Earth curvature of space2 curvature of space1
Банк задач

Вход на сайт
Регистрация
Забыли пароль?
Статистика решений
Тип решенияКол-во
подробное решение61157
краткое решение7600
указания как решать1387
ответ (символьный)4710
ответ (численный)2385
нет ответа/решения3604
ВСЕГО80843

База задач ФизМатБанк

 50701. Рассмотреть дифракцию плоской монохроматической волны на диэлектрическом цилиндре. Цилиндр радиуса a с диэлектрической проницаемостью e и магнитной проницаемостью ц находится в вакууме. Волна падает нормально к образующей цилиндра, вектор E параллелен его оси. Определить результирующее поле.
 50702. Линейно поляризованная плоская монохроматическая волна рассеивается на шаре, радиус которого a много меньше длины волны L. Выразить составляющие электромагнитного поля рассеянного излучения в волновой зоне через электрическую и магнитную поляризуемости шара. Определить эффективное дифференциальное сечение рассеяния.
 50703. Вычислить дифференциальное dss и полное ss сечения рассеяния, а также степень деполяризации p вторичного излучения при рассеянии неполяризованной волны шаром, радиус которого а много меньше длины волны L. Результат выразить через электрическую bе, и магнитную bm поляризуемости шара.
 50704. Используя результаты предыдущей задачи, определить дифференциальное dss и полное ss сечения рассеяния неполяризованного света малым диэлектрическим шаром с проницаемостью е (ц = 1), а также степень деполяризации р рассеянного света. Построить графики зависимости этих величин от угла рассеяния Q. Указать условие применимости полученных формул. Решить ту же задачу для идеально проводящего шара с ц = 1.
 50705. Плоская монохроматическая волна падает под углом п/2 - a на идеально проводящий тонкий диск, радиус которого а много меньше длины волны L. Определить дифференциальное dss и полное ss сечения рассеяния при различных поляризациях падающей волны, а также сечение рассеяния неполяризованной волны.
 50706. В однородном диэлектрике с проницаемостью e (ц = 1) вырезана полость, имеющая форму тонкого диска радиуса а, толщиной 2h. Нормально к плоскости полости падает неполяризованный свет с длиной волны L >> а. Найти дифференциальное dss и полное ss сечения рассеяния.
 50707. Найти дифференциальное и полное сечения рассеяния плоской волны длиной L на идеально проводящем цилиндре высотой 2h и радиуса a <<, h << L. Исследовать различные случаи поляризации падающей волны. Цилиндр аппроксимировать вытянутым эллипсоидом вращения с полуосями a и h.
 50708. Решить предыдущую задачу для диэлектрического цилиндра, высота которого 2 h много меньше длины волны L внутри цилиндра,
 50709. Плоская монохроматическая волна E0 ехр[i (kr — wt)] рассеивается на диэлектрическом шаре радиуса а, поляризуемость которого (e — — 1)/4п << 1 (ц = 1). Вследствие малой поляризуемости поляризация шара в первом приближении пропорциональна полю падающей волны. Определить дифференциальное сечение рассеяния и степень деполяризации р рассеянного излучения. Какой характер приобретает рассеяние в случае очень большого шара (ka >> 1)?
 50710. Определить полное сечение рассеяния ss диэлектрической сферой, рассмотренной в предыдущей задаче, в предельном случае ka >> 1. Сравнить со случаем ka << 1.
 50711. Плоская монохроматическая волна рассеивается некоторой системой зарядов (например, макроскопическим телом). Электрическое поле на больших расстояниях от рассеивателя имеет вид E = E0 [ee^ikz + F (n) e^ikr / r], где n = r/r, е = E/E, k = w/c, E0 — амплитуда падающей волны, F (n) — амплитуда рассеяния — функция, характеризующая свойства рассеивателя и зависящая от частоты. Доказать соотношение («оптическую теорему»): st = 4п/k Im[e*F (n0)]. Здесь st = ss + sa — полное сечение взаимодействия волны с системой зарядов, равное сумме сечений рассеяния ss и поглощения sа, F (n0) — амплитуда рассеяния «вперед», т. е. в направлении распространения падающей волны.
