
 54652. Два газа А и В с плотностями pA и рB находятся при определенной температуре Т0. Отдельный ион, за которым ведется наблюдение, обладает подвижностями цA в газе А и цB в газе В (ц = vдр/F, где F — сила, см. вып. 4, стр. 90). Какова подвижность иона в смеси этих газов с плотностью рА + pB при той же температуре Т0?
 54653. Идеальный газ, имеющий y = 4/3, последовательно переводится из состояния А (давление Р = 1 атм, объем V = 22,4 л, температура t = 300° К) в состояние С (Р = 2 атм, V = 33,6 л) либо по пути ABC, либо по пути ADC. а) Покажите, что изменение энтропии в обоих случаях одинаково. б) Рассчитайте это изменение.
 54654. Переведите идеальный цикл Карно abcd на диаграмме р - V между состояниями, характеризующимися параметрами Т1 и Т2 и (рa, Va),(рс, Vc), в цикл ABCD на диаграмме энтропия — температура (см. фиг. 44.6 «Лекций», вып. 4, стр. 109).
 54655. Температура парогенератора на современной теплоэлектростанции, использующей перегретый пар, равна 600°С. В холодильник подается речная вода при t = 20°С. Каков максимальный к. п. д., который может быть получен на такой станции?
 54656. В идеальном обратимом двигателе, в котором в качестве рабочего тела используется 28 г азота (у = 7/5), рабочий цикл abcd происходит без использования золотника (см. фиг. 44.6 «Лекций», вып. 4, стр. 109). Температура нагревателя 400° К, холодильника 300° К. Начальный объем газа в точке а равен 6,0 л, а объем в точке с составляет 18,0 л. а) При каком объеме Vb нужно прекратить подачу в цилиндр тепла (изотермическое расширение) и, теплоизолировав его, начать адиабатическое расширение от Vb к Vc? При каком объеме Vd начнется адиабатическое сжатие? б) Какое количество тепла поступает в систему на участке а -- > b цикла? в) Какое количество тепла уходит из системы на участке с -- > d? г) Чему равен к. п. д. двигателя? д) Чему равно изменение энтропии на 1 г рабочего вещества на участках а -- > b и c -- > d? Примечание. Вы должны получить, что для цикла Карно в случае идеального газа отношения Vb/Va и Vc/Vd равны.
 54657. Беззаботный экспериментатор, торопясь уйти, оставил золотник резервуара, наполненного гелием, неплотно закрытым. Газ, первоначально находившийся при давлении 200 атм, медленно изотермически выходит из резервуара при температуре 20°С. Чему равно изменение энтропии на 1 кг газа?
 54658. Солнце излучает приблизительно как черное тело при температуре 5700° К. Если солнечным светом облучать абсолютно черную медную сферу, расположенную на расстоянии 1 А.Е. от Солнца, то какая равновесная температура будет достигнута при этом? (Диаметр Солнца виден с Земли под углом 0,50°.)
 54659. Солнечный свет падает перпендикулярно на некоторую область, находящуюся в Экваториальной Африке. Если поверхность излучает как абсолютно черное тело, то какова максимальная температура этой области? (Солнечная постоянная равна 1395 вт/м2)
 54660. Черное тело радиуса r при температуре Т окружено зачерненной с обеих сторон тонкой оболочкой радиуса R. Найдите, насколько такой радиационный экран уменьшает скорость охлаждения тела. (В пространстве между телом и оболочкой — вакуум, потерь, связанных с теплопроводностью, нет.)
 54661. Плотность в центре Солнца равна приблизительно 80 г/см3, а температура ~13*10^6 °К. Вещество Солнца почти целиком состоит из протонов и электронов. Найдите давление газа и радиационное давление в центре Солнца.
 54662. Скрытая теплота испарения воды равна приблизительно 2,44*10^6 дж/м3, а плотность пара при 100° С составляет 0,598 кг/м3. Используя уравнение Клаузиуса — Клапейрона, найдите скорость изменения температуры кипения с высотой в град/км, принимая за начало отсчета уровень моря. Положите температуру воздуха равной 300° К.
 54663. Покажите, что для идеального газа, внутренняя энергия которого зависит только от температуры, разность между молярными теплоемкостями при постоянном давлении и постоянном объеме равна газовой постоянной R: Cp - Cv = R.
