Earth curvature of space2 curvature of space1
Банк задач

Вход на сайт
Регистрация
Забыли пароль?
Статистика решений
Тип решенияКол-во
подробное решение60032
краткое решение7560
указания как решать1341
ответ (символьный)4704
ответ (численный)2335
нет ответа/решения3772
ВСЕГО79744

База задач ФизМатБанк

 51001. Найти уточненное выражение для силы F самодействия заряженной сферически симметричной частицы (см. предыдущую задачу). При решении учитывать эффект конечной скорости распространения взаимодействия с точностью до первого порядка по времени t' - t распространения взаимодействия между элементами частицы. Рассмотреть, в частности, предельный случай точечной частицы. Оценить вклад отбрасываемых членов более высокого порядка по t' — t в этом предельном случае.
 51002. Какое время Т прожил бы резерфордовский атом водорода, если бы электрон в атоме двигался и излучал как классическая частица? Считать, что электрон, теряя энергию, движется к протону по пологой спирали, так что в каждый момент времени он излучает как заряд на круговой орбите (радиус орбиты медленно меняется со временем). При каком условии справедливо это предположение? Начальный радиус атома а = 0,5*10^-8 см.
 51003. Релятивистская частица с зарядом e и массой m движется по круговой орбите в постоянном однородном магнитном поле Н, теряя энергию на излучение. Найти закон изменения энергии и радиуса орбиты со временем E (t) и r (t). В начальный момент времени t = 0 энергия частицы равна E0 (ср. с задачей 791).
 51004. Электрон в бетатроне разгоняется на орбите постоянного радиуса а вихревым электрическим полем. Последнее индуцируется временным магнитным полем частоты w. Найти критическое значение энергии электрона Eкр, при котором потери на излучение равняются с энергией, приобретаемой электроном за счет работы вихревого электрического поля.
 51005. Частица с зарядом e и массой m притягивается к некоторому центру квазиупругой силой -mw2r. В некоторый момент времени t = 0 в этом гармоническом осцилляторе возникают свободные колебания. Учитывая реакцию излучения, но считая ее малой, найти закон затухания этих колебаний. Определить форму спектра такого осциллятора и ширину спектральной линии («естественная ширина»). Как связаны между собой неопределенность энергии hw излучаемых фотонов и время жизни осциллятора?
 51006. Газ состоит из атомов с массой m. Неподвижный атом этого газа излучает свет с частотой w0 (естественной шириной линии испускания пренебрегаем). Из-за теплового движения атомов и эффекта Допплера наблюдатель, неподвижный относительно сосуда с газом, зарегистрирует частоту, отличающуюся от w0. Найти форму dIw/dw спектра излучения газа, нагретого до температуры Т.
 51007. Излучающий атом, описываемый моделью гармонического осциллятора, движется в газе; при этом атом испытывает столкновения с другими атомами, скачком меняющие характер его колебаний. Вероятность того, что время свободного движения атома имеет продолжительность от т до т + dт выражается формулой dW (т) = Г/2 e^-Гт/2 dт (среднее значение промежутка времени между столкновениями т = 2/Г) Найти, пренебрегая естественной шириной линии, форму спектра излучения такого осциллятора dIw/dQ
 51008. На трехмерный изотропный осциллятор падает группа волн, характеризуемая спектральным распределением интенсивности Sw и полной интенсивностью S = int (Sw dw) (S — количество энергии, протекающее через 1 см2 за все время прохождения группы). Ширина спектрального распределения группы велика по сравнению с естественной шириной спектральной линии осциллятора y. Скорость электрона v << c. Найти энергию, поглощенную осциллятором из световой волны, учитывая торможение излучением. Как сказывается на результате характер поляризации и направление распространения волн, входящих в группу?
 51009. Найти полное количество энергии dW, поглощенной одно мерным осциллятором с собственной частотой w0 из группы волн со спектральным распределением Sw, в следующих трех случаях: а) линейно поляризованная плоская группа волн, у которой направление колебаний вектора Б составляет угол v с осью осциллятора; б) неполяризованная плоская группа волн, распространяющаяся под углом Q к оси осциллятора; в) изотропное поле излучения (на осциллятор с равной вероятностью падают плоские волны с любым направлением поляризации и любым направлением распространения).
