Earth curvature of space2 curvature of space1
Банк задач

ФизМат БАНК / Форумы / Public / Обсуждение задач / Старая задача с новыми вводными

<<< 12
  Автор   Сообщение
prostoykvaz Статус
11.07.2019 02:07
Сообщение #16
Аватар
Member
Сообщений: 11
ru Россия
Ульяновск
Дата регистрации:
24.02.2019 16:18

10.07.2019 16:47#5911 Konstruktor : "Давайте-ка уточним: колесо при качении по рельсу вращается равномерно? то есть с постоянной угловой скоростью?"

Да.

Отлично!

10.07.2019 16:47#5911 Konstruktor : "...Вы хотите взять проекцию тангенциального ускорения на прямую, совпадающую с рельсом. Вот давайте-ка определитесь с этим делом."

Именно, проекцию, совпадающую с рельсом.
Тогда, проекция будет являться виртуальным параметром, или рабочим?

Ну, тогда действуем так: берём проекцию скорости на ось OX. Я выше уже писал это уравнение, но ещё раз:

vx=r(ω-ω⋅cos(ωt))

Пусть колесо катится по рельсу вправо - то есть по положительному направлению оси OX. (Хотя это надо было написать уже давно, сразу, как только я написал впервые параметрические уравнения циклоиды.)
А теперь берём производную по времени от vx и получаем:

ax=r⋅ω2⋅sin(ωt)

Но это я получил проекцию на рельс (на ось ОХ) полного ускорения. Заметьте, не тангенциального ускорения, а полного ускорения. Понимаете разницу? Если же получать проекцию на ось ОХ именно тангенциального ускорения, то первое что приходит в голову, надо воспользоваться общей формулой для проекции. То есть умножить длину вектора на косинус угла между вектором и положительным направлением оси. Выше я получал формулу для тангенциального ускорения:

aτ2⋅r⋅cos(ωt/2)

А теперь умножаем это ускорение на косинус угла, как я выше писал:

aτOX2⋅r⋅cos(ωt/2)⋅cos(α)

Осталось связать угол α c углом поворота колеса. Но это Вы сами попробуйте. Насчёт Вашей фразы: Тогда, проекция будет являться виртуальным параметром, или рабочим?
скажу так, давайте в этой теме не использовать термин "параметр", кроме как для параметра в параметрических уравнениях циклоиды и соответствующих производных. Чтобы не было путаницы. Иными словами, можно перефразировать Ваш вопрос так: будет ли эта проекция иметь какой-то физический смысл? Так? Согласны?
Мой ответ: эта проекция просто показывает ускорение и замедление точки на ободе колеса вдоль рельса. Подумайте, может можно как-то по-другому выразиться.

10.07.2019 16:47#5911 Konstruktor : "...На самом пике, при 180° ускорение равно нулю."

Наверное, и при 0°, и при 360° ускорение тоже будет =0?

Если говорить именно о тангенциальном ускорении, то при 0° и 360° поворота колеса оно будет равно ω2⋅r cудя по формуле. А если говорить о проекции тангенциального ускорения на ось OX, то да, будет равно нулю.

10.07.2019 16:47#5911 Konstruktor : "Всё верно, длина арки будет равняться восьми радиусам колеса..."

У меня не сошлось с 8-ю радиусами, есть небольшое различие.

Я взял готовый результат из справочника, но сейчас после Ваших слов сам лично всё вычислил и оказалось ровно 8r. Так что давайте рассказывайте как вычисляли.


10.07.2019 16:47#5911 Konstruktor : Но этот факт интересен не этим (для физиков, наверное открытия в этом никакого нет), а тем, что, уверен, в 99% обывателей, в том числе и я совсем недавно, скажут, что длина пути точки на колесе будет равна длине его окружности.

Ну, тут надо таким обывателям просто сказать, что это только когда колесо вращается на неподвижной оси, то путь пройденный точкой на ободе за один полный оборот равен длине окружности. А если ещё и сама ось колеса совершает поступательное движение, то путь-то длиннее, потому что средняя скорость точки на ободе больше.

 
Konstruktor Статус
14.07.2019 00:15
Сообщение #17
Аватар
Member
Сообщений: 11
ru Россия
Москва
Дата регистрации:
27.06.2019 21:15

"Мой ответ: эта проекция просто показывает ускорение и замедление точки на ободе колеса вдоль рельса."

Это касается проекции только тангенциального ускорения?
А можно ли говорить вообще, что не только проекция, но и само ускорение точки на циклоиде - и нормальное, и тангенциальное, и как следствие - полное ускорение, тоже не имеют физического смысла, потому как центр вращения точки по циклоиде не имеет физической связи с точкой?

"Если говорить именно о тангенциальном ускорении, то при 0° и 360° поворота колеса оно будет равно ω2⋅r cудя по формуле."

Но мы же говорим о циклоиде, значит, радиусы вращения точки при 0° и 360° будут = 0?

"Так что давайте рассказывайте как вычисляли."

