Earth curvature of space2 curvature of space1
Банк задач

Вход на сайт
Регистрация
Забыли пароль?
Статистика решений
Тип решенияКол-во
подробное решение57480
краткое решение7556
указания как решать1341
ответ (символьный)4703
ответ (численный)2335
нет ответа/решения3776
ВСЕГО77191

База задач ФизМатБанк

 54501. Круг радиуса R вращается вокруг своей касательной АА'. При этом образуется тело вращения, называемое тором. Найдите объем этого тора.
 54502. Материальные точки с массами М1 и М2 помещены на противоположных концах невесомого стержня длины L. Стержень приводится во вращение вокруг оси, перпендикулярной ему. Через какую точку стержня должна проходить ось вращения, чтобы энергия, затрачиваемая на достижение заданной угловой скорости w0, была минимальна?
 54503. Для замедления вращательного движения искусственных спутников используется следующее устройство. Однородный круглый диск радиуса R и массы М может свободно вращаться в горизонтальной плоскости вокруг шарнира Р, установленного в центре диска. На краю диска укреплены два маленьких груза, масса каждого из них m. С диском их соединяют две нити длины l, намотанные по его периферии (см. рисунок). Когда диск вращается, грузики одновременно освобождаются без изменения полного момента количества движения системы. После этого грузики отлетают от диска, и в тот момент, когда нити натягиваются вдоль радиальных направлений, они соскакивают с крючков H и H', позволяя грузикам улететь. Найдите длину нитей l, при которой угловая скорость диска в результате этой операции уменьшится в n раз.
 54504. Джим находится в системе координат (x', у') и вращается относительно Джо, который неподвижен и находится в системе координат (х, у). Найдите выражение для компонент силы, которая, по мнению Джима, действует на некоторую частицу, и покажите, что она складывается из компонент истинной силы F, которую наблюдает и Джо, и двух псевдосил: радиальной центробежной силы и силы Кориолиса, которая перпендикулярна скорости.
 54505. Однородный шар радиуса R и массы М в начальный момент пущен по плоскости так, что он скользит по ней без качения. Между шаром и плоскостью существует трение, коэффициент которого равен ц. Какое расстояние пройдет шар, прежде чем его движение превратится в качение без скольжения, и какова будет к этому моменту его скорость?
 54506. На рисунке изображена упрощенная схема устройства для подачи типографской краски в печатном станке. Краска подается из барабана К, который свободно вращается на закрепленной оси. Момент инерции этого барабана пренебрежимо мал; Р — ведомый печатный вал с неподвижной осью, а T — передающий валик, свободно катящийся по К и Р. Валик Т — это сплошной цилиндр радиуса r и массы М; он все время катится по К и Р без скольжения, и геометрия устройства такова, что линия, соединяющая оси Т и Р, образует с горизонталью угол Q. Какое максимальное угловое ускорение А можно сообщить валу Р без потери контакта между Т и К?
 54507. Сплошной цилиндр состоит из четырех секций — квадрантов, причем плотности материалов, из которых сделаны разные секции, различаются и относятся, как числа, указанные на рисунке. Проведем оси х и у так, как показано на рисунке; как будет выглядеть уравнение прямой, проходящей через начало координат и через центр масс цилиндра?
 54508. В диске постоянной плотности вырезано отверстие, как показано на рисунке. Найдите положение центра масс.
 54509. Найдите положение центра масс однородной проволоки, изогнутой по дуге окружности радиуса R. Длина проволоки L (R > L/2п). Используйте систему координат с началом в центре окружности и с осью х, проходящей через середину проволоки.
 54510. Используя результат предыдущей задачи или другим способом, найдите центр тяжести сектора с углом раствора а, вырезанного из однородного диска радиуса R.
 54511. Цилиндр, радиус которого п см, а масса 3 кг, разрезан на три равные части. То же самое сделано с другим цилиндром радиусом п см, но весом уже 6 кг. Эти куски склеены друг с другом, как показано на рисунке, причем линия OA направлена горизонтально. Стенка абсолютно гладкая, а «пол» — абсолютно шероховатый. а) С какой силой цилиндр давит на стенку? б) На каком расстоянии от центра на линии OA следует поместить материальную точку массы m, чтобы система оставалась в равновесии и после удаления стенки?
 54512. Из квадратной металлической пластинки с длиной ребра а необходимо вырезать с одной стороны равнобедренный треугольник так, чтобы оставшаяся фигура, будучи подвешена за точку Р (вершину треугольника), оставалась в равновесии независимо от положения. Чему равна высота треугольника?
 54513. Катушка состоит из двух одинаковых дисков радиуса R и массы М, насаженных на невесомую ось радиуса r. Нить, намотанная на ось катушки, прикреплена к потолку. Расстояние от катушки до потолка равно D (см. рисунок). Из этого состояния катушка начинает двигаться вниз. а) Какой угол должна образовать нить с вертикалью в начальный момент, чтобы, опускаясь, катушка не раскачивалась? б) Каково вертикальное ускорение центра катушки?
