Earth curvature of space2 curvature of space1
Банк задач

Вход на сайт
Регистрация
Забыли пароль?
Статистика решений
Тип решенияКол-во
подробное решение57480
краткое решение7556
указания как решать1341
ответ (символьный)4703
ответ (численный)2335
нет ответа/решения3776
ВСЕГО77191

База задач ФизМатБанк

 51201. Однородный двойной электрический слой имеет форму полусферы радиуса R с центром кривизны в начале декартовой системы координат и осью симметрии, совпадающей с осью Z. Последняя обращена в сторону выпуклости полусферы. Плотность дипольного момента на полусфере направлена по радиусу наружу. Найти потенциал ф электрического поля на оси Z.
 51202. Двойной электрический слой в форме полуплоскости (y = О, x = 0) имеет плотность днпольного момента т. Определить потенциал ф и напряженность Е электрического поля в каждой точке пространства, если постоянный вектор т параллелен оси Y декартовой системы координат.
 51203. Плоскость однородного двойного электрического слоя имеет круглое отверстие радиуса R. Начало декартовой системы координат совпадает с центром отверстия, а ось Z параллельна плотности дипольного момента т. Найти силу F, приложенную к точечному заряду e, находящемуся на оси Z.
 51204. Однородный двойной электрический слой имеет форму плоскости с выступом в виде полусферы. Плотность дипольного момента т в каждой точке составной поверхности параллельна ее нормали и направлена в полупространство, в которое вдается выступ. Найти потенциал ф электрического поля в каждой точке пространства.
 51205. Доказать, что напряженность Е электрического поля однородного двойного слоя имеет вид ###, где т — модуль вектора т плотности дипольного момента двойного электрического слоя, а dl'— элемент замкнутого контура L, на который натянут двойной электрический слой, r и r' — радиус-векторы соответственно точки наблюдения и точки нахождения элемента dl'. Обход контура интегрирования L согласован с направлением вектора т правилом правого винта.
 51206. Можно ли подобрать такое распределение электрического тока снаружи полой области, чтобы внутри нее напряженность магнитного поля имела вид: а) H = H0; б) H = b(zlx + хlу + ylz), где b — постоянная; в) Н = 3(цr)r/r5 - ц/r3, где вектор ц не зависит от координат и времени, а точка с радиус-вектором r = 0 находится вне полой области?
 51207. Можно ли создать в пространстве постоянный электрический ток с объемной плотностью j = j0 e^-ar где а — положительная постоянная, а объемная плотность заряда не зависит от времени?
 51208. Определить распределение объемной плотности j тока в пространстве, если напряженность Н магнитного поля этого тока имеет вид: а) Н = f(r) (a x r, где вектор а не зависит от координат и времени, а f(r) — произвольная дифференцируемая функция; б) Н = (ar)(b x r), где векторы а и b параллельны и не зависят от координат и времени; в) H = Hrlr + H0l0 + HфLф, где компоненты вектора Н в сферических координатах ####; г) Н = Hrlr + HфLф + Hzlz, где компоненты вектора Н в цилиндрических координатах ####. Здесь a, b, g и R — постоянные.
 51209. Постоянный ток течет с объемной плотностью j = j(r) в конечном объеме, который граничит с вакуумом. Функция j(r) непрерывна внутри данного объема, включая точки граничной поверхности. Доказать, что Int j dV = 0.
 51210. Доказать, что общее решение уравнения Пуассона в магнитостатике ### удовлетворяет условию Лоренца, если токи текут в ограниченной области или убывают на больших расстояниях от точки наблюдения не медленнее, чем 1/(r — r')2.
 51211. При каком условии энергию магнитного поля W = 1/8п Int H2dV можно представить в виде W = 1/2c Int jA dV, где A —векторный потенциал магнитного поля тока, текущего с объемной плотностью j?
