Earth curvature of space2 curvature of space1
Банк задач

Вход на сайт
Регистрация
Забыли пароль?
Статистика решений
Тип решенияКол-во
подробное решение60032
краткое решение7560
указания как решать1341
ответ (символьный)4704
ответ (численный)2335
нет ответа/решения3772
ВСЕГО79744

База задач ФизМатБанк

 54301. В колебательный контур, состоящий из катушки индуктивноcтью L и конденсатора емкостью С, включен источник тока с электродвижущей силой E. Найдите зависимость от времени заряда конденсатора и силы тока в контуре после замыкания ключа К (рис. ), а также электромагнитную энергию, запасенную в катушке и конденсаторе. Активным сопротивлением катушки и внутренним сопротивлением источника можно пренебречь.
 54302. Почему трудно сконструировать колебательный контур, в котором возникли бы колебания очень низкой частоты (например, 0,01 Гц) или очень высокой (например, 10^10 Гц)?
 54303. Колебательный контур содержит конденсатор емкостью С, катушку с индуктивностью L и активным сопротивлением R, а также ключ. При разомкнутом ключе конденсатору сообщили заряд q0, а затем ключ замкнули. Определите зависимость заряда конденсатора от времени. Рассмотрите случай, когда затухание мало (b << w0).
 54304. Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью С = 7 мкф и катушки, индуктивность которой L = 0,23 Гн, а сопротивление R = 40 Ом. В начальный момент конденсатору сообщают заряд q0 = 5,6*10^-4 Кл. Найдите: а) период колебаний, возникающих в контуре; б) логарифмический декремент затухания колебаний и добротность контура; в) закон изменения во времени напряжения на обкладках конденсатора и силы тока в контуре.
 54305. Определите относительную разность между частотой свободных колебаний w и собственной частотой w0 контура с добротностью Q, т.е. отношение (w0 - w)/w0. Чему равно это отношение при Q >> 1? Сделайте расчет для Q = 5.
 54306. Исходя из определения добротности Q = п/d, покажите, что при слабом затухании (b << w0) справедливо соотношение Q = 2п*W/dWт, где W — энергия, запасенная в контуре, dWт — уменьшение этой энергии за период колебаний Т.
 54307. В установке, собранной по схеме рис. , все сопротивления, кроме R1 = 1 Ом и R2 = 50 Ом, ничтожно малы. Индуктивность катушки L = 0,1 Гн, емкость конденсатора С = 1 мкФ, ЭДС элемента E = 1,4 В. Ключ замыкают, и после того, как ток в катушке установится, размыкают. Определите: а) начальную энергию колебаний, которые возникнут в контуре (R1, L, С) после размыкания ключа; б) энергию колебаний через 0,2 с после размыкания ключа.
 54308. Контур состоит из катушки индуктивностью L = 3*10^-5 Гн и сопротивлением R = 1 Ом и конденсатора емкостью С = 2000 пкФ. Какую мощность должен потреблять контур, чтобы в нем поддерживались незатухающие колебания, при которых максимальное напряжение на конденсаторе Um = 0,5 В?
 54309. Покажите, что при малом затухании добротность контура, в котором совершаются вынужденные колебания, можно рассчитать по формуле Q = w0/dw, где w0 — собственная частота, dw — ширина резонансной кривой lm(w), измеренная на «высоте», в |/2 раз меньшей амплитуды тока при резонансе.
 54310. Плоский конденсатор подключен к источнику переменной ЭДС. Покажите, что сила тока смещения в конденсаторе равна силе тока проводимости в подводящих проводах.
 54311. Плоский конденсатор емкостью С подключен к источнику переменной гармонической ЭДС. Диэлектрик, заполняющий пространство между обкладками, неидеален — его сопротивление R конечно. Найдите силу полного тока между обкладками конденсатора.
 54312. В некоторой системе отсчета К имеются отличные от нуля поля E и В. Можно ли найти систему отсчета К', в которой будет наблюдаться только одно из полей (электрическое или магнитное)?
 54313. Распространяющаяся в вакууме вдоль оси X плоская электромагнитная волна, напряженность электрического поля которой изменяется по закону Еу = Em sin(wt - kx), наводит ЭДС индукции в квадратном контуре со стороной I = 50 см. Расположение контура показано на рис. . Найдите ЭДС индукции как функцию времени, если Еm = 50 мВ/м, частота f = 100 МГц.
 54314. Основная резонансная частота короткозамкнутого с обоих концов отрезка воздушной двухпроводной линии f1 = 10^9 Гц. Найдите длину I этого отрезка, а также другие его резонансные частоты.
 54315. Волновое сопротивление Z отрезка коаксиальной линии равно 75 Ом. Определите отношение радиусов наружного (R2) и внутреннего (R1) цилиндрических проводников линии. Диэлектрическая проницаемость диэлектрика, заполняющего пространство между внутренним и внешним цилиндрами, е = 2,5. Магнитным потоком через осевое сечение внутреннего проводника можно пренебречь.
