Earth curvature of space2 curvature of space1
Банк задач

Вход на сайт
Регистрация
Забыли пароль?
Статистика решений
Тип решенияКол-во
подробное решение57480
краткое решение7556
указания как решать1341
ответ (символьный)4703
ответ (численный)2335
нет ответа/решения3776
ВСЕГО77191

База задач ФизМатБанк

 13001. Мальчик, запуская воздушный змей, бежит по горизонтальной поверхности навстречу ветру со скоростью и. Нить, привязанная к змею, сматывается с катушки, которую мальчик держит в руке. В некоторый момент времени нить, которую можно считать прямолинейной, составляет с горизонтом угол а, а змей поднимается вертикально вверх со скоростью v. Какова в этот момент времени скорость узелка на нити, который находится на расстояниях L от катушки и l от змея?
 13002. Лебедь, рак и щука тянут телегу. Скорость лебедя в два раза больше скорости щуки, скорость рака в два раза меньше скорости щуки. В некоторый момент времени верёвки, связывающие телегу с каждым из животных, лежат в горизонтальной плоскости и направлены так же, как и скорости соответствующих животных, причём угол между скоростями лебедя и щуки равен a. Как при этом должна быть направлена скорость рака?
 13003. Ромб составлен из жёстких стержней длиной L. Стержни скреплены на концах шарнирами. В начальный момент два противоположных шарнира находятся рядом (очень близко) и имеют нулевые скорости. Один из этих шарниров закреплён. Второй начинают двигать с постоянным ускорением а. Найдите величину ускорения остальных шарниров ромба в тот момент, когда ромб превратится в квадрат, если все стержни двигаются, оставаясь в одной плоскости.
 13004. На одной стороне магнитофонной кассеты от начала до конца без перерывов записано N=45 коротких песенок с продолжительностью звучания т=1 мин. каждая. Время быстрой перемотки ленты от начала до конца с постоянной угловой скоростью вращения ведущей оси равно T1=2 мин. 45 с. На какую песню мы попадём, если перемотаем ленту с самого начала вперёд в течение T2=1 мин. 50 с? Для данной кассеты радиус оси с намотанной на неё всей лентой равен R=25 мм, а без ленты r=10 мм.
 13005. Какой минимальный путь за время t может пройти тело, движущееся с постоянным ускорением a?
 13006. Муха, пролетая параллельно поверхности стола со скоростью v на высоте Н, заметила в некоторый момент времени точно под собой каплю мёда. При помощи крыльев муха может развивать в любом направлении ускорение, не превышающее а. За какое минимальное время муха сможет достигнуть капли мёда? Какое ускорение и в каком направлении она должна для этого развить? Сила тяжести отсутствует (допустим, дело происходит в космосе).
 13007. Космический корабль движется в открытом космосе со скоростью V. Требуется изменить направление скорости на 90°, оставив величину скорости неизменной. Найдите минимальное время, необходимое для такого манёвра, если двигатель может сообщать кораблю в любом направлении ускорение, не превышающее а. По какой траектории будет при этом двигаться корабль?
 13008. Шарик падает с некоторой высоты без начальной скорости на горизонтальную плоскость. Удары шарика о плоскость абсолютно упругие. За первые t секунд шарик прошёл путь S. Сколько раз за это время он успел удариться о плоскость? Ускорение свободного падения равно g.
 13009. Камень, брошенный вертикально вверх с достаточно большой высоты, за первую секунду полёта проходит путь S. Какой путь пройдёт камень за вторую секунду полёта? Ускорение свободного падения равно g=10 м/с2. Сопротивлением воздуха пренебречь.
 13010. На невесомый жёсткий стержень, шарнирно закреплённый одним концом, надели массивную бусинку, которая может скользить по нему без трения. Вначале стержень покоился в горизонтальном положении, а бусинка находилась на расстоянии l от закреплённого конца. Затем стержень отпустили. Найдите зависимость угла, который составляет стержень с горизонталью, от времени.
 13011. Из одной точки горизонтально в противоположных направлениях одновременно вылетают две частицы с начальными скоростями v1 и v2. Через какое время угол между скоростями частиц станет равным 90°? Ускорение свободного падения равно g.
 13012. Пушка стоит на самом верху горы, любое вертикальное сечение которой есть парабола у=ах2 (см. рисунок). При какой минимальной начальной скорости снаряда, выпущенного под углом а к горизонту, он никогда не упадёт на поверхность горы? Ускорение свободного падения равно g.
 13013. Небольшая лампочка освещает вертикальную стену. Проходящий вдоль стены хулиган швырнул в лампочку камень под углом 45° к горизонту и попал в неё. Найдите закон движения h(t) тени от камня по стене, считая, что лампочка и точка броска находятся на одной и той же высоте h=О, а в момент броска хулиган находился на расстоянии L от лампочки.
 13014. Маленький упругий шарик бросают со скоростью v=1 м/с под углом а=45° к горизонту. Коэффициент восстановления вертикальной составляющей скорости шарика после удара о горизонтальную плоскость, с которой производился бросок, R=0,99. На каком расстоянии S от точки бросания шарик перестанет подпрыгивать, если горизонтальная составляющая его скорости не изменяется? (Коэффициентом восстановления называется отношение скорости после удара к скорости до удара).
