Earth curvature of space2 curvature of space1
Банк задач

Вход на сайт
Регистрация
Забыли пароль?
Статистика решений
Тип решенияКол-во
подробное решение57480
краткое решение7556
указания как решать1341
ответ (символьный)4703
ответ (численный)2335
нет ответа/решения3776
ВСЕГО77191

База задач ФизМатБанк

 50301. Найти матрицу преобразования компонент вектора при повороте координатных осей, определяемом углами Эйлера а1, Q, a2 (рис), путем перемножения матриц, соответствующих поворотам вокруг оси z на угол a1, вокруг линии узлов ON на угол в и вокруг оси z' на угол a2.
 50302. Найти матрицу D (a1Qa2), с помощью которой преобразуются циклические компоненты вектора при повороте координатной системы, определяемом углами Эйлера a1, Q, a2 (рис.).
 50303. Показать, что матрица бесконечно малого поворота системы координат a может быть записана в виде a = 1+e, где e — антисимметричная матрица (eik = —eki). Выяснить геометрический смысл eik.
 50304. Доказать, что при поворотах или отражениях четного числа координатных осей определитель преобразования равен +1, а при отражениях нечетного числа координатных осей этот определитель равен —1.
 50305. Во всех декартовых системах координат задана совокупность величин eik, обладающих следующими свойствами: при перестановке любых двух индексов eikl меняет знак; e123 = 1. Показать, что эта совокупность еш образует псевдотензор III ранга (совершенно антисимметричный единичный псевдотензор III ранга).
 50306. Доказать, что компоненты антисимметричного тензора II ранга при вращениях преобразуются как компоненты вектора.
 50307. Записать выражения для компонент векторного произведения двух векторов и вихря вектора с помощью тензора eikl. Указать, как преобразуются эти величины при вращениях и отражениях.
 50308. Записать в инвариантной векторной форме: а) einl eirs elmp estp an ar bm ct; б) einl ekrs elmp estp ar an' bk bi' ct cm'.
 50309. Представить произведение [а*(b х с)] [а'*(b' х с')] в виде суммы членов, содержащих только скалярные произведения векторов.
 50310. Показать, что единственным вектором, компоненты которого одинаковы во всех системах координат, является нулевой вектор; что всякий тензор II ранга, компоненты которого одинаковы во всех системах координат, пропорционален dik; тензор III ранга — eikl; тензор IV ранга — (dik dlm + dim dkl + dil dkm).
 50311. Пусть n — единичный вектор, все направления которого в пространстве равновероятны. Найти средние значения его компонент и их произведений: ni, ni nk, ni nk nl, ni nk nl nm, пользуясь трансформационным свойством искомых величин, а не прямым вычислением соответствующих интегралов.
 50312. Найти усредненные по всем направлениям значения следующих выражений: (а*n)2, (а*n) (b*n), (а*n)n, (а х n)2, (а х n)- (b х n), (а*n) (b*n) (с*n) (d*n), если n — единичный вектор, все направления которого равновероятны, а, b, с и d — постоянные векторы.
 50313. Составить все возможные независимые инварианты из полярных векторов n, n' и псевдовектора 1.
 50314. Какие независимые псевдоскаляры можно составить из двух полярных векторов n, n' и одного псевдовектора 1? Из трех полярных векторов n1, n2, n3?
 50315. Записать циклические компоненты градиента в сферических координатах.
 50316. Воспользовавшись декартовыми, сферическими и цилиндрическими координатами, вычислить div r, rot г, grad (l*г), (l*V)r, где r — радиус-вектор, l — постоянный вектор.
 50317. Выполняя все вычисления в сферических (или цилиндрических) координатах, найти rot (w х r), где w — постоянный вектор, направленный по оси z.
 50318. Вычислить grad ф (r); div ф (r)r; rot ф (r)r; (l*V) ф (r)r.
 50319. Найти функцию ф (r), удовлетворяющую условию div ф (r)r = 0.
 50320. Найти дивергенции и вихри следующих векторов: (а*r)b, (а*r)r, (а х r), ф (r) (а х r), r х (а х r), где а и b — постоянные векторы.
 50321. Вычислить grad A (r)*r, grad A (r)*B (r), div ф (r)A (r), rot ф (r)A (r), (l*V)ф (r)A (r).