 51212. Определить распределение поверхностной плотности тока, если напряженность Н однородного магнитного поля, созданного этим током, имеет вид: а) вектор Н параллелен оси Y в области между плоскостями х = а и х = b (а < b) и равен нулю вне этой области; б) вектор Н параллелен оси У в полупространстве х < а, антипараллелен оси У в полупространстве х > b (a < b) и равен нулю между плоскостями х = a и х = b; в) вектор Н внутри цилиндрической поверхности параллелен ее оси и равен нулю снаружи.
 51213. Используя декартовые, цилиндрические или сферические координаты и свойства d-функции, найти распределение объемной плотности j тока в пространстве для следующих случаев: а) по цилиндрической поверхности радиуса R параллельно ее оси течет однородный ток с поверхностной плотностью i0; б) по оси Z в положительном направлении течет линейный ток J; в) ток с поверхностной плотностью i0 течет в плоскости XY; г) в плоскости XY по бесконечно тонкому кольцу радиуса R течет линейный ток J, образуя правовинтовую систему с осью Z, которая проходит через центр кольца; д) равномерно заряженная с поверхностной плотностью s сферическая поверхность радиуса R вращается вокруг своего диаметра с угловой скоростью w, направленной вдоль оси Z; е) равномерно заряженная с поверхностной плотностью а поверхность кругового конуса с вершиной в начале координат вращается вокруг своей оси симметрии с угловой скоростью со, направленной вдоль оси Z (телесный угол конуса содержит положительную часть оси Z и равен 2п (1 — cos 0)).
 51214. Можно ли создать в плоскости YZ постоянный электрический ток с поверхностной плотностью ###, где a и i0 — постоянные?
 51215. Определить конфигурацию области, по которой течет ток, а также характер распределения тока в ней, если объемная плотность тока в неограниченном пространстве описывается следующей функцией декартовых координат: a) j = 2ai0 d(x2 — a2), где а — постоянная, а постоянный вектор i0 параллелен плоскости YZ; б) j = 2aJ ly d(x2 — а2) d(z), где а и J — постоянные.
 51216. Ток J течет по тонкому замкнутому контуру L. Доказать, что для вычисления напряженности Н магнитного поля тока можно ввести скалярный потенциал Ф согласно формуле Н = — grad Ф. Найти уравнение и дополнительные условия, определяющие Ф.
 51217. Определить скалярный потенциал Ф и напряженность Н = —grad Ф магнитного поля линейного тока J, текущего вдоль оси Z,
 51218. В сферических координатах компоненты вектора j средней объемной плотности орбитального тока, текущего в возбужденном атоме водорода, равны ###, где а — боровский радиус, b — постоянная Планка, m и e — масса и заряд электрона, а r — расстояние до протона. Вычислить магнитный момент p орбитального тока.
 51219. Распределение объемной плотности тока j в пространстве описывается выражением j = rot [aF(r)], где а —постоянный вектор, а функция F(r) убывает на бесконечности быстрее, чем 1/r3. Выразить магнитный момент ц тока через интеграл от функции F(r).
 51220. Объемная плотность тока в пространстве имеет вид j(r) = (а x V) d(r — r0), где а и r0 —постоянные векторы. Определить магнитный момент ц тока.
 51221. Внутренний магнитный момент электрона по абсолютной величине равен магнетону Бора ц0 = |e|h/2mc, где h — постоянная Планка, с — скорость света в вакууме, а е и m — заряд и масса электрона. Согласно классической модели электрон представляет собой однородно заряженный шар радиуса r0 = e2/mc2. Рассматривая внутренний магнитный момент как результат вращения электрона вокруг своей оси симметрии, определить угловую скорость со этого вращения. Во сколько раз изменится угловая скорость вращения, если предположить, что заряд е равномерно размазан по поверхности шара?
 51222. Доказать, что магнитный момент ц = 1/2c Int(r x j) dV тока, текущего в пространстве с объемной плотностью j = j(r), не зависит от выбора начала координат. Предполагается, что магнитный момент тока имеет конечное значение.
 51223. В некоторой ограниченной области пространства течет ток с объемной плотностью j = j(r). Напряженность Н внешнего магнитного поля внутри этой области однородна. Выразить магнитную энергию W = 1/c Int jA dV взаимодействия тока с внешним магнитным полем через магнитный момент ц = 1/2c Int (r x j) dV тока. Здесь А -векторный потенциал внешнего магнитного поля.