 13015. Художник нарисовал «Зимний пейзаж» (см. рисунок). Как вы думаете, в каком месте на Земле он мог писать с такой натуры?
 13016. Ранней весной, шагая по скользкой дорожке, Вы внезапно поскользнулись и начинаете падать на спину. Совершенно машинально Вы взмахиваете руками, и таким образом избегаете падения (или, увы, нет). Опишите, какие движения руками наиболее оптимальны в этой ситуации, и объясните, почему они помогают восстановить равновесие.
 13017. Лёгкий самолёт может планировать с выключенным мотором с минимальной постоянной горизонтальной скоростью 150 км/ч под углом 5° к горизонту (при попытке уменьшить скорость или угол самолёт свалится в штопор). Оцените, какую минимальную силу тяги должен создавать движитель самолёта, чтобы он мог взлететь с полосы. Масса самолёта М=2 т. Считайте, что корпус самолёта всегда параллелен направлению его скорости.
 13018. Для организации транспортного сообщения между населёнными пунктами А и В, расположенными на одной горизонтали на небольшом расстоянии I друг от друга, между ними прорывают тоннель, состоящий из двух одинаковых прямых участков (см. рисунок). По рельсам внутри тоннеля скользит без трения безмоторная вагонетка. Какова должна быть максимальная глубина тоннеля h, чтобы время поездки от А до В было минимальным? Чему равно это время? Считайте, что движение вагонетки начинается без начальной скорости, а на закруглении в нижней точке тоннеля величина скорости не изменяется.
 13019. Из Анискино (А) в Борискино (Б) можно добраться только на моторной лодке по узкой реке, скорость течения которой всюду одинакова. Лодке с одним подвесным мотором на путь из А в Б требуется время t1=50 минут, а с двумя моторами — время t2=t1/2. Сила тяги двух моторов вдвое больше силы тяги одного. За какое минимальное время можно добраться из Б в А на лодке с одним и с двумя моторами? Известно, что сила сопротивления движению лодки пропорциональна квадрату скорости движения относительно воды.
 13020. Тело массой m=10 кг подвешено в лифте при помощи трёх одинаковых лёгких верёвок, натянутых вертикально. Одна из них привязана к потолку лифта, две другие — к полу. Когда лифт неподвижен, натяжение каждой из нижних верёвок составляет F0=5 Н. Лифт начинает двигаться с постоянным ускорением, направленным вверх. Найдите установившуюся силу натяжения верхней верёвки при следующих значениях ускорения лифта: а1=1 м/с2, a2=2 м/с2. Ускорение свободного падения равно g=9,8 м/с2. Считайте, что сила натяжения верёвки пропорциональна её удлинению.
 13021. Имеются два одинаковых длинных однородных лёгких бруска, которые используют для проведения экспериментов по изучению прочности древесины. В первом эксперименте деревянный брусок положили концами на спинки двух стоящих стульев, а к его середине подвесили сосуд, который начали медленно заполнять водой. Когда масса сосуда с водой достигла величины m=4,8 кг, брусок сломался. Во втором эксперименте брусок положили на гладкий горизонтальный стол, к его концам прикрепили два груза малых размеров с массами m1=6 кг, а к середине — груз массой m2=10 кг и верёвку, за которую стали тянуть с плавно возрастающей силой F, перпендикулярной бруску и направленной горизонтально. При какой величине силы F брусок сломается? Считайте g=10 м/с2.
 13022. На гладкой горизонтальной плоскости находится клин массой М с углом 45° при основании. По его наклонной грани может двигаться без трения небольшое тело массой m (см. рисунок). Чему должна быть равна и куда (вправо или влево) направлена горизонтальная сила, приложенная к клину, чтобы ускорение тела массой m было направлено: (а) вертикально; (б) горизонтально; (в) составляло угол 45° с вертикалью? Клин не опрокидывается, ускорение свободного падения равно g.
 13023. В системе, изображённой на рисунке, блоки имеют пренебрежимо малые массы, нить невесомая и нерастяжимая, не лежащие на блоках участки нити горизонтальны. Массы грузов, лежащих на горизонтальной плоскости, одинаковы и равны М. Нить тянут за свободный конец в горизонтальном направлении с силой F. С каким ускорением движется конец нити, к которому приложена эта сила? Трения нет, движение грузов считайте поступательным.
 13024. На гладком горизонтальном столе находятся два груза массами 1 кг и 2 кг, скреплённые невесомой и нерастяжимой нитью. К середине нити между грузами прикреплена ещё одна такая же нить, за которую тянут с силой 10 Н. В некоторый момент времени все отрезки нитей натянуты, расположены горизонтально и составляют между собой углы 90°, 120° и 150°. Известно, что в этот же момент скорость более лёгкого груза равна 1м/с, более тяжёлого 2 м/с, а вектор скорости каждого груза направлен перпендикулярно к отрезку нити, который прикреплён к данному грузу. Найдите ускорения грузов в рассматриваемый момент времени, если известно, что они одинаковы по величине.