 54316. После удара первого натуралиста палкой по стволу дерева пчелы вылетают из дупла, расположенного высоко - на высоте H = 30 м - на дереве, и разлетаются во все стороны со скоростями 1 м/с в поисках нарушителей их спокойствия. Каждую секунду наружу выбираются 1000 пчел. Второй натуралист (участник эксперимента) с очень чувствительным микрофоном расположился на соседнем дереве на расстоянии 30 м от «пчелиного» дерева на той же высоте, что и пчелиное гнездо. Он записывает жужжание, производимое пчелами. Почва под деревьями покрыта старой листвой и практически не отражает звук. Как менялась со временем громкость звука до того момента, пока «чистота» эксперимента не была нарушена воплями натуралистов?
 54317. Найдите минимальную скорость движения границы полной тени Луны по поверхности Земли во время солнечного затмения. Считайте, что орбита Луны при ее движении вокруг Земли круговая и лежит в плоскости орбиты, по которой Земля движется вокруг Солнца. Расстояние от Земли до Луны примерно в 60 раз больше радиуса Земли.
 54318. Куб с ребром A и с равномерно распределенной по объему массой М, начальная скорость которого v направлена вдоль четырех ребер куба, движется в разреженном газе с концентрацией n молекул с массами m << М и температурой T. Удары молекул о гладкие стенки куба абсолютно упругие. Длина свободного пробега молекул много больше ребра куба, т.е. L >> A, a n >> 1/A3?. Каково ускорение куба? Рассмотрите только два крайних случая: а) v2 >> kT/m; б) v2 << kT/m.
 54319. Имеется гексагональная бесконечная сетка. Каждые два узла сетки характеризуются минимальным количеством «мостиков», которые нужно преодолеть, чтобы из одного узла перебраться в другой. Каждое звено такой сетки, расположенное между двумя соседними узлами, имеет сопротивление R. К каждому узлу сетки подключены три таких звена. От узла А можно вдоль проволочек (звеньев) сетки передвинуться к трем ближайшим узлам В сетки. От этих трех узлов по другим проволочкам можно перебраться к следующим по удаленности от точки А шести узлам С. Начиная с этих узлов С, симметрия перемещения по мостикам нарушается. Если батарейка подключена к двум узлам сетки, расположенным очень далеко друг от друга, то от каждого узла С токи, уходящие по двум проволочкам к следующим по удаленности от А узлам, имеют два разных значения, и их отношение неизвестно. Предположим, что отношение токов равно k. Найдите сопротивления сетки между узлом А и некоторыми узлами сетки, которые отстоят от А на 5 проволочек-мостиков.
 54320. На длинных невесомых и нерастяжимых нитях, прикрепленных к потолку, висят три стальных сплошных шара диаметрами 3D, 2D u D. В равновесном положении все нити вертикальны, центры шаров находятся на одинаковых расстояниях L » D от потолка и на одной горизонтальной линии, причем шары почти касаются друг друга. Посередине находится шар диаметром 2D. Шар диаметром 3D отводят от положения равновесия так, что нить, к которой он прикреплен, остается выпрямленной, находится в той же плоскости, что и две другие нити, и образует с вертикалью угол a << 1. Шар отпускают. Найдите максимальный угол b отклонения нити, удерживающей шар диаметром D, после первой серии ударов шаров. Считайте все удары абсолютно упругими.
 54321. Вольт-амперная характеристика нелинейного элемента при напряжениях, не превышающих по модулю некоторой величины U0, имеет вид I = aU3. Два диода, включенные параллельно друг другу так, что «плюс» одного соединен с «минусом» другого, имеют похожую характеристику. При подаче на такой элемент напряжения, изменяющегося по гармоническому закону u = U0 cos wt, в частотном спектре тока присутствуют первая и третья гармоники. Каково отношение их амплитуд?
 54322. В неблизком будущем на уроке физики в школе на Луне проводится такой эксперимент. Сплошной плоский стальной лист большой площади и одинаковой по всей площади толщиной - плиту - окунают в расплавленный парафин, вынимают и дожидаются, когда он остынет. Плита покрывается тонкой пленкой парафина, который не смачивается водой. Плиту аккуратно опускают на поверхность воды в сосуде, и она не тонет. Какова максимальная толщина используемой в эксперименте плиты? Ускорение свободного падения на поверхности Луны равно 1,6 м/с2. Сталь, парафин и вода на Луне такие же, как и на Земле.