 51224. Однородно заряженный цилиндр произвольной высоты и радиуса R вращается вокруг своей оси симметрии с угловой скоростью w. Полный заряд цилиндра равен Q, а его ось вращения образует с напряженностью Н внешнего однородного магнитного поля некоторый угол. Определить магнитную энергию W взаимодействия цилиндра с внешним магнитным полем.
 51225. Внутри ограниченной области пространства течет ток с объемной плотностью j = j(r). Напряженность H внешнего магнитного поля во всем пространстве однородна. Выразить момент N = 1/c Int (r x (j x H)) dV сил, приложенный к току, через магнитный момент ц тока. Доказать, что момент сил не зависит от выбора фиксированной точки, относительно которой он вычисляется.
 51226. Равномерно заряженная с поверхностной плотностью о цилиндрическая поверхность радиуса R и высоты h вращается вокруг своей оси симметрии с угловой скоростью w. Ось вращения образует с напряженностью Н внешнего однородного магнитного поля некоторый угол. Определить момент N сил, приложенный к цилиндрической поверхности.
 51227. Напряженность H = H(r) внешнего магнитного поля мало меняется на протяжении некоторой конечной области пространства, где текут токи с объемной плотностью j = j(r). Разлагая H(r) в ряд Тейлора во внутренней точке данной области и пренебрегая старшими производными, выразить силу F = 1/c Int (j x H)dV, приложенную к току, через его магнитный момент ц.
 51228. Однородно заряженный эллипсоид вращения с полуосями а и b вращается с постоянной угловой скоростью w вокруг своей оси симметрии. Полный заряд эллипсоида равен Q, а его полуось b лежит на оси вращения. Найти векторный потенциал а и напряженность Н магнитного поля на больших расстояниях от эллипсоида.
 51229. Заряд Q равномерно распределен по конической поверхности (х2 + у2 = z2, 0 < z < h), которая вращается вокруг своей оси симметрии с постоянной угловой скоростью w. Найти векторный потенциал A и напряженность Н магнитного поля на больших расстояниях от конической поверхности.
 51230. Ток J течет по тонкой токовой трубке в форме равностороннего треугольника со стороной а. Определить напряженность Н магнитного поля на больших расстояниях r от тока.
 51231. Две одинаковые равномерно заряженные сферические поверхности радиуса R расположены на большом расстоянии друг от друга. Полный заряд каждой сферической поверхности равен Q, а их угловые скорости вращения вокруг собственных осей симметрии равны w1 и w2. Определить магнитную энергию W взаимодействия сферических поверхностей.
 51232. Заряд Q однородно заполняет объем конуса (х2 + у2 = z2, 0 < z < h), который вращается вокруг своей оси симметрии с постоянной угловой скоростью w. На большом расстоянии r от конуса находится частица с внутренним магнитным моментом ц. Определить силу F, приложенную к частице.
 51233. Заряд Q однородно заполняет объем шара радиуса R. Найти напряженность Н магнитного поля в центре шара, если последний вращается вокруг своего диаметра с постоянной угловой скоростью w. Во сколько раз изменится напряженность магнитного поля в центре шара, если заряд Q равномерно размазать по его поверхности?
 51234. Равномерно заряженная с поверхностной плотностью s коническая поверхность (х2 + у2 = z2, 0 < z < h) вращается вокруг своей оси симметрии с постоянной угловой скоростью w. Найти напряженность Н магнитного поля в вершине конической поверхности.
 51235. В сферических координатах компоненты вектора j средней объемной плотности орбитального тока, текущего в возбужденном атоме водорода, равны ####, где а — боровский радиус, b — постоянная Планка, m и е — масса и заряд электрона, а r — расстояние до-протона. Орбитальный ток создает в пространстве магнитное поле. Найти напряженность Н этого магнитного поля в начале координат.