 50322. Вычислить grad p*r/r^3 и rot p x r / r^3 (р — постоянный вектор), воспользовавшись выражениями градиента и вихря в сферических координатах. Найти векторные линии для этих векторов (дать рисунок).
 50323. Записать проекции вектора dА на оси сферической системы координат. Указание. Воспользоваться тождеством dA = — rot rot А + grad div А.
 50324. Записать проекции вектора dА на оси цилиндрической системы координат.
 50325. Интеграл по объему Int (grad ф - rot A) dV преобразовать в интеграл по поверхности.
 50326. Вычислить интегралы Int (r (а*n) dS), Int (а*r)n dS, где a — постоянный вектор, n — орт нормали к поверхности.
 50327. Интегралы по замкнутой поверхности Int (n ф dS), Int (n х a)dS, Int (n*b)a dS (b — постоянный вектор, n — орт нормали) преобразовать в интегралы по объему, заключенному внутри поверхности.
 50328. Интеграл по замкнутому контуру int ф dl преобразовать в интеграл по поверхности, опирающейся на этот контур.
 50329. Интеграл Int u df, взятый по некоторому замкнутому контуру, преобразовать в интеграл по поверхности, опирающейся на этот контур (u, f - скалярные функции координат).
 50330. Найти общий вид решения уравнения Лапласа для скалярной функции, зависящей только: а) от r; б) от v; в) от a (сферические координаты).
 50331. Найти общий вид решения уравнения Лапласа для скалярной функции, зависящей только: а) от r; б) от а; в) от z (цилиндрические координаты).
 50332. Уравнение x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 = 1 (a > b > c) изображает эллипсоид с полуосями a, b, c. Уравнения #### изображают соответственно эллипсоид, однополостной и двухполостной гиперболоиды, софокусные с первым эллипсоидом. Через каждую точку пространства проходит по одной поверхности, характеризуемой значениями e, h, e. Числа e, h, e называются эллипсоидальными координатами точки х, у, z. Найти формулы преобразования от e, h, e к х, у, z. Убедиться в ортогональности эллипсоидальной системы координат. Найти коэффициенты Ламэ и оператор Лапласа в эллипсоидальных координатах.
 50333. При a = b > с эллипсоидальная система координат вырождается в так называемую сплюснутую сфероидальную систему координат. Координата e при этом переходит в постоянную, равную —а2, и должна быть заменена другой координатой. В качестве последней выбирают азимутальный угол a в плоскости ху. Координаты e, h определяются из уравнений #### Поверхности e = const представляют собой сплюснутые эллипсоиды вращения вокруг оси z, поверхности h = const — софокусные с ними однополостные гиперболоиды вращения (рис.). Найти выражения r, z в сплюснутых сфероидальных координатах, коэффициенты Ламэ и оператор Лапласа в этих координатах.
 50334. Вытянутая сфероидальная система координат получается из эллипсоидальной при a > b = с. Координата h при этом вырождается в постоянную и должна быть заменена азимутальным углом a, отсчитываемым в плоскости yz от оси у. Координаты e, e определяются из уравнений #### Поверхности постоянных e и e представляют собой вытянутые эллипсоиды и двухполостные гиперболоиды вращения (рис.). Выразить величины х, r через e, e; найти коэффициенты Ламэ и оператор Лапласа в переменных e, e, a.
 50335. Бисферические координаты e, h, a связаны с декартовыми соотношениями: #### Показать, что координатные поверхности e = const представляют собой сферы x2 + y2 + (z — a cthe)^2 = (a/sh e)^2, поверхности h = const — веретенообразные поверхности вращения вокруг оси z, уравнение которых #### поверхности а = const — полуплоскости, расходящиеся от оси z (рис.). Убедиться в том, что эти координатные поверхности ортогональны между собой. Найти коэффициенты Ламэ и оператор Лапласа.
 50336. Тороидальные координаты p, e, a образуют ортогональную систему и связаны с декартовыми координатами соотношениями #### Показать, что p = ln r1/r2 (см. рис., на котором изображены плоскости a = const, a + п = const), а величины e представляют собой угол между r1 и r2 (e > 0 при z > 0 и e < 0 при z < 0). Какой вид имеют координатные поверхности р и e? Найти коэффициенты Ламэ.
