Earth curvature of space2 curvature of space1
Банк задач

Вход на сайт
Регистрация
Забыли пароль?
Статистика решений
Тип решенияКол-во
подробное решение61157
краткое решение7600
указания как решать1387
ответ (символьный)4710
ответ (численный)2385
нет ответа/решения3604
ВСЕГО80843

База задач ФизМатБанк

 49401. Точечное тело массой m и зарядом q, удерживаемое в покое, находится в однородном поле тяготения и горизонтальном магнитном поле. По какой траектории будет двигаться тело, если его освободить?
 49402. Длинная тонкая вертикальная стеклянная трубка расположена соосно внутри широкой стеклянной трубки с внешним радиусом r (рис.). На более широкой трубке вдоль всей ее поверхности плотно с шагом h закреплены металлические кольца. Сопротивление каждого кольца равно R. Если магниту в виде маленького бруска массой m и магнитным моментом ц предоставить свободно падать внутри тонкой трубки, то через относительно короткое время скорость его достигнет максимального значения v0 и дальше изменяться не будет. При каждом последующем эксперименте изменяют один из упомянутых параметров: m, ц, h, r, R, а остальные оставляют неизменными. Как нужно изменять каждый из параметров, чтобы установившаяся скорость магнита увеличивалась в 2 раза? Всеми видами трения, само- и взаимоиндуктивностью пренебречь.
 49403. В вакуумной камере по тончайшему прямому проводу, который имеет очень высокую проводимость, течет ток 10 А. Электроны с начальной скоростью v0 начинают двигаться перпендикулярно проводу от точки, которая находится на расстоянии r0 от центра провода. Скорость электрона такова, что он не может оказаться на расстоянии меньше чем r0/2. Чему равна скорость v0? Влиянием геомагнитного поля пренебречь.
 49404. Первоначально незаряженный конденсатор помещен в магнитное поле индукцией В, параллельное его пластинам (рис.). Между пластинами перпендикулярно вектору магнитного поля начинает течь со скоростью v электрически нейтральная жидкость. Расстояние между пластинами конденсатора d, диэлектрическая проницаемость жидкости е. Какое напряжение покажет вольтметр, подключенный к пластинам конденсатора?
 49405. Если бы ядро урана раскололось на три части, то выделившаяся энергия была бы больше, чем в случае распада его на две части. Почему в природе уран распадается только на две части?
 49406. Изотоп 7Ве - радиоактивный элемент с периодом полураспада 53,37 дней. Когда бериллий нагревают до температуры несколько тысяч градусов, его период полураспада изменяется. Как это можно объяснить?
 49407. Часть радиоактивного ряда, начинающегося с тория-232, представлена (вместе с соответствующими периодами полураспада) ниже: 232|90Th --- > 228|88Ra --- > 228|89Ac --- > 228|90Th --- > 224|88Ra --- > 220|86Rn --- >.... Из руды извлечены торий-232 и торий-228, находящиеся в равновесии, и очищены химическим путем. Нарисуйте вид зависимости изменения числа атомов радона-220, которую необходимо ожидать в течение времени от 10^-3 до 10^3 лет (в логарифмическом масштабе) в 10^-3 кг исходного материала.
 49408. Каким напряжением должны быть ускорены протоны, чтобы при столкновении с неподвижными протонами стало возможным образование пары протон-антипротон? Считайте, что энергия массы покоя протона равна приблизительно 1 ГэВ.
 49409. Как будет двигаться позитрон, если его поместить в клетку Фарадея с начальной нулевой скоростью? Считайте, что позитрон - классическая частица, на которую воздействуют электрические силы и поле тяготения Земли (рис.).
 49410. Первоначально два позитрона и два протона удерживаются в вершинах квадрата так, что позитроны находятся на одной диагонали, а протоны - на другой (рис.). Сторона квадрата а = 1 см. Все частицы одновременно освобождают. Каковы будут их скорости, когда они разлетятся на значительные расстояния друг от друга? Частицы можно рассматривать как классические точечные массы, перемещающиеся в электрических полях друг друга. Гравитационным взаимодействием частиц можно пренебречь.
 49411. В эксперименте по комптоновскому рассеиванию неподвижные электроны бомбардируются фотонами, энергия которых равна энергии покоя электрона. Найдите угол между рассеянными фотонами и электронами, импульсы которых имеют одинаковую величину. Какова скорость таких электронов?
 49412. Рентгеновские фотоны рассеяны на угол 90° первоначально покоящимися электронами. Как изменилась длина волны фотонов?
 49413. Вообразите, что классический электрон - это маленький шарик. Каков минимальный радиус такого электрона, если считать, что его электростатическая энергия не больше его энергии покоя mс2? Какова угловая скорость электрона, если его момент импульса равен h/ (4п)? Какой «экваториальной» скорости это соответствует, если вся энергия покоя электрона обеспечивается электростатическим полем?
 49414. Электрон находится в большой прямоугольной коробке. Оцените порядок толщины слоя (на дне коробки), который занят электроном в результате гравитационного воздействия.
 49415. Согласно классическим представлениям, электростатическое поле атомного ядра могло бы притянуть электрон к этому ядру. Однако соотношение неопределенностей Гейзенберга устанавливает такую высокую кинетическую энергию для электрона, замкнутого в маленьком пространстве ядра, что электрон покинул бы ядро в любом случае. Каким могло бы быть атомное число трансуранового элемента, способного удерживать электрон в пределах своего ядра в течение существенного времени, если только сам элемент был бы достаточно устойчив?
 49416. Используя скорость поверхностных (капиллярных) волн на воде и скорость звуковых волн в воде, покажите, как можно было бы определить размер молекул воды. Примите во внимание, что скорость распространения поверхностных волн с длиной волны 1 см приблизительно в 10000 раз меньше скорости звука в воде.