 51236. Средняя плотность заряда электронного облака в атоме водорода равна p = ###, где а — боровский радиус, r — расстояние до протона, а е — заряд электрона. Если поместить атом во внешнее однородное магнитное поле с напряженностью Н0, то электронное облако придет во вращение, которое создаст в пространстве ток с объемной плотностью j = ep/2mc (r x H0), где m — масса электрона, а с — скорость света в вакууме. На какую величину dH изменится напряженность магнитного поля в центре атома вследствие вращения электронного облака?
 51237. Заряд Q однородно распределен по объему шара радиуса R. Одна половина шара вращается вокруг своей оси симметрии с постоянной угловой скоростью w1, а другая вращается с постоянной угловой скоростью w2 в противоположном направлении. Найти напряженность Н магнитного поля в центре составного шара. Какую часть заряда Q необходимо однородно распределить внутри первой вращающейся половины и какую во второй, чтобы напряженность магнитного поля в центре шара равнялась нулю?
 51238. Объемная плотность заряда в пространстве, дается выражением ###, где а и b — постоянные. Найти напряженность Н магнитного поля в начале координат, если заряды вращаются около оси Z с постоянной угловой скоростью w. Рассмотреть случаи а > b и а < b.
 51239. Шаровой сектор получен пересечением сферы радиуса R конической поверхностью с вершиной в центре сферы. Заряд Q однородно заполняет объем шарового сектора, телесный угол которого равен 2п(1 — cos Qo). Определить напряженность Н магнитного поля в вершине шарового сектора, если последний вращается вокруг своей оси симметрии с постоянной угловой скоростью w.
 51240. Заряд Q равномерно распределен внутри конуса (х2 + y2 = z2, 0 < z < h), который вращается вокруг своей оси симметрии с постоянной угловой скоростью w. В вершине конуса находится частица с внутренним магнитным моментом ц. Определить магнитную энергию W взаимодействия частицы с вращающимся конусом.
 51241. В сферических координатам компоненты вектора j средней объемной плотности орбитального тока, текущего в возбужденном атоме водорода, равны ###, где а — боровский радиус, b — постоянная Планка, m и е — масса и заряд электрона, r — расстояние до протона, имеющего внутренний магнитный момент ц, направленный по оси Z. Определить магнитную энергию W взаимодействия магнитного момента протона с орбитальным током. Поскольку орбитальный ток обусловлен движением электрона, а внутренний магнитный момент протона связан с его спином, данная задача описывает спин-орбитальное взаимодействие протона с электроном в атоме водорода.
 51242. Средняя объемная плотность тока в атоме водорода, обусловленная спином электрона, задана j = c rot[ц0 F(r)], где F (r) = 1/пa3 ехр(-2r/a). Здесь а — боровский радиус, с — скорость света в вакууме, r — расстояние до протона, а ц0 — внутренний магнитный момент электрона. Найти напряженность Н магнитного поля в центре атома водорода. Принимая во внимание, что протон имеет внутренний магнитный момент ц, определить магнитную энергию W взаимодействия протона с найденным магнитным полем. Поскольку внутренние магнитные моменты частиц связаны с их спинами, величина —W характеризует спин-спиновое взаимодействие электрона с протоном в атоме водорода.
 51243. Заряд Q равномерно распределен по объему эллипсоида вращения с полуосями а и b (а < b). Эллипсоид вращается с постоянной угловой скоростью w вокруг своей оси симметрии, проходящей вдоль полуоси b. В центре эллипсоида находится частица с внутренним магнитным моментом ц. Определить момент N сил, приложенный к частице.
 51244. Бесконечно тонкий диск радиуса R, равномерно заряженный с поверхностной плотностью s, вращается вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью w. Пользуясь общей формулой ###, найти напряженность Н магнитного поля на оси диска. Здесь i(r') — поверхностная плотность тока, созданного вращающимся диском. Исследуя напряженность магнитного поля на больших расстояниях от диска, определить магнитный момент ц вращающегося диска, Получить магнитный момент также непосредственным вычислением по формуле ###.
 51245. Объемная плотность тока в пространстве выражается через d-функцию следующим образом: j(r) = (а x V) d(r — r0), где а и r0 — постоянные векторы. Найти векторный потенциал A и напряженность Н магнитного поля. Исследуя полученные выражения, определить физический смысл вектора a.