 50712. Плоская монохроматическая волка падает на макроскопическую частицу, размер которой много меньше длины волны L. Электрическая и магнитная поляризуемости частицы: be = b'e + ib"e и bm = b'm + ib"m — комплексны, поэтому наряду с рассеянием происходит поглощение электромагнитной энергии. Вычислить сечение поглощения sа.
 50713. Вычислить сечение поглощения электромагнитной волны проводящим шаром sa с малым поверхностным импедансом e = e' + ie"- Радиус шара b мал по сравнению с длиной волны L.
 50714. Плоская монохроматическая волна падает на макроскопическое тело. Сечение поглощения волны телом sа и дифференциальное сечение рассеяния dss/dQ, — известны. Выразить через них среднюю по времени силу F, действующую на тело со стороны волны.
 50715. Определить среднюю силу F, которая действует на малый шар радиуса a, находящийся в поле плоской монохроматической волны. Рассмотреть случаи идеально проводящего шара и диэлектрического шара с диэлектрической проницаемостью e (магнитная проницаемость ц = 1). Амплитуда падающей волны E0.
 50716. Точечный источник света расположен на оси, проходящей через центр круглого непрозрачного экрана радиуса а перпендикулярно его плоскости. Считая выполненным условие применимости геометрической оптики (L << а), найти интенсивность света I в симметричной относительно экрана точке Р.
 50717. В предыдущей задаче рассмотреть дифракцию на дополнительном экране (т. е. на круглом отверстии в бесконечном непрозрачном экране).
 50718. Параллельный пучок света падает на круглое отверстие в непрозрачном экране перпендикулярно его плоскости. Найти распределение интенсивности света I на средней линии за экраном.
 50719. Найти угловое распределение интенсивности света dI при Дифракции Фраунгофера на кольцевом отверстии (радиусы a > b) в бесконечном непроницаемом экране. Начальный пучок света падает нормально к плоскости отверстия. Рассмотреть частный случай дифракции на круглом отверстии.
 50720. Найти угловое распределение интенсивности света dI при наклонном падении параллельного пучка на круглое отверстие (дифракция Фраунгофера).
 50721. Плоская линейно поляризованная волна падает на прямоугольное отверстие —а < x < a, -b < y < b бесконечном тонком экране нормально к его плоскости. Амплитуды электрического и магнитного полей имеют составляющие Eу = Е0, Нх = —Е0, Ну = Ех = 0. Определить поле излучения из отверстия, а также угловое распределение излучения dI.
 50722. Плоская линейно поляризованная волна E0 e^i (kr-wt) падает на круглое отверстие радиуса а в бесконечном тонком экране нормально к его плоскости. Определить поле излучения из отверстия и угловое распределение интенсивности излучения dI.
 50723. Квазимонохроматический источник имеет поперечный размер L и испускает свет с длиной волны L. Оценить порядок величины того телесного угла dQ, в котором его излучение когерентно.
 50724. Каковы поперечная и продольная длина, а также телесный угол и объем когерентности излучения, испускаемого атомами натрия, находящимися в атмосфере Солнца. Наблюдается (на Земле) спектральная линия с длиной волны L0 = 5*10^-5см, масса атома m = 3,7*10^-23. Главный вклад в ширину спектральной линии дает тепловое движение атомов (температура T = 6000 К).
 50725. Как изменятся результаты предыдущей задачи, если с Земли наблюдается звезда типа Солнца, находящаяся на расстоянии 10 световых лет?
 50726. Определить продольную и поперечную длины, а также объем когерентности в непосредственной близости от квантового оптического генератора, работающего на длине волны L0 = 5*10^-5 см с разбросом частот dv = 10^2 гц. Диаметр зеркал D = 5 см.
 50727. Найти параметр вырождения d излучения абсолютно черного тела, находящегося при температуре T. Сделать численные оценки для L = 1 см и L = 5*10^-5см при T = 273° и для L = 5*10^-5см при T = 10000°.
 50728. Найти параметр вырождения для квантового оптического генератора, рассмотренного в задаче 484. Мощность излучения 200 Вт. Какой эффективной температуре отвечает это значение d?
 50729. Связать автокорреляционную функцию Г (r, r, т) = u (r, t)u*(r, t + т) со спектром мощности I (w) излучения. Интенсивность излучения I = u*(t)u (t) = Int (I (w)dw.