 54323. При обычных условиях воздух имеет плотность около 0,001 г/см3, тогда как плотность жидкого воздуха примерно 1 г/см3. а) Оцените число молекул в 1 см3 газообразного и жидкого воздуха. б) Оцените массу «молекулы» воздуха. в) Рассчитайте среднее расстояние, которое молекула воздуха проходит между двумя последовательными соударениями с другими молекулами при нормальном давлении и температуре. Это расстояние называется длиной свободного пробега. г) Оцените давление, до которого необходимо откачать вакуумную систему, чтобы длина свободного пробега в ней равнялась 1 м.
 54324. В один из давних дней палеозойской эры капля послеполуденного ливня упала на мягкую ровную землю и оставила на ней отпечаток. Шло время, на этот отпечаток при раскопках наткнулся страдающий от жары и жажды студент-геолог. Осушая свою фляжку, он от нечего делать прикидывает, сколько молекул из той древней капли было в воде, которую он только что выпил. Оцените и вы число этих молекул, используя только те данные, которые вам уже известны. О деталях, не приведенных в условии задачи, сделайте сами разумные предположения.
 54325. Действие происходит где-то в Калифорнии. На подоконнике возле раскрытого окна оставили стакан с водой. а) Как вы думаете, сколько времени он так простоит, пока вода из него не испарится полностью? б) Сколько молекул при этом будет испаряться с каждого квадратного сантиметра водной поверхности в секунду? в) Существует ли связь, и если да, то какая, между ответом на вопрос (а) и среднегодовым количеством осадков, выпадающих на Землю?
 54326. Если атомы, из которых состоят все тела, находятся в непрерывном движении, то за счет чего предметы сохраняют постоянную форму, иногда не меняясь очень подолгу (например, окаменелости)?
 54327. Можете ли вы объяснить, почему не существует кристаллов с гранями в форме правильного пятиугольника? (Треугольники, квадраты и шестиугольники в кристаллических формах встречаются постоянно.)
 54328. Как зависит давление газа Р от числа атомов в единице объема n и < v > — средней скорости атомов? Будет ли Р просто пропорционально n и < v > или зависимость отличается от линейной?
 54329. Если теплота есть не что иное, как движение молекул, то чем отличается горячий, покоящийся бейсбольный мячик от холодного, но быстро движущегося?
 54330. Объясните, почему и как трение между движущимися частями машины приводит к выделению тепла.
 54331. Химики обнаружили, что молекулы резины состоят из длинных перекрещивающихся цепочек атомов. Объясните, почему кусок резины нагревается, если его растянуть.
 54332. Что случится с куском резины, на котором подвешен груз, если резину нагреть? (Проделайте сами такой опыт.)
 54333. Вам дано большое число стальных шариков равного диаметра d и сосуд известного объема V. Все габариты сосуда много больше диаметра шариков. Какое максимальное число шариков может поместиться в сосуде?
 54334. Груз весом W = 50 кг подвешен в средней точке проволоки АСВ, как показано на рисунке; AС = СВ = 5 м; AB = 5|/2 м. Найдите натяжение Т проволоки.
 54335. Лестница длиной 3 м приставлена под углом к гладкой вертикальной стене. В верхнем ее конце имеются ролики (см. рисунок). Лестница весит 12 кг. На расстоянии 0,75 м от ее верхнего конца подвешен груз 24 кг. Найдите: а) силу, с которой ролики давят на стену; б) горизонтальную и вертикальную составляющие силы, с которой лестница давит на землю.
 54336. Подъемное устройство состоит из однородного стержня длиной L и весом w; устройство своим нижним концом шарнирно соединено со стенкой. С вертикалью стержень образует постоянный угол Q благодаря горизонтально натянутой проволоке, которая соединена со стержнем на расстоянии х от шарнира. Груз W подвешен к верхней точке стержня. Найдите натяжение Т горизонтальной проволоки.
 54337. Ферма состоит из легких алюминиевых стержней, концы которых шарнирно соединены друг с другом. В точке С ферма опирается на ролик, который может двигаться по гладкой плоскости. При сварке стержень АВ нагревается, причем его длина увеличивается на величину х. В результате груз W смещается по вертикали на расстояние у. а) Как направлено смещение W — вверх или вниз? б) Какая сила действует на стержень АВ (определить нужно и знак силы, т. е. решить, растянут стержень или сжат)?
 54338. Тележка удерживается на наклонной плоскости грузом w, подвешенным, как указано на рисунке. Трение во всех частях устройства пренебрежимо мало. Найдите W — вес тележки.
 54339. Вес катушки равен w, а ее большой и малый радиусы — R и r соответственно. С помощью нитей, навитых по малому радиусу, катушка прикреплена к неподвижному бруску, а снизу к ней на нитях, навитых уже по большому радиусу, подвешен груз W (см. рисунок). Вес груза подобран так, что катушка находится в равновесии. Чему равен вес груза W?