 51246. Каждая единица объема электронного облака в атоме водорода имеет магнитный момент, обусловленный спином электрона. Распределение плотности магнитного момента описывается функцией ц0 F(r), где — внутренний магнитный момент электрона, а F(r)— плотность электронного облака на расстоянии г от протона. Функция F(r) убывает на бесконечности быстрее, чем 1/r. Показать, что данное распределение плотности магнитного момента создает в пространстве такое же магнитное поле, как и ток с объемной плотностью j = с rot [ц0 F(r)], где с — скорость света в вакууме.
 51247. По тонкой токовой трубке, образующей прямой угол, течет ток J. Найти напряженность Н магнитного поля в двух случаях: а) на оси X, являющейся продолжением одной из сторон прямого угла; б) на оси Y, проходящей через вершину прямого угла перпендикулярно токовым линиям.
 51248. Чему равна напряженность Н магнитного поля в точках биссектрисы прямого угла на расстоянии r от его вершины в предыдущей задаче?
 51249. Ток J течет по тонкой токовой трубке в форме равностороннего треугольника со стороной a. Найти напряженность Н магнитного поля в вершине треугольника.
 51250. Ток J течет по тонкой токовой трубке, образующей квадрат со стороной 2а. Найти напряженность Н магнитного поля на оси, проходящей через центр квадрата перпендикулярно его плоскости. Исследуя полученное выражение на больших расстояниях от квадрата, определить магнитный момент ц тока.
 51251. Ток J течет по тонкой бесконечной прямой токовой трубке, которая имеет локальное искривление в виде полуокружности радиуса R. Найти напряженность Н магнитного поля в центре кривизны указанной полуокружности.
 51252. По тонкому кольцу радиуса R течет ток J. Используя закон Био и Савара, определить напряженность. Н магнитного поля на оси кольца, выразив ее через магнитный момент ц тока.
 51253. Внутри бесконечного цилиндра радиуса R параллельно его оси течет однородный ток с объемной плотностью j. Пользуясь интегральной формой уравнения Максвелла Int H dl = 4п/c Int j dS, найти напряженность Н магнитного поля внутри и снаружи цилиндра. При помощи соотношения Н = rot A определить векторный потенциал A магнитного поля. При калибровке векторного потенциала принять, что он обращается в нуль на поверхности цилиндра.
 51254. Решить предыдущую задачу в предположении, что объемная плотность тока имеет аксиальную симметрию j = j(r), где j(r) — произвольная функция расстояния r до оси цилиндра.
 51255. Ток J однородно распределен по сечению бесконечного цилиндра радиуса R. Используя максвелловский тензор натяжений, найти силу F, прижимающую друг к другу две одинаковые половины цилиндра. Здесь F — сила, приложенная к единице длины одной из половин цилиндра. Подтвердить полученный результат независимым вычислением с использованием объемной силы.
 51256. По бесконечной цилиндрической поверхности радиуса R параллельно ее оси течет однородный ток с поверхностной плотностью io. Найти напряженность Н магнитного поля, не прибегая к векторному потенциалу.
 51257. По плоскости XY параллельно оси X течет однородный ток с поверхностной плотностью i0. Найти напряженность Н магнитного поля, не прибегая к векторному потенциалу.
 51258. В пространстве между двумя коаксиальными цилиндрическими поверхностями радиусов R1 и R2 (R1 < R2) течет ток с объемной плотностью j, который однороден по сечению токовой трубки и параллелен ее оси. Найти напряженность Н магнитного поля в каждой точке пространства.
 51259. Внутри неограниченной пластины параллельно ее поверхностям z = l и z = -l течет однородный ток с объемной плотностью j. Не прибегая к векторному потенциалу, определить напряженность Н магнитного поля внутри и снаружи пластины, если токовые линии параллельны оси Y.
 51260. Вдоль прямой (x = l, y = 0) параллельно оси Z течет ток J. По другой прямой (x = —l, y = 0) течет антипараллельный ток той же величины. Найти напряженность Н магнитного поля. Исследовать Н на больших расстояниях от заданных токов.