 54514. Поворотный стол с моментом инерции l0 свободно вращается вокруг вертикальной оси. На столе проложена прямолинейная радиальная дорожка, по которой может без трения двигаться тележка массы m (см. рисунок). Нить, привязанная к тележке, перекинута через маленький блок, а затем уходит под стол через полую ось. Первоначально система вращается с угловой скоростью w0, и тележка находится на фиксированном расстоянии R от оси. Затем нить некоторой внешней силой втягивается внутрь оси на такое расстояние, что тележка теперь отделена от оси меньшим промежутком r и остается в этом положении. а) Чему равна угловая скорость системы в конечном состоянии? б) Покажите подробно, что разность между значениями энергии системы в конечном и начальном состояниях равна работе, которую совершила сила, вытягивающая нить. в) Если нить отпустить, с какой радиальной скоростью vr пройдет тележка через точку R?
 54515. Записав векторы в компонентной форме или как-нибудь по-другому, докажите следующие соотношения: a x (b + c) = a x b + a x c, a x (b x c) = b(а*с) - c(a*b), (аа) х b = а(а х b), а х а = 0, a*(b x c) = (a x b)*c, a*(a x b) = 0.
 54516. Твердое тело вращается с угловой скоростью w относительно некоторой фиксированной оси. Покажите, что скорость любой точки Р этого тела равна v = w x r, где r — вектор, проведенный из произвольно выбранной точки, расположенной на оси вращения, к данной.
 54517. Твердое тело вначале поворачивается на бесконечно малый угол dQ1 относительно одной оси, а затем на бесконечно малый угол dQ2 относительно другой оси, пересекающей первую в точке 0. Покажите, что общее смещение любой точки рассматриваемого тела такое же, как если бы оно было сразу повернуто на некоторый бесконечно малый угол относительно промежуточной оси. Как найти ось и угол? Докажите, что твердое тело, подвергнутое одновременно действию нескольких угловых скоростей относительно различных осей, движется так, как если бы на него действовала только одна угловая скорость, равная векторной сумме всех слагающих скоростей. (Каждую угловую скорость следует рассматривать как вектор длины w, направленный вдоль оси вращения.)
 54518. Система N частиц с массами m, координатами ri и скоростями vi обладает моментом количества движения, равным L = E (ri x pi) = E mi (ri x vi). Если же рассматривать систему координат, жестко связанную с центром масс, то можно считать, что система имеет момент количества движения Lц.м. Пусть Rц.м. и vц.м. — это положение и скорость центра масс, а М = E mi — общая масса всех частиц. Покажите, что L = Lц.м. + M(Rц.м. х vц.м.). Сравните результат с решением задачи 11.9 (стр. 36).
 54519. Любые три вектора А, В, С можно рассматривать как определяющие твердое тело с шестью попарно параллельными плоскостями, т. е. параллелепипед. Покажите, что объем этого тела равен V = |А*(В х С)|. б) Параллелепипед, одна из вершин которого находится в начале координат, имеет три соседние вершины в точках (10, -5, 3), (3, -4, 7) и (-5, -6, 3). Используется прямоугольная система координат (х, у, z). Чему равен oбъем параллелепипеда?
 54520. Два однородных одинаковых жестких стержня АВ и АС скреплены в точке А (АС _|_ АВ) и перемещаются на гладком горизонтальном столе. В точке С перпендикулярно АС наносится горизонтальный удар. Найдите отношение скоростей центров масс стержней АВ и АС немедленно после удара.
 54521. Маховик, имеющий форму однородной тонкой круглой пластинки массы 10,0 кг и радиуса 1,00 м, смонтирован на оси, проходящей через центр масс и составляющей угол 1° с перпендикуляром, восстановленным к плоскости маховика. Если последний вращается относительно этой оси с угловой скоростью 25,0 рад/сек, то чему равна пара сил, приложенная к его подшипникам?
 54522. Два тела с одинаковыми массами m, скрепленные жестким стержнем (не имеющим массы) на расстоянии 2r друг от друга, притягиваются гравитационным образом телом массы М, расположенным на расстоянии R >> r от центра стержня. Стержень составляет угол Q с направлением R. Найдите приближенную величину пары сил, приложенной к стержню, относительно его центра.
 54523. Как Луна, так и Солнце в результате действия на Землю образуют пару сил, поскольку Земля слегка сплющена. Какое тело образует большую пару сил и приблизительно во cколько раз? (См. предыдущую задачу.)
 54524. Экваториальный и полярный радиусы Земли равны 6378,388 и 6356,912 км соответственно. Плотность р на различных глубинах D, отсчитанных на поверхности Земли, приведена ниже (звездочкой помечена разрывность): D, км 0 30*100 200 400 1000 2000 2900*3500 5000*6000 р,г/см3 2,60 3,0 3,4 3,5 3,6 4,7 5,2 5,7 10,2 11,5 17,1 Используя эти значения, оцените: а) момент инерции Земли; б) ее вращательный момент количества движения; в) кинетическую энергию вращения.
 54525. Симметричное тело начинает катиться (без скольжения) вниз по наклонной плоскости с высоты h. Момент инерции тела относительно собственного центра масс равен l, масса М, радиус поверхности качения, находящейся в контакте с наклонной плоскостью, r. Определите линейную скорость центра масс в нижней точке наклонной плоскости. 2) Примените полученное вами общее выражение для определения скорости центра масс тела, если это тело а) сфера; б) диск; в) диск массы М1 с внешним радиусом R1, насаженный на вал массы m2 и радиуса r2.