 54340. В дифференциальном вороте, который схематически изображен на рисунке, используется цепь, погонный метр которой содержит N звеньев. Шкивы верхнего блока снабжены зубцами, которые продеваются в звенья цепи, причем шкив большего диаметра имеет n зубцов, а шкив меньшего диаметра n - 1. Трение в системе таково, что силы, необходимые для подъема или опускания груза W, отличаются в R раз. Предполагая, что трение от направления движения не зависит, найдите эти силы.
 54341. Петля, сделанная из гибкой тяжелой цепи весом W, надета на гладкий прямой круговой конус, высота которого h, а радиус основания r. Цепь покоится в горизонтальной плоскости (ось конуса направлена вертикально). Найдите натяжение цепи.
 54342. Подвижная рама АА'ВВ' укреплена в вертикальной плоскости на шарнирах Р и Р' (см. рисунок). Трение во всех подвижных соединениях пренебрежимо мало. Все размеры твердых уголков AA'CD и BB'GH одинаковы; кроме того, AP = A'P' = 1/2 PB = 1/2 P'B', CD = GH = 1/2 AP. Благодаря противовесу wc рама в отсутствие грузов W1 и W2 находится в равновесии. Если в точке D подвесить груз W1 весом 0,5 кг, то какой следует подвесить груз в точке H, чтобы сохранить равновесие?
 54343. Через блок перекинуты равные грузы, которые опираются без трения на наклонные плоскости (см. рисунок). Если позволить грузам двигаться, какую скорость они приобретут, пройдя расстояние D?
 54344. Два груза W1 и W2 разного веса (W1 > W2) удерживаются в состоянии покоя на гладких наклонных плоскостях. Если позволить им двигаться, то какова будет их скорость после прохождения расстояния D?
 54345. В бак с площадью поперечного сечения А налита жидкость плотности р. Жидкость свободно вытекает из небольшого отверстия, расположенного на расстоянии Н ниже уровня жидкости. Площадь отверстия равна а. Если внутреннее трение (вязкость) в жидкости отсутствует, с какой скоростью она вытекает из отверстия?
 54346. Из решения приведенных выше задач должно быть ясно, что рассмотрение статического равновесия в отсутствие трения можно свести, используя принцип виртуальных перемещений, к проблеме чисто геометрического характера: куда сместится одна точка, если малое смещение другой задано? Во многих случаях на этот вопрос легко ответить, используя следующие свойства треугольников: I. Если при постоянной длине сторон d1 и d2 угол меняется на малую величину dа, то длина противолежащей стороны L меняется на dL = d1d2/L sin ada. II. Если длины сторон прямоугольного треугольника а, b и с изменяются соответственно на dа, db и dс, то эти изменения связаны между собой соотношением ada + bdb = cdc (с - гипотенуза). Можете ли вы доказать эти формулы?
 54347. Грузовик загружен одинаковыми гладкими бревнами. Он заехал в кювет и стоит, накренившись на один борт, причем дно кузова образует с горизонталью угол Q (крена в продольном направлении нет — грузовик стоит «на ровном киле»). Заканчивается разгрузка кузова. Если удалить бревно, показанное на рисунке пунктиром, то последние три бревна при малейшем уменьшении угла Q раскатятся. Найдите угол Q.
 54348. Длины наклонных и горизонтальных стержней фермы, показанной на рисунке, относятся как 5 : 6. Все соединения шарнирные, свободные, и вес самой фермы пренебрежимо мал. а) Какие стержни при данном положении груза W можно заменить гибкими связями? б) Найдите усилие в стержне BD.
 54349. Стержень длины R составлен из двух однородных кусков одинаковой длины, один из которых весит вдвое больше другого. Стержень подвешен за концы на двух нитях длины R, прикрепленных к гвоздю в точке Р. Какой угол с горизонталью образует стержень в положении равновесия?
 54350. Из прочной проволоки изготовлена рамка в форме прямоугольного треугольника и помещена в вертикальной плоскости, как показано на рисунке. По проволоке без трения скользят связанные нитью два грузика весом W1 = 100 г и W2 = 300 г. Чему равно натяжение нити и угол а в положении равновесия?
 54351. Молекула воздуха» при температуре 25°С и давлении 760 мм рт. ст., двигаясь со средней скоростью 450 м/сек, успевает между двумя последовательными столкновениями пролететь около 7*10^-6 см. Если в воздухе отсутствует струйное, макроскопическое движение, то сколько примерно времени понадобится молекуле, чтобы удалиться на 1 см от точки, в которой она находится в данный момент?
 54352. В сумке у мальчика три красных, два зеленых и один белый шарик. Он вынимает, не глядя, три первых попавшихся под руку шарика. Какова вероятность того, что: а) все три шарика разного цвета? б) все три шарика одного цвета?