 51010. Линейно поляризованная волна падает на изотропный гармонический осциллятор. Скорость электрона v << c. Найти дифференциальное ds/dQ и полное s сечения рассеяния волны с учетом силы лучистого трения. Рассмотреть, в частности, случаи сильно связанного и слабо связанного электрона.
 51011. Плоская электромагнитная волна, поляризованная по кругу, рассеивается свободным зарядом. Определить рассеянное поле H, исследовать характер его поляризации. Найти дифференциальное ds/dQ и полное s сечения рассеяния.
 51012. Неполяризованная плоская волна рассеивается свободным зарядом. Найти степень p деполяризации рассеянной волны в зависимости от угла v рассеяния.
 51013. Линейно поляризованная волна рассеивается свободным зарядом. Заряд движется с релятивистской скоростью v в направлении распространения волны. Найти дифференциальное сечение рассеяния. Рассмотреть также случай рассеяния неполяризованной волны.
 51014. Изотропный гармонический осциллятор с частотой w0, зарядом e и массой m помещен в слабое однородное постоянное магнитное поле H. Определить движение осциллятора. Исследовать характер поляризации излучения осциллятора.
 51015. Доказать формулы (XII.43).
 51016. Найти связь между компонентами Фурье полей E, H и потенциалов A, ф (рассмотреть все три варианта разложений Фурье).
 51017. Записать уравнения Максвелла относительно компонент Фурье для трех вариантов разложения Фурье. Пространство заполнено однородной изотропной диспергирующей средой с параметрами e (w), ц (e), вообще говоря, зависящими от частоты.
 51018. Записать уравнения Даламбера и условие Лоренца относительно компонент Фурье для потенциалов A (r, t) и ф (r, t). Рассмотреть все три варианта разложений Фурье. Пространство заполнено однородной изотропной средой с параметрами е (w) и ц (w).
 51019. Разложить по плоским волнам потенциал ф кулонова поля неподвижного точечного заряда.
 51020. Разложить по плоским волнам напряженность электрического поля E неподвижного точечного заряда e.
 51021. Точечный заряд движется в вакууме со скоростью v = const. Разложить поле ф, A, E, H заряда на плоские монохроматические волны.
 51022. Нейтральная точечная система зарядов движется в вакууме равномерно со скоростью v. Найти электромагнитное поле ф (r, t), A (r, t), воспользовавшись разложением Фурье по плоским монохроматическим волнам, если электрический р и магнитный m дипольные моменты в лабораторной системе отсчета заданы.
 51023. Получить потенциалы поля равномерно движущегося магнитного диполя (момент m0 в системе покоя диполя). Скорость диполя v. Ограничиться двумя частными случаями: а) когда m0 || v, б) когда m0 _|_v. Воспользоваться формулами преобразования моментов, полученными в задаче 613.
 51024. Записать уравнения, которым удовлетворяют в вакууме безвихревая и соленоидальная части векторов электромагнитного поля E и H. Показать, что безвихревая часть электрического поля E|| (r, t) описывает мгновенное (незапаздывающее) кулоново поле, определяемое распределением зарядов в тот же момент времени, для которого определяется E||.
 51025. Разложить свободное (р = 0, j = 0) электромагнитное поле A (r, t) в вакууме на плоские волны (в этом случае ф = 0). Поле занимает неограниченное пространство. Представить амплитуды Фурье этих волн в виде Акл (t) = c/п|/2 qкл (t)eкл, где eкл — орт, характеризующий направление поляризации данной поперечной волны, так что k*eкл = 0 (см. начало § 1 гл. VIII). При этом каждому k, очевидно, соответствуют два независимых орта поляризации (L = 1,2). Орты ek1 и ek2, взаимно ортогональны: ek1*ek2*= ek1**ek2 = 0. Найти уравнения, которым в общем случае удовлетворяют комплексные «координаты» qкл (t). Выразить напряженности E, H, энергию W и импульс G поля через qкл и qкл.
 51026. Используя результаты предыдущей задачи, ввести вещественные осцилляторные координаты Qkл = akл e^-iwt + a*kл e^iwt и выразить векторы поля А, E, H через эти координаты. Найти также энергию W и импульс G поля в координатах Qkл.
 51027. Электромагнитное поле излучения описывается осцилляторными координатами qkл (см. задачу 817"'). Написать дифференциальные уравнения, которыми описывается взаимодействие поля излучения в переменных qkл с заряженной нерелятивистской частицей.