 54526. Тонкий стержень массы М и длины L лежит на горизонтальной абсолютно гладкой поверхности. Маленький кусочек замазки такой же массы, обладающей скоростью v, которая направлена перпендикулярно стержню, ударяется об один конец стержня и прилипает к нему, совершая тем самым неупругое столкновение очень малой продолжительности. а) Какова скорость центра масс системы до и после столкновения? б) Чему равен момент количества движения системы относительно ее центра масс непосредственно перед столкновением? в) Чему равна угловая скорость (относительно центра масс) сразу же после столкновения? г) На сколько уменьшается кинетическая энергия системы при столкновении?
 54527. Если весь лед на Земле растопить, то средний уровень мирового океана поднимется приблизительно на 61 м. Примите среднюю широту, где находятся льды, равной 80°; нерегулярным распределением водных масс океанов на Земле пренебрегите и рассчитайте, на сколько секунд увеличится при этом длина дня? Предполагаем, что Земля — сфера радиуса 6370 км с моментом инерции 8,11*10^37 кгм2.
 54528. Однородный стержень длины L и массы М покоится на абсолютно гладкой горизонтальной поверхности. За очень малый промежуток времени он получает импульс J = int Fdt, приложенный в точке Р (OР = r). а) Чему равна скорость центра масс О сразу же после сообщения импульса? Чему равна угловая скорость относительно точки О? Какова мгновенная скорость точки А на другом конце стержня? б) Определите расстояние АР, для которого скорость точки А равнялась бы нулю сразу же после удара?
 54529. Твердое тело массы М свободно насажено на расположенную горизонтально ось, которая проходит на расстоянии d от центра масс С. Момент инерции относительно оси вращения равен l (трение отсутствует). а) Напишите дифференциальное уравнение, которое описывает изменение угла отклонения Q со временем (угол Q отсчитывайте от равновесного положения тела). б) Если тело совершает малые колебания, так что sin Q ~ Q, то чему равен период этих колебаний?
 54530. В предыдущей задаче момент инерции твердого тела относительно его центра масс равен lс. Найдите выражение для периода малых колебаний как функции d (и lc) и покажите: а) что имеются два значения d: d1 и d2, которые соответствуют данному периоду; б) что период равен Т = 2п(d1 + d2/g); в) что период минимален, когда d = |/ Ic/M. Найдите это минимальное значение периода.
 54531. Линейная пружина, находясь в свободном состоянии, имеет длину D, а когда на ее конце подвешен груз массы m, ее длина становится равной D + A. На груз, находящийся в покое, с высоты А падает другой груз такой же массы, прилипающий к первому. Найдите период и амплитуду колебаний такой системы и максимальную высоту (над первоначальным положением равновесия), достигаемые в результирующем движении.
 54532. Две частицы А и В совершают гармоническое движение с одинаковой амплитудой (10 см) по одной и той же прямой. Частоты их движений составляют wA = 20 сек^-1, wB = 21 сек^-1 соответственно. В момент времени t = 0 обе частицы проходят точку х = 0 в положительном направлении оси х (следовательно, они находятся «в фазе»). а) На каком расстоянии они будут находиться друг от друга в момент t = 0,350 сек? б) Какова скорость частицы В относительно А в этот же момент времени?
 54533. Каркас, сделанный из жесткой проволоки однородного поперечного сечения и постоянной плотности, состоит из дуги полуокружности АСВ и диаметра АВ. Этот каркас прикрепляется с помощью абсолютно гладкого штифта в точке Р, проходящей через отверстие в средней точке его диаметра, и приводится в движение, как маятник. Если диаметр каркаса АВ равен 50 см, то каков период колебательного движения такого каркаса?
 54534. На вертикальной пружине пренебрежимо малой массы подвешена пластина 20 г, на которой лежит грузик 5 г. Если оттянуть пружину, то система начнет колебаться с периодом п/3 сек. Затем груз 5 г заменяется другим с массой 25 г. Каково будет смещение пластины при равновесии?
 54535. Две частицы с массами 3/4М и М соединены пружиной пренебрежимо малой массы; длина пружины в свободном состоянии равна L, упругая постоянная К. Вначале массы покоятся на расстоянии L друг от друга на горизонтальном абсолютно гладком столе. Третья частица массы 1/4М, движущаяся вдоль линии, соединяющей первые две частицы, сталкивается и прилипает к частице с массой 3/4М. Найти амплитуду и период колебаний системы.
 54536. Гравитационная сила, действующая на частицу, которая помещена в твердый однородный шар, прямо пропорциональна расстоянию от центра шара. Если принять за такой шар Землю и просверлить сквозь нее вдоль ее диаметра, соединяющего полюса, отверстие, то сколько времени понадобится телу, попавшему в это отверстие, чтобы достигнуть поверхности с противоположной стороны Земли? Сопротивлением воздуха пренебречь.
 54537. В начальном состоянии колония бактерий растет со скоростью, пропорциональной числу наличных бактерий. Написать дифференциальное уравнение, выражающее это соотношение.