 49417. Поздравляем! Вы добрались до последней задачи в книге, и есть подходящий способ поздравить вас - это выпить вместе с вами шампанское за ваше здоровье. К сожалению, мы не можем осуществить это практически, но можем, по крайней мере, предложить вам последнюю задачу... о шампанском. Всем знакомы пузырьки в шампанском. Они формируются почти исключительно на стенках бокала с шампанским, а затем поднимаются вверх, причем все быстрее и быстрее. Почему ускоряются пузырьки в шампанском?
 49418. Двадцать одинаковых резисторов r соединены так, как показано на рис. Определить сопротивление между точками A и В.
 49419. Резисторы r1, r2, r3, r4, r5 соединены по схеме, показанной на рис Определить сопротивление между точками А и В. Можно ли определить искомое сопротивление, представив указанную схему в виде параллельных и последовательных соединений тех же резисторов r1, r2, r3, r4, r5?
 49420. Дана бесконечная плоская проводящая сеть с квадратными ячейками (рис. ). Сопротивление каждого прямолинейного проводника, соединяющего два ближайших узла сети, равно r. Определить сопротивление между точками А и В в этой сети.
 49421. Две катушки с током могут взаимодействовать таким образом, что изменение тока в одной из них вызывает появление э.д.с. в другой, и наоборот. Мерой этого взаимодействия является коэффициент взаимной индукции М > 0. Дополнительная э.д.с, индуцированная в первой катушке, будет равна Mdl2 (t)/dt, а во второй ±MdI1 (t)/dt, где I1 (t) и l2 (t) — силы тока в первой и во второй катушках соответственно. Знак индуцированной э.д.с. определяется по правилу Ленца. Пользуясь указанными данными, определить эквивалентную индуктивность Lab схемы, представленной на рис. Изменится ли (если да, то на сколько) полученное значение, если полярность одной из катушек изменить на противоположную? Какое наибольшее значение может иметь коэффициент взаимной индукции М? Объяснить полученный результат.
 49422. Определить индуктивность Lab схемы, изображенной на рис. Положение катушек и направление намотки указано на рисунке. Изменится ли результат, если изменить направление намотки на противоположное?
 49423. Определить общее сопротивление Rab резисторов, соединенных в куб, как показано на рис. .
 49424. Какому необходимому и достаточному условию должны удовлетворять сопротивления r1, r2, r3, R1, R2, R3, чтобы участок контура, изображенный на рис.,а, был эквивалентен участку, изображенному на рис ,б? Другими словами, какое необходимое и достаточное условие должно выполняться, чтобы замена одного участка другим в любом случае не приводила к изменению напряжения и величин тока в цепи, находящейся за пределами пунктирной окружности?
 49425. Плоский конденсатор, обкладки которого имеют форму квадрата со стороной а и расположены на расстоянии d << а друг от друга, заполнен диэлектриком, имеющим форму бруска размерами а x a x d, сложенного из трех материалов так, как показано на рис. Какова емкость С этого конденсатора? Какова должна быть диэлектрическая постоянная однородного диэлектрика размерами а х а х d, чтобы при помещении его между обкладками конденсатора емкость последнего не изменилась по сравнению с предыдущим случаем? Изменится ли емкость конденсатора, если поверхность, отделяющая диэлектрик с проницаемостью е3 от диэлектриков с проницаемостью е1 и е2, будет проводящей?
 49426. Двигатель постоянного тока мощностью Р = 150 Вт, рассчитанный на работу при напряжении 15 В, питается от сухих элементов, каждый из которых имеет э. д. с. E = 1,5 В и внутреннее сопротивление R = 0,45 Ом. Какое наименьшее количество элементов потребуется, чтобы двигатель работал в соответствии со свoими расчетными параметрами? Как следует соединить элементы в батарею?
 49427. Можно ли соединить n одинаковых резисторов r в одну цепь с двумя выводами и эквивалентным сопротивлением R таким образом, чтобы величина сопротивления R не изменилась при подключении к цепи как целому еще двух таких же резисторов r?
 49428. Три одинаковых резистора r соединены в одну цепь, сопротивление которой равно R. При подключении к этой цепи как целому еще двух резисторов r сопротивление цепи уменьшается в семь раз. Нарисовать схему соединения всех пяти резисторов.
 49429. Два элемента с э.д.с. E1 и E2 и внутренними сопротивлениями r1 и r2 (рис.,а) заменены одним элементом с э.д.с. E и внутренним сопротивлением r (рис.,б) так, что падение напряжения на внешнем сопротивлении R в обоих случаях одинаково вне зависимости от величины этого сопротивления. Как E и r связаны с E1 и E2, r1 и r2? Напишите выражение для E и r в общем случае, когда заменяются не два, а n источников с э.д.с. E1,E2,..., En и внутренними сопротивлениями r1, r2,..., rn.
 49430. Собрана схема, показанная на рис. а) Какие процессы происходят в контуре сразу после замыкания ключа К и через значительное время после его замыкания, если э. д. с. постоянна и равна E. б) Доказать, что если R2 = L/C, то независимо от характера изменения э. д. с. E со временем часть контура между точками А и В при замыкании ключа К ведет себя как омическое сопротивление. Определить величину этого сопротивления.
 49431. Каким должен быть резистор X, чтобы сопротивление Rab участка цепи, состоящей из одинаковых звеньев (рис. ), не зависело от числа звеньев?
 49432. На трех легких пружинах, имеющих коэффициенты упругости k1, k2 и k3, висит гирька массой m (рис. ). Выведенная из положения равновесия гирька начинает колебаться вдоль вертикальной оси. Какого типа колебания совершает гирька и каков их период? Коэффициентом упругости k называется коэффициент пропорциональности между силой упругости F и растяжением пружинки х; F = kx.