 54664. При 0° С удельный объем насыщенного водяного пара равен 206 м3/кг. Какова скрытая теплота испарения в дж/кг при этой температуре? (Определите dp/dt из таблиц, рассчитайте L и сравните с табличным значением.)
 54665. Тело поглощает фиксированную долю А полного излучения, падающего на его поверхность, и отражает остаток. Покажите, что при температуре Т оно излучает энергию AsT4.
 54666. Используя термодинамические соображения, покажите, что если вещество при замерзании расширяется, то его температура замерзания должна уменьшаться с увеличением давления, б) Рассчитайте самую низкую температуру льда на катке, при которой катание на коньках еще возможно.
 54667. Найдите отношение скоростей звука в гелии и водороде при одной и той же температуре.
 54668. В два свистка одинаковой длины вдуваются: воздух, охлажденный почти до температуры жидкого воздуха (-180° С), и теплый воздух. Один свисток издает звук ровно на октаву выше, чем другой (т. е. удвоенной частоты). Какова должна быть температура воздуха, вдуваемого во второй свисток?
 54669. Если вы вдохнете гелий и начнете разговаривать, то звук вашего голоса будет неестественно высоким. Если все ваши резонансные полости («пустоты в вашей голове») будут заполнены гелием, а не воздухом, то насколько увеличится каждая резонансная частота? Если вы при этом напеваете, то как повлияет наличие гелия на тональность, в которой вы поете? Обсудите.
 54670. Рассмотрим постоянную плоскую звуковую волну с частотой 1000 сек^-1, в которой экстремумы давления отличаются на ±1 дин/см2 от среднего атмосферного давления 1*10^6 дин/см2. а) Чему равно изменение плотности, сопровождающее распространение такой волны? б) Чему равно максимальное смещение Xm частиц? в) Чему равна интенсивность волны? (Примите скорость звука равной 340 м/сек.)
 54671. Зажмите кончиками пальцев обеих рук резиновую полоску длиной около 5 см, а затем попросите товарища слегка щелкнуть по резине. Послышится звук. Потом растяните полоску в 2, 3, 4, 5 раз, не меняя массу полоски между руками, и повторите ту же процедуру. Обсудите результаты наблюдения. Почему ничего похожего не происходит со струной скрипки?
 54672. Однородная абсолютно гибкая струна линейной плотности s кг/м растянута с натяжением Т. Сформулируйте волновое уравнение, описывающее поперечное смещение струны у, и найдите скорость распространения возмущения вдоль струны. Используйте предположение о том, что dу/dх << 1 во всех точках в любой момент времени, и рассмотрите только плоские колебания струны. Отметим, что компонента натяжения струны в поперечном направлении очень близка к Т dу/dх.
 54673. Покажите, что выражение u = Ае^i(wt-kx) удовлетворяет волновому уравнению d2u/dx2 = 1/v2 d2u/dt2 при условии, что w и k связаны соотношением w = vk.
 54674. Фазовая скорость волны с длиной волны L, распространяющейся по водной поверхности, если пренебречь поверхностным натяжением и конечной глубиной водоема, vфаз = |/gL/2п. Покажите, что групповая скорость волны равна половине фазовой. Чему равна групповая и фазовая скорости волны длиной 1000 м?
 54675. Если в предыдущей задаче рассматривать влияние поверхностного натяжения, то можно показать, что фазовая скорость волны на поверхности жидкости с плотностью р и с поверхностным натяжением Т равна vфаз = (2пT/Lp + gL/2п)^1/2, когда глубина водоема достаточно велика. Найдите групповую скорость такой волны.
 54676. Найдите фазовую скорость ряби с длиной волны 1,0 см на поверхности: а) воды (поверхностное натяжение 70 дин/см); б) этилового спирта (поверхностное натяжение 26 дин/см).
 54677. Найдите длину волны и частоту ряби на поверхности воды, которая движется с минимальной скоростью.
 54678. Длинный дизельный товарный поезд идет в гору со скоростью 5,0 м/сек по прямому пути. Когда он достигает туннеля в отвесной скале, машинист дает длинный непрерывный гудок с основной частотой 340 гц. Звук гудка и его эхо, возникающее при отражении от стены, слышат машинист и человек, находящийся на земле вблизи последнего вагона. Какой частоты звук слышит каждый из них?