 54353. Неподвижная сфера радиуса b «обстреливается» потоком маленьких шариков радиуса а. Будем предполагать, что рассеяние абсолютно упругое и что угол падения равен углу отражения (они отсчитываются от линии, соединяющей центры сферы и шарика в момент соприкосновения). Получите выражение для относительной доли шариков, рассеиваемых на разные углы. Результат представьте в виде формулы для сечения рассеяния. Убедитесь, что результат для полного сечения рассеяния сводится к очевидному выражению п(а + b)^2.
 54354. Расстояние от Луны до центра Земли изменяется от 363 300 км в перигее до 405 500 км в апогее, период обращения Луны вокруг Земли составляет 27,322 дня. Искусственный спутник Земли движется по орбите так, что расстояние от земной поверхности в перигее равно 225 км, а в апогее 710 км. Средний диаметр Земли равен 12 756 км. Определите период обращения спутника.
 54355. Спутник движется по круговой орбите радиуса R вокруг большого небесного тела массы М. Масса спутника m. а) Используя соотношение s = at2/2 и рассуждения, изложенные в гл. 7 «Лекций», получите выражение для центростремительного ускорения, которое испытывает спутник, движущийся по круговой орбите. Выразите это ускорение через орбитальную скорость и радиус орбиты. б) Полагая ma = GMm/R2, получите третий закон Кеплера.
 54356. Сравнивая параметры орбитальных движений Земли вокруг Солнца и Луны вокруг Земли, определите отношение массы Солнца к массе Земли. (Можете при этом использовать соотношения, полученные в предыдущей задаче.) б) Ио, спутник Юпитера, совершает оборот по орбите радиуса 421 800 км за 1,769 дня. Определите отношение массы Юпитера к массе Земли.
 54357. Используя представление о том, что два взаимно притягивающихся тела непрерывно «падают» друг на друга и в результате обращаются вокруг одной общей неподвижной точки (центра масс системы), покажите, что период обращения при фиксированном расстоянии R между телами зависит только от суммы их масс, но не от отношения масс. Это утверждение справедливо и для эллиптических орбит. Попытайтесь его доказать.
 54358. Две звезды а и b движутся одна вокруг другой под действием взаимного гравитационного притяжения. Большая полуось орбиты этого относительного движения, измеренная в астрономических единицах (А. E.), равна R, а период обращения составляет Т лет. Получите выражение для отношения суммы масс звезд ma + mb к массе Солнца.
 54359. Тригонометрический параллакс Сириуса (т. е. угол, под которым с Сириуса виден радиус земной орбиты) равен 0,378 угл. сек. Используя это значение и численные данные, приведенные на фиг. 7.7 в «Лекциях» (вып. 1, стр. 131), определите возможно точнее суммарную массу системы Сириуса по отношению к массе Солнца: а) считая, что плоскость орбиты относительного движения Сириуса А и Сириуса В перпендикулярна направлению на Землю; б) учитывая, что реальный угол между плоскостью орбиты и направлением на Землю отличается от прямого, является ли значение массы, полученное вами, предельным? Если да, то верхний это предел или нижний?
 54360. Эксцентриситет земной орбиты равен 0,0167. Найдите отношение максимального значения орбитальной скорости Земли к минимальному значению.
 54361. В 1986 г. ожидается появление кометы Галлея. Это будет ее седьмое возвращение из путешествия вокруг Солнца, если начинать счет с тех дней 1456 г., когда перепуганные люди возносили в церквях молитвы, прося защитить их от «дьявола, турка и кометы». Во время ее последнего прохождения через перигелий 19 апреля 1910 г. было измерено расстояние между нею и Солнцем, оказавшееся равным 0,60 А. Е. а) На какое расстояние уходит комета от Солнца в самой дальней точке своей траектории? б) Чему равно отношение максимального значения ее орбитальной скорости к минимальному?
 54362. Как можно определить массу Луны?
 54363. Радиусы Земли и Луны равны 6378 и 1738 км соответственно, а их массы находятся в отношении 81,3 : 1. Рассчитайте ускорение силы тяжести на Луне, если на Земле оно равно 9,8 м/сек2.
 54364. Какова должна быть точность экспериментального определения g, чтобы стал заметен «суточный ход» этой величины из-за наличия лунного притяжения? Для простоты будем предполагать, что лаборатория, в которой производятся измерения, имеет такое географическое расположение, что Луна проходит над ней в зените, а «под ней» — в надире. Пренебрегайте влиянием приливов.
 54365. Тело движется по прямой линии с постоянным ускорением а. При t = 0 оно находится в точке х = х0 и имеет скорость vx = vx0. Покажите, что в момент времени t положение и скорость тела определяются соотношениями x(t) = x0 + vx0t + 1/2 at2, vx(t) = vx0 + at.
 54366. Исключите время из формул, приведенных в предыдущей задаче, и покажите, что в любой момент времени выполняется равенство v2x = v2x0 + 2а (х - x0).