 50337. Бесконечная плоская плита толщиной a равномерно заряжена по объему с плотностью р. Найти потенциал ф и напряженность E электрического поля.
 50338. Заряд распределен в пространстве по периодическому закону p = ро cos ах cos by cos yz, образуя бесконечную пространственную периодическую решетку. Найти потенциал ф электрического поля.
 50339. Плоскость z = 0 заряжена с плотностью, меняющейся по периодическому закону s = sо sin ах sin /bу, где sо, a, b — постоянные. Найти потенциал ф этой системы зарядов.
 50340. Бесконечно длинный круговой цилиндр радиуса R равномерно заряжен по объему или по поверхности так, что на единицу его длины приходится заряд x. Найти потенциал ф и напряженность электрического поля E.
 50341. Найти потенциал ф и напряженность Е электрического поля равномерно заряженной прямолинейной бесконечной нити.
 50342. Найти потенциал ф и напряженность Е электрического поля равномерно заряженного прямолинейного отрезка длиной 2а, занимающего часть оси z от —a до +a; заряд отрезка q.
 50343. Найти потенциал ф и напряженность Б электрического поля шара, равномерно заряженного по объему. Радиус шара R, заряд q.
 50344. Найти потенциал ф и напряженность Б электрического поля сферы радиуса R, равномерно заряженной по поверхности. Заряд сферы q.
 50345. Внутри шара радиуса R, равномерно заряженного по объему с плотностью р, имеется незаряженная шарообразная полость, радиус которой R1, а центр отстоит от центра шара на расстоянии a (a + R1 < R). Найти электрическое поле Б в полости.
 50346. Пространство между двумя концентрическими сферами, радиусы которых R1 и R2 (R1 < R2), заряжено с объемной плотностью р = a/r2 Найти полный заряд q, потенциал ф и напряженность Б электрического поля. Рассмотреть предельный случай R2 — > R1, считая при этом q = const.
 50347. Заряд распределен сферически симметричным образом: р = р (r). Разбив распределение заряда на сферические слои, выразить через р (r) потенциал ф и напряженность Б поля (записать ф и E в виде однократного интеграла по r).
 50348. Заряд электрона распределен в атоме водорода, находящемся в нормальном состоянии, с плотностью р (r) = -e0/пa3 e^ (-2r/a), а = 0,529*10^-8 см — боровский радиус атома, е0 = 4,80*10^-10 CGSE — элементарный заряд. Найти потенциал фе и напряженность Еer электрического поля электронного заряда, а также полные потенциал ф и напряженность поля Б в атоме, считая, что протонный заряд сосредоточен в начале координат. Построить приблизительный ход величин ф и Е.
 50349. Рассматривая атомное ядро как равномерно заряженный шар, найти максимальное значение напряженности его электрического поля Emax. Радиус ядра R = 1,5*10^-13 A1/3 см, заряд Zeo (A — атомный вес, Z порядковый номер, ео — элементарный заряд).
 50350. Плоскости двух тонких коаксиальных равномерно заряженных колец одинакового радиуса R находятся на расстоянии а друг от друга. Работа, которую надо совершить, чтобы перенести точечный заряд q из бесконечности в центр каждого из колец, равна соответственно A1 и A2. Найти заряды на кольцах q1 и q2.
 50351. Найти потенциал ф и напряженность E электрического поля на оси равномерно заряженного круглого тонкого диска радиуса R; заряд диска q. Убедиться в том, что на поверхности диска нормальная составляющая Б испытывает скачок 4пs. Рассмотреть поле на больших расстояниях от диска.
 50352. Тонкое круглое кольцо радиуса R состоит из двух равномерно и противоположно заряженных полуколец с зарядами q и —q. Найти потенциал ф и напряженность E электрического поля на оси кольца и вблизи нее. Каков характер поля на больших расстояниях от кольца?
 50353. Выразить потенциал ф равномерно заряженного круглого тонкого кольца с зарядом q и радиусом R через полный эллиптический интеграл первого рода ####
 50354. Сфера радиуса R заряжена по поверхности по закону а = s0 cos v. Найти потенциал ф электрического поля, используя разложение по мультиполям в сферических координатах.