 51028. Найти изменение в единицу времени энергии dW/dt поля излучения в результате взаимодействия частицы с полем. Выразить эту величину через осцилляторные координаты qkл и силы Fkл (t) (см. решение предыдущей задачи).
 51029. Частица с зарядом е совершает простое гармоническое колебание по заданному закону r = r0 sin w0t, где r0 = const. Используя метод осцилляторов поля (см. задачу 819*), найти угловое распределение и полную интенсивность I излучения.
 51030. Линейно поляризованная волна с частотой w падает на гармонический осциллятор, собственная частота которого w0. Используя метод осцилляторов поля, найти дифференциальное ds/dQ и полное s сечения рас сеяния (лучистое трение не учитывать). Исследовать поляризацию рассеянного излучения.
 51031. Частица с зарядом е движется со скоростью v = const в однородной и изотропной среде. Диэлектрическая проницаемость среды e (w)), магнитная проницаемость ц = 1. Определить составляющие электромагнитного поля, создаваемого движущейся частицей.
 51032. Частица движется в непоглощающем диэлектрике с постоянной скоростью v = bc. Используя результаты предыдущей задачи, исследовать создаваемое частицей поле на больших расстояниях от ее траектории. Показать, что достаточно быстрая частица будет излучать поперечные электромагнитные волны (эффект Вавилова-Черенкова). Найти условия возникновения этого излучения и полную величину черенковских потерь Wв-ч на единице пути.
 51033. Частица с зарядом е движется с постоянной скоростью через вещество, диэлектрическую проницаемость которого можно приближенно описать формулой ####. Определить энергию излучения Вавилова-еренкова на единице пути Wв-ч, если скорость частицы удовлетворяет условию v2e0 > c2, где e0 статическое значение диэлектрической проницаемости. В каком интервале углов сконцентрировано излучение? Сделать численную оценку, положив w0 = 6*10^15 ctr-1, e0 = 2, v = c.
 51034. Получить условие cosQ = 1/bn, определяющее направление излучения Вавилова-Черенкова, из рассмотрения интерференции отдельных волн, испускаемых частицей в разных точках ее траектории.
 51035. Черенковское излучение частицы можно рассматривать как следствие резонанса между собственными колебаниями среды и вынуждающей силой, связанной с движущейся частицей. Получить условие, возникновения эффекта Вавилова-Черенкова из сравнения частот собственных колебаний среды и вынуждающей силы.
 51036. Релятивистская частица, имеющая скорость v, проходит через диэлектрическую пластинку толщиной l перпендикулярно ее плоскости. Показатель преломления пластинки n, дисперсию не учитывать. Найти длительность т вспышки черенковского излучения, которую зарегистрирует неподвижный относительно пластинки наблюдатель. Определить поток энергии I черенковского излучения через поверхность пластинки во время вспышки. Краевым эффектом пренебречь.
 51037. Частица движется с постоянной скоростью v = bc в недиспергирующей среде с проницаемостями е, ц. Определить электромагнитные потенциалы ф и A. Рассмотреть два случая v < vф и v > vф, где vф — фазовая скорость электромагнитных волн в рассматриваемой среде.
 51038. Прямолинейный провод, параллельный оси х, перемещается вдоль оси y со скоростью v = const в непоглощающей среде с проницаемостями e (w), ц (w). В лабораторной системе отсчета провод электронайтрален, по нему течет ток I в направлении оси x. Найти условие, при котором возникает излучение Вавилова-Черенкова. Определить полную энергию излучения Wв_ч с единицы длины провода на единице пути. Подсчитать тормозящую силу f, действующую на единицу длины провода со стороны созданного им поля.
 51039. Два точечных заряда e1 и e2 движутся с одинаковыми постоянными скоростями v вдоль одной прямой на расстоянии l друг от друга в среде с проницаемостями e (w), ц = 1 (l измерено в лабораторной системе отсчета). Найти энергию излучения Вавилова-Черенкова Wв-ч на единице пути. Рассмотреть два случая: a) e1 = e2 = е; б) e1 = —e2 = e. Путем предельного перехода получить черепковские потери энергии точечного электрического диполя, ориентированного вдоль направления движения.
 51040. Два точечных заряда +e и —e движутся с одинаковыми постоянными скоростями v на расстоянии l друг от друга в среде с проницаемостями e (w), ц = 1. Линия, соединяющая заряды, составляет угол а с направлением скорости (l и a измерены в лабораторной системе). Методом, использованным в предыдущей задаче, найти энергию излучения Вавилова-Черенкова Wв-ч на единице пути, считая l весьма малым.