Я не вычислял.
Просто построил модель в Автокаде (см. рисунок: Длина циклоиды), взял расстояния между точками на циклоиде, сложил, получил длину. Видимо, в первый раз при сложении где-то ошибся, второй подсчет дал положительный результат, ошибка в нескольких сотых, т.к. брал длину хорд а не дуг.

 
prostoykvaz Статус
18.07.2019 03:14
Сообщение #18
Аватар
Member
Сообщений: 11
ru Россия
Ульяновск
Дата регистрации:
24.02.2019 16:18

14.07.2019 00:15#5913 Konstruktor : "Мой ответ: эта проекция просто показывает ускорение и замедление точки на ободе колеса вдоль рельса."

Это касается проекции только тангенциального ускорения?

Это утверждение также можно отнести и к проекции полного ускорения.

14.07.2019 00:15#5913 Konstruktor : А можно ли говорить вообще, что не только проекция, но и само ускорение точки на циклоиде - и нормальное, и тангенциальное, и как следствие - полное ускорение, тоже не имеют физического смысла, потому как центр вращения точки по циклоиде не имеет физической связи с точкой?

Нельзя такого говорить. Как я уже писал выше, ускорение имеет физический смысл и в данной ситуации тоже. Вы пишите, что точка на циклоиде не имеет физической связи с центром вращения? Это совершенно неправильное утверждение. Центр кривизны- это центр соприкасающейся окружности. Загуглите, что такое соприкасающаяся окружность. В любой момент времени, при движении по арке циклоиды, точка совершает движение по дуге соприкасающейся окружности.

14.07.2019 00:15#5913 Konstruktor : "Если говорить именно о тангенциальном ускорении, то при 0° и 360° поворота колеса оно будет равно ω2⋅r cудя по формуле."

Но мы же говорим о циклоиде, значит, радиусы вращения точки при 0° и 360° будут = 0?

Ну и что? Надеюсь, Вы не забыли, что r - это не радиус кривизны циклоиды, а радиус колеса? А радиус колеса нулю не равен независимо от угла поворота. Но это я на всякий случай написал. А теперь по сути: что обозначает равенство нулю радиуса кривизны траектории? Только то, что в такой точке нормальное (центростремительное) ускорение равно нулю. То есть в этой точке траектории движение прямолинейно. А прямолинейное движение может быть как равноускоренным, так и равнозамедленным.

14.07.2019 00:15#5913 Konstruktor : "Так что давайте рассказывайте как вычисляли."

Я не вычислял.
Просто построил модель в Автокаде (см. рисунок: Длина циклоиды), взял расстояния между точками на циклоиде, сложил, получил длину. Видимо, в первый раз при сложении где-то ошибся, второй подсчет дал положительный результат, ошибка в нескольких сотых, т.к. брал длину хорд а не дуг.

Ясно. Тут дело вот в чём: какие бы Вы маленькие хорды не взяли, всё равно сумма их длин не даст абсолютно точное значение длины всей дуги. Всегда будет погрешность, как у Вас и получилось. Абсолютно точное значение будет только в том случае, если длину каждой хорды устремить к нулю, а количество этих хорд устремить к бесконечности. В итоге получаем предел интегральной суммы, который собственно и является определённым интегралом. Загуглите: вычисление длины дуги с помощью определённого интеграла. А уже в найденном смотрите случай, когда кривая задана параметрическими уравнениями.

Добавлено 16 часов спустя:

18.07.2019 03:14#5914 prostoykvaz : .....
А теперь по сути: что обозначает равенство нулю радиуса кривизны траектории? Только то, что в такой точке нормальное (центростремительное) ускорение равно нулю. То есть в этой точке траектории движение прямолинейно. А прямолинейное движение может быть как равноускоренным, так и равнозамедленным.

Здесь я спросонья кой-что перепутал, поэтому вношу коррекцию: Если радиус кривизны равен бесконечности, то движение считается по прямой линии, то есть прямолинейным, так как считается, что прямая - это дуга окружности с бесконечным радиусом. И наоборот, если радиус кривизны равен нулю, то кривизна равна бесконечности. В этом случае, движение вовсе не прямолинейное в обычной ситуации. НО! В нашем конкретном случае, при углах поворота колеса, равных 0° и 360°, равен нулю не только радиус кривизны, но и скорость равна нулю!!! В итоге, если подставить в формулу для нормального ускорения:

an=v2/R

то всё равно получится ноль! То есть нормальное ускорение в этиx точка равно нулю, следовательно полное ускорение в этих точках будет равняться тангенциальному:

a=aτ2r



 
Konstruktor Статус
19.07.2019 00:49
Сообщение #19
Аватар
Member
Сообщений: 11
ru Россия
Москва
Дата регистрации:
27.06.2019 21:15

"В итоге, если подставить в формулу для нормального ускорения: an=v2/R, то всё равно получится ноль! То есть нормальное ускорение в этиx точка равно нулю, следовательно полное ускорение в этих точках будет равняться тангенциальному: a=aτ=ω2r"