 49433. Имеется два маленьких электрически заряженных шарика с массами m1 и m2. Заряд каждого из шариков равен Q. Когда шарики находились далеко друг от друга, первому из них сообщили скорость v, направленную к другому шарику. Скорость второго шарика в этот момент равнялась 0. Найти минимальное расстояние, на которое сблизятся шарики, предполагая, что с момента t0 единственными силами, действующими на шарики, являются силы их взаимного электрического отталкивания. При расчетах принять: а) Q = 10^-6 Кл, v = 10 м/с, m1 = 1 г, m2 = 9 г; б) Q = 10^-6 Кл, v = 10 м/с, m1 = 9 г, m2 = 1 г. Сравнить величины минимальных расстояний между шариками, полученные в этих двух случаях. Такой же вывод можно было бы сделать на основании общего физического принципа. О каком принципе идет речь? Коэффициент 1/4 пе0, появляющийся в формуле для силы Кулона, равен 9*10^9 Н*м2/К2.
 49434. В протонном ускорителе протоны приобретают кинетическую энергию, равную Е. Узкий пучок, выведенный из ускорителя, направляют на металлический шар радиусом r, установленный далеко от ускорителя так, что центр шара не лежит на прямой, вдоль которой протоны вылетают из ускорителя (рис. ). Расстояние от центра шара до этой прямой равно d (d << r). Какой величины достигнет потенциал шара после достаточно долгой работы ускорителя? Выполнить расчеты, приняв Е = 2 кэВ и d = r/2. Что изменится, если протоны заменить электронами?
 49435. Пять акробатов, имеющих массы 60, 50, 40, 30 и 20 кг, выполняют цирковой номер на качелях-трамплинах, расположенных один за другим. Самый тяжелый акробат прыгает на первый трамплин с высоты 2 м (рис. ). Второй, третий и четвертый акробаты по очереди подпрыгивают вверх и прыгают на следующий трамплин. Определить, на какую высоту h5 подпрыгивает последний акробат. Принять, что работа мышц акробатов полностью расходуется на преодоление силы трения и что массой трамплина можно пренебречь.
 49436. На плоском гладком столе лежит однородный стержень длиной 2l и массой М (рис. ). По столу перпендикулярно стержню движется (не катится) маленькая шайба (материальная точка) массой m, которая ударяется о конец стержня. В результате стержень смещается, совершая при этом вращательное движение. Повернувшись на пол-оборота, стержень другим своим концом ударяет по шайбе. Такая ситуация может возникнуть только при определенном соотношении масс ц = M/m (m = / = 0). Определить это соотношение. Каковы скорости стержня и шайбы после последнего соударения? Считается, что стержень и шайба движутся по столу без трения и соударения абсолютно упруги. Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его середину, равен l = 1/3Мl2.
 49437. При определенных условиях фотон превращается в пару электрон + позитрон y -- > e- + e+. а) Может ли этот процесс происходить в вакууме без взаимодействия с другими частицами или полями? б) Предположив, что данный процесс происходит вблизи частицы с очень большой массой, определить минимальную энергию (частоту) фотона, ниже которой получение пары е- + е+ невозможно. Значения постоянной Планка, скорости света и массы электрона можно найти в таблицах.
 49438. Маятник в виде медной гирьки, подвешенной на тонкой, невесомой и нерастяжимой нити, сделанной из материала, не проводящего электрический ток и тепло, помещен в вакуум. Маятник движется в неоднородном магнитном поле (например, в поле постоянного магнита) в плоскости, перпендикулярной силовым линиям магнитного поля. В начальный момент маятник отклонен на угол 60° от положения равновесия, а его температура равна 20°С. Какова будет температура маятника в момент, когда он остановится? Длина маятника l = 1 м, ускорение свободного падения g = 9,8 м/с2, темплоемкость меди с = 0,386 Дж/г*К. Предполагается, что напряженность магнитного поля не изменяется.
 49439. Кубик бросают в абсолютно упругую стену так, что одна из граней кубика параллельна стене, а направление его скорости v составляет угол а с нормалью к стене. Коэффициент трения кубика о стену равен f = |/3/6. Определить зависимость угла b, под которым кубик отскакивает от стены, от угла падения а. Начертить график функции b (a).
 49440. Шарик для настольного тенниса летит со скоростью v, вращаясь вокруг горизонтальной оси (перпендикулярной направлению скорости движения) с угловой скоростью w = xv/R, где R — радиус шарика (рис. ). Коэффициент трения шарика о поверхность ракетки равен f = 3/4. Предполагается, что деформациями шарика и ракетки в момент соударения можно пренебречь и что перпендикулярная к ракетке составляющая скорости шарика после отражения не изменяется по абсолютной величине. Определить угол а, под которым следует поставить ракетку по отношению к направлению полета шарика, чтобы скорость шарика после отражения была направлена параллельно и противоположно исходной. Ракетку считать неподвижной. Исследовать зависимость полученного результата от параметра х и построить график функции а (х). Сопротивлением воздуха пренебречь и считать, что сила трения между шариком и ракеткой действует только в случае проскальзывания. Момент инерции шарика относительно оси, проходящей через его центр, равен l = 2/3МR2, где М — масса, a R — радиус шарика.
 49441. Если сила есть функция координаты, то с математической точки зрения второй закон механики Ньютона устанавливает связь между ускорением (второй производной координаты по времени), действующей силой и массой. Аналогичные уравнения могут возникать и в задачах немеханического типа. Рассмотрим контур, состоящий из конденсатора емкостью С (в начальный момент его заряд равен q) и катушки с индуктивностью L. Мгновенное значение тока можно определить по скорости изменения заряда Q на обкладке конденсатора. В свою очередь э. д. с. самоиндукции простым образом выражается через скорость изменения тока. Если выразить напряжение на конденсаторе через заряд Q и воспользоваться соответствующим законом Кирхгофа для контура, не имеющего активного сопротивления, то можно получить связь между «ускорением» заряда и самим зарядом. Пользуясь теперь механическими аналогами, ответьте на следующие вопросы: а. По какому закону сила тока зависит от времени? б. Чему равен период колебания контура? в. Какова максимальная величина силы тока? г. Можно ли провести аналогию между резистором R (включенным в контур последовательно с индуктивностью L) и некой дополнительной силой (какой?) в соответствующей задаче механики? д. Можно ли этим же методом определить зависимость силы тока от времени в контуре, состоящем из источника тока с постоянной э. д. с. и ничтожно малым внутренним сопротивлением, подключенного к катушке с индуктивностью L?