 50730. Найти автокорреляционную функцию излучения, если линия испускания узкая и имеет прямоугольную форму в интервале шириной dw около w0. Интенсивность излучения I.
 50731. В интерференционном опыте Юнга наблюдается интерференционная картина в области перекрытия пучков, дифрагировавших на двух отверстиях (рис.). Отверстия расположены на расстоянии D друг от друга в точках с координатами (0,0) и (х,у). Источник света протяженный, его размер значительно превышает D и он находится на расстоянии R от отверстий (R > D). Свет достаточно монохроматичен, так что для каждого из независимых излучателей выполняется условие временной когерентности. Выразить коэффициент частичной когерентности через распределение интенсивности I (х, у) излучения по поперечнику источника света.
 50732. Звездный интерферометр Майкельсона представляет собой вариант интерференционной схемы Юнга, в которой расстояние между отверстиями может изменяться. Найти зависимость видимости В интерференционных полос в интерферометре Майкельсона от расстояния D между отверстиями и от длины волны L для двух случаев. а) Наблюдается двойная звезда — система двух близких звезд, находящихся на угловом расстоянии a друг от друга. Каждую из звезд можно рассматривать как точечный источник света. Считать светимости обеих звезд одинаковыми. б) Наблюдается одиночная звезда больших размеров с угловым поперечником a (можно рассматривать эту звезду как равномерно излучающий диск).
 50733. В звездный интерферометр Майкельсона, рассмотренный в предыдущей задаче, поступает свет от двойной звезды или от одиночной звезды больших размеров. При увеличении расстояния D между отверстиями видимость интерференционных полос ослабевает и при некотором значении D = D0 обращается в нуль. Определить: а) расстояние р между компонентами двойной звезды Капелла, находящейся от нас на расстоянии R = 44,6 световых лет, если Do = 70,8 см, а наблюдение ведется на длине волны L = 5*10^-5см; б) диаметр d звезды Бетельгейзе, расстояние до которой составляет 652 световых года, если D0 = 720 см, а L = 6*10^-5см.
 50734. В интерферометре Брауна и Твисса (рис.) независимо детектируются, а затем перемножаются и регистрируются интенсивности света, идущего от двух удаленных некогерентных точечных источников или от различных точек одного протяженного источника. Волны, идущие от источников, можно считать плоскими (волновые векторы k1, и k2), их амплитуды и фазы флуктуируют случайным образом. Показать, что с помощью интерферометра Брауна и Твисса можно путем наблюдения корреляции между интенсивностями измерять угловое расстояние между источниками.
 50735. Плоская волна (длина волны L) падает почти нормально на боковую поверхность тонкой призмы с углом а << 1 при вершине и показателем преломления n. Найти зависимость от х (рис.) фазового сдвига, который приобретает волна в плоском слое ABCD, часть которого занята призмой.
 50736. Плоская волна падает на тонкую собирающую или рассеивающую линзу с радиусами кривизны R2, R2 и показателем преломления n (рис.). Длина волны L, угол между волновым вектором и оптической осью линзы мал. Найти зависимость от х фазового сдвига, приобретаемого волной в плоском слое ABCD, часть которого занята линзой.
 50737. Монохроматическая плоская волна (длина волны L) от квантового оптического генератора падает на бизеркало Френеля (рис.) с углом v << 1 между плоскостями зеркал. В области перекрытия двух плоских волн, идущих от бизеркала, образуется интерференционное волновое поле. На фотопластинке, помещенной в эту область и образующей угол v1 << 1 с фронтом одной из волн, возникает система прозрачных и темных интерференционных полос. Какое волновое поле образуется за этой фотопластинкой, если после проявления пропустить сквозь нее нормально к поверхности плоскую волну от того же самого оптического генератора?
 50738. Плоская монохроматическая волна проходит одновременно через призму и отверстие в непрозрачном экране, находящемся на расстоянии f (рис.). Призма тонкая, преломляющий угол a << 1, а показатель преломления ее вещества n. На фотопластинке возникает некоторое распределение интенсивности поля за счет интерференции между «опорной» плоской волной (часть волны, прошедшая через призму и отклоненная вниз) и волной, дифрагировавшей на отверстии (угол дифракции считать малым). Найти это распределение.