 54538. Точка подвеса математического маятника, период собственных колебаний которого равен 1 сек, совершает синусоидальные колебания с амплитудой 1,00 см и периодом 1,10 сек. Какова амплитуда установившихся колебаний маятника?
 54539. Составьте и решите дифференциальное уравнение, описывающее поведение тока, когда он протекает: а) по индуктивности L, б) по емкости С, если к ним приложено синусоидальное напряжение частоты w. Найдите комплексный импеданс указанных выше цепей.
 54540. Найдите зависимость импеданса (полного сопротивления) Z от частоты w для цепи, состоящей из индуктивности L и емкости С, если они соединены: а) последовательно, б) параллельно. Качественно обсудите полученные результаты.
 54541. Покажите, что дифференциальное уравнение, описывающее движение прикрепленного к пружине с упругой постоянной k тела массы m, на которое действует сила трения — myv, имеет вид d2x/dt2 + y dx/dt + w2|0x = 0, где w2|0 = k/m. б) Найдите решение этого уравнения (используйте комплексную форму записи!), предполагая, что оно имеет вид x = e^at, а затем покажите, что общее решение дается выражением x = e^-1/2yt [ A cos (|/ w2|0 - y2/4 t) + B sin (|/ w2|0 - y2/4 t)], если y < 2w0. в) Как изменится вид найденного решения, если y > 2w0?
 54542. В момент времени t = 0 положение и скорость тела массы m (см. предыдущую задачу) равны х = х0, x = v0. Найдите A и В.
 54543. Часто требуется, чтобы в электрической цепи имелось синусоидальное напряжение постоянной амплитуды, но переменной фазы. Электрическая схема, с помощью которой можно осуществить это требование, называется цепью с фазовым сдвигом. Один из примеров такой цепи показан на рисунке. Докажите, что амплитуда напряжения между точками А и В составляет половину амплитуды входного напряжения, а фаза может меняться в пределах от 0 до 180° при изменении R'.
 54544. На входе цепей A и В (см. рисунок) находится источник с напряжением Vвх = V0 cos wt. Положим, что ток, протекающий через клеммы на выходе цепей, пренебрежимо мал. а) Найдите соотношение, которое должно существовать между R, С, R' и L, чтобы выходные напряжения обеих цепей VA(t) и VB(t) были равны. б) Найдите постоянные токи IA(t) и IB(t).
 54545. Тело на воздушной подушке при движении теряет свою скорость главным образом из-за вязкости в тонком воздушном слое под ним, причем сила торможения пропорциональна скорости. Составьте и решите дифференциальное уравнение плоского движения тела. Как его скорость изменяется: а) со временем? б) с расстоянием?
 54546. Пластины конденсатора емкости С, первоначально заряженного до напряжения V0, в момент времени t = 0 соединяются через сопротивление R. Составьте дифференциальное уравнение для V как функции t. Решите это уравнение, предполагая, что существует экспоненциальное решение.
 54547. Тело на воздушной подушке содержит в себе магнит. Этот магнит при движении тела генерирует круговые токи, магнитные поля которых действуют на магнит, в результате чего появляется замедляющая сила, пропорциональная скорости. Найдите (в зависимости от коэффициента торможения у): а) конечную скорость, достигаемую телом; б) скорость тела в зависимости от времени; в) его положение в зависимости от времени, если оно начинает двигаться из состояния покоя.
 54548. Конденсатор емкостью С и катушка с индуктивностью L соединены так, как показано на рисунке. Конденсатор первоначально заряжен до напряжения V0, а ключ S разомкнут. В момент времени t = 0 он замыкается. а) Найдите напряжение на конденсаторе в зависимости от времени. б) Рассчитайте зависимость от времени величии CV2/2 и Ll2/2. Каков, по-вашему, физический смысл этих величин?
 54549. В электрической цепи, показанной на рисунке, ключ S вначале замкнут. По цепи протекает постоянный ток I = V0/R. В момент времени t = 0 ключ внезапно размыкает цепь. Найдите максимальное напряжение на конденсаторе.
 54550. Найдено, что тело массы 5,0 кг колеблется с затуханием, которым можно пренебречь. Подвешенное на пружине тело совершает 10 полных колебаний за 10,0 сек, затем приводится в действие маленький магнитный замедлитель движения и появляется затухание, пропорциональное скорости движения. В результате амплитуда колебаний уменьшается за 10 полных циклов от 0,2 до 0,1 м. а) Составьте уравнение движения тела, причем коэффициенты перед членами d2x/dt2, dx/dt и х выразите в численном виде, воспользовавшись системой единиц MKS. б) Чему равен новый период колебаний тела? в) За сколько колебаний (начиная с цикла с амплитудой 0,2 м) амплитуда уменьшается до 0,05 м? До 0,02 м? г) Чему равна максимальная скорость диссипации энергии в течение первого колебания?