 51041. Магнитный диполь движется с постоянной скоростью v = bc в непоглощающей среде, проницаемости которой e (w) и Магнитный момент, измеренный в лабораторной системе, имеет величину m и ориентирован вдоль скорости. Определить потери энергии на излучение Вавилова-Черенкова Wв-ч на единице пути.
 51042. Быстрая частица с зарядом е движется через непоглощающий диэлектрик с проницаемостью ####. Определить потери энергии (-dE/dl) в расчете на единицу пути на расстояниях от траектории частицы, превышающих межатомные расстояния а (параметр а должен быть выбран так, чтобы в области r > а было справедливо макроскопическое рассмотрение). Выяснить физический смысл отдельных членов в выражении потерь энергии.
 51043. Заряженная частица движется со скоростью v = bc через плазму, диэлектрическая проницаемость которой (см. задачу 312*) ####. Найти потери энергии (-dE/dl) на единице пути за счет «далеких» столкновений. Под далекими нужно понимать столкновения с параметром удара r > a, где a — расстояние, на котором становится справедливым макроскопическое рассмотрение.
 51044. Точечный заряд е движется в вакууме нормально к границе идеального проводника. Определить спектральное и угловое распределение излучения, возникающего при переходе заряда из вакуума в проводник, пренебрегая ускорением заряда под действием силы электрического изображения. Скорость заряда v = bс.
 51045. На нерелятивистскую частицу с зарядом е и массой m действуют однородное магнитное поле H и постоянная сила F, ориентированная произвольным образом. Показать, что составляющая силы F, перпендикулярная H, вызывает равномерное движение (дрейф) частицы с постоянной скоростью vd = c/eH2[FxH] поперек магнитных силовых линий. Пояснить качественно происхождение дрейфа, рассмотрев траекторию движения частицы и силы, действующие на нее в разных точках траектории.
 51046. Система одинаковых невзаимодействующих частиц находится в однородном магнитном поле H и имеет изотропное распределение по импульсам. Все частицы имеют одинаковую энергию E0. Затем магнитное поле адиабатически возрастает до величины nH. Найти угловое распределение dw (v) и среднее значение квадрата энергии частиц E2 в конечном состоянии.
 51047. Пусть магнитное поле, оставаясь постоянным по направлению, слабо меняется в пространстве по абсолютной величине. Показать, что эта неоднородность поля в первом приближении приводит к дрейфу частицы поперек поля со скоростью #### где v- составляющая скорости частицы, перпендикулярная направлению поля, R- ларморов радиус частицы (ср. с общей форму-лой (ХIV.1)).
 51048. Исходя из инвариантности величины I = p2/H показать, что в дрейфовом приближении сохраняются магнитный поток через орбиту циклотронного вращения частицы и магнитный момент нерелятивистской частицы, создаваемый ее циклотронным вращением. При каких дополнительных условиях сохраняется магнитный момент релятивистской частицы?
 51049. Частица движется в слабо неоднородном постоянном магнитном поле. Пользуясь инвариантностью величины I = p2/H и законом сохранения энергии, показать, что в дрейфовом приближении на частицу действует сила F, направленная вдоль магнитной силовой линии, и найти величину этой силы. Выразить ее через магнитный момент циклотронного вращения частицы.
 51050. Между областями I и II, в которых статическое магнитное поле однородно и равно Н, находится область III, в которой поле усилено («магнитная пробка»). Максимальное значение поля равно Hm, схематический вид силовых линий показан на рис. В области I движется частица, импульс р которой в некоторый момент времени составляет угол v с направлением силовой линии. Считая изменение поля медленным, найти соотношение между v, H и Hm, при котором частица отразится от области с сильным полем.
 51051. Структура магнитного поля в адиабатической ловушке с аксиально-симметричным полем имеет вид, схематически изображенный на рис. В среднюю часть ловушки, где напряженность поля равна H, впрыснута порция частиц с изотропно распределенными скоростями. Какая доля частиц R удержится в ловушке в течение длительного времени?
 51052. В ловушку с аксиально-симметричным полем, изображенную на рис., захвачена порция частиц. Частицы проводят большую часть времени в средней части ловушки, где поле почти однородно. Пусть поле ловушки медленно нарастает во времени таким образом, что форма магнитных силовых линий не меняется. Найти, как изменяется расстояние ведущего центра каждой из частиц до оси ловушки.