 54367. Обобщите результаты двух последних задач на случай трехмерного движения с постоянным ускорением, проекции которого на координатные оси равны ах, ау и аz.
 54368. Снаряд выпущен из орудия, установленного на уровне земли, с начальной скоростью v под углом Q к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, вычислите расстояние, которое он пролетит, и максимальную высоту, которой он достигнет в полете.
 54369. Под каким углом к горизонту следует установить ствол орудия, чтобы снаряд (см. предыдущую задачу) пролетел максимальное расстояние?
 54370. Новичок, незнакомый с обычаями регулировщиков движения на наших пригородных дорогах, был наказан штрафом за превышение скорости. Поэтому, увидев на ровном участке дороги плакат «Проверьте спидометр», он решает последовать этому совету. Пройдя линию «0» размеченного участка шоссе, он нажимает на акселератор и в течение всего времени проверки заставляет свою машину двигаться с постоянным ускорением. Он замечает, что мимо столбика с отметкой «0,1 мили» его машина проходит через 16 сек после начала испытания, а еще через 8 сек он проезжает мимо отметки «0,2 мили». а) Каково будет в этот момент показание его спидометра? б) С каким ускорением двигалась машина?
 54371. Ракета, запущенная в вертикальном направлении, движется с ускорением 2g в течение всех 50 сек работы двигателя. Пренебрегая сопротивлением воздуха и изменением величины g с высотой: а) начертите диаграмму v - t (зависимость скорости от времени) для всего времени полета; б) определите максимальную высоту, которой достигла ракета; в) рассчитайте полное время полета от момента запуска до возвращения на Землю.
 54372. На длинном горизонтальном участке полигона испытываются ракетные и авиационные реактивные двигатели. Однажды тележка с ракетным двигателем, стартуя с места, двигалась с постоянным ускорением, пока не выгорело все горючее, а потом она продолжала двигаться с постоянной скоростью. Горючее, как оказалось, кончилось ровно посередине отмеренного расстояния. Затем из той же начальной точки начала разгоняться тележка с авиационным реактивным двигателем, которая прошла с постоянным ускорением все расстояние. Оказалось, что обе тележки прошли известное расстояние за одинаковое время. Чему равно отношение ускорений, развиваемых ракетным и авиационным двигателями?
 54373. Миномет установлен на расстоянии 8100 м от вертикального обрыва высотой 105 м (см. схему). Необходимо минометным огнем поразить цели, скрытые за обрывом. Как близко к основанию обрыва могут «подобраться» мины, если их начальная скорость составляет 300 м/сек?
 54374. Угол можно измерять длиной дуги окружности, которую отсекает угол, если его вершина находится в центре окружности. Если S — длина дуги, a R — радиус окружности, то угол в радианах равен Q = S/R. а) Покажите, что если Q << 1 рад, то sinQ ~ Q, cosQ ~ 1. б) Используя полученный результат и формулы для косинуса и синуса суммы двух углов, найдите производные от sin x и cos x, применяя основную формулу dy/dx = lim y(x+dx) - y(x)/dx.
 54375. Тело движется по кругу радиуса R против часовой стрелки с постоянной скоростью v. Центр окружности помещается в начале прямоугольной системы координат (х, у), и в момент t = 0 тело находится в точке с координатами (R, 0). а) Найдите х, у, vx, vy, ах, ау как функции времени. б) Покажите, что х + w2х = 0 и y = w2y = 0, где w = v/R, а точка над буквой означает производную по времени, так что x = dx/dt, x = d2x/dt2.
 54376. Небольшой камешек застрял в узоре протектора автомобильной шины радиуса R. Шина катится по горизонтальной дороге без проскальзывания с постоянной скоростью v. Найдите выражения для координат камешка х и у как функций времени (в момент времени t = 0 камешек касается дороги). Найдите также зависимость от времени компонент скорости и ускорения камешка.
 54377. Частица с массой m движется в области пространства, где на нее действует сила, пропорциональная скорости частицы и перпендикулярная одновременно двум направлениям — вектору скорости и оси z. В начальный момент скорость частицы равна v0 и лежит в плоскости х — у. Покажите, что частица движется по круговой орбите и найдите радиус этой орбиты. Пусть коэффициент пропорциональности в выражении для силы через скорость равен b, т. е. F = bv.
 54378. Найдите радиусы кривизны орбиты, изображенной на фиг. 9.6 в «Лекциях» (вып. 1, стр. 173) в моменты времени t = 0, t = 0,82 и t = 2,086 сек.
 54379. Мальчик бросает мяч вверх под углом 70° к горизонту и попадает прямо в открытое окно, которое расположено на 9,6 м выше его плеча. Мяч влетает в окно горизонтально. а) С какой скоростью вылетел мяч из руки? б) Чему равен радиус кривизны траектории мяча, когда он перелетает через подоконник? Можете ли вы определить радиус кривизны траектории в любой момент времени?