 13025. В системе, изображённой на рисунке, нить невесома и нерастяжима, блоки невесомы, трение отсутствует. Массы грузов равны m1 и m2. Найдите ускорение оси блока А, к которой приложена в вертикальном направлении сила F. Ускорение свободного падения равно g.
 13026. В системе, изображённой на рисунке, нить невесома и нерастяжима, блоки невесомы, трения нет. Вначале нить удерживают так, что груз т висит неподвижно, а груз 2т касается пола. Затем конец нити начинают тянуть вверх с постоянной скоростью v. Как при этом будут двигаться оба груза? Ускорение свободного падения равно g.
 13027. В системе, показанной на рисунке, отрезки нитей, не лежащие на блоках, вертикальны. Найдите ускорение груза, массой m2, подвешенного па нити к лёгкой оси подвижного блока. Масса оси другого подвижного блока, равна m, масса, первого груза, равна m1. Трением и массой всех блоков пренебречь. Все нити невесомые и нерастяжимые. Ускорение свободного падения равно g.
 13028. Найдите ускорение груза массой m1 в системе, изображённой на рисунке. Блоки невесомы, пить невесома, нерастяжима, и не проскальзывает по верхнему двухступенчатому блоку с радиусами r и R. Один конец нити закреплён па этом блоке, к другому концу прикреплён груз массой m2. Участки нити, не лежащие па блоках, вертикальны, трение в осях блоков и о воздух отсутствует. Ускорение свободного падения равно g.
 13029. Найдите ускорение груза 1 в системе, изображённой па рисунке. Горизонтальная плоскость гладкая, трения между грузами нет, нить и блоки невесомы, нить нерастяжима, массы всех трёх грузов одинаковы. В начальный момент все тела, покоятся. Ускорение свободного падения равно g.
 13030. Два связанных тела, массой m2 и m3 скользят по двум гладким наклонным поверхностям неподвижного клипа (см. рисунок). К телу m2 прикреплена, нить, соединяющая его с телом массой m1, лежащим па гладкой горизонтальной поверхности. Найдите силу натяжения Т этой нити. Трением можно пренебречь, нити считайте невесомыми и нерастяжимыми. Ускорение свободного падения равно g.
 13031. Телу, находящемуся на горизонтальной шероховатой поверхности, сообщили скорость v вдоль этой поверхности. За первые t секунд оно прошло путь S. Каким может быть коэффициент трения тела о поверхность?
 13032. На горизонтальном шероховатом столе лежат длинная линейка АВ и ластик С. Линейку двигают равномерно и поступательно в направлении, показанном стрелкой на рисунке (вид сверху), и перемещают на расстояние H. Угол между линейкой и этим направлением равен a. Найдите величину и направление перемещения ластика относительно стола. Коэффициент трения ластика о линейку равен ц.
 13033. На горизонтальном обледеневшем участке дороги лежит длинная доска массой М. На эту доску мальчик поставил радиоуправляемую модель автомобиля массой m, а затем, подав радиосигнал, включил двигатель автомобиля. Зная, что автомобиль движется вдоль доски с постоянной относительно неё скоростью v и что коэффициент трения доски о лёд равен ц, найдите зависимость скорости автомобиля относительно дороги от времени.
 13034. На лежащий на горизонтальном столе клин массой m с углом при основании а=45° аккуратно положили гладкий брусок массой 1000т. С какой силой скользящий вдоль клина брусок давит на клин, если коэффициент трения между клином и столом равен ц=0,2?
 13035. Катапульта представляет собой платформу с толкателем, который может приложить к грузу массой m силу F >> mg под любым заданным углом а к горизонту (см. рисунок). Масса самой катапульты много меньше m, коэффициент трения между платформой и землёй ц. Какое максимальное горизонтальное ускорение может сообщить грузу такая катапульта?
 13036. Через вращающийся с постоянной угловой скоростью шероховатый шкив переброшена невесомая нерастяжимая верёвка, к концам которой подвешены два груза. В начальный момент времени скорости грузов равны нулю, а ускорение первого груза направлено вверх и равно a1. Если изменить направление вращения шкива, то при нулевой начальной скорости второй груз будет двигаться вверх с ускорением a2. Найдите отношение масс грузов.
 13037. На шероховатой железнодорожной платформе стоит равномерно заполненный контейнер высотой Н и длиной L, имеющий с одной стороны маленькие колёса (см. рисунок). При разгоне поезда вправо контейнер начинает сползать влево по платформе, если ускорение разгона превышает a. С каким минимальным ускорением должен затормозить поезд, чтобы контейнер начал сползать вправо? Трением качения пренебречь.
 13038. В системе, изображённой на рисунке, тело массой М может скользить без трения по горизонтальной плоскости. Коэффициент трения между телами M и m равен ц. Найдите ускорение а тела М. Массой блоков и нерастяжимой нити пренебречь. Ускорение свободного падения равно g.