 51053. В однородном магнитном поле с напряженностью H находится неподвижный точечный заряд q. Частица с зарядом е и массой m, имеющая на бесконечности продольную составляющую скорости v||, рассеивается на заряде q. Считая применимым дрейфовое приближение и пренебрегая изменением продольной скорости при рассеянии, найти, по какой силовой линии будет двигаться ведущий центр частицы после рассеяния. До рассеяния он двигался по силовой линии, уравнение которой в цилиндрических координатах с осью z, проходящей через заряд q и ориентированной вдоль поля, имеет вид r = l, ф = 0.
 51054. Магнитное поле Земли можно представить приближенно как поле точечного диполя с магнитным моментом ц = 8,1*10^25 гаусс*см3. Протон с энергией E = 50 Мэв в некоторый момент времени находится в плоскости магнитного экватора на расстоянии двух земных радиусов от центра Земли и движется поперек магнитных силовых линий. Найти в дрейфовом приближении закон движения ведущего центра протона. За какое время Т он совершит полный оборот вокруг земного шара? Каков ларморов радиус R протона? Радиус земного шара r*= 6380 км, его масса М = 6*10^27 г.
 51055. Протон находится в плоскости геомагнитного экватора (см. условие предыдущей задачи) на расстоянии r от центра Земли, его импульс составляет угол a с направлением магнитной силовой линии, а) Пренебрегая гравитационным полем, показать, что ведущий центр протона, наряду с движением вдоль магнитных силовых линий, будет испытывать азимутальный дрейф, и найти угловую скорость дрейфа wd выразив ее через r и геомагнитную широту L. б) Указать значения Lm, соответствующие точкам отражения частиц в земном магнитном поле, в) Найти условия, при которых протон может достичь поверхности Земли.
 51056. На неподвижную частицу с зарядом е налетает ограниченный стационарный поток одинаковых нерелятивистских частиц с зарядами е, массами m и скоростями v (рис.). Концентрация частиц в потоке n. Вычислить силу, действующую на неподвижную частицу, пренебрегая взаимодействием налетающих частиц друг с другом. Объяснить причину того, что при радиусе пучка sm — > оо эта сила обращается в бесконечность. Сохраняется ли для силы бесконечное значение, если заряд e' является одним из зарядов нейтральной плазмы?
 51057. «Пробная» частица с зарядом e и массой m движется со скоростью v в газе, состоящем из одинаковых заряженных частиц. Их массы m', заряды e', концентрация n', распределение по скоростям описывается функцией f (v) (ff (v) (dv) = n'). Записать выражение для средней силы F (v), действующей на «пробную» частицу.
 51058. Пробная частица с зарядом е и массой m движется в среде, состоящей из беспорядочно распределенных неподвижных бесконечно тяжелых одинаковых частиц с зарядом е' и концентрацией n. Как меняется во времени энергия и импульс пробной частицы под действием средней силы со стороны среды?
 51059. Частицы среды имеют одинаковые по абсолютной величине скорости v0, распределенные сферически симметрично, заряды e и массы m. Вычислить среднюю силу F, действующую на пробную частицу с зарядом e' и массой m', которая движется со скоростью v.
 51060. Решить предыдущую задачу для случая, когда частицы среды движутся с одинаковой по величине и направлению скоростью v0.
 51061. Электроны в плазме совершают беспорядочное тепловое движение и, кроме того, имеют упорядоченную составляющую скорости, которая возникает под действием однородного электрического поля Б, созданного внешним источником. Произвести порядковую оценку зависимости средней силы трения F от упорядоченной скорости u, считая, что трение вызвано столкновениями с неподвижными ионами. Показать, что F как функция и имеет максимум, и оценить величину Fmax. Как будет вести себя электронный газ под действием электрического поля Е при Е < fmax/е и E > Fmax/e.
 51062. Вязкая несжимаемая проводящая жидкость движется между двумя неподвижными параллельными плоскостями в направлении оси z под действием постоянного градиента давления dp/dz = const. Проводимость жидкости s, коэффициент вязкости h, расстояние между плоскостями 2а. Перпендикулярно плоскостям в направлении оси х приложено постоянное и однородное внешнее магнитное поле H0. Вычислить зависимость скорости жидкости от х и добавочное магнитное поле, возникающее в движущейся жидкости. Проанализировать результат для больших и малых значений H0.