 54380. Джим и Джо, два специалиста по космической физике, выросшие на разных планетах, встречаются на межпланетном симпозиуме Палаты мер и весов, посвященном утверждению универсальной системы физических единиц. Джим с гордостью описывает заслуги системы MKSA, которой пользуются все цивилизованные люди на Земле. Джо с неменьшей гордостью превозносит прелести системы M'K'S'A', которой пользуются цивилизованные люди по всей Солнечной системе, кроме Земли. Если постоянные множители, которые связывают единицы массы, длины и времени в этих двух системах, равны ц, L и т, так что m' = цm, l' = Ll и t' = тt, то какие множители потребуются для перевода единиц измерения скорости, ускорения, силы и энергии из одной системы в другую?
 54381. Как будут связаны между собой численные значения гравитационной постоянной, измеренные в двух системах единиц, описанных в предыдущей задаче?
 54382. Чему будет равно численное значение величины GM, если расстояние измерять в астрономических единицах, а время в годах?
 54383. Если изготовить модель Солнечной системы в одну k-ю натуральной величины из материалов той же самой средней плотности, которая известна для настоящих планет и Солнца, то как будут зависеть от «масштабного фактора» k периоды обращения «планет» модели по своим орбитам?
 54384. На схеме изображена машина Атвуда — одно из первых приспособлений для измерения ускорения силы тяжести. Массы блока Р и нитей пренебрежимо малы, трение отсутствует. С обеих сторон блока подвешены грузы одинаковой массы М, и система находится в равновесии. Затем на один из грузов кладется маленький разновесок m, и этот груз начинает опускаться. После того как он пройдет расстояние h, разновесок подхватывается специальным упором и грузы продолжают движение с постоянной скоростью v. Найдите ускорение силы тяжести g, если величины m, М, h и v известны.
 54385. Двое молодых марсиан, Паоло и Франческа, хотят переправиться через марсианский канал Римини, но ни одна гондола не берет их обоих сразу, а переправляться в разных лодках они отказались. Находчивый гондольер Джузеппе умудряется все-таки заработать на их переезде. Он подвешивает эту парочку на мачте (см. рисунок) с помощью невесомых и абсолютно гладких блоков и веревок (характерная особенность всех марсианских конструкций) и быстро переправляет влюбленных через канал, пока ни один из них не успевает коснуться ни мачты, ни палубы. Много ли при этом Джузеппе выигрывает в нагрузке? Напоминаем: натяжение невесомой нити, перекинутой без трения через невесомый блок, одинаково с обеих сторон блока.
 54386. Космический путешественник собирается отправиться на Луну. У него есть пружинные весы и гиря А массой 1 кг. Если подвесить эту гирю на пружине весов на Земле, они покажут 1 кГ. Опустившись на некотором участке лунной поверхности, где ускорение силы тяжести точно не известно (известно лишь, что оно примерно в шесть раз меньше, чем на Земле), космонавт подбирает камень B, который вытягивает на весах тот же самый 1 кГ. Затем он подвешивает А и В на нити, перекинутой через блок, как показано на рисунке, и обнаруживает, что камень опускается с ускорением 1,2 м/сек2. Чему равна масса камня В?
 54387. К потолку лифта, масса которого М2, подвешен груз массы М1. Приложенная сила F заставляет лифт двигаться с ускорением вверх [F больше (M1 + M2)g]. Груз М1 находится на расстоянии S от пола лифта. а) Найдите ускорение лифта. б) Чему равно натяжение нити, которой груз привязан к потолку? в) Нить внезапно оборвалась. Чему равно ускорение лифта и груза М1 в следующий момент? г) Сколько времени пройдет от момента разрыва нити до удара груза М1 об пол?
 54388. Маляр работает в подвеском кресле (см. рисунок). Вес его 72 кГ. Ему понадобилось срочно подняться вверх. Он принимается тянуть за веревку с такой силой, что его давление на кресло уменьшается до 40 кГ. Само кресло весит 12 кГ. а) Чему равно ускорение маляра и кресла? б) Чему равна полная нагрузка на блок?
 54389. Посмотрите на рисунок. Какую постоянную горизонтальную силу нужно приложить к М, чтобы М1 и М2 относительно М не двигались?
 54390. В системе, изображенной на рисунке, трение между любыми поверхностями отсутствует. Если грузику с массой m = 150 г, находящемуся над рамой на расстоянии 1,2 м, позволить двигаться, то за какое время он пройдет это расстояние? Macca рамы М = 1650 г.
 54391. Груз, подвешенный на пружине, неподвижен. Затем он приводится в движение ударом, направленным снизу вверх, и в начальный момент его скорость равна единице. Масса и упругость пружины таковы, что уравнение движения имеет вид х = -х. Найдите максимальную высоту, которой достигнет груз, путем численного интегрирования уравнения движения.