 51261. Квадратная рамка со стороной а находится в одной плоскости с прямолинейным током J. На каком расстоянии r от тока расположена ближайшая сторона рамки, если поток магнитного поля через поверхность рамки равен Фо?
 51262. Прямолинейный ток J1 находится в одной плоскости с током J2, текущим по тонкой квадратной рамке со стороной a. Ближайшая сторона рамки расположена на расстоянии r от тока J1 и имеет одинаковое с ним направление тока. Чему равна сила F, приложенная к рамке?
 51263. По плоскости r = l параллельно оси Y течет однородный ток с поверхностной плотностью io. По другой плоскости z = —l течет антипараллельный ток той же величины. Найти напряженность Н магнитного поля в каждой точке пространства. Какой вид приобретает вектор Н, если токи на обеих плоскостях параллельны оси У?
 51264. Линейный ток J течет по оси Z из бесконечно удаленной точки z = —оо к началу координат. В плоскости XY он растекается от начала координат во вес стороны равномерно. Определить напряженность Н магнитного поля во всех точках пространства и проверить выполнимость граничного условия для вектора Н при переходе через координатную плоскость XY. Представить вектор Н в виде суммы двух слагаемых Н = H1 + Н2, которые обусловлены соответственно линейным и поверхностным токами.
 51265. Линейный ток J течет по оси Z в положительном направлении, взяв начало в бесконечно удаленной точке z = —оо. В точке z = -R этот ток растекается по поверхности однородной сферы радиуса R с центром в начале координат, а затем вновь собирается в диаметрально противоположной точке z = R и продолжает течь вдоль оставшейся части оси Z. Определить напряженность Н магнитного поля в пространстве и проверить выполнимость граничного условия для вектора Н при переходе через указанную сферу.
 51266. Исходя из закона Био и Савара получить соотношение Int Hdl = 4п/c J. Здесь L — любой контур интегрирования, сцепляющийся с токовым контуром L', а Н — напряженность магнитного поля тока J.
 51267. В пространстве между двумя не коаксиальными цилиндрическими поверхностями радиусов R1 и R2 (R1 + +l < R2) параллельно их осям течет однородный ток с объемной плотностью j. Расстояние между осями цилиндрических поверхностей равно l. Найти напряженность Н магнитного поля внутри цилиндрической полости радиуса R1.
 51268. Две неограниченные бесконечно тонкие пластины, лежащие в плоскости XZ, разделены между собой щелью ширины а. Центральная линия щели совпадает с осью Z. По пластинам параллельно оси Z течет однородный ток с поверхностной плотностью i0. Найти напряженность Н магнитного поля на больших расстояниях r >> a от щели с учетом членов порядка 1/r.
 51269. Цилиндр радиуса R1 расположен не коаксиально внутри другого цилиндра радиуса R2. Вдоль первого и второго цилиндров текут однородные антипараллельные токи с объемной плотностью соответственно j1 и j2. Ток наружного цилиндра не проникает во внутренний. Расстояние между параллельными осями бесконечных цилиндров равно l. Найти силу F, приложенную к единице длины внутреннего цилиндра.
 51270. Определить величину W = 1/c Int j1 A2 dV, отнесенную к единице длины цилиндров, которые описаны в предыдущей задаче. Здесь А2 — векторный потенциал магнитного поля тока j2. Для однозначности результата принять, что векторный потенциал, созданный токами каждого однородного сплошного цилиндра, равен нулю на его поверхности. Убедиться, что сила, приложенная к единице длины внутреннего цилиндра, по абсолютной величине равна F = dW/dl.
 51271. В сферических координатах две компоненты векторного потенциала равны нулю Ar = A0 = 0, а третья имеет вид ###, где а и R — постоянные. Найти распределение объемной плотности j тока, создавшего магнитное поле с данным векторным потенциалом.
 51272. В цилиндрических координатах две компоненты векторного потенциала равны нулю Ar = Az = 0, а третья имеет вид ####, где a и R — постоянные. Найти распределение объемной плотности j тока, создавшего магнитное поле с данным векторным потенциалом.