 50739. Найти распределение пропускания Т (х) сквозь голограмму, полученную в условиях, описанных в предыдущей задаче. Считать при этом, что при создании голограммы интенсивность опорной волны была велика по сравнению с интенсивностью волны, прошедшей сквозь отверстие. Проследить за процессом восстановления первоначальных волновых фронтов при пропускании через эту голограмму нормально падающей плоской монохроматической волны u0 = A'0exp[i (kz — wt)] (длина волны та же, что и у первичной волны). В частности, проследить за возникновением точечного изображения первоначального отверстия.
 50740. На установке, рассмотренной в задачах 496, 497, получается голограмма двух отверстий, находящихся на расстоянии 2D друг от друга в плоскости призмы. По этой голограмме восстанавливается изображение двух отверстий. Найти это изображение и выяснить, в каком случае оно будет увеличенным.
 50741. Определить разрешающую способность голограммы, которая получена на установке типа, рассмотренного в задаче 496. Голограмма выполнена на фотопластинке с размером зерен эмульсии d
 50742. Выяснить, при каких условиях сечение рассеяния рентгеновых лучей на телах конечной протяженности принимает вид сечения рассеяния на свободных зарядах (формула Томсона). Написать соответствующие выражения для сечений. Число атомов в теле N, число электронов в каждом атоме Z.
 50743. Распределение электронной концентрации в Z-электронном атоме аппроксимируется выражением na (r) = n0a exp[—r/a], где n0a = Z/пa3, а = a0/Z^1/3, a0 = 0,529*10^-8 см — боровский радиус. Найти дифференциальное сечение рассеяния волны рентгенового диапазона на одноатомном газе, содержащем N атомов, считая распределение атомов совершенно хаотическим.
 50744. Найти сечение рассеяния рентгеновых лучей на объеме газа, содержащем N двухатомных молекул. Атомы в молекуле одинаковы и находятся на фиксированном расстоянии R друг от друга. Принять, что форм-фактор Fa (q) атома, входящего в состав молекулы, тот же, что и у изолированного атома.
 50745. Как изменится сечение рассеяния рентгеновых лучей на объеме газа из двухатомных молекул, рассмотренном в предыдущей задаче, если учесть тепловые колебания атомов в молекуле. указание. считать, что расстояния R между атомами распределены около среднего значения R0 >> b по закону dWx = 1/v|/п exp[-x2/b2]dx, x = R-R0, b = |/2kR/цw2, Т — температура, ц — приведенная масса, w — частота собственных колебаний атомов в молекуле.
 50746. Найти сечение рассеяния рентгеновых лучей на идеальном монокристалле, состоящем из N одинаковых атомов с формфакторами Fa (q) (считать, что эти формфакторы те же, что и в случае изолированных атомов). Элементарная ячейка имеет форму куба с ребром а, кристалл имеет форму прямоугольного параллелепипеда с ребрами L1, L2, L3, параллельными ребрам элементарной ячейки. Определить положение главных максимумов, убедиться в выполнении уравнения Лауэ (VIII.46). Найти величину сечения в этих максимумах.
 50747. Кристалл состоит из кубических элементарных ячеек с ребром a и имеет форму прямой призмы с прямоугольным равнобедренным треугольником в основании (катеты основания L1 = L2, боковое ребро L3). Определить положения главных максимумов, найти величину сечения в этих максимумах.
 50748. Найти распределение интенсивности в дифракционном пятне вблизи одного из главных максимумов при рассеянии рентгеновых лучей на монокристалле, рассмотренном в задаче 505. Волновой вектор падающих рентгеновых лучей параллелен ребру L3, а k >> 1/a. Определить ширину дифракционного максимума и полное сечение, отвечающее рассеянию в пределах одного дифракционного пятна.
 50749. Вычислить распределение интенсивности в дифракционном пятне вокруг главного максимума при произвольном направлении падения и произвольном соотношении между k и 1/а. Рентгеновы лучи рассеиваются на монокристалле, имеющем форму прямоугольного параллелепипеда с ребрами L1, L2, L3 (см. задачу 505).
 50750. Решить предыдущую задачу для случая рассеяния на монокристаллическом образце шарообразной формы (радиус R).