 49442. Имеется контур, составленный из конденсатора емкостью С (вначале незаряженного), катушки индуктивности L с активным сопротивлением R = 0 и батареи источников э. д. с. E с ничтожно малым внутренним сопротивлением, подключенной через неоновую лампу Л (рис. ). Неоновая лампа ведет себя как изолятор, когда напряжение на ее зажимах меньше напряжения зажигания Uзаж. При превышении напряжения зажигания через лампу очень быстро происходит разряд конденсатора, в результате напряжение на лампе падает до напряжения гашения Uгаш, и она снова перестает проводить электрический ток. Время разряда конденсатора через неоновую лампу так мало, что изменением тока в катушке за этот период можно пренебречь. Доказать, что при значениях E = 34 В, Uзаж = 64 В, Uгаш = 22 В при замыкании ключа К неоновая лампа вспыхнет только один раз. Чему будет равно после этого напряжение на конденсаторе?
 49443. Два параллельных одинаковых валика вращаются с равными скоростями в направлениях, показанных на рис. На валики горизонтально положена доска весом Р, центр которой несколько смещен относительно середины расстояния между валиками. Расстояние между осями валиков равно 2l. Коэффициент трения между валиками и доской равен f. Как движется доска? Вывод обосновать вычислениями.
 49444. Два небольших тела с массами m1 и m2 соединены однородной пружиной с коэффициентом упругости k и положены на горизонтальный гладкий стол. Раздвигая оба тела, пружину растягивают, после чего тела одновременно отпускают. Система начинает колебаться вдоль прямой линии. Что это за колебания и каков их период?
 49445. На тонкой легкой нити подвешен грузик, под тяжестью которого нить удлинилась на dх0 = 10 см. Определить период малых вертикальных колебаний этого грузика после вывода его из положения равновесия, если известно, что сила, с которой нить действует на грузик, выражается формулой F = -k1dx - k2 (dх)3, где dx — приращение длины нити, а коэффициенты k1 и k2 имеют значения: k1 = 294 Н/м, k2 = 9800 Н/м3. Как изменится период колебаний, если изменить массу грузика?
 49446. Ньютон доказал, что на тела, расположенные внутри однородной сферы, последняя не оказывает гравитационного воздействия. Однако такая сфера воздействует на тела, расположенные вне ее, причем так, как если бы вся масса сферы была сосредоточена в ее геометрическом центре. Представьте себе шахту, проходящую сквозь земной шар вдоль оси его вращения. Считаем, что Земля — однородный шар и что при решении можно пренебречь трением, сопротивлением воздуха и т.п. а. Как будет двигаться тело, свободно брошенное в шахту с поверхности Земли? Вывод подтвердить расчетом. б. С какой начальной скоростью следует бросить тело из центра Земли, чтобы оно достигло ее поверхности? в. Предположим, что вблизи поверхности Земли вдоль меридиана проходит орбита спутника. Тело свободно брошено в шахту в момент, когда спутник пролетал над шахтой. Что раньше достигнет противоположного отверстия шахты: спутник или брошенное тело? г. Существенно ли то, что шахта проходит вдоль оси вращения Земли?
 49447. На вершине достаточно высокой башни находится лифт, к потолку которого прикреплен один конец невесомой пружины длиной l = 1 м. К пружине подвешен груз массой m = 1 кг, что вызвало ее растяжение на величину dl = 9,81 см. Лифт начинает падать с ускорением 1/2g (g = 9,81 м/с2) и падает в в течение t = п с; затем включается тормоз, и лифт движется замедленно с ускорением -1/2g до полной остановки. Определить движение груза на пружине относительно лифта. В частности, объяснить, что произойдет с ним сразу после начала торможения лифта. Как изменится ответ, если время падения лифта будет иным? Трением и сопротивлением воздуха при движении груза пренебречь.
 49448. Математический маятник совершает гармонические колебания с малой амплитудой. Период колебания не зависит от амплитуды (колебания изохронны). Если амплитуда колебания математического маятника не слишком мала, период зависит от амплитуды. Доказать, что в общем случае период колебания меняется монотонно в зависимости от амплитуды и что минимальный период соответствует амплитуде, близкой к нулю.
 49449. Однородная тонкая квадратная пластина массой М со стороной а свободно подвешена за одну из вершин и колеблется в собственной плоскости в поле силы тяжести. В каком месте диагонали, проходящей через точку подвеса пластины (кроме, конечно, самой точки подвеса), к пластине можно приклеить точечную массу m так, чтобы движение пластины не изменилось? Момент инерции квадратной пластины массой М со стороной а относительно оси, перпендикулярной к пластине и проходящей через ее центр О, равен l0 = 1/6Ma2.
 49450. Тележка, на которой закреплен маятник, совершающий колебания с периодом 0,5 с, съезжает по наклонной плоскости, а затем движется по горизонтальному пути. Угол между наклонной плоскостью и горизонталью равен 45°. Каков период колебания маятника, когда а) тележка съезжает по наклонной плоскости; б) движется по горизонтальному участку пути. Считать, что тележка во время движения по наклонной плоскости и по горизонтальному пути не испытывает действия силы трения и что движения маятника не влияют на движение тележки (тележка тяжелая, маятник легкий).
 49451. На горизонтальном плоском столе лежит плоский однородный тонкий диск (рис. ), свободно вращающийся вокруг своей оси с некоторой угловой скоростью. Коэффициент трения диска о стол отличен от нуля. Доказать, что движение центра диска будет поступательным.
 49452. По горизонтальному плоскому столу движется тонкий однородный диск массой m и радиусом r. Линейная скорость центра диска равна v. Угловая скорость вращения диска относительно оси, проходящей через центр симметрии, равна w (см. рис. ). Коэффициент трения движущегося диска о стол не зависит от скорости и равен f. Определить силу, тормозящую движение диска, если v << wr.