 51273. В сферических координатах две компоненты векторного потенциала равны нулю Ar = A0 = 0, а третья имеет вид Aф = ar sin0 при r < R и Aф = aR3/r2 sin 0 при r > R, где а и R — постоянные. Найти распределение поверхностной плотности i тока, создавшего магнитное поле с данным векторным потенциалом.
 51274. Переход от векторного потенциала A(f) к новому векторному потенциалу A'(r) = A(r) + grad f не изменяет напряженности постоянного магнитного поля, где f = f(r) — произвольная функция координат. Какому условию должна удовлетворять функция f(r), чтобы переход к новому векторному потенциалу не нарушал также условия Лоренца в магнитостатике?
 51275. Объемная плотность тока в пространстве меняется от точки к точке по периодическому закону j = jo cos kr, где постоянные векторы jo и k удовлетворяют соотношению kjo = 0. Найти векторный потенциал а и напряженность Н магнитного поля, которые созданы этим током в неограниченном пространстве.
 51276. Объемная плотность тока в полупространстве z < 0 имеет периодическую структуру j = j0 cos kr, где постоянные векторы jo и k удовлетворяют соотношению kj0 = 0, причем вектор j0 параллелен плоскости XY, а три компоненты вектора к отличны от нуля. Найти векторный потенциал а магнитного поля в каждой точке пространства.
 51277. По плоскости XY течет ток с поверхностной плотностью i = i0 cos lr, где постоянные векторы io и l лежат в указанной плоскости и удовлетворяют соотношению li0 = 0. Найти векторный потенциал а магнитного поля в каждой точке пространства.
 51278. По декартовым плоскостям XY9 XZ и YZ текут поверхностные токи с плотностью соответственно i1 = a1 cos l1r, i2 = a2 cos l2r и i3 = a3 cos l3r. Постоянные векторы l1, l2 и l3 удовлетворяют условию a1l1 = a2l2 = a3l3 = 0 и лежат в плоскостях соответственно XY, XZ и YZ. Найти векторный потенциал а магнитного поля в каждой точке пространства.
 51279. Внутри бесконечной пластины, ограниченной плоскостями х = а и х = —а, течет ток с объемной плотностью j = jo sin l1x sin l2y, где постоянный вектор jo параллелен оси Z. Найти векторный потенциал A магнитного поля внутри и вне пластины.
 51280. Внутри бесконечного цилиндра радиуса R параллельно его оси течет ток с объемной плотностью j = j0 r3 cos nф, где r — цилиндрическая координата, ф — полярный угол, а ось Z совпадает с осью цилиндра. Целое положительное число n и константа s удовлетворяют условию n2 =/= (s + 2)2. Найти векторный потенциал Л магнитного поля внутри и снаружи цилиндра,
 51281. Объемная плотность тока в цилиндрических координатах имеет вид ####, где постоянный вектор j0 параллелен оси Z, R — постоянная, а целое положительное число n больше единицы. Найти векторный потенциал а магнитного поля в каждой точке пространства.
 51282. Бесконечный цилиндр радиуса R, равномерно заряженный с объемной плотностью p, вращается вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью w. Найти векторный потенциал A и напряженность Н магнитного поля внутри и снаружи цилиндра.
 51283. Внутри бесконечного цилиндра радиуса R параллельно его оси течет ток с объемной плотностью j = j(r), где r — расстояние до оси цилиндра. Пользуясь уравнением для векторного потенциала А, найти его значение внутри и снаружи цилиндра. Произвольное постоянное слагаемое векторного потенциала выбрать так, чтобы величина а обращалась в нуль на поверхности цилиндра.
 51284. Шар радиуса R, равномерно заряженный с объемной плотностью р, вращается вокруг своей оси симметрии с постоянной угловой скоростью w. Найти векторный потенциал A и напряженность Н магнитного поля внутри и снаружи шара. Выразить A и H во внешней области шара через его магнитный момент ц.