 51063. Вязкая несжимаемая жидкость находится между параллельными плоскостями х = +/- а. Плоскость х = —а движется со скоростью —v0, а плоскость х = а — со скоростью v0 в направлении оси z. Градиент давления отсутствует, электропроводность жидкости s и коэффициент вязкости h заданы. Перпендикулярно плоскостям приложено однородное магнитное поле H.. Вычислить скорость жидкости и добавочное магнитное поле в ней.
 51064. Вдоль цилиндрического столба горячей плазмы, радиус которого a, течет ток I, распределенный по сечению с плотностью j (r). Как зависит от r давление плазмы, если оно уравновешивается магнитным давлением, создаваемым текущим вдоль столба током? Пусть плазма является изотермической и удовлетворяет уравнению состояния идеального газа. Выразить силу тока I через температуру Т плазмы и полное число N частиц одного знака, приходящихся на единицу длины столба плазмы. Вязкостью пренебречь, рассмотреть стационарное состояние плазмы с v = 0.
 51065. Как должен быть распределен ток по сечению плазменного столба (см. условие предыдущей задачи), чтобы давление плазмы было постоянным по сечению?
 51066. Плазма испускается изотропно во все стороны с поверхности шара радиуса а, вращающегося вокруг своего диаметра с постоянной угловой скоростью Q. Скорость плазмы v постоянна по величине и направлена по радиусу. Вблизи поверхности шара существует магнитное поле, которое в системе, вращающейся вместе с шаром, имеет значение H (a, v, a) = H0 (v, а), где а отсчитывается в плоскости, перпендикулярной оси вращения. Плотность энергии плазмы велика по сравнению с плотностью энергии магнитного поля, так что влиянием поля на движение плазмы можно пренебречь. Предполагая магнитное поле вмороженным в плазму, найти его зависимость от координат и времени в области r > a в неподвижной системе отсчета.
 51067. Найти вид силовых линий межпланетного магнитного поля в модели Паркера, рассмотренной в предыдущей задаче. Определить величину магнитного поля и угол Q между силовой линией и радиальным направлением на орбите Земли, задавшись следующими значениями параметров: радиус Солнца а = 0,7*10^6 в = км; среднее магнитное поле на поверхности Солнца H0 = 1э; радиус орбиты Земли r0 = 1.5*10^8 км; угловая скорость вращения Солнца Q = 2,7*10^-6 рад/сек; скорость солнечного ветра v = 300 км/сек.
 51068. На плазменный цилиндр действует однородное магнитное поле H, направленное вдоль оси цилиндра, и радиальное электрическое поле E. Вычислить ту часть энергии системы, которая связана с электрическим полем, приняв во внимание электрический дрейф плазмы. С помощью полученного выражения для энергии определить поперечную диэлектрическую проницаемость e+/- плазмы, находящейся в магнитном поле.
 51069. Квазинейтральная плазма находится между плоскостями x = +/-d. Пусть в некоторый момент времени произошло разделение зарядов, в результате которого все электроны оказались в плоскости х = d, а все ионы — в плоскости х = —d. Из-за электростатических сил заряды станут совершать колебания. Пренебрегая столкновениями частиц, найти частоту w этих колебаний, если средняя концентрация частиц одного знака равна n.
 51070. Найти глубину проникновения электромагнитного поля в плазму при разных частотах. Для этого рассмотреть нормальное падение электромагнитной волны на плоскую границу плазмы, вычислить коэффициент отражения R и поперечное электрическое поле в плазме E (r, t). Диэлектрическую проницаемость взять в виде (XIV. 13).
 51071. Найти диэлектрическую проницаемость бесстолкновительной плазмы с учетом теплового движения электронов. Для этого проинтегрировать уравнение движения электрона во внешнем поле E = E0 ехр[i (kr—wt)], вычислить плотность тока, создаваемого одной частицей, и произвести усреднение по начальному равновесному распределению координат и скоростей, считая его максвелловским. Ограничиться линейным приближением по напряженности электрического поля Е, движения ионов не учитывать. Заданы средняя концентрация электронов n и температура плазмы T (температура измеряется в энергетических единицах).
 51072. Диэлектрическая проницаемость плазмы для продольного поля при учете теплового движения частиц имеет вид ####, где v2 = Т/m, второй член в скобках мал по сравнению с единицей. Вычислить фазовую и групповую скорости продольных плазменных волн.