 49453. На горизонтальном столе лежит тонкое однородное кольцо массой m и радиусом r. Кольцо вращается вокруг собственной оси симметрии (направленной вертикально) с угловой скоростью w. Одновременно центр движется со скоростью v = wr. Коэффициент трения движущегося кольца о стол равен f. Определить величину силы F, тормозящей поступательное движение кольца, а также момент силы М, тормозящий его вращательное движение.
 49454. Цилиндрический сосуд с ртутью поставлен на середину горизонтального диска, вращающегося с постоянной угловой скоростью w. Через некоторое время поверхность ртути становится вогнутой. Доказать, что параллельный пучок лучей, падающий сверху вдоль оси вращения сосуда, после отражения от поверхности ртути соберется в одну точку. Определить положение этой точки. Сравнить свойства ртутного зеркала со свойствами обычного вогнутого сферического зеркала. Деформацией поверхности зеркала, вызванной силами поверхностного натяжения, пренебречь.
 49455. Определить форму поверхности плоско-выпуклой линзы, которая фокусирует параллельный пучок лучей, не создавая сферической аберрации. Свет падает перпендикулярно к плоской поверхности линзы. Определить максимальную толщину линзы в центре при следующих параметрах: радиус линзы r = 5 см, расстояние от фокуса до плоской поверхности линзы f = 12 см, коэффициент преломления стекла n равен 1,5.
 49456. Горизонтально расположенное цилиндрическое вогнутое зеркало с радиусом кривизны R = 60 см наполнено водой. Определить фокусное расстояние зеркала. Коэффициент преломления воды n = 4/3. Принять, что глубина воды мала по сравнению с радиусом кривизны зеркала R.
 49457. Светящийся предмет находится в воде на расстоянии х от стенки аквариума, к которой снаружи приклеена плоско-выпуклая линза (в воздухе ее фокусное расстояние равно f). Линза и стенка сосуда очень тонкие. Коэффициент преломления воды равен 4/3, а стекла 3/2. Предмет находится на оптической оси линзы. Найдите положение изображения у и коэффициент увеличения в зависимости от положения предмета в воде. В частности, найдите положение изображения и увеличение для х = f. Что изменится, если линзу приклеить к внутренней стороне аквариума?
 49458. Доказать, что угол отклонения луча, прошедшего через призму, минимален (рис. ) в том и только том случае, когда ход луча симметричен.
 49459. Стеклянная трубка, имеющая внутренний радиус r и внешний R (r < R), заполнена люминесцирующей жидкостью, которая под действием рентгеновского излучения дает зеленое свечение. Коэффициент преломления стекла для зеленого света равен n1, а для жидкости n2. Какому условию должно удовлетворять соотношение r/R, чтобы при наблюдении трубки сбоку казалось, что толщина стенок трубки равна нулю?
 49460. В среде с коэффициентом преломления, равным 1, находится оптически однородный прозрачный шар с коэффициентом преломления n > 1. Радиус шара равен R. На шap падают два параллельных луча симметрично относительно его центра, отстоящие один от другого на d < 2R. 1. Какому условию должны удовлетворять d и n, чтобы лучи пересеклись внутри шара? 2. При каком условии лучи могут пересечься вне шара (если d < 2R)? 3. Какое соотношение должно выполняться, чтобы лучи при любом d не могли пересечься вне шара?
 49461. На прозрачную среду с коэффициентом преломления, зависящим от y, под малым углом к нормали падает луч света в точке у = 0 (рис. ). Каким должен быть вид функции n (у), чтобы внутри рассматриваемой среды траектория луча представляла собой параболу?
 49462. Над обширной горизонтальной равниной распыляют с самолета инсектицид — прозрачную бесцветную жидкость, коэффициенты преломления которой на границах видимого спектра равны: nкр = 1,460 (на красной) и nф = 1,470 (на фиолетовой). При этом над равниной наблюдается радуга, обусловленная каплями инсектицида. Определить угловой диаметр красной и фиолетовой дуги радуги. При какой высоте Солнца над горизонтом может вообще наблюдаться радуга? Солнце рассматривается как точечный, бесконечно удаленный от Земли источник света.
 49463. Однородный шар скатывается с наклонной плоскости с углом наклона а. Коэффициент трения покоя шара на плоскости равен f. Коэффициент трения качения равен 0. Определить предельный угол а, при котором шар может скатываться без проскальзывания.
 49464. На наклонной плоскости на высоте h находится шарик. Начальная скорость шарика (линейная и угловая) равна 0. Коэффициент трения шарика о плоскость равен f = 2/7. Коэффициент трения качения между шариком и плоскостью равен 0. В начальный момент шарик отпускают. Как зависит от угла наклона плоскости а конечная линейная скорость шарика v (т. е. скорость центра шарика в момент, когда он достигает нижнего конца наклонной плоскости)? Построить график функции v (a).
 49465. По горизонтальному столу движется клин массой М. На плоскость клина, образующую угол а с плоскостью стола, кладут шарик массой m. Шарик начинает катиться без трения и без проскальзывания. Коэффициент трения клина о стол равен 0. Определить ускорение, с которым движется клин.
 49466. На горизонтальную ленту равномерно движущегося со скоростью v = 5 м/с транспортера брошен с очень малой высоты кусочек мела таким образом, что одна из его граней горизонтальна. Оказалось, что мел начертил на ленте линию длиной s = 5 м. Несколько позже транспортер выключили, а лента замедленно двигалась до остановки с ускорением а = -5 м/с2. Прочертил ли мел снова линию на ленте? Если да, то какой длины? Можно ли точно рассчитать, каково должно быть ускорение ленты, чтобы мел не прочерчивал полосу?
 49467. Два шара с одинаковыми массами М, радиусами R и одинаковыми свойствами поверхностей положили на горизонтальную плоскую ленту транспортера, движущуюся равномерно со скоростью v0. Один из шаров сплошной и изготовлен из материала с меньшей плотностью, чем второй, который имеет внутреннюю шаровую полость радиусом r. Определить движение обоих шаров с момента помещения их на транспортер (начальная скорость шаров равна 0). В расчет принимать только трение скольжения, трение качения без проскальзывания считать равным 0. Коэффициент трения скольжения шара о ленту транспортера равен f. Как на основе поведения шаров определить, какой из них сплошной, а какой полый? Подтвердить вывод расчетом. Момент инерции сплошного шара относительно оси, проходящей через его центр, равен l = 2/5MR2.