 13039. У двух автомобилей расстояние между осями передних и задних колёс L=3 метра, а центр масс находится на высоте Н=0,7 м над дорогой на одинаковом расстоянии от каждого из четырёх колёс. Коэффициент трения колёс о дорогу ц=0,8. Масса каждого из автомобилей m=1000 кг. Один из автомобилей передне-приводный, а другой заднеприводный. Автомобили снабжены моторами с одинаковой мощностью N=100 кВт. Какой из автомобилей победит в заезде на S=10 м по прямой при старте с нулевой начальной скоростью? На какое время победитель обгонит отставшего? Водители «выжимают» из своих автомобилей всё возможное. Считайте ускорение свободного падения g=10 м/с2.
 13040. Автомобиль с передними ведущими колёсами должен проехать по достаточно длинному прямолинейному участку шоссе, поднимающемуся вверх под углом а к горизонту. Центр масс автомобиля находится на расстоянии Н от полотна дороги, посередине между осями передних и задних колёс, которые расположены на расстоянии 2L друг от друга. Коэффициент трения колёс о дорогу равен ц, радиус колёс R. Найдите максимальную величину угла а. Укажите условия, при которых автомобиль массой m сможет преодолеть этот участок шоссе.
 13041. Цилиндр радиусом R и массой m плотно вставлен в жёстко закреплённое кольцо. Ось цилиндра вертикальна. Чтобы его продвинуть, надо приложить в вертикальном направлении силу, не меньшую F (F>>mg). Цилиндр начинают вращать с постоянной угловой скоростью w, не прикладывая при этом вертикальной силы. Найдите требующийся для этого момент силы и скорость вертикального перемещения цилиндра. Трение цилиндра о кольцо является сухим.
 13042. Деревянный шарик, опущенный под воду, всплывает в установившемся режиме со скоростью v1, а точно такой же по размеру пластмассовый тонет со скоростью v2. Куда и с какой скоростью будут двигаться в воде эти шарики, если их соединить ниткой? Сила сопротивления пропорциональна скорости, гидродинамическим взаимодействием шариков можно пренебречь. Считайте, что на движущийся шарик действует такая же сила Архимеда, как и на покоящийся.
 13043. Школьник заметил, что сферический пузырёк воздуха диаметром d1=1 мм всплывает в жидкости плотностью рж=1 г/см3 со скоростью v1=0,5 см/с. Пузырёк диаметром d2=2 мм всплывает со скоростью v2=2 см/с, а сферическая металлическая дробинка такого же диаметра плотностью pд=5 г/см3 тонет со скоростью vз=8 см/с. С какой скоростью будет всплывать в этой жидкости пластмассовый шарик плотностью p=(2/3) г/см3 и диаметром d=3 мм? Считайте, что характер зависимости сил сопротивления движению от скорости и диаметра шарика — степенной, и для всех указанных тел одинаков.
 13044. Шарик массой m и объёмом V под действием силы тяжести падает в жидкости плотностью р с постоянной скоростью v. Сила сопротивления жидкости движению шарика пропорциональна квадрату скорости. К шарику прилагается дополнительно горизонтально направленная сила f. Какой станет вертикальная составляющая скорости шарика v1?
 13045. Футбольный мяч при движении в воздухе испытывает силу сопротивления, пропорциональную квадрату скорости мяча относительно воздуха. Перед ударом футболиста мяч двигался в воздухе горизонтально со скоростью v1=20 м/с и с ускорением a1=13 м/с2. После удара мяч полетел вертикально вверх со скоростью v2=10 м/с. Каково ускорение мяча сразу после удара?
 13046. В неоднородной вязкой среде (см. рисунок) сила сопротивления, действующая на тело массой m, пропорциональна квадрату скорости, причём коэффициент пропорциональности а зависит от координаты тела х в направлении движения (то есть выражение для силы сопротивления имеет вид f=—a(x)vv). Какой должна быть зависимость а(х), чтобы при любой начальной скорости, направленной вдоль оси х, тело, пущенное из точки х=0, двигалось в данной среде равнозамедленно? Силу тяжести не учитывайте.
 13047. Кусок мыла массой m соскальзывает в ванну, профиль которой изображён на рисунке. Высота ванны h, радиусы закруглений R. Начертите график зависимости силы давления куска мыла на ванну от пройденного мылом пути. Трение между мылом и ванной отсутствует, начальная скорость равнялась нулю.
 13048. Шерлок Холмс и доктор Ватсон переходили Бейкер-стрит. В это время профессор Мориарти на своём кабриолете выехал из бокового переулка и, не притормаживая, помчался по Бейкер-стрит, чуть не сбив их. — Холмс, — воскликнул доктор, — этот маньяк катается по Лондону с бешеной скоростью! — Неправда, Ватсон. Я заметил, что «зайчик» от бокового стекла его авто, освещенного заходящим солнцем, некоторое время оставался вот на том фонарном столбе, в десяти футах от кабриолета. Он не мог ехать быстрее двадцати миль в час! — Но как Вы догадались, Холмс? — Элементарно, Ватсон!.. Воспроизведите рассуждения великого сыщика. Учтите, что 1 фут ~ 0,3 м, а 1 миля ~ 1,6 км.
 13049. Тяжёлая нерастяжимая верёвка (прыгалка), концы которой закреплены на одной высоте на некотором расстоянии друг от друга, провисает на величину h. Увеличится или уменьшится эта величина, если прыгалку раскрутить вокруг оси, проходящей через точки закрепления, со столь большой скоростью, что можно пренебречь силой тяжести? Ответ обоснуйте.