 50751. Определить типы волн, которые могут распространяться в прямоугольном волноводе с идеально проводящими стенками (длины сторон a, b). Найти для них закон дисперсии и конфигурации полей (т.е. зависимость компонент поля от координат).
 50752. Определить коэффициенты затухания a разных типов волн в прямоугольном волноводе. Поверхностный импеданс стенок волновода e задан.
 50753. Бесконечно протяженный диэлектрический слой заполняет в вакууме область —a < x < a и имеет проницаемости e и ц. Показать, что такой слой может действовать как волновод (для этого нужно, чтобы поле бегущей электромагнитной волны концентрировалось, в основном, внутри слоя). Определить типы волн, которые могут распространяться в таком волноводе. Ограничиться случаем, когда векторы поля не зависят от координаты y.
 50754. Диэлектрический слой с проницаемостями e, ц, заполняющий область 0 < x < a, нанесен на поверхность идеального проводника. В области x > a — вакуум. Какие типы электромагнитных волн с амплитудой, убывающей при удалении от слоя, могут распространяться вдоль слоя? Сравнить возможные типы волн с системой волн, полученной в предыдущей задаче.
 50755. Найти возможные типы волн в круглом волноводе радиуса a, считая его стенки идеально проводящими. Определить граничную частоту w0 для такого волновода.
 50756. Используя результат предыдущей задачи, найти коэффициенты затухания a разных типов волн в круглом волноводе. Поверхностный импеданс стенок e задан.
 50757. Определить фазовую vф и групповую vg скорости волн в прямоугольном и круглом волноводах с идеально проводящими стенками. Построить их зависимость от L = 2пc/w.
 50758. Определить фазовую vф и групповую vg скорости волн в волноводе геометрическим методом. Для этого рассмотреть простейшую волну типа H10 в прямоугольном волноводе, разложить ее на плоские волны и исследовать отражение этих волн от стенок волновода.
 50759. Исследовать структуру поперечной электромагнитной волны в идеально проводящей коаксиальной линии (большой и малый радиусы соответственно b и a). Подсчитать средний поток энергии y вдоль линии. Рассмотреть предельный случай одиночного идеально проводящего провода.
 50760. Определить возможные типы непоперечных электромагнитных волн в коаксиальной линии с идеально проводящими стенками (радиусы a и b > a).
 50761. Определить коэффициент затухания a поперечной электромагнитной волны в коаксиальной линии. Заданы радиусы a, b > a и поверхностный импеданс e = e' + ie".
 50762. Рассмотреть распространение аксиально симметричной волны электрического типа вдоль одиночного бесконечно длинного цилиндрического проводника с конечной проводимостью, находящегося в вакууме. Определить фазовую скорость волны. Показать, что в случае идеально проводящего провода волна перейдет в поперечную электромагнитную волну (см. задачу 518. Использовать приближенное граничное условие Леонтовича (см. (VIII. 10)).
 50763. Аксиально симметричная E-волна распространяется в круглом волноводе радиуса b, частично заполненном диэлектриком. Диэлектрик имеет проницаемость e и занимает область a < r < b. Считая a << b, определить зависимость фазовой скорости от частоты и граничную частоту. При каких условиях фазовая скорость будет меньше c? Рассмотреть предельный случай волновода, полностью заполненного диэлектриком.
 50764. Между двумя идеально проводящими плоскостями x = +/- a (рис. а) помещена в плоскости у = 0 лестничная перегородка (рис. б), состоящая из тонких металлических полосок, ориентированных вдоль оси х. Расстояния между полосками и их ширина малы по сравнению с длиной волны. Область у > 0 над лестничной перегородкой заполнена диэлектриком с проницаемостью е, в области у < 0 — воздух. Найти возможные типы бегущих волн, которые могут распространяться в такой системе вдоль оси z. Как связана постоянная распространения этих волн с частотой?
 50765. Прямоугольный волновод с поперечным сечением a х b и идеально проводящими стенками заполнен ферродиэлектриком. Постоянное магнитное поле приложено перпендикулярно широкой стенке волновода (вдоль оси у). Тензоры электрической и магнитной проницаемостей ферродиэлектрика имеют вид #### (ср. с результатом задачи 331). Определить составляющие электромагнитного поля, постоянную распространения и граничную частоту волновода для случая, когда поле не зависит от y.