 50355. Источники электрического поля расположены аксиально симметричным образом. Вблизи оси симметрии системы источники поля отсутствуют. Выразить потенциал ф и напряженность E электрического поля вблизи оси симметрии через значения потенциала ф и его производных на этой оси.
 50356. Найти потенциал ф электрического поля равномерно заряженного круглого тонкого кольца, используя разложение по мультиполям в сферических координатах. Заряд кольца q, радиуса R.
 50357. Найти потенциал ф электрического поля на больших расстояниях от следующих систем зарядов: а) заряды q, —2q, q расположены по оси z на расстоянии a друг от друга (линейный квадруполь); б) заряды +/- q расположены в вершинах квадрата со стороной а так, что соседние заряды имеют разные знаки, причем в начале координат находится заряд +q, а стороны квадрата параллельны осям х и у (плоский квадруполь).
 50358. Найти потенциал ф электрического поля на больших расстояниях от следующих систем зарядов: а) линейный октуполь (рис. а), б) пространственный октуполь (рис. б).
 50359. Точечный заряд q находится в точке со сферическими координатами (r0, v0, а0). Разложить по мультимополям потенциал ф этого заряда.
 50360. Эллипсоид с полуосями а, 6, с равномерно заряжен по объему; полный заряд эллипсоида q. Найти потенциал ф на больших расстояниях от эллипсоида с точностью до квадрупольного члена. Рассмотреть частные случаи эллипсоида вращения с полуосями а = b и с и шара (а = b = с). Указание. При интегрировании по объему эллипсоида воспользоваться обобщенными сферическими координатами х = or sin v cos а, у = br sin v sin a, z = cr cos v.
 50361. Два коаксиальных равномерно заряженных тонких круглых кольца с радиусами а и b (а > b) и зарядами q и —q соответственно, расположены в одной плоскости. Найти потенциал ф на большом расстоянии от этой системы зарядов. Сравнить его с потенциалом линейного квадруполя
 50362. Показать, что распределение заряда р = — (р'*V) d (r) описывает элементарный диполь с моментом р', помещенный в начало координат. Пояснить результат, воспользовавшись наглядным представлением d-функции (приложение 1).
 50363. Доказать, что распределение зарядов p = q П (ai*V)d (r) создает потенциал ф (r) = q П (ai..V)1/r.
 50364. Используя результаты задачи 94 и учитывая, что квадрупольный момент является тензором II ранга, найти поле ф на большом расстоянии от линейного квадруполя, направление оси которого определяется полярными углами y, b. Каким еще способом можно решить задачу?
 50365. Пространственный октуполь (рис.) повернут вокруг оси z на угол b. Найти поле ф на больших от него расстояниях путем преобразования компонент октупольного момента. Сравнить с другими методами решения.
 50366. Найти потенциал ф электрического поля на больших расстояниях от плоского квадруполя, расположенного в плоскости, проходящей через ось z (рис.). Компоненты квадрупольного момента получить непосредственно, а также путем поворота плоского квадруполя, рассмотренного в задаче 94 6).
 50367. Шар радиуса R равномерно поляризован, дипольный момент единицы объема Р. Найти электрическое поле ф.
 50368. Двумерное распределение заряда характеризуется плотностью р (r), не зависящей от координаты z. Если р (r) = / = 0 в ограниченной области S плоскости ху, то можно разложить потенциал < р вне распределения зарядов по мультиполям (двумерные мультиполи). Найти это разложение.
 50369. Разложить по двумерным мультиполям потенциал ф электрического поля линейного заряда x. Заряженная линия параллельна оси z и проходит через точку (rо, aо) плоскости ху.
 50370. Найти потенциал ф электрического поля на большом расстоянии от двух близких параллельных линейных зарядов x и -x, расположенных на расстоянии a друг от друга (двумерный диполь).
 50371. На диске радиуса R имеется двойной электрический слой мощностью т = const. Найти потенциал a и напряженность Е электрического поля на оси симметрии, перпендикулярной плоскости диска.
 50372. Найти напряженность Б электрического поля двойного электрического слоя мощностью т = const, занимающего полуплоскость y = О, х > 0. Сравнить с магнитным полем бесконечного прямолинейного тока, текущего вдоль оси z. Решить задачу двумя способами: а) прямым суммированием напряженностей, создаваемых малыми элементами двойного слоя; б) определив сначала электростатический потенциал ф.