 54679. Два тела с массами m1 и m2 прикреплены к двум стенам пружинами, коэффициенты упругости которых k1 и k2 соответственно. Друг с другом они соединены пружиной с жесткостью k (см. рисунок). Напишите уравнения движения этих тел, положив k1/m1 = k2/m2 = w2|0.
 54680. Подставьте х = Ае^iwt и у = Bе^iwt в полученные выше уравнения и найдите частоты и отношения амплитуд грузиков для нормальных колебаний.
 54681. Покажите, что функция f(x, y, z, t) = Ae^iwt sin lпx/a sin mпy/b sin nпz/c, где w2 = v2п2(l2/a2 + m2/b2 + n2/c2), а l, m, n — целые числа, большие или равные единице, а) удовлетворяет трехмерному волновому уравнению (описывающему волну со скоростью распространения v); б) равна 0 при x = 0, х = а, y = 0, у = b, z = 0, z = c; в) осциллирует во времени подобно синусоиде.
 54682. Полагая, что в предыдущей задаче а : b : с = 1 : 2 : 3, найдите 10 минимальных частот, выраженных через наименьшую частоту w0. Расположите их в порядке возрастания и отложите на вертикальной шкале.
 54683. Используя понятие о бесконечно длинных периодических волнах, распространяющихся в противоположных направлениях, выясните, что произойдет, если идеальная однородная натянутая струна длины L оттянута от средней точки на расстояние A, а затем отпущена. Нарисуйте несколько положений струны в различные моменты времени в течение одного полупериода первой гармоники.
 54684. Используя фурье-разложения прямоугольной волны f(x) = ####, покажите, что а) 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 +... = п/4, б) 1 + 1/9 + 1/25 + 1/49 +... = п2/8, в) 1 + 1/4 +1/9 +1/16 +1/25 +... = 4/3(1 + 1/9 + 1/25 + 1/49 +...) = п2/6.
 54685. Разложите функцию g(x) = #### в интеграл Фурье и покажите, что полученные результаты согласуются с тем, что получается при интегрировании функции, использованной в предыдущей задаче.
 54686. Используя результат предыдущей задачи, покажите a) 1 + 1/3^4 + 1/5^4 + 1/7^4 +... = п4/96, б) E 1/n4 = 2^4/2^4 - 1(1 + 1/3^4 + 1/5^4 +...) = п4/90.
 54687. В гл. 45 нам надо было вычислить интеграл int x3dx/e^x - 1. Теперь вы можете это сделать, умножив числитель и знаменатель на е^-х, разложив подинтегральную функцию в ряд и интегрируя почленно. Получим ####. Проверьте это.
 54688. Найдите фурье-разложения пилообразной функции, которая описывает ток, протекающий в горизонтальной цепи развертки электронного осциллографа:
 54689. Выпрямитель есть устройство, которое преобразует синусоидальную волну, например напряжения с амплитудой V0, в а) Вычислите среднее значение V(t). Оно называется выходным напряжением. б) Найдите амплитуду второй гармоники в выходном напряжении.
 54690. С трансформатора снимается выходное напряжение, пропорциональное Vвыx = Vвх + e(Vвх)3. Выясните, к каким эффектам приведет учет кубического члена, если: а) входная волна синусоидальная; б) имеются две или более входные синусоидальные волны с разными частотами.
 54691. Электрические силы и силы гравитации. а) Какой должна была бы быть масса протона, чтобы сила гравитационного притяжения между двумя покоящимися протонами по величине совпадала с силой их электрического отталкивания? Каково отношение этой массы к обычной массе протона? б) Какой была бы величина силы электростатического взаимодействия двух монет по 1 копейке, помещенных на противоположных концах лекционной доски, ширина которой равна 10 м, если бы заряды ядер и электронов этих монет компенсировали себя лишь с точностью до 1 %? Можете ли вы себе представить тело, вес которого по величине совпадал бы с этой силой?
 54692. Оцените приближенно работу, которую необходимо затратить на преодоление силы электрического отталкивания при образовании ядра урана из двух одинаковых половинок. Чему равна эта работа при образовании ядра гелия из двух дейтронов? Выразите оба ответа в киловатт-часах на килограмм.
 54693. На каждый атом меди приходится один электрон проводимости. Какова средняя скорость электронов проводимости, если через медный провод диаметра 0,2 мм течет ток 10 а? Чему равно в этом случае отношение v2/c2? (Напомним, что отношение «магнитных» эффектов к «электрическим» такого же порядка.)