 50766. Электрическое и магнитное поля в волноводе с идеально проводящими стенками, не содержащем диэлектрика, описываются функциями ####. Если в волновод вставить диэлектрический сердечник, имеющий форму цилиндра произвольного сечения с осью, параллельной оси волновода, то поля в волноводе примут вид ####. Диэлектрик в общем случае может характеризоваться тензорными параметрами eik, цik- Показать с помощью уравнений Максвелла, что постоянная распространения изменится на величину ####, где deik = eik — 1, dцik = цik — 1, интеграл в числителе берется по площади сечения диэлектрического стержня (dS), интеграл в знаменателе — по площади сечения волновода (S).
 50767. В прямоугольный волновод с идеально проводящими стенками вносится ферродиэлектрическая пластинка толщиной d << a, намагниченная вдоль оси волновода (рис.). Пользуясь формулой, полученной в предыдущей задаче, определить с точностью до членов порядка d изменение dk постоянной распространения волны типа H10. Диэлектрическая проницаемость пластинки — скалярная величина, тензор ее магнитной проницаемости приведен в условии задачи 435.
 50768. В коаксиальный волновод (рис.) вставлена тонкая феррито-вая пластина (d < a, b), намагниченная вдоль оси волновода. Определить изменение dk постоянной распространения поперечной электромагнитной волны.
 50769. Решить предыдущую задачу для случая, когда постоянное подмагничивающее поле H0 направлено перпендикулярно оси волновода. Рассмотреть два направления этого поля: а) H0 перпендикулярно широкой грани пластинки; б) H0 перпендикулярно узкой грани пластинки.
 50770. Определить типы собственных колебаний в полом резонаторе с идеально проводящими стенками. Резонатор имеет форму прямоугольного параллелепипеда, его размеры a х b х h.
 50771. Определить число собственных колебаний dN (w), приходящихся на интервал частот dw; в полом резонаторе объема V, рассмотренном в предыдущей задаче. Считать, что выполняются неравенства dw << w и dN >> 1.
 50772. Резонатор имеет форму прямого кругового цилиндра высотой h и радиуса а. Считая стенки резонатора идеально проводящими, найти частоты собственных колебаний. Рассмотреть колебания электрического и магнитного типов.
 50773. Две круглые металлические пластинки радиуса R находятся на малом расстоянии d друг от друга, образуя конденсатор. Обкладки конденсатора замкнуты проводником толщиной 2а, имеющим форму кольца радиуса b (рис.). Найти собственную частоту колебаний такого «открытого резонатора», предполагая применимым квазистационарное приближение. Все проводники считать идеально проводящими.
 50774. Найти собственную частоту w0 колебаний системы, изображенной на рис., предполагая, что соответствующая ей длина волны L0 велика по сравнению с размерами системы. Потерями энергии и краевыми эффектами пренебречь.
 50775. Для уменьшения потерь энергии на излучение вместо открытого колебательного контура (см. рис.) используют закрытый резонатор, состоящий из соединенных вместе тороидальной камеры и плоского конденсатора с круглыми пластинами (его разрез и размеры показаны на рис. 36). Найти собственную частоту w0 основного типа колебаний такого резонатора в квазистационарном приближении. При каких условиях применимо такое приближение? Стенки резонатора считать идеально проводящими.
 50776. Решить предыдущую задачу для тороидального резонатора с камерой прямоугольного сечения (рис.).
 50777. Резонатор представляет собой цилиндр кругового сечения (внутренний радиус b, высота h), вдоль оси которого вставлен идеально проводящий стержень радиуса a (рис.). Стенки цилиндра также обладают идеальной проводимостью. Между стержнем и одним из торцов цилиндра оставлен зазор d. Найти собственные частоты поперечных относительно оси системы электромагнитных колебаний, считая, что длина волны этих колебаний много больше зазора d (но не высоты h цилиндра). Как изменится спектр колебаний при d — > 0?
 50778. Известны собственные частоты колебаний wv и собственные функции Ev, Hv, резонатора с идеально проводящими стенками. Вычислить изменение собственных частот, вызванное конечной проводимостью стенок резонатора. Поверхностный импеданс e стенок мал.