 54551. Гармонический осциллятор с затуханием представляет собой шарик массой m, подвешенный на пружине с упругой постоянной k; он находится в вязкой среде, в результате взаимодействия с которой появляется сила затухания, равная -my(dx/dt). 1) Для случая движения с затуханием найдите решения x = x(t) для t > 0, если на шарик действует сила: a) F = { 0 при t < 0, F0 = const при t > 0; б) сила отсутствует, но в момент времени t = 0 шарику сообщается импульс р = рх; в) F = 0 при t < 0, F0 = const при t > 0, w0 = |/ k/m. 2) Если на осциллятор действует сила F = F0 cos wt и рассматриваются достаточно большие отрезки времени, то чему равна частота w*, при которой амплитуда колебаний достигает максимального значения? Примечание. Помните, что полное решение содержит два члена, описывающие как стационарное, так и переходное движение, и что начальные условия полностью определяют постоянные интегрирования.
 54552. Чтобы уменьшить колебания напряжения, снимаемого с выпрямительного устройства, используется так называемый «сглаживающий» фильтр. В простейшей форме он состоит из сопротивления (r = 10^3 Oм), соединенного с конденсатором (С = 10 мкф) так, как показано на рисунке. Найдите напряжение на выходе конденсатора, если входное напряжение имеет постоянную компоненту V0 и переменную компоненту с циклической частотой 120 сек^-1 и амплитудой V2.
 54553. Во многих случаях желательно иметь электрическую цепь, которая «дифференцирует» функцию, описывающую подаваемое на ее вход напряжение по времени. Простая цепь, удовлетворяющая этому требованию, изображена на рисунке. Покажите, что выходное напряжение в такой цепи (если пренебречь током, протекающим на выходе) равно Vвых(t) = RC dVвх/dt при условии, что |Vвых| << |Vвх|.
 54554. Найдите Vвых в цепи, изображенной на рисунке к предыдущей задаче, для случая, когда Vвх = V0 cos wt, и проверьте еще раз правильность результата, полученного выше.
 54555. Придумайте простую цепь, которая «интегрировала» бы входную функцию, и обсудите ее свойства.
 54556. Тело массы m, прикрепленное двумя одинаковыми горизонтальными пружинами с упругими постоянными k/2, скользит по поверхности стола. Предполагается, что коэффициент трения постоянен. Тело оттягивается в сторону на расстояние А вправо от центральной точки и затем отпускается. а) Составьте дифференциальное уравнение движения тела и решите его для временного интервала 0 < t < п|/ m/k. б) Каково должно быть расстояние A, чтобы размах колебания тела оставался больше расстояния В от центра после пересечения точки х = 0 целое число (0, 1, 2...) раз?
 54557. Пешеход, идя по тротуару, проходит 1,5 м в 1 сек, а по вспаханному полю — только 0,9 м за 1 сек. Он вышел из точки А, находящейся на расстоянии 42 м от стены, и направляется в точку В, расположенную к югу вдоль стены на расстоянии 36 м от края поля. а) По какому пути AkB должен идти пешеход, чтобы пройти его в кратчайшее время? (Уместно предположить, что к этой задаче приложим «закон преломления». Однако если вы достаточно смелы, то попытайтесь решить ее без такого предположения.) б) Чему равно это кратчайшее время? в) Какое потребуется время, чтобы пройти по маршрутам АСВ и АС'B, если Ck = kC' = 3 м?
 54558. Свет от источника S, отстоящего на расстоянии 1 м от экрана, посылается узким пучком перпендикулярно экрану и попадает на него в точке Р. На пути луча помещается пластина из люцита толщиной 0,2 м (показатель преломления люцита 1,5) так, чтобы направление распространения пучка в этой пластине составляло 30° с первоначальным направлением (когда не было пластины). а) Найдите боковое смещение луча РР'. б) Найдите процентное увеличение времени прохождения лучом пути SP' по сравнению с временем, необходимым для прохождения первоначального пути SP в воздухе.
 54559. Пусть S — источник света, а Р — его изображение, даваемое линзой АСВ, SР = 1 м, AС = BС = 0,1 м. Линза АСВ имеет на краях толщину 3 мм. Если луч проходит путь SCP за то же время, что и расстояния SAP и SBP, то какова толщина линзы в середине (в точке С)? (Показатель преломления стекла 1,60.)
 54560. В обычном плоском зеркале наше изображение оказывается перевернутым справа налево, т. е. изображение правой руки выглядит так, как левая рука «человека» в зеркале. Почему зеркало не переворачивает еще все вверх ногами? Что действительно переворачивается зеркалом?
 54561. Два плоских зеркала расположены так, что образуют прямой двугранный угол, причем линия пересечения вертикальна. Объяснить, почему в таком зеркале мы «видим себя такими, какими нас видят другие люди».
 54562. Три взаимно перпендикулярных зеркала расположены так, что образуют прямой трехгранный угол. Луч света падает на одно из зеркал, а затем, отражаясь от него, попадает на другое зеркало, а может быть, и на третье. Покажите, что после всех отражений (мы предполагаем, что зеркала огромны) луч выйдет в направлении, строго противоположном первоначальному, но окажется несколько смещенным. Знаете ли вы практическое применение такого «углового отражателя»?
 54563. Хорошо известно, что когда свет переходит из одной прозрачной среды в другую, то не все лучи испытывают преломление, некоторая их часть отражается, а весьма малая доля (если таковая вообще есть), поглощается или рассеивается. Что происходит, когда пучок света падает на поверхность раздела двух сред под большим углом к нормали, проходя вначале через более плотную в оптическом отношении (имеющую больший показатель преломления) среду?