 54392. Тело с массой m движется прямолинейно. Движение тoрмозится силой, пропорциональной скорости тела, F = -kv. Найдите х как функцию времени численным интегрированием, если в начальный момент t = 0, х = 0 и v = v0. Найдите время t 1/2, за которое тело потеряет половину своей скорости, и максимальное расстояние хm, которое пройдет тело. Примечание, а) Подберите временной и линейный масштабы так, чтобы уравнение движения имело простые численные коэффициенты. б) Придумайте схему расчета (аналогичную приведенной в тексте «Лекций»), которая обеспечивала бы хорошую точность при сравнительно большом шаге dt. в) Используйте соображения размерности, чтобы выяснить, как t 1/2 и хm зависят от v0, k и m, а уравнение движения решите только для одного удобного значения v0, скажем для v0 = 1,00 (в модифицированных единицах х и t).
 54393. Заряженная частица движется в электрическом и магнитном полях согласно уравнениям движения dvx/dt = -2vy и dvy/dt = 1 + 2vx. При t = 0 частица находится в точке (0,0) и скорость ее имеет составляющие vх = 1,00 и vy = 0. Определите тип движения с помощью численного интегрирования. Прочтите примечание (б) к предыдущей задаче.
 54394. Мина вылетает из ствола миномета со скоростью 300 м/сек под углом 45° к горизонту. Ее движение тормозится силой, пропорциональной кубу скорости (F = -kv3). Коэффициент пропорциональности k таков, что при скорости 300 м/сек сила сопротивления вдвое превышает вес мины. Численным интегрированием найдите приближенные значения максимальной высоты, на которую поднимется мина, и расстояние от точки выстрела, на котором она упадет на землю. Сравните их с величинами, получающимися при отсутствии сопротивления воздуха.
 54395. В горизонтальном воздушном желобе (он описан в гл. 10 «Лекций», вып. 1, стр. 181) могут свободно двигаться два тела. Одно неподвижно, а другое налетает на него, и происходит абсолютно упругое столкновение, после чего тела разлетаются в противоположных направлениях с равными скоростями. Чему равно отношение их масс?
 54396. Два одинаковых массивных тела движутся навстречу друг другу в горизонтальном воздушном желобе с одинаковыми по величине скоростями v и -v. Происходит почти упругое соударение, и они разлетаются в противоположные стороны с несколько меньшими скоростями. При столкновении теряется доля кинетической энергии f << 1. Если бы до столкновения одно из этих тел покоилось, какова была бы скорость второго тела после столкновения? (Эту маленькую остаточную скорость dv легко выразить через v — конечную скорость тела, покоившегося до столкновения, и таким путем определить упругость пружинных буферов.) Примечание. Если х << 1, то |/1 -х ~ 1 - х/2.
 54397. Спутник Земли весом 10 кг со средним поперечным сечением 0,50 м2 движется по круговой орбите на высоте 200 км, где средний пробег молекул измеряется многими метрами и плотность воздуха равна 1,6*10^-10 кг/м3. Приближенно будем считать соударения молекул со спутником абсолютно неупругими (молекулы не то чтобы прилипают к спутнику, но отскакивают от него с очень малыми относительными скоростями). Подсчитайте, какая тормозящая сила будет действовать на спутник за счет трения о воздух. Как будет зависеть эта сила от скорости спутника? Будет ли скорость спутника уменьшаться под действием всех приложенных к нему сил? (Учтите зависимость орбитальной скорости спутника от высоты круговой орбиты.)
 54398. Ракета, первоначальная масса которой М0 кг, выбрасывает продукты сгорания топлива с постоянной скоростью v0 (по отношению к ракете). В 1 сек выбрасывается dm/dt = -r0 кг/сек газов. а) Рассчитайте ускорение ракеты в начальный момент, пренебрегая силой тяжести. б) Если скорость истечения v0 = 2,0 км/сек, сколько килограммов газов в секунду необходимо выбрасывать для создания тяги 10^5 кГ? в) Запишите дифференциальное уравнение, которое связывает скорость ракеты с ее остаточной массой, и, если можете, решите это уравнение.
 54399. Если два тела движутся по одной прямой, то существует такая система координат, в которой импульс одного тела равен по величине и противоположен по направлению импульсу другого тела. Это значит, что суммарный импульс двух тел в такой системе равен нулю. Такая система отсчета называется системой центра масс (сокращенно ц. м.). Если массы тел равны m1 и m2, а тела движутся со скоростями v1 и v2 соответственно, то покажите, что скорость системы ц. м. равна vц.м. = m1v1 + m2v2/m1 + m2.
 54400. Обобщите результат задачи 10.5 на произвольное число тел, движущихся по одной прямой, т. е. найдите скорость системы координат, в которой суммарный импульс всех этих тел равен нулю.