 50779. Полый резонатор имеет форму куба со стороной a. Проводимость стенок s, магнитная проницаемость ц = 1. Вычислить добротность резонатора для произвольного типа колебаний. Как она зависит от частоты? При каких частотах резонансные свойства системы исчезнут?
 50780. Полый резонатор, стенки которого имеют поверхностный импеданс e, возбуждается сторонним током j (r) e^-iwt, текущим внутри резонатора. Частота тока от близка к одной из собственных частот резонатора. Найти электромагнитное поле, возбуждаемое в резонаторе, и его зависимость от частоты w вблизи резонанса.
 50781. Открытый резонатор инфракрасного диапазона состоит из двух параллельных круглых зеркал диаметром D, находящихся на расстоянии L друг против друга (рис.). Пусть собственное колебание такой системы реализуется в виде двух волн с L << L, D, распространяющихся перпендикулярно плоскостям зеркал навстречу друг другу и образующих стоячую электромагнитную волну. Оценить по порядку величины добротность такого резонатора в приближении геометрической оптики. Учесть потери энергии при отражениях от зеркал (коэффициент отражения R) и излучение через боковую поверхность резонатора за счет дифракции. Параметры резонатора: D = L = 1 см; R = 0,95; L = 3*10^-4 см.
 50782. Зеркала открытого резонатора, рассмотренного в предыдущей задаче, слегка непараллельны. Угол между их плоскостями b << 1. Оценить дополнительные потери на излучение и соответствующий вклад в добротность резонатора, обусловленный непараллельностью зеркал. Какие значения угла b допустимы без существенного уменьшения полной добротности резонатора?
 50783. В резонаторе, образованном двумя параллельными зеркалами (см. рис.), собственные колебания с L << L, D осуществляются в виде стоячих волн в пространстве между зеркалами. Рассмотреть тот тип колебаний, в котором волновой вектор стоячей волны составляет малый угол v с нормалью к плоскостям зеркал. а) Найти условие, определяющее возможные значения v при заданной Л. б) Оценить по порядку величины добротность резонатора как функцию угла v. Рассмотреть различные соотношения между потерями в зеркалах и потерями на излучение.
 50784. Пусть система S' движется относительно системы S со скоростью V вдоль оси х. Часы, покоящиеся в S' в точке (x'0, y'0, z'0), в момент t'0 проходят мимо точки (x0, y0, z0) в системе S, где находятся часы, показывающие в этот момент время t0. Написать формулы преобразования Лоренца для этого случая.
 50785. Система S' движется относительно системы S со скоростью V. В момент, когда начала координат совпадали, находившиеся там часы обеих систем показывали одно и то же время t = t' = 0. Какие координаты в каждой из этих систем в дальнейшем будет иметь мировая точка, обладающая тем свойством, что находящиеся в ней часы систем S и S' показывают одно и то же время t = t'? Определить закон движения этой точки.
 50786. Пусть для измерения времени используется периодический процесс отражения светового «зайчика» попеременно от двух зеркал, укрепленных на концах стержня длиной l. Один период — это время движения «зайчика» от одного зеркала до другого и обратно. Световые часы неподвижны в системе S' и ориентированы параллельно направлению движения. Пользуясь постулатом о постоянстве скорости света, показать, что интервал собственного времени от выражается через промежуток времени dt в системе S формулой (Х.7).
 50787. «Поезд» A'B' длина которого l0 = 8,64*10^8 км в системе, где он покоится, идет со скоростью V = 240000 км/сек мимо «платформы», имеющей такую же длину в своей системе покоя. В голове B' и хвосте A' «поезда» имеются одинаковые часы, синхронизованные между собой. Такие же часы установлены в начале (A) и в конце (В) «платформы». В тот момент, когда голова «поезда» поравнялась с началом «платформы», совпадающие часы показывали 12 час 00 мин. Ответить на следующие вопросы: а) можно ли утверждать, что в этот момент в какой-либо системе отсчета все часы также показывают 12 час 00мин; б) сколько показывают каждые из часов в момент, когда хвост «поезда» поравнялся с началом «платформы»; в) сколько показывают часы в момент, когда голова «поезда» поравнялась с концом «платформы»?