 54564. Параллельный пучок света, распространяющийся в воздухе, собирается в фокусе преломляющей поверхности, которая ограничивает область с показателем преломления n. Найдите форму этой поверхности.
 54565. Внешний диаметр стеклянной капиллярной трубки равен D, показатель ее преломления n. Если смотреть на трубку со стороны, то кажется, что маленькое капиллярное отверстие имеет диаметр d. Чему в действительности равен диаметр d' трубки?
 54566. Пучок света сходится в определенной точке Р. Нужно в данной точке Q, лежащей на оси, поместить такую отражающую поверхность, которая даст изображение в новом фокусе — в точке Р'. Определите форму требуемой поверхности.
 54567. Линза с фокусным расстоянием F дает действительное изображение отдаленного объекта, которое рассматривается через увеличительное стекло с фокусным расстоянием f. Если в момент рассматривания глаз сфокусирован на бесконечность, то чему равно кажущееся угловое увеличение системы?
 54568. Обычный человеческий глаз может быть сфокусирован на объект, лежащий между 25 см и бесконечностью. Прямо против глаза расположена простая тонкая увеличивающая линза с фокусным расстоянием f = +5 см. а) Между какими двумя предельными положениями должен быть расположен рассматриваемый объект, чтобы его было ясно видно? б) Определите угловое увеличение системы для каждого из этих двух положений.
 54569. Телеобъектив состоит из положительной линзы с фокусным расстоянием f1 = 30 см и отрицательной линзы с фокусным расстоянием f2 = -10 см; расстояние между обеими линзами 27,5 см. Где должна быть расположена фотопластинка, на которой будет сфотографирован объект, находящийся впереди первой линзы на расстоянии 10 м? Тщательно проследите путь луча.
 54570. 200-дюймовый телескоп Гейла имеет фокусное расстояние 160 м. Какова разница в положении изображений при наблюдении отдаленных звезд и а) Луны; б) искусственного спутника, находящегося от Земли на расстоянии 320 км?
 54571. Две тонкие линзы L и L' с фокусными расстояниями f и f' находятся на расстоянии D друг от друга. Найдите эквивалентное фокусное расстояние F всего устройства и расстояния d и d' от главных плоскостей до линз L и L'.
 54572. Дайте геометрическую интерпретацию комплексных чисел, используемых в двух следующих задачах, и найдите модули следующих комплексных величин: а) re^iф/2 + re^iф/2, б) E re^inф.
 54573. Две антенны расположены так, как показано на фиг. 29.5 «Лекций» (вып. 3, стр. 52). Они работают в одной фазе так, что, когда одна из них излучает с интенсивностью l0 по всем горизонтальным направлениям, интенсивность излучения другой составляет 2l0. Чему равна наблюдаемая интенсивность излучения обеих антенн в различных направлениях, указанных на рисунке?
 54574. Четыре идентичных дипольных излучателя расположены параллельно друг другу и находятся на одинаковых расстояниях 2,50 см друг от друга. Они работают на частоте 3,00*10^9 сек^-1 и сфазированы так, что излучение каждого последующего диполя отстает от предыдущего на 90°. Найдите интенсивность излучения на больших расстояниях от системы в экваториальной плоскости (перпендикулярной оси диполя) и постройте эту функцию в полярных координатах. Полученная диаграмма носит название картины излучения антенной системы.
 54575. Две параболоидные «чаши» радиотелескопа КАЛТЕХа в Оуенс Вэлли расположены на расстоянии 480 м друг от друга. Каждая «чаша» концентрирует поступающее излучение в малом приемнике, находящемся в фокусе. Два принимаемых сигнала подаются в расположенный посередине между «чашами» единый смеситель, где оба сигнала складываются, а затем вычисляется средний квадрат результирующей амплитуды. С какой точностью можно установить угловое положение удаленного точечного источника, наблюдаемого с помощью радиотелескопа, если 10 %-ные флуктуации выходного сигнала уже считаются значительными? Длину волны возьмите равной 50 см.
 54576. Заряд q совершает движение по окружности радиуса а с угловой частотой w. Вычислите электрическое поле, создаваемое зарядом, на большом расстоянии R от системы под углом Q к оси круговой орбиты. Найдите интенсивность излучения в плоскости орбиты и на оси орбиты при больших значениях R.
 54577. Все N диполей в линии А работают в одинаковой фазе, а все диполи в линии В отстают по фазе на 90° от диполей в линии А. Определите картину излучения в экваториальной плоскости (как в задаче 29.2) на большом расстоянии от линий.
 54578. Электроны в длинной прямой тонкой проволоке длиной L колеблются с угловой частотой w и малой амплитудой а в одинаковой фазе вдоль проволоки. Найдите электрическое поле, создаваемое ими под углом Q относительно направления проволоки на больших расстояниях R от нее (R >> L).
 54579. Количество энергии на единицу площади, переносимой электромагнитной волной, пропорционально среднему квадрату напряженности электрического поля. Найдите долю полной энергии, излучаемой колеблющимся зарядом, которая падает на единицу площади, нормальной к радиусу-вектору R, проведенному под углом Q к оси колебаний. Рассчитайте и выразите в вт/м2 эту величину для случая вертикально ориентированного колеблющегося диполя, подвешенного к радиозонду космических лучей, который находится на высоте 25 км и на расстоянии 25 км по горизонтали, если всего им излучается 0,5 вт.