 49468. На неподвижном вертикальном винте с шагом s находится гайка, имеющая момент инерции l и массу m. Коэффициент трения гайки о винт равен нулю. В начальный момент гайка движется вниз со скоростью v0. Как зависит от времени скорость вертикального поступательного движения гайки? Какое это движение? Ускорение свободного падения считать заданным.
 49469. На горизонтальных параллельных рельсах находится однородный вал с ниткой, на конце которой привязан груз. Сначала вал приторможен и система вал + груз не движется. Затем вал освобождают. Через некоторое время ось вала начинает двигаться с постоянным ускорением а (рис. ). Зная, что движение вала совершается без проскальзывания, определить: а) соотношение масс груза m и вала М; б) минимальный коэффициент трения движущегося вала о рельсы (трением качения вала пренебречь).
 49470. На неподвижный вал радиусом r навита тонкая, гибкая, невесомая и нерастяжимая нить, на конце которой привязан маленький грузик. В начальный момент нить навита до конца и грузик находится возле вала. В момент t0 = 0 грузику придают начальную скорость v в направлении, перпендикулярном к оси вала. Нить сразу же начинает раскручиваться, поэтому считаем, что навитая часть нити не скользит по валу, а свободная ее часть все время лежит в плоскости, перпендикулярной оси вала. Как зависит от времени длина развившейся части нити? Примечание. Предполагается, что на систему не действует сила тяжести.
 49471. На катушку, имеющую форму однородного вала, навита тонкая, легкая и гибкая бумажная лента. Конец ленты прикреплен к зажиму пружинного динамометра. В начальный момент система выглядит так, как изображено на рис. Затем лента начинает разматываться — катушка падает вниз. Что показывает динамометр в процессе падения катушки? Все время ли размотавшаяся часть ленты направлена вертикально? Масса катушки равна М. Колебаниями пружины пренебрегаем.
 49472. С вершины полусферы радиусом R = 1 м, лежащей на горизонтальной подставке, съезжает небольшой грузик. Оторвется ли грузик от полусферы при движении? Если да, то на какой высоте от подставки? Трением грузика о поверхность полусферы пренебрегаем. Начальная скорость грузика равна 0.
 49473. В центре тонкого небольшого стержня длиной 20 см закреплена материальная точка. Стержень прислонен к гладкой вертикальной стене и, таким образом, находится в положении неустойчивого равновесия. Нижний конец стержня может двигаться по полу без трения. После небольшого отклонения стержень начинает двигаться, оставаясь все время в одной плоскости. Как только центр стержня достигает пола, он тотчас «приклеивается» к нему и остается неподвижным. На каком расстоянии от стены окажется центр стержня?
 49474. Человек массой 60 кг стоит на балке массой 30 кг, соединенной при помощи веревки с блоками, как показано на рис. Длина балки равна L. Найти силу, которую человек должен приложить к концу веревки, чтобы система находилась в равновесии. Трением в блоках пренебречь. Следует ограничиться случаем, когда балка горизонтальна, а веревки вертикальны.
 49475. Рамка из жесткой проволоки, имеющая форму квадрата со стороной а и массу m, висит неподвижно на нити, прикрепленной к середине одной из ее сторон. Через рамку течет ток l. Вся система находится в однородном вертикально направленном магнитном поле В. Каково положение равновесия рамки?
 49476. На деревянном полу стоит лестница-стремянка. Посередине она связана веревкой, растяжением которой можно пренебречь. Веревка разрывается, если к ней приложить силу F > 98 Н. Определить, при каком угле между половинками лестницы веревка оборвется, если известно, что на вершине лестницы стоит человек массой m = 70 кг, а коэффициент трения лестницы о пол равен f = 0,65. Считаем, что силы приложены симметрично и массой лестницы можно пренебречь.
 49477. Плоская, тонкая, прямоугольная стеклянная пластина массой m подвешена на двух невесомых и нерастяжимых нитях так, как показано на рис. С каждой стороны половина поверхности пластины покрыта химически активным металлом. Пластину помещают в стеклянный сосуд (поначалу пустой), куда в некоторый момент впускают газообразный хлор под давлением р. Предположив, что вероятность химической реакции присоединения молекул хлора к металлу равна Р < 1, определить угол, на который повернется пластина вокруг вертикальной оси в состоянии равновесия. Принять, что масса присоединяемого хлора практически одинакова с обеих сторон пластины, что давление хлора по мере прохождения реакции падает пренебрежимо мало, а образовавшееся соединение хлора с металлом полностью остается на пластине. Предполагается также, что за время наблюдения прореагировало настолько мало хлора, что вероятность Р и массу пластины m можно считать постоянными.
 49478. На рис. показана система, состоящая из двух идеальных невесомых пружин, имеющих в нерастянутом состоянии длину l0 и коэффициент упругости k, а также двух одинаковых грузиков с массами m, нанизанных на тонкий, гладкий невесомый стержень. Система может вращаться вокруг вертикальной оси, перпендикулярной к направлению стержня. 1. Какую минимальную работу требуется совершить, чтобы угловая скорость системы возросла от начальной величины w0 = 0 до некоторого значения w, при условии, что в начальном и конечном состояниях грузики неподвижны относительно стержня? 2. Может ли скорость w иметь любое произвольное значение?
 49479. Сосуд в форме сферы радиусом r = 9,81 см, внутрь которого помещено небольшое тело, вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр симметрии шара. При угловой скорости w1 = 5 рад/с давление тела на стенку в состоянии равновесия равно N1 = 10^-2 Н. При какой скорости w2 давление тела на стенку станет равным N2 = 4*10^-2 Н? Трение между телом и поверхностью сосуда пренебрежимо мало. Ускорение свободного падения g = 9,81 м/с2.