 50788. Какой промежуток времени dt занял бы по земным часам полет ракеты до звездной системы Проксима-Центавра и обратно (расстояние до нее 4 световых года), если бы он осуществлялся с постоянной скоростью v = |/0,9999 с? Из расчета какой длительности путешествия следовало бы запасаться продовольствием и другим снаряжением? Каков запас кинетической энергии в такой ракете, если ее масса 10т?
 50789. Два масштаба, каждый из которых имеет длину покоя l0, равномерно движутся навстречу друг другу параллельно общей оси x. Наблюдатель, связанный с одним из них, заметил, что между совпадением левых и правых концов масштабов прошло время dt. Какова относительная скорость v масштабов? В каком порядке совпадают их концы для наблюдателей, связанных с каждым из масштабов, а также для наблюдателя, относительно которого оба масштаба движутся с одинаковой скоростью в противоположные стороны?
 50790. Вывести формулы лоренцова преобразования от системы S' к системе S для радиуса-вектора r и времени t, не предполагая, что скорость V системы S' относительно S параллельна оси х. Результат представить в векторной форме.
 50791. Записать формулы преобразования Лоренца для произвольного 4-вектора Аi = (A, A4), не предполагая, что скорость V системы S' относительно S параллельна оси х.
 50792. Вывести формулы сложения скоростей для случая, когда скорость V системы S' относительно S имеет произвольное направление. Формулы представить в векторном виде.
 50793. Происходит три последовательных преобразования системы отсчета: 1) переход от системы S к системе S', двигающейся относительно S со скоростью V, параллельной оси х; 2) переход от системы S' к системе S", двигающейся относительно S' со скоростью v, параллельной оси у'; 3) переход от системы S" к системе S'", двигающейся относительно S" со скоростью, равной релятивистской сумме скоростей — v и —V. Доказать, что система S'", как и следует ожидать, неподвижна относительно S и t'" = t, однако повернута относительно S на некоторый угол в плоскости ху (томасовская прецессия). Вычислить угол ф томасовской прецессии.
 50794. Два масштаба, каждый из которых имеет в своей системе покоя длину l0, движутся навстречу друг другу с равными скоростями v относительно некоторой системы отсчета. Какова длина l каждого из масштабов, измеренная в системе отсчета, связанной с другим масштабом?
 50795. Два пучка электронов летят навстречу друг другу со скоростями v = 0,9 с относительно лабораторной системы координат. Какова относительная скорость V электронов: а) с точки зрения наблюдателя в лаборатории; б) с точки зрения наблюдателя, движущегося вместе с одним из пучков электронов?
 50796. Эффекты, возникающие при столкновении двух элементарных частиц, не зависят от равномерного движения этих частиц, как целого; эти эффекты определяются лишь их относительной скоростью. Одну и ту же относительную скорость можно сообщить сталкивающимся частицам двумя способами (предполагается для простоты, что частицы обладают одинаковой массой m): а) один ускоритель разгоняет частицы до энергии E, затем быстрые частицы ударяются о неподвижную мишень из тех же частиц; б) два одинаковых ускорителя расположены так, чтобы создаваемые ими пучки частиц были направлены навстречу друг другу; каждый из ускорителей при этом должен разгонять частицы до энергии E0 < E. Сравнить между собой значения E и E0. Рассмотреть, в частности, ультрарелятивистский случай.
 50797. Найти формулы преобразования ускорения v для случая, когда система S" движется относительно системы S с произвольно направленной скоростью V. Представить эти формулы преобразования в векторном виде.
 50798. Выразить компоненты четырехмерного ускорения wi через обычное ускорение v и скорость v частицы. Найти w2. Пространственноподобно или времениподобно четырехмерное ускорение?
 50799. Выразить ускорение v' частицы в мгновенно сопутствующей ей инерциальной системе через ее ускорение v в лабораторной системе. Рассмотреть случаи, когда скорость v частицы меняется только по величине или только по направлению.
 50800. Релятивистская частица совершает «равноускоренное» одномерное движение (ускорение v = w постоянно в собственной системе отсчета). Найти зависимость скорости v (t) и координаты x (t) частицы от времени t в лабораторной системе отсчета, если начальная скорость vo, а начальная координата x0 Рассмотреть, в частности, нерелятивистский и ультрарелятивистский пределы.