 13050. Согласно сериалу «Звёздные войны», космические истребители земного флота имеют форму косого креста, где на концах консолей расположены четыре одинаковых ракетных двигателя (вид истребителя спереди изображён на рисунке). Одним из пилотажных манёвров такого истребителя является быстрый разворот на 180°, когда два соседних двигателя работают на «полный вперёд», а два остальных — на «полный назад» с такой же тягой. Вокруг какой оси — А или Б — нужно совершать такой разворот, чтобы он занял меньше времени? Считайте, что практически вся масса истребителя сосредоточена в его двигателях и что сила тяги не зависит от скорости. Манёвр совершается в открытом космосе.
 13051. Зависимость силы натяжения F от удли- нения x для лёгкого резинового шнура с начальной длиной l0=20 см показана на рисунке. К одному из концов шнура прикрепляют маленький шарик массой m=500 г, другой конец прикрепляют к вертикальной оси, и затем весь шнур с шариком на конце помещают в горизонтальную гладкую трубку, прикреплённую к той же оси. Систему начинают медленно раскручивать вокруг этой оси. При каком значении угловой скорости w0 шнур разорвётся?
 13052. Витую пружину с начальной длиной l, жёсткостью к и массой m свернули в кольцо и соединили концы. После этого её раскрутили с угловой скоростью w вокруг оси, проходящей через центр кольца перпендикулярно его плоскости. Найдите радиус кольца R как функцию w. Диаметр витков пружины много меньше её длины.
 13053. Нерастяжимая, но очень гибкая и длинная цепь движется между блоками по траектории, изображённой на рисунке. При какой скорости v движения цепи она практически не будет давить на блоки? Сила натяжения цепи Т, масса единицы её длины р; система находится в невесомости.
 13054. К нижнему концу стержня, расположенного вертикально и вращающегося вокруг своей продольной оси, прикреплена нить длиной L. На нити подвешен шарик, размеры которого малы по сравнению с длиной нити. Постройте график зависимости расстояния R между шариком и вертикальной линией, на которой расположен стержень, от угловой скорости w вращения стержня. Считайте, что угловая скорость меняется настолько медленно, что при любом её значении движение шарика успевает установиться.
 13055. Маленькую шайбу массой m запустили со скоростью v0 по касательной к внутренней поверхности находящейся в невесомости сферы массой М и радиусом а. Найдите величину силы, действующей на шайбу со стороны сферы. Трение отсутствует, сфера вначале покоилась.
 13056. Жёсткий невесомый стержень шарнир- но подвешен за один из концов к потолку. К свободному концу и к середине стержня прикреплены два одинаковых маленьких тяжёлых шарика. Стержень вращается вокруг вертикальной оси. проходящей через точку подвеса, образуя с этой осью угол а. Найдите угол между вертикалью и силой, с которой верхний шарик действует на стержень.
 13057. По внутренней поверхности гладкой конической воронки, стоящей вертикально, скользят с постоянными по величине скоростями па высотах h1 и h2 от вершины конуса две маленькие шайбы (см. рисунок). Запишите для таких шайб аналог третьего закона Кеплера, то есть найдите отношение квадратов их периодов обращения вокруг оси конуса.
 13058. Маленький шарик подвешен па лёгкой нити длиной l. Один раз его отклоняют на некоторый угол и сообщают ему такую скорость в горизонтальном направлении, что он начинает вращаться по окружности в горизонтальной плоскости с периодом обращения T. В другой раз шарик отклоняют на. тот же угол и отпускают его без начальной скорости. Найдите? максимальное отношение силы натяжения нити в первом случае к силе её натяжения во втором случае.
 13059. Закрытая трубка длиной l, полностью заполненная жидкостью, составляет угол а с вертикальной осью, проходящей через её нижний конец (см. рисунок). В жидкости плавает лёгкая пробка. До какой угловой скорости и нужно раскрутить трубку вокруг оси, чтобы пробка погрузилась до середины трубки?
 13060. Цилиндрическое ведро, наполовину заполненное водой, жёстко закреплено па краю лопасти ветряной мельницы (см. рисунок). При какой угловой скорости и вращения лопастей вода не будет выливаться из ведра? Длина лопасти L много больше высоты ведра h и диаметра его дна d. Ускорение свободного падения равно g.
 13061. Лёгкая шероховатая планка ВС шарнирно подвешена на параллельных невесомых стержнях АВ и CD (см. рисунок). Длина стержней L. На расстоянии h от нижнего конца одного из стержней прикреплён груз массой М. На планке лежит лёгкая шайба. Система свободно колеблется в плоскости рисунка. При каком минимальном угле отклонения стержней от вертикали а шайба начнёт подпрыгивать на планке? Трением в шарнирах пренебречь.
 13062. Велосипедное колесо радиусом R=50 см немного деформировали — оно осталось плоским, но превратилось в эллипс с разностью полуосей s=а — b=1 см. При какой скорости качения этого колеса по горизонтальной поверхности оно начнёт подпрыгивать? Примечание. Эллипс получается при равномерном растяжении (сжатии) окружности вдоль одной из координат. При этом уравнение окружности x^2/R^2 + y^2/R^2=1 переходит в уравнение эллипса x^2/a^2 + y^2/b^2=1.