 51285. Используя тензор натяжений Максвелла и результаты предыдущей задачи, определить магнитостатическую силу F, с которой одна половина шара действует на другую в направлении оси вращения.
 51286. По бесконечной цилиндрической поверхности радиуса R параллельно ее оси течет ток с поверхностной плотностью i = io cos nф, где n — целое число (n > 1), ф — полярный угол, а ось Z совпадает с осью цилиндрической поверхности и направлена в ту же сторону, что и постоянный вектор io. Найти векторный потенциал A и напряженность Н магнитного поля в каждой точке пространства.
 51287. Используя уравнение для векторного потенциала, решить предыдущую задачу в предположении, что n = 0.
 51288. Равномерно заряженная с поверхностной плотностью о бесконечная цилиндрическая поверхность радиуса R вращается вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью w и одновременно движется со скоростью v вдоль той же оси. Найти векторный потенциал A и напряженность Н магнитного поля в каждой точке пространства.
 51289. Равномерно заряженная с поверхностной плотностью а сферическая поверхность радиуса R вращается вокруг своего диаметра с постоянной угловой скоростью w. Найти векторный потенциал A и напряженность H магнитного поля в произвольной точке пространства. Исследуя полученные выражения, определить магнитный момент ц вращающейся сферы. Получить магнитный момент также непосредственным вычислением по формуле ц = 1/2c Int r x i dS, где i — поверхностная плотность тока, образованного вращающейся сферой.
 51290. По бесконечной цилиндрической поверхности радиуса R течет ток с поверхностной плотностью i = i1 при 0 < ф < п; и i = i2 при п < ф < 2п, где i1 и i2 - постоянные векторы, ф — полярный угол, а ось Я совпадает с осью цилиндрической поверхности и параллельна векторам i1 и i2. Найти векторный потенциал а магнитного поля внутри и снаружи цилиндрической поверхности.
 51291. Компоненты Hr, H0 и Hф напряженности H магнитного поля в сферических координатах ####, где b и R — постоянные. Пользуясь соотношением H = rot А, определить векторный потенциал а магнитного поля при дополнительном условии div A = 0.
 51292. Определить энергию W магнитного поля равномерно заряженной сферической поверхности радиуса R, которая вращается вокруг своего диаметра с постоянной угловой скоростью w. Полный заряд сферы Q. Выразить энергию W через магнитный момент ц вращающейся сферы.
 51293. Определить энергию W магнитного поля однородно заряженного шара радиуса R, вращающегося вокруг своего диаметра с постоянной угловой скоростью w. Полный заряд шара Q. Выразить энергию W через магнитный момент ц вращающегося шара.
 51294. Определить энергию W магнитного поля, приходящуюся на единицу длины однородно заряженного цилиндра радиуса R, который вращается вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью и. Заряд на единицу длины цилиндра равен q. Выразить энергию W через магнитный момент ц единицы длины вращающегося цилиндра.
 51295. Определить энергию W магнитного поля, приходящуюся на единицу длины равномерно заряженной с плотностью s цилиндрической поверхности радиуса R, которая вращается вокруг своей оси с угловой скоростью w. Выразить энергию W через магнитный момент ц единицы длины вращающейся цилиндрической поверхности.
 51296. Определить энергию W магнитного поля, приходящуюся на единицу длины цилиндрической поверхности, описанной в задаче 223.
 51297. По одной половине бесконечной цилиндрической поверхности радиуса R параллельно ее оси течет ток с поверхностной плотностью i. а по другой половине течет антипараллельный ток той же величины. Определить энергию W магнитного поля, приходящуюся на единицу длины цилиндрической поверхности.
 51298. Вдоль цилиндра радиуса R течет однородный ток J, а по другому цилиндру того же радиуса течет антипараллельный ток той же величины. Определить векторный потенциал A магнитного поля на больших расстояниях от цилиндров. Будет ли конечной энергия магнитного поля, приходящаяся на единицу длины такой системы?
 51299. Может ли существовать внутри полой области переменное во времени электрическое поле без магнитного?
 51300. Может ли существовать переменное во времени магнитное поле без электрического?