 51073. В момент t = 0 в плазме нарушилась нейтральность заряда, в результате чего возник объемный заряд с плотностью р (r, 0). а) Вычислить плотность p (r, t) для t > 0, использовав значение диэлектрической проницаемости плазмы (XIV. 13). б) Как изменится качественно результат, если учесть тепловое движение частиц плазмы? Проделать конкретный расчет для e||, приведенной в условии предыдущей задачи, выбрав p (r,t) = ####.
 51074. Найти напряженность У электрического поля, потенциал ф которого равен: а) a(b x r); б) (a x r) (k x r); в) (ar)coskr; г) dr/r3; д) f(r)F(r); е) F(f(ar)). Здесь векторы a, b, k и d не зависят от координат и времени, а f и F — произвольные дифференцируемые функции cвоего аргумента.
 51075. Можно ли создать в пространстве электростатическое поле с напряженностью E = a x r, где а — постоянный вектор?
 51076. Можно ли подобрать такое распределение заряда снаружи полой области, чтобы внутри нее напряженность Е электростатического поля имела вид: а) Е0; б) (br)a; в) ((ab)r; г)(а x (b x r)); д)(ar)(k x r); е)(r x (c x r)); ж) a(br) cos kr; з) Erlr + Eolo + Eфlф, где компоненты вектора Е в сферических координатах Er = ###, Eе = ###; и) Е = Erlr + Eфlф + Ezlz, где компоненты вектора Е в цилиндрических координатах Er = ###, Eф = ### и Ez = 0 при r > R? Здесь векторы a, b, c, k и E0 не зависят от координат.
 51077. Определить распределение объемной плотности р заряда, создавшего в пространстве электрическое поле с напряженностью Е, равной: a) (br)b; б) grr; в) ###, где компоненты Е в сферических координатах ###; д) Erlr + Eфlф + Ezlz, где компоненты вектора Е в цилиндрических координатах ###. Здесь величины a, g, p0, e и вектор b не зависят от координат.
 51078. Напряженность электрического поля однородна внутри некоторой области пространства. Содержат ли внутренние точки этой области какие-нибудь заряды, участвующие в создании данного электрического поля?
 51079. Доказать, что в электростатике интеграл int(E dl) взятый между двумя произвольными точками пространства, не зависит от формы контура интегрирования?
 51080. Определить распределение поверхностной плотности s заряда в пространстве, если напряженность E электрического поля имеет вид: а) Ex = Eу = 0, Ez = Е0 при z > 0 и Ex = Еу = 0, Еz = —Е0 при z < 0; б) Е = 0 при r < R и Е = Qr/r3 при r > R, где r — расстояние до начала координат, a Q и R — постоянные; в) Е = 0 при r < R и Е = qr/r2 при r > R, где r — расстояние до оси Z, a q и R — постоянные.
 51081. Область пространства однородно заполнена электрическим зарядом с объемной плотностью р. Найти напряженность Е и потенциал ф электрического поля в каждой точке пространства, если указанной заряженной областью является: а) шар радиуса R; б) бесконечный цилиндр радиуса R; в) неограниченная пластина толщины 2L.
 51082. Поверхность равномерно заряжена с поверхностной плотностью а. Найти напряженность Е и потенциал Ф электрического поля в каждой точке пространства, если заряженная поверхность имеет форму: а) сферы радиуса R; б) бесконечной цилиндрической поверхности радиуса R; в) плоскости.
 51083. Шар радиуса R заряжен сферически-симметрично с объемной плотностью р = ar5, где а — постоянная. Чему равен поток Ф напряженности электрического поли через круг радиуса R, плоскость которого в центральной точке касается шара?
 51084. Средняя плотность заряда электронного облака в атоме водорода равна ###, где a — боровский радиус, а r — расстояние до протона, имеющего заряд е. Определить напряженность E электрического поля в атоме водорода. Исследовать Е на малых r << a и больших r >> a расстояниях от протона.
 51085. Пространство между двумя концентрическими сферами радиусов R1 и R2 (R1 < R2) заполнено сферически-симметрично зарядом с объемной плотностью р = р(r), где r — расстояние до общего центра обеих сфер. Найти напряженность Е и потенциал ф электрического поля в каждой точке пространства.