 13063. На гладком горизонтальном столе лежит вытянутая вдоль плоскости стола невесомая и нерастяжимая нить длиной L, к одному из концов которой прикреплено небольшое тело массой m. Тело в начальный момент неподвижно. Второй конец нити начинают поднимать вертикально вверх с постоянной скоростью. Тело перестаёт давить на поверхность стола в тот момент, когда нить составляет с вертикалью угол а. Какова скорость v подъёма конца нити?
 13064. На тонкую вертикальную спицу надели кольцо радиусом r и, толкнув его, закрутили вокруг спицы. При какой угловой скорости кольцо будет устойчиво вращаться, не падая вниз? Коэффициент трения между спицей и кольцом равен ц.
 13065. Маленькая шайба скользит по винтовому желобу с углом наклона a к горизонту и радиусом R с постоянной скоростью v (см. рисунок). Ось желоба вертикальна, ускорение свободного падения равно g. Чему равен коэффициент трения ц между шайбой и желобом?
 13066. Мальчик, управляя кордовой моделью самолёта массой m, перемещает конец кордов длиной L в горизонтальной плоскости по окружности радиусом r. Самолёт летит по окружности радиусом R > r на высоте h над плоскостью движения руки с постоянной скоростью v. Центры обеих окружностей лежат на одной вертикали. Ось самолёта направлена горизонтально по касательной к его траектории, плоскость крыльев также горизонтальна. Определите подъёмную силу, действующую на модель.
 13067. Орбитальная станция имеет форму тора, вращающегося вокруг своей оси с угловой скоростью w=1 рад/с. Из клетки вылетели два попугайчика и полетели по коридору в разные стороны. Оказалось, что одному лететь гораздо легче, чем другому. Объясните, какому и почему. Считая, что попугай летает со скоростью v=5 м/с, оцените радиус станции.
 13068. При перелёте с орбитальной станции «Мир» на станцию «Салют-7» наши космонавты затормозили свой корабль, перешли с основной орбиты на более низкую, промежуточную орбиту и за время t=30 часов нагнали «Салют-7», который летел впереди «Мира» по основной орбите на расстоянии L=3000 км. После этого они, разогнав корабль, снова поднялись на основную орбиту и состыковались с «Салютом-7». Считая орбиты круговыми, определите, на сколько километров промежуточная орбита ниже основной. Высоты орбит много меньше радиуса Земли.
 13069. Спутник массой m, движущийся со скоростью v почти по круговой орбите вблизи поверхности Земли, испытывает действие постоянной тормозящей силы F. Зная ускорение g свободного падения на поверхности Земли, найдите скорость vc снижения спутника, полагая, что изменение радиуса орбиты происходит достаточно медленно.
 13070. Снаряд вылетел из ствола орудия под углом а=3° к горизонту со скоростью v=10000 м/с. Оцените, на каком расстоянии L от орудия он упадёт на Землю. Сопротивлением воздуха и вращением Земли пренебречь.
 13071. Маленький шарик падает без начальной скорости на плоскость A, составляющую с горизонтом угол a (см. рис.). Через какое время он ударится о плоскость B? Плоскости A и B образуют прямой угол, удары о них абсолютно упругие. Расстояние от места начала падения до плоскости В равно l, ускорение свободного падения g.
 13072. С какой скоростью упругий шарик должен приближаться к краю А прямоугольной ямы шириной L и глубиной Н, чтобы точно попасть в её противоположный край В (см. рисунок)? Стенки и дно ямы абсолютно гладкие, потерь энергии нет.
 13073. Лестница состоит из одинаковых ступенек, ширина и высота которых равны. Некто с размаху бросает об эту лестницу маленький упругий тяжёлый мяч («суперболл») сверху вниз под углом 30° к горизонту. В каком направлении отскочит мяч? Силой тяжести можно пренебречь, вращение мяча не учитывайте.
 13074. Внутри полого горизонтального цилиндра прыгает шарик, упруго отражаясь от его стенок. Ускорение силы тяжести g. Известно, что шарик движется по замкнутой траектории, отскакивая от стенок в двух точках, находящихся на одной высоте. Найдите все возможные траектории.
 13075. Маленький шарик падает без началь- ной скорости с некоторой высоты Н на систему из двух закреплённых клиньев, верхние грани которых образуют углы а с горизонтом (см. рисунок). Место падения находится на расстоянии l по горизонтали от линии касания клиньев. Испытав три абсолютно упругих удара о клинья, шарик вновь поднимается на ту же высоту. Укажите возможные виды траекторий движения шарика и рассчитайте высоту Н в наиболее простом случае.
 13076. На массивный гладкий цилиндр радиусом R, движущийся поступательно со скоростью u, налетает маленький шарик, движущийся навстречу цилиндру перпендикулярно его оси со скоростью v (см. рисунок). Расстояние между линией, вдоль которой движется шарик, и плоскостью, в которой движется ось цилиндра, равно L (L < R). Найдите величину скорости шарика v1 после абсолютно упругого удара о цилиндр. Сила тяжести отсутствует.