 54694. В области пространства создано однородное электрическое поле Е напряженностью 10000 в/см, направленное вдоль оси х, а также однородное магнитное поле В, направленное вдоль оси у. Через эту область в направлении оси z по прямой линии движется пучок ц-мезонов со скоростью, равной с/3. а) Какова напряженность магнитного поля В? (Масса заряженного ц-мезона равна 207 электронным массам, а его заряд по величине совпадает с зарядом электрона.) б) Можно ли с помощью этого эксперимента определить знак заряда мюона?
 54695. В некоторой области пространства создано постоянное однородное магнитное поле Bx = 0, Ву = 0 и Вz = В0. Электрических полей и токов в этой области пространства нет. Из начала координат в положительном направлении оси х со скоростью v вылетает частица массы m с положительным зарядом q. Опишите траекторию частицы в переменных B0, m, v и q (предполагая, что v/c << 1). б) Предположите, что Bx = 0, By = 0, a Bz = B0 + ax, где ах всюду мало по сравнению с В0. Опишите качественно траекторию частицы [см. работу Шарпака с сотрудниками, опубликованную в «Physical Review Letters», 6, 128 (1961), где подобное поле использовалось в одном ответственном эксперименте]. в) Покажите, что магнитное поле такого вида не удовлетворяет уравнениям Максвелла, если оно замкнуто в конечном объеме или, как предполагалось выше, в объеме отсутствуют токи или электрическое поле.
 54696. В поле неподвижного отрицательного точечного заряда, расположенного в начале координат, а также в однородном магнитном поле В0, направленном в положительном направлении оси z, из точки x = z = 0, у = а движется частица массы m с положительным зарядом q и малой скоростью v = v0ex. а) При какой величине напряженности поля В0 траектория частицы будет представлять собой окружность радиуса а с центром в начале координат? б) Объясните, почему в том случае, когда напряженность магнитного поля отличается от найденной, скорость частицы зависит только от ее расстояния до начала координат. в) Схематически нарисуйте несколько витков траектории частицы, когда частица начинает свое движение из точки x = z = 0, у = а с нулевой скоростью.
 54697. Медная проволока радиуса а = 1 мм равномерно покрыта слоем изоляции, внешний радиус которого равен b. Электрическим током проволока нагревается до температуры Т1, при этом температура внешней поверхности изоляционного покрытия Т2 остается почти комнатной. а) Чему равен vТ внутри покрытия? Ответ выразить в переменных а, b, T1 и T2. б) Чему равна разность температур T1 - T2, если через медную проволоку, покрытую слоем резины (толщина 0,2 см, коэффициент теплопроводности 1,6*10^-3 вт/см*град), течет ток 20 а?
 54698. Вычислением «в лоб» покажите, что a) v*(v x A) = 0, б) v x (v x A) = v(v*A) - v2A.
 54699. Покажите, что если R — радиус-вектор, проведенный из начала координат в точку х, у, z, то а) div R = 3, б) rot R = 0, в) v*(R/R3) = 0, г) v x (-R/R3) = 0, д) v(1/R) = -R/R3 (при R =/= 0). e) Из равенства (б) и формулы (2.46) «Лекций» (вып. 5, стр. 42) следует, что вектор R можно представить в виде R = vф. Найдите функцию ф.
 54700. Уравнения Максвелла имеют вид 1) v*E = p/e0, 2) v x E = -dB/dt, 3) v*B = 0, 4) c2v x B = dE/dt + B/e0. Закон сохранения заряда можно записать в виде 5) v*j = dp/dt. а) Покажите, что уравнения 3 и 2 совместны. б) Покажите, что уравнение 5 можно получить, взяв дивергенцию от левой и правой частей уравнения 4 (т. е. убедитесь, что уравнения Максвелла справедливы лишь при выполнении закона сохранения заряда). в) Покажите, что в пустоте (j = 0, р = 0) поле Е удовлетворяет волновому уравнению v2E - 1/c2 d2E/dt2 = 0. г) Покажите, что в пустоте поле В удовлетворяет такому же волновому уравнению v2B - 1/c2 d2B/dt2 = 0. д) Покажите, что, согласно уравнению 2, поле Е можно представить в виде Е = -vф - (dA/dt), где А — векторный потенциал магнитного поля В = v x A. Почему вектор В может быть представлен в таком виде?