 54580. Длины волн D-линий в спектре возбуждения натрия равны 5889,95 и 5895,92 А соответственно. Какую длину должна иметь решетка, содержащая 600 линий на 1 мм, чтобы разрешить эти линии в спектре первого порядка?
 54581. По прямой дороге идет обычная автомашина с включенными фарами (рассматриваемыми как точечные источники). Расстояние между фарами автомобиля 120 см. На каком расстоянии от наблюдателя должна находиться машина, чтобы он был уверен, что видит два источника света, а не один? Примите диаметр зрачка глаза равным 0,5 см, а эффективную длину света, испускаемого фарами, равной 5500 А. Как вы думаете, тот факт, что свет «белый» (т. е. смесь лучей с разными длинами волн), облегчает или затрудняет разрешение двух источников света?
 54582. На рисунке показан общий вид спектрографической решетки. Свет от источника L проходит через узкую щель S, затем через коллиматорную линзу (или зеркало) C1, которая превращает его в параллельный пучок лучей (так что на решетку падает как бы плоская волна, приходящая из бесконечности). Далее параллельный пучок лучей дифрагирует от решетки G; дифрагированный свет, идущий в определенном угловом интервале, падает на линзу С2, называемую камерной, и фокусируется ею в плоскости Р. Получается набор узких спектральных линий. Пусть длина щели равна h, ее ширина w, фокусные расстояния линз С1 и С2 равны F1 и F2, а углы между нормалью к решетке и осями линз С1 и С2 равны Qi и Qd; 1 мм решетки содержит N линий. Дайте ответ на следующие вопросы: а) Какую ширину будет иметь полоса, занимаемая спектром в плоскости Р? б) Какой длине волны (s) будет отвечать линия, лежащая на плоскости Р в месте прохождения оси линзы С2? в) На каком расстоянии друг от друга в фокальной плоскости будут находиться две спектральные линии, длины волн которых отличаются на 1,00 А? Такая величина часто называется дисперсией оптического устройства. г) Какова ширина спектральной линии в плоскости Р, если ширина щели w много больше разрешения коллиматорной линзы [равного 1,22L (F1/A1), где А1 — апертура], и уширения, создаваемого решеткой и равного (L/L)F1, где L — размер решетки?
 54583. Спектрограф 150-футового солнечного башенного телескопа, находящегося в обсерватории Маунт Вильсон, показан схематически на рисунке. В этом устройстве одна и та же линза действует и как коллиматорная и как камерная, а Qi = -Qd (почти!). Фокусное расстояние всего устройства F = 23 м, а решетка имеет площадь 15 см х 25 см, причем в 1 мм ее содержится 600 линий. Обычно при наблюдениях используется спектр пятого порядка. а) При каком угле Q наклона решетки линия спектра возбуждения нейтрального железа, отвечающая длине волны L = 5250,218 А, будет совпадать с положением щели в спектре пятого порядка? б) Для каких других длин волн в интервале от L = 3600 А до L = 7000 А линия спектра также будет совпадать с положением щели? в) Предложите простой способ устранения в наблюдаемой картине спектров нежелательных порядков, оставив только спектр пятого порядка. г) Какова дисперсия рассматриваемого устройства при длине волны L = 5250 А, отвечающей линии в спектре пятого порядка? д) Каково минимальное теоретическое значение dL, которое может быть разрешено при длине волны L = 5250 А в спектре пятого порядка?
 54584. Длины волн спектральных линий обычно измеряются с точностью около 0,001 А при помощи спектрографов, разрешающая сила которых составляет только 0,010 А. Не нарушаются ли при этом какие-нибудь основные законы физики? Объясните.
 54585. Когда желобки дифракционной решетки располагаются так, что они отражают большую часть падающего излучения только в определенном направлении, то говорят, что решетка блестит в этом направлении. Предположим, что желобки можно нанести так, чтобы сечение решетки представляло собой пилообразную функцию, показанную на рисунке, причем поверхность каждого желобка лежит под определенным углом Qb. а) Используя понятие о дифрагированном пучке света как об излучении, испускаемом в веществе осцилляторами, которые колеблются в одной фазе с падающим излучением, определите, в каком направлении дифрагированный пучок будет иметь наибольшую интенсивность, если Qi = 0? б) Приблизительно оцените тот угловой интервал, внутри которого решетка «блестит».
 54586. Интерферометр Фабри — Перо состоит из пары прецизионно отшлифованных плоских поверхностей, параллельных друг другу и расположенных на расстоянии D. Эти поверхности отражают часть R2 света, нормально падающего на них, и пропускают долю T2. Свет с интенсивностью l0 и длиной волны L вначале падает слева (см. рисунок), причем часть лучей сразу проходит через систему, а некоторая их доля отражается от правой поверхности, потом от левой, а затем проходит сквозь систему. В общем проходящий пучок состоит из лучей, которые отразились 0, 2, 4, 6... раз и в конце концов прошли через обе поверхности. Как интенсивность проходящего света зависит от величин D, L, R и Т? Примечание. Узкополосные оптические фильтры, называемые интерференционными, действуют по такому же принципу. Обе отражающие поверхности у них сделаны из нескольких слоев высококачественного стекла точно фиксированной толщины и с различными показателями преломления.