 13077. В середине ящика массой m лежит груз такой же массы m. Вся эта конструкция движется со скоростью v по горизонтальной плоскости по направлению к стенке (см. рисунок). Как будет происходить удар этой конструкции о стенку? Какими будут скорости ящика и груза, когда все соударения закончатся? Трения нигде нет, все удары абсолютно упругие. При абсолютно упругих ударах тела равной массы обмениваются скоростями.
 13078. В цилиндрической коробке радиусом R, стоящей на горизонтальном столе, находится маленькая шайба, масса которой совпадает с массой коробки, причём расстояние от центра коробки до шайбы составляет половину радиуса коробки. В некоторый момент времени коробке сообщили скорость и, направленную вправо, а шайбе — такую же по модулю скорость, направленную влево (см. рисунок — вид сверху). Определите траекторию движения центра коробки по столу. Удары абсолютно упругие, трение отсутствует.
 13079. На гладкой горизонтальной поверхности расположены две одинаковые маленькие шайбы. В начальный момент времени первой шайбе сообщили некоторую скорость вдоль линии, соединяющей центры шайб. Оказалось, что за время t первая шайба прошла путь S1, а вторая — путь S2. Чему могут быть равны начальная скорость первой шайбы и начальное расстояние между шайбами? Трение отсутствует, удар шайб друг о друга не обязательно абсолютно упругий.
 13080. Известно, что при абсолютно упругом нелобовом ударе движущегося шара о такой же покоящийся шары разлетаются под углом 90°. Найдите условия, при которых после абсолютно упругого нелобового соударения двух одинаковых движущихся шаров один из них остановится.
 13081. Упругая шайба, движущаяся со скоростью v0 по гладкой горизонтальной плоскости, испытывает два последовательных соударения с такими же первоначально покоившимися упругими шайбами. Найдите величины и направления скоростей шайб после ударов, если известно, что одна из них после соударений продолжает движение со скоростью v0/2 в том направлении, в котором двигалась первая шайба до ударов.
 13082. По закреплённой тонкой трубке без трения движутся вправо с одинаковыми скоростями четыре одинаковых маленьких шарика так, что расстояния между ними равны l1, l2 и l3 (см. рисунок). Трубка заткнута пробкой. Как будут расположены и как будут двигаться шарики после того, как все соударения прекратятся? Все удары шариков друг о друга и о пробку абсолютно упругие.
 13083. Между двумя неподвижными горизонтальными плоскостями, верхняя из которых расположена на высоте Н над нижней, движется маленький шарик массой m, упруго отскакивая от них. Скорость шарика после отражения от нижней плоскости равна v0 и направлена вертикально вверх. Найдите средние силы, действующие на каждую из плоскостей со стороны шарика.
 13084. Между двумя идеально отражающими стенками, расстояние между которыми равно L, находятся N одинаковых упругих шаров радиусом R. Центры шаров располагаются на одной прямой, перпендикулярной стенкам. В начальный момент времени скорости всех шаров одинаковы и направлены вдоль этой прямой, vi=v0. Учитывая столкновения между шарами, а также шаров со стенками, найдите среднюю силу давления шаров на одну из стенок. Масса шара равна m, сила тяжести отсутствует.
 13085. N абсолютно упругих одинаковых шариков лежат на гладкой горизонтальной плоскости. Одному из них сообщили скорость v в горизонтальном направлении. Испытав ряд столкновений с другими шариками, этот шарик стал двигаться в противоположном направлении. Какова максимально возможная величина конечной скорости шарика, если в каждом столкновении участвуют только два шарика, а N=101?
 13086. В горизонтальном прямом желобе на равных расстояниях L=1 м друг от друга лежат N=2002 маленьких шарика. Известно, что шарики разложены в порядке убывания их масс и что массы соседних шариков отличаются друг от друга на а=1%. Самому тяжёлому шарику в момент времени t=0 сообщили скорость v=1 м/с в направлении остальных шариков. Считая все удары абсолютно упругими, найдите, через какое время после этого начнёт двигаться самый лёгкий шарик. Трения нет. Временем соударения пренебречь.
 13087. На полубесконечный гладкий стержень нанизано бесконечно много маленьких шариков. Массы шариков с нечётными номерами m, с чётными (m + 5m), причём sm << m (см. рисунок). В начальный момент времени, когда первый шарик запустили по направлению ко второму со скоростью v0, расстояние между соседними шариками равнялось l0, а все шарики, кроме первого, покоились. Через какое время скорость самого быстрого из шариков станет меньше (3/4)vо? Все удары абсолютно упругие.
 13088. Грузовой поезд массой m, поданный на шахте под загрузку углём, начинает движение под действием постоянной силы тяги локомотива одновременно с началом погрузки. За равные промежутки времени на платформы высыпаются равные массы угля. Скорость поезда изменяется со временем t по закону: v=v0t/(t0+t), где v0 и t0 — постоянные величины. Найдите силу тяги локомотива.
 13089. На горизонтальном столе лежит однородное кольцо массой М с насаженной на него маленькой бусинкой массой m. В начальный момент времени бусинка имеет скорость v, а кольцо покоится. Определите минимальное значение кинетической энергии бусинки в процессе дальнейшего движения. Трения нет.