 51086. Объемная плотность заряда бесконечного цилиндра имеет осевую симметрию и равна р = р(r). Определить напряженность Е и потенциал ф электрического поля внутри цилиндра. При калибровке ф принять, что потенциал равен нулю на поверхности цилиндра.
 51087. Неограниченная пластина заряжена симметрично относительно своей средней плоскости х = 0. Объемная плотность заряда равна р = р(|x|). Найти напряженность Е и потенциал ф электрического поля внутри пластины. При калибровке ф принять, что потенциал равен нулю в точках средней плоскости
 51088. Разноименные точечные заряды е1 и е2 (e1 > |e2|) расположены на оси X на некотором расстоянии друг от друга. Ось X направлена от положительного заряда к отрицательному. Под каким углом Q2 к оси X входит в заряд e2 силовая линия, выходящая из заряда e1 под углом Q1? Под каким углом Q0 выходит из заряда e1 первая силовая линия, уходящая в плоскости XY на бесконечность? Какой угол Qoo с осью X образует она на бесконечности?
 51089. Две бесконечные однородные разноименно заряженные нити протянуты в плоскости XZ параллельно оси Z. Линейные плотности заряда на положительной и отрицательной нитях равны соответственно q1 и q2 (q1 > |q2|). Ось X направлена от положительной нити к отрицательной. Под каким углом ф1 к оси X выходит из положительной нити силовая линия, входящая в отрицательную нить под углом ф2? Под каким углом ф0 к оси X выходит из положительной нити первая силовая линия, уходящая в плоскости XY на бесконечность?
 51090. Заряд e1 находится на оси X в точке x1 = l. Определить величину заряда е2, котоорый необходимо поместить в точку х2 = - |/3 оси X, чтобы поток напряженности электрического поля через окружность х = О, y2 + z2 = l2 был равен нулю.
 51091. Напряженность электрического поля в пространстве известна: E = ###. где e и b — положительные постоянные, а r — расстояние до начала координат. Определить распределение объемной плотности p заряда, создавшего это поле. Чему равен полный заряд Q?
 51092. Определить напряженность Е и потенциал ф электрического поля двух бесконечных параллельных нитей, равномерно заряженных с линейной плотностью соответственно q и —q. Расстояние между нитями равно l. Исследовать Е и ф на больших расстояниях от нитей. При калибровке ф принять, что потенциал равен нулю на бесконечно большом расстоянии от нитей.
 51093. Три взаимно перпендикулярные плоскости равномерно заряжены с поверхностной плотностью s. Найти напряженность Е электрического поля в каждой точке пространства.
 51094. Шаровая полость расположена эксцентрично внутри шара, однородно заряженного по объему с плотностью p. Расстояние между центрами шара и полости равно l. Определить напряженность Е электрического поля в точках шаровой полости.
 51095. Внутри бесконечного цилиндра, однородно заряженного с объемной плотностью р, имеется цилиндрическая полость. Расстояние между параллельными осями цилиндра и полости равно l. Найти напряженность Е электрического поля внутри полости.
 51096. Равномерно заряженная с поверхностной плотностью s неограниченная тонкая пластина разделена на Две половины щелью ширины а. Найти напряженность Е электрического поля на больших расстояниях r >> a от щели с учетом членов порядка 1/r.
 51097. Определить потенциал ф и напряженность Е электрического поля на оси тонкого диска радиуса R, равномерно заряженного с поверхностной плотностью s. Убедиться, что на большом расстоянии от диска найденный потенциал совпадает с кулоновским, а при переходе через поверхность диска напряженность электрического поля удовлетворяет необходимому граничному условию E2n - E1n = 4пs.
 51098. Шар радиуса R равномерно заряжен с объемной плотностью р. Его внешняя неограниченная экваториальная плоскость несет заряд с поверхностной плотностью s. Найти напряженность Е электрического поля на оси симметрии шара, которая перпендикулярна однородно заряженной внешней экваториальной плоскости.
 51099. На оси X между точками x1 = -l и x2 = l равномерно распределен заряд с линейной плотностью q. Найти потенциал ф электрического поля в каждой точке пространства.
 51100. Цилиндр радиуса R и высоты 2h однородно заряжен по объему с плотностью р. Определить потенциал ф электрического поля на оси симметрии внутри и снаружи цилиндра. Убедиться, что снаружи цилиндра найденное выражение в пределе R - > 0 и пpR2 - > q переходит в потенциал электрического поля равномерно заряженного отрезка.