 54587. Найдите показатель преломления алюминия для рентгеновских лучей с длиной волны 1,56*10^-8 см, предполагая, что электроны в алюминии имеют собственную частоту, много меньшую, чем частота рентгеновских лучей.
 54588. Показатель преломления ионосферы для радиоволн с частотой 100 мксек^-1 равен n = 0,90. Определите плотность электронов в 1 см3 ионосферы.
 54589. Электрическое поле Е световых волн, проходящих через среду с показателем преломления n, равно Е0e^iw(t-nz/c). а) Покажите, что если n = n' - in", то E = E0e^-n"wz/c e^iw(t-n'z/c). б) Используя выражение n - 1 = Nq2/2e0m*1/w2|0 - w2 + iyw, найдите, по какому закону ослабляется интенсивность световой волны, частота которой в точности равна собственной частоте w0 атома.
 54590. Известно, что мгновенная плотность потока энергии электромагнитной волны равна S = e0cE2 вт/м2. а) Найдите полную энергию, излучаемую в единицу времени электроном, осциллирующим с амплитудой х0 и угловой частотой w. б) Сравните энергию, излучаемую за одно колебание, с запасенной энергией 1/2mw2x2|0, и найдите константу затухания yR. Это затухание называется радиационным затуханием. в) Возбужденный атом испускает фотоны с определенной длиной волны L. Рассчитайте ожидаемое уширение dL спектральной линии, если оно возникает исключительно из-за радиационного затухания. (Рассматривайте атом как крошечный осциллятор, обладающий затуханием.)
 54591. Покажите, что если уравнение движения заряженного осциллятора имеет вид d2x/dt2 + w2|0x - 2e2/3c3m d3x/dt3 = F(t)/m, то член, содержащий третью производную, правильно описывает скорость уменьшения энергии при излучении (сопротивление излучения) для любой частоты. Примечание. Пусть F(t) = A cos wt. Найдите количество энергии, излучаемой осциллятором.
 54592. Пучок света проходит через область, содержащую N рассеивающих центров в единице объема. Сечение рассеяния света на каждом из них равно s. Покажите, что интенсивность света в зависимости от пройденного расстояния х описывается формулой l = l0e^-Nsx.
 54593. Используя выражение для сечения рассеяния s = 8п/3(e2/mec2)2 w4/(w2 - w2|0)2 и выведенную ранее формулу для показателя преломления газа, покажите, что величина Ns может быть записана в виде Ns = 2/3п (n-1)2/N (2п/L)^4. (Таким способом было вычислено впервые число Авогадро при изучении рассеяния света.)
 54594. Сколько голубого света (L = 4500 А), испускаемого Солнцем, проходит через атмосферу, когда Солнце находится а) в зените? б) под углом 10° к горизонту?
 54595. Открыты новые лучи (названные Х-лучами, ибо они обладают неизвестными, но удивительными свойствами) и высказано предположение, что это, подобно свету, поперечные волны. Затем было замечено, что электроны вещества рассеивают эти лучи. Как можно доказать, что они действительно поперечны? Можно ли их поляризовать?
 54596. Внутренняя корона Солнца (называемая К-короной) представляет собственно солнечный свет, рассеянный свободными электронами. Кажущаяся яркость этой K-короны на расстоянии одного солнечного радиуса от солнечного диска составляет около 10^-8 от яркости самого диска (на единицу площади). Вычислите число свободных электронов в 1 см3 пространства вблизи Солнца.
 54597. Покажите, что величина (е0с)^-1 имеет размерность сопротивления и оцените ее численно.
 54598. Межзвездное пространство заполнено облаками из крошечных пылинок, состоящих из углерода, льда и очень малого количества других элементов. Какова должна быть минимальная масса таких пылинок, отнесенная к единице площади (1 г/см2), способная ухудшить наши наблюдения за звездами, скажем, в 100 раз (т. е. на 5,0 звездной величины). Не забудьте, что свет от звезд может не только рассеиваться на пылинках, но и просто поглощаться ими.
 54599. Короткий прямой кусок медной проволоки, помещенный в поток электромагнитных волн радарной системы, рассеивает волны. Электрическое поле падающей волны взаимодействует с движущимися электронами в проволоке, в результате чего происходит рассеяние. Если рассматривать достаточно короткий кусок проволоки (длина которого много меньше L), то можно предположить, что среднее смещение электронов в нем вдоль оси пропорционально компоненте E|| электрического поля волны, параллельной проволоке. Таким образом, если в проволоке имеется N электронов, a d — их среднее смещение, то d = xE||. Нам нужно знать (в зависимости от x и N): а) чему равно сечение рассеяния проволоки? б) как зависит сечение рассеяния от ориентации проволоки?
 54600. Две поляроидные пластинки расположены под прямым углом, а третья размещается между ними так, чтобы ее ось составляла угол Q с осью первого поляроида. Какова интенсивность света, проходящего через такое устройство, если все поляроиды идеальны (потерь нет)?