 13090. В результате взрыва снаряда массой m, летевшего со скоростью v, образовались два одинаковых осколка. Пренебрегая массой взрывчатого вещества, найдите максимальный угол разлёта осколков, если сразу после взрыва их общая кинетическая энергия увеличилась на величину dW.
 13091. На вбитом в стену гвозде на нити длиной L висит маленький шарик. Под этим гвоздём на одной вертикали с ним на расстоянии l < L вбит второй гвоздь. Шарик отводят вдоль стены так, что нить принимает горизонтальное положение, и отпускают без толчка. Найдите расстояния l, при которых шарик перелетит через нижний гвоздь. Нить невесома и нерастяжима, трения нет.
 13092. На горизонтальной плоскости лежит полусфера радиусом R (выпуклой стороной вверх). Из точки, находящейся над центром полусферы, бросают горизонтально маленькое тело, которое падает на плоскость, не касаясь полусферы. Найдите минимально возможную скорость тела в момент его падения на плоскость. Сопротивление воздуха не учитывайте.
 13093. Альпинистская капроновая верёвка подчиняется закону Гука, пока не разрывается при силе натяжения T=22000 Н, будучи растянутой на a=25% от своей первоначальной длины. Стандартный способ испытания верёвки такой: один конец верёвки длиной L закрепляют на стене, и с высоты, равной L, сбрасывают груз массой m, привязанный к другому концу (см. рисунок). При каком максимальном грузе m верёвка обязана выдержать рывок?
 13094. Края симметричной относительно центра невесомой сетки из упругих нитей закреплены на неподвижном горизонтальном обруче (см. рисунок). В горизонтальном положении сетка не натянута. С какой высоты Н гимнаст должен упасть без начальной скорости в центр сетки, чтобы её максимальный прогиб оказался равным L, если под неподвижно лежащим в центре сетки гимнастом этот прогиб равен l? Размеры гимнаста, величины L и l много меньше радиуса обруча. Известно, что при |e| << 1 справедлива формула (1 + е)а=1 + ае .
 13095. На горизонтальной поверхности покоится однородный тонкий обруч массой М и радиусом R (см. рисунок). Горизонтальный диаметр обруча представляет собой лёгкую гладкую трубку, в которую помещён шарик массой m, прикреплённый к обручу двумя пружинами жёсткостью к каждая. Удерживая обруч неподвижным, шарик отклонили влево на расстояние х, после чего предоставили систему самой себе. Найдите ускорение центра обруча в начальный момент времени. Проскальзывание обруча отсутствует.
 13096. В вертикальную стену на одной высоте вбиты два гвоздя. К одному гвоздю прикреплена невесомая нерастяжимая нить. На нить надето маленькое кольцо. Другой конец нити перекинут через второй гвоздь. К кольцу и к свободному концу нити прикреплены два одинаковых груза (см. рисунок). Определите ускорения грузов в момент прохождения ими положения равновесия, если в начальном положении нить между гвоздями была горизонтальна, а начальные скорости грузов были равны нулю. Ускорение свободного падения равно g. Трение не учитывайте.
 13097. Через два небольших блока перекинута невесомая нерастяжимая нить, к концам которой подвешены одинаковые грузы массой М каждый (см. рисунок). В начальный момент грузы уравновешены и покоятся. На нить с высоты h строго посередине между блоками падает небольшое тело массой m так, что при падении оно цепляется за нить. Какова будет максимальная скорость грузов в процессе движения, если m/M << h/l << 1.
 13098. Лёгкая нерастяжимая нить длиной L=2 м удерживается за концы так, что они находятся на одной высоте рядом друг с другом. На нити висит кусочек проволоки массой М=1 г, изогнутый в виде перевёрнутой буквы U. Нить выдерживает максимальную силу натяжения F=5 Н. Концы нити одновременно начинают перемещать в противоположных горизонтальных направлениях с одинаковыми скоростями V=1 м/с. В какой-то момент нить не выдерживает и рвётся. На какую максимальную высоту относительно уровня концов нити взлетит кусочек проволоки? Ускорение свободного падения g=10 м/с2, сопротивлением воздуха пренебречь.
 13099. В машине Атвуда (см. рисунок) массы грузов равны m1 и m2, блок и нить невесомы, трение отсутствует. Вначале более тяжёлый груз m1 удерживают на высоте h над горизонтальной плоскостью, а груз m2 стоит на этой плоскости, причём отрезки нити, не лежащие на блоке, вертикальны. Затем грузы отпускают без начальной скорости. Найдите, на какую максимальную высоту поднимется груз m1 после абсолютно неупругого удара о плоскость, если нить можно считать гибкой, неупругой и практически нерастяжимой. Ускорение свободного падения равно g, блок находится достаточно далеко от грузов.
 13100. Тело массой М падает с высоты Н на конец невесомого абсолютно жёсткого горизонтального рычага с плечами длиной L и I, на другом конце которого лежит тело массой m (см. рисунок). На какую высоту h взлетит тело m после удара? Тела считайте абсолютно упругими, а их размеры — малыми.