 49480. Математический маятник длиной l может колебаться в вертикальной плоскости, которая вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через точку подвеса, с постоянной угловой скоростью w. Определить положение равновесия маятника. Какого рода это равновесие (устойчивое, неустойчивое, безразличное)?
 49481. Шарик, привязанный на тонкой, гибкой, невесомой и нерастяжимой нити к концу неподвижного вертикального жесткого стержня, заставляют двигаться по окружности в горизонтальной плоскости. Нить очерчивает коническую поверхность с углом при вершине 2а. Сначала система находится в неподвижном лифте. В некоторый момент лифт начинает свободно падать. Определить движение шарика до и во время падения лифта.
 49482. Три валика одинакового радиуса лежат на горизонтальном столе так, как показано на рис. Коэффициент трения скольжения валиков о стол равен f, а друг о друга — h. Трение качения отсутствует. Каким условиям должны удовлетворять f и h, чтобы система находилась в равновесии?
 49483. Тонкий однородный стержень массой М и длиной d находится на диске (рис. ), вращающемся с постоянной угловой скоростью w. Ось стержня лежит на радиусе диска. К одному из концов стержня привязана нить с грузом массой m, висящим на оси вращения диска. Коэффициент трения между стержнем и диском равен f. Определить наименьшее и наибольшее расстояния одного из концов стержня от оси, при которых стержень еще не будет скользить вдоль радиуса диска.
 49484. Конусообразная воронка, угол при вершине которой равен 2а = 120°, вращается с постоянной угловой скоростью w = 2 рад/с. Ось вращения направлена вертикально. В каком месте на внутренней стороне воронки должен находиться небольшой грузик, чтобы он был в равновесии? Какого рода будет это равновесие? Рассмотреть два случая: а) трением можно пренебречь; б) трением пренебрегать нельзя.
 49485. В электромагнитном поле, создаваемом находящимися в одной и той же точке точечным зарядом е > 0 и полюсом длинного тонкого магнита, движется по круговой орбите точечный заряд -е, имеющий массу m. Диаметр круговой орбиты перпендикулярен оси магнита и виден из точки, где находятся заряд и полюс, создающие поле, под углом 2Q. Приняв, что магнитный полюс создает поле В = аr/r3, где а > 0 есть некоторая постоянная, определить радиус орбиты.
 49486. В отверстие в стальной плите пропущен стальной винт с гайкой (рис. ). Диаметр головки винта и гайки D намного больше диаметра винта d. Гайка затянута так, что сила давления головки винта на плиту равна N0. Представить на графике зависимость силы N, с которой головка винта давит на поверхность плиты, от силы Р, приложенной к концу винта.
 49487. Два точечных заряда с большой массой, каждый из которых равен +e, находятся в пространстве на расстоянии 2b друг от друга. В плоскости, перпендикулярной к прямой, соединяющей эти заряды, и находящейся на одинаковом расстоянии от них, движутся по круговой траектории радиуса а две материальные точки, каждая из которых имеет массу m и заряд -e. При этом центр круговой траектории лежит на прямой, соединяющей неподвижные заряды. Материальные точки движутся таким образом, что всегда находятся на противоположных концах диаметра круга (рис ). 1. Каким должно быть соотношение между величинами а и b, чтобы система находилась в состояний равновесия при w = 0? 2. С какой угловой скоростью должны двигаться отрицательные заряды, чтобы система находилась в состоянии динамического равновесия?
 49488. К водопроводному крану с помощью резиновой трубки прикреплена стеклянная трубка длиной 1 м и сечением 0,3 см2, загнутая на конце под прямым углом (рис. ). Определить угол, на который отклонится трубка от вертикали, если скорость истечения воды равна 2 м/с, а масса трубки составляет 80 г. Упругостью резиновой трубки можно пренебречь.
 49489. Отрицательные заряды величиной -q и положительные заряды величиной Q расположены в однородном изотропном диэлектрике так, что отрицательные заряды занимают все вершины правильного куба, а положительные — центры его граней. Может ли эта система находиться в состоянии устойчивого, неустойчивого или безразличного равновесия (q = / = 0, Q = / = 0)?
 49490. К углам однородной прямоугольной рамки со сторонами а и b прикреплены концы нити. Какой должна быть длина нити l, чтобы эту рамку можно было повесить на гвоздь, вбитый в вертикальную стену, таким образом, как показано на рис. Примечание. Рамка должна находиться в положении устойчивого равновесия. Трением пренебречь.
 49491. Два мыльных пузыря расположены таким образом, что часть пленки у них общая (рис ). 1. Зная радиусы r1 и r2, найти радиус кривизны r1,2 пленки, разделяющей пузыри. 2. Предположим, что r1 = r2 = r. Какой радиус имели пузыри, прежде чем они слились? Какой радиус будет иметь пузырь, образующийся после того, как лопнет пленка, отделяющая два первоначальных пузыря? Избыточное внутреннее давление в пузыре зависит только от поверхностного натяжения мыльной пленки и радиуса пузыря. Кроме того, предполагается, что избыточное давление внутри пузырей намного меньше, чем давление воздуха вне пузырей, в связи с чем сумму объемов газов в пузырях можно считать неизменной. Примечание. Объем газа в части шара, характеризующейся параметрами d и R (рис. ), составляет 1/3п (2R3 - 3R2d + d3).
 49492. По поверхности мыльного пузыря радиусом R равномерно распределен заряд q. Поверхностное натяжение мыльной пленки равно s. 1. На какую величину dр давление в пузыре превышает давление окружающего воздуха? 2. Определить вид равновесия пузыря, висящего на открытой соломинке, т. е. при dр = 0. Силой тяжести пренебречь. Примечание. Считается, что величина s не зависит от заряда q.