 50373. Найти уравнения силовых линий системы двух точечных зарядов: заряда +q, находящегося в точке z = а, и заряда ±q, находящегося в точке z = —а; начертить силовые линии. Имеются ли в поле точки равновесия?
 50374. Используя результаты предыдущей задачи, найти уравнение силовых линий точечного диполя в начале координат.
 50375. Найти уравнение силовых линий линейного квадруполя (см. задачу 94а) и нарисовать примерную картину силовых линий.
 50376. Заряд q1 находится на оси симметрии круглого диска радиуса а на расстоянии а от плоскости диска. Какой величины q2 заряд нужно поместить в симметричную относительно диска точку, чтобы поток электрического поля через диск в сторону заряда q1 был равен Ф?
 50377. Найти уравнение силовых линий системы n коллинеарных зарядов q1, q2,..., qn расположенных в точках z1, z2,..., zn оси z, не интегрируя дифференциальных уравнений силовых линий. Применить теорему, доказанную в задаче 113 к силовой трубке, образованной вращением силовой линии вокруг оси симметрии.
 50378. Равномерно заряженные нити, несущие заряды x1 и —x2 на единицу длины, параллельны между собой и отстоят друг от друга на расстояние h. Найти, при каком соотношении между х1 и x2 в числе поверхностей равного потенциала этой системы будут круговые цилиндры конечного радиуса. Определить радиусы и положение осей цилиндров.
 50379. Точечные заряды q1 и —q2 находятся на расстоянии h друг от друга. Показать, что в числе поверхностей равного потенциала этой системы имеется сфера конечного радиуса. Определить координаты ее центра и радиус. Найти значение потенциала ф на поверхности этой сферы, если ф (oo) = 0.
 50380. Каким распределением зарядов создается потенциал, имеющий в сферических координатах вид: ф (r) = qe-ar/r, где a,q — постоянные.
 50381. Каким должно быть распределение зарядов, чтобы созданный им потенциал имел в сферических координатах вид ф (r) = e0/a e^ (-2r/a) (a/r+1), где е0, а — постоянные.
 50382. Найти энергию взаимодействия U электронного облака с ядром в атоме водорода. Заряд электрона распределен в атоме с объемной плотностью p (r) = -e0/пa3 e^ (-2r/a), где е0 - элементарный заряд (ср. с задачей 83), a — постоянная (боровский радиус атома).
 50383. В некотором приближении можно считать, что электронные облака обоих электронов в атоме гелия имеют одинаковый вид и характеризуются объемной плотностью р = -8e0/пa3 e^ (-4r/a), где а - боровский радиус атома, e0 — элементарный заряд. Найти энергию взаимодействия U электронов в атоме гелия в этом приближении (нулевое приближение теории возмущений).
 50384. Центры двух шаров с зарядами q1 и q2 находятся на расстоянии a друг от друга (a > R1 + R2, где R1, R2 — радиусы шаров). Заряды распределены сферически симметричным образом. Найти энергию взаимодействия U шаров и действующую между ними силу F.
 50385. Мыльный пузырь, висящий на открытой трубке, стягивается под действием поверхностного натяжения (коэффициент поверхностного натяжения а). Считая, что диэлектрическая прочность воздуха (напряженность поля, при которой происходит пробой) равна E0, выяснить, можно ли сильно заряжая пузырь предотвратить его сжатие. Каков минимальный равновесный радиус R пузыря?
 50386. Два параллельных коаксиальных тонких кольца с радиусами а и b несут на себе равномерно распределенные заряды q1 и q2. Расстояние между плоскостями колец с. Найти энергию взаимодействия U колец и действующую между ними силу F.
 50387. Найти силу F и вращательный момент N, приложенные к электрическому диполю с моментом р в поле точечного заряда q.
 50388. Диполь с моментом p1 находится в начале координат, а другой диполь с моментом р2 — в точке с радиусом-вектором r. Найти энергию взаимодействия U этих диполей и действующую между ними силу F. При какой ориентации диполей эта сила максимальна?
 50389. Система зарядов характеризуется объемной плотностью р (r) и занимает ограниченную область в окрестности некоторой точки О. Система помещена во внешнее электрическое поле, которое в окрестности этой точки может быть представлено в виде ####. Найти энергию взаимодействия системы U с внешним полем ф1, выразив ее через alm и мультипольные моменты Qlm системы (ср. с задачей 166*).
 50390. Точечный заряд q расположен на плоской границе раздела двух однородных бесконечных диэлектриков с проницаемостями е1 и е2. Найти потенциал ф напряженность E и индукцию D электрического поля.
 50391. От некоторой прямой, на которой находится точечный заряд q, расходятся веерообразно три полуплоскости, образующие три двугранных угла а1, a2, а3 (a1 + а2 + а3 = 2п). Пространство внутри каждого из углов заполнено однородным диэлектриком с проницаемостью соответственно е1, e2, e3. Определить потенциал ф, напряженность E и индукцию D электрического поля.
 50392. Центр проводящего шара радиуса a, заряд которого q, находится на плоской границе раздела двух бесконечных однородных диэлектриков с проницаемостями e1 и e2. Найти потенциал ф электрического поля, а также распределение заряда s на шаре.
 50393. Пространство между обкладками сферического конденсатора частично заполнено диэлектриком, расположенным внутри телесного угла Q с вершиной в центре обкладок. Радиусы обкладок a и b, проницаемость диэлектрика s. Найти емкость С конденсатора.
 50394. Внутри сферического конденсатора с радиусами обкладок а и b диэлектрическая проницаемость меняется по закону ####. Найти емкость С конденсатора, распределение связанных зарядов Sсв и полный связанный заряд в диэлектрике.
 50395. Плоский конденсатор заполнен диэлектриком, проницаемость которого изменяется по закону е = е0 (х + а)/а, где а — расстояние между обкладками, ось х направлена перпендикулярно обкладкам, площадь которых S. Пренебрегая краевым эффектом, найти емкость С такого конденсатора и распределение в нем связанных зарядов, если к обкладкам приложена разность потенциалов V.
 50396. а) С какой силой f0 на единицу площади притягиваются друг к другу в вакууме обкладки плоского конденсатора, если расстояние между ними a, разность потенциалов V; б) какое новое значение f примет эта сила, если заряженный конденсатор отделить от батареи, а потом либо наполнить его жидким диэлектриком с проницаемостью e, либо вставить в него плитку из твердого диэлектрика с тем же е, толщина которой чуть-чуть меньше а, так что она не касается обкладок; в) какова будет сила f притяжения обкладок, если сначала либо залить конденсатор жидким диэлектриком, либо вставить в него плитку из диэлектрика, а потом зарядить?
 50397. Обкладки плоского конденсатора находятся на расстоянии h1 друг от друга и имеют форму прямоугольников со сторонами a и b. Между пластинами параллельно им помещена плитка из диэлектрика e, имеющая форму параллелепипеда с толщиной h2 и основанием a х b. Плитка не полностью вставлена в конденсатор — внутри него находится часть x стороны a. Найти силу F, с которой плитка втягивается в конденсатор, в двух случаях: а) на обкладках поддерживается постоянная разность потенциалов V; б) постоянен заряд q обкладок. Краевые эффекты не учитывать.
 50398. Плоский конденсатор погружен в несжимаемую жидкость с диэлектрической проницаемостью e и плотностью т так, что его обкладки расположены вертикально. Расстояние между ними d, разность потенциалов V. Определить высоту h поднятия жидкости в конденсаторе.
 50399. Как направлено максвеллово натяжение T'n, действующее на площадку dS, нормаль n к которой составляет угол i? с направлением поля Б? Какова величина Т'n? Как направлено стрикционное натяжение Т''n?
 50400. Два одинаковых точечных заряда q находятся в однородном жидком диэлектрике е на расстоянии а друг от друга. Вычислить помощью максвеллова или полного тензора натяжений силу F, действующую на каждый из зарядов. Выяснить, из каких составляющих складывается сила электрического взаимодействия зарядов q2/a2e. Для сравнения вычислить силы, приложенные: а) к плоскости симметрии, перпендикулярной линии, соединяющей заряды; б) к поверхности малой сферы, в центре которой находится один из зарядов.