 49493. Экспериментально установлены следующие факты: 1) угловой диаметр Солнца, наблюдаемый с Земли, составляет а = 32'; 2) солнечная постоянная, т. е. количество лучистой энергии, падающей каждую секунду на 1 см2 поверхности, перпендикулярной к прямой, соединяющей Землю и Солнце на расстоянии, равном расстоянию между Землей и Солнцем, составляет S = 0,135 лм*см^-2*с^-1; 3) постоянная Стефана — Больцмана равна s = 5,67*10^-12 лм*см^-2*c^-1*К^-4; 4) солнечное излучение практически соответствует излучению абсолютно черного тела. Пользуясь вышеуказанными данными, определить: а) температуру Земли, считая, что эта температура постоянна во времени и что Земля является абсолютно черным телом и идеальным проводником тепла (последнее предположение позволяет считать, что температура всех точек поверхности Земли одинакова); б) температуру верхних слоев Солнца. Примечание. Полная энергия, излучаемая за 1 с с 1 см2 поверхности абсолютно черного тела, определяется законом Стефана — Больцмана и составляет sT^4, где s — постоянная Стефана — Больцмана, а Т — абсолютная температура тела.
 49494. Трубка из латунного листа, имеющая наружный радиус R - d, вставлена в другую латунную трубку с внутренним радиусом R = 10 см. Промежуток между трубками толщиной d = 1,5 мм заполнен трансформаторным маслом с диэлектрической постоянной e = 5. Трубки расположены так, что их общая ось лежит в горизонтальной плоскости и перпендикулярна к плоскости магнитного меридиана. Внутри меньшей трубки помещена магнитная стрелка, которая может свободно вращаться в горизонтальной плоскости. Образованный трубками конденсатор заряжают от электрофорной машины до напряжения 30 кВ, и наружная трубка начинает вращаться с постоянной частотой f = 50 с^-1. На какой угол отклонится стрелка от плоскости магнитного меридиана? Предложите удобный метод измерения угла ее отклонения. Горизонтальная составляющая напряженности магнитного поля Земли равна Вз = 2*10^-5 Тл (теслы). Произведение магнитной проницаемости и диэлектрической постоянной вакуума e0ц0 = 1/с2, где с = 3*10^8 м/с — скорость света в вакууме. Принять, что латунь не влияет на величину горизонтальной составляющей магнитного поля внутри трубок, длина трубок много больше радиуса R, т. е. можно воспользоваться моделью бесконечно длинного соленоида. Для цилиндрического конденсатора в этой задаче с хорошим приближением можно использовать формулу, определяющую емкость плоского конденсатора.
 49495. Сферический тонкостенный сосуд наполняется ртутью из резервуара (рис. ), оканчивающегося стеклянной трубкой с двумя кранами. Внутренний диаметр трубки равен а = 21 мм, а толщина стенки d = 1 мм. Часть трубки между кранами обернута металлической фольгой, соединенной с заземленным выводом батареи. Второй вывод батареи опущен в сосуд с ртутью. Нижний сосуд наполняют порциями, закрывая нижний кран и открывая верхний. Наполнив трубку ртутью, верхний кран закрывают и снимают с трубки фольгу. Затем через нижний кран выпускают ртуть в сосуд. Эту процедуру повторяют, пока сферический сосуд не заполнится ртутью. Какая приблизительно разность потенциалов возникает между сферическим сосудом и землей, если э.д.с. батареи равна Е = 120 В, радиус сферического сосуда R = 10 см, а диэлектрическая постоянная стекла е = 6.
 49496. Между обкладками плоского конденсатора размерами 2a x a x 2d (d << a) помещены две пластины диэлектрика с диэлектрическими постоянными e1 и e2 размерами a x a x d каждая, а также одна пластина диэлектрика размерами 2а x а x d с диэлектрической постоянной е3 (рис. ). Между пластинами диэлектриков помещена очень тонкая длинная изолированная лента проводника шириной а. Определить емкость этой системы в зависимости от величины параметра х. Определить силу F, втягивающую ленту в конденсатор или выталкивающую ее, если к обкладкам подключен источник постоянной э.д.с U. Построить график функции F (x). Определить максимальную величину силы F, приняв e1 = 10, e2 = 2, e3 = 1, a/d = 100, U = 30 000 В. Какой вид будет иметь функция F (x), если после зарядки до напряжения U конденсатор отключить от батареи и только после этого поместить в него ленту проводника?
 49497. На медном блоке радиусом r, закрепленном так, как показано на рис. , навита длинная нить, на конце которой подвешен груз массой m. Блок находится в однородном магнитном поле В, силовые линии которого перпендикулярны к блоку. К оси блока подключен резистор R, второй вывод которого соединен с периферией блока с помощью щетки, скользящей по его краю. Под действием груза блок начинает вращаться. Определить предельную конечную скорость блока. Трением пренебречь. Изменится ли результат, если резистор будет двигаться вместе с блоком? Указание. Для упрощения представьте, что блок сделан в виде велосипедного колеса. Подумайте, почему так можно поступить.
 49498. Две произвольные точки А и В кольца, сделанного из тонкой однородной проволоки, соединены с источником постоянного тока, как показано на рис. Определить напряженность магнитного поля в центре кольца, создаваемого токами, текущими по кольцу. Считать, что провода, подводящие ток, расположены радиально и поэтому не влияют на величину напряженности магнитного поля в центре кольца.
 49499. Изолированный телеграфный провод (сопротивление на единицу длины постоянно), заключенный в заземленный металлический экран, соединяет два пункта А и В, находящиеся на расстоянии l друг от друга. Провод поврежден в неизвестном пункте С, вследствие чего происходит короткое замыкание прохода с экраном. Как найти место повреждения С, имея в распоряжении аккумуляторную батарею и миллиамперметр? Сопротивление оболочки на единицу длины постоянно.
 49500. Часть электрической цепи АВ, обведенная на рис. кружком, содержит систему резисторов, для которой плоскость s является плоскостью симметрии: каждому резистору соответствует симметрично расположенный резистор той же величины по другую сторону плоскости. Доказать, что все точки цепи, лежащие на плоскости s, имеют одинаковый потенциал.