Здесь я окончательно запутался. Формула a=ω2r подразумевает какой радиус, циклоиды или колеса - как Вы писали выше? Если циклоиды, тогда и тангенциальное будет равно 0, и полное тоже. Если - колеса, тогда почему для an=v2/R Вы берете радиус кривизны на циклоиде?
Еще большее непонимание возникает при сравнении формул a=v2/R и a=ω2r.
a=ω2r у Вас - это тангенциальное ускорение, в других источниках - это центростремительное, а a=v2/R - тангенциальное. Третий источник вообще проводит равенство между ними, поскольку v=ωr, тогда v2=ω2r2, получаем a=ω2r2/R = ω2r.

 
prostoykvaz Статус
19.07.2019 21:43
Сообщение #20
Аватар
Member
Сообщений: 11
ru Россия
Ульяновск
Дата регистрации:
24.02.2019 16:18

Konstruktor, чтобы не запутаться надо последовательно, ясно и чётко следовать определениям, и формулам - это во-первых, а во-вторых, надо чётко понимать, что во всех моих рассуждениях выше: r - это радиус колеса, а R - это радиус кривизны циклоиды. Я уже Вам об этом говорил. Далее, поскольку r - радиус колеса входил в параметрические уравнения циклоиды, то он будет входить и в выражение для скорости точки на циклоиде, и в выражение для тангенциального ускорения, и в выражение для нормального ускорения, и в выражение для полного ускорения. Но этот r - всего лишь константа в выражениях, причём не равная нулю константа.
Согласно определению, тангенциальное ускорение - это первая производная по времени от модуля скорости. Я уже давно Вам написал выражение для модуля скорости. Если Вы берёте производную по времени от модуля скорости, то получаете:
aτ2⋅r⋅cos(ωt/2), где t - время, а ω - угловая скорость вращения колеса.
перепишем эту формулу через угол поворота колеса:
aτ2⋅r⋅cos(t/2), где t - угол поворота колеса

Ещё раз обращаю Ваше внимание, что в этих формулах r - радиус колеса, а вовсе не радиус кривизны циклоиды. Теперь подставляем в последнюю формулу угол 0° и получаем:
aτ2⋅r

а если подставляем 360° то получаем

aτ= — ω2⋅r

что логично, потому что эти два ускорения противоположно направлены (потому и минус). И в этих формулах, ещё раз подчеркну, r - это радиус колеса и он никогда не равен нулю. Таким образом, я ещё раз Вам говорю, что тангенциальное ускорения в этих точках не равно нулю. Пока Вы это не осознаете, то дальше двигаться бесполезно.
А то, что формула ω2⋅r совпала с формулой нормального ускорения для точки, движущейся на ободе колеса, относительно неподвижной оси, то это просто совпадение. Ну конечно, это не простое совпадение, но думаю об этом мы потом поговорим. Тогда, когда Вы осознаете, что в этих точках тангенциальное ускорение не равно нулю. А то ещё больше путаница будет.
Далее, нормальное ускорение точки движущейся по окружности радиуса r, согласно определению:
an=v2/r

Далее, согласно определению, линейная скорость точки, движущейся по окружности радиуса r:

v=ω⋅r, где ω - угловая скорость этой точки.

Подставляем эту формулу в формулу выше и получаем:

an=v2/r = (ω⋅r)2/r = ω2⋅r

таким образом связь между нормальным ускорением точки, движущейся по окружности и угловой скоростью:

an= ω2⋅r

сразу подчеркну, что последняя формула верна только для движения по окружности. Если у нас, к примеру, материальная точка движется по параболе, то нормальное ускорение есть, но ω - угловой скорости нет. То же самое, при движении по циклоиде эта формула неприменима.

Но для любого криволинейного движения будет верна формула:

an=v2/R, где R - радиус кривизны траектории.

И нельзя в эту формулу подставлять v=ω⋅R, потому что неизвестно, а что такое ω. Поэтому нельзя для циклоиды пользоваться формулой:

an= ω2⋅R, где R - радиус кривизны циклоиды, а ω - угловая скорость точки на ободе колеса. НЕЛЬЗЯ!

Таким образом, чтобы найти нормальное ускорение точки при движении по циклоиде, берём формулу an=v2/R, подставляем в неё выражение для модуля скорости и выражение для радиуса кривизны циклоиды. Причём заметьте: и скорость, и радиус кривизны выражаются через радиус колеса r. Получаем:

an= ω2⋅r⋅sin(ωt/2),

а через угол поворота:

an= ω2⋅r⋅sin(t/2),

так что и при 0°, и при 360° нормальное ускорение точки на циклоиде равно нулю.

Добавлено 3 минуты спустя:

19.07.2019 00:49#5915 Konstruktor : ....
Еще большее непонимание возникает при сравнении формул a=v2/R и a=ω2r.
a=ω2r у Вас - это тангенциальное ускорение, в других источниках - это центростремительное, а a=v2/R - тангенциальное......

Если в каких-то источниках написано, что тангенциальное ускорение равно:

a=v2/R

то это просто ошибка. Напишите ссылку сюда на эти источники, я тоже полюбуюсь на глупость или опечатку:))

 
Konstruktor Статус
25.07.2019 17:28
Сообщение #21
Аватар
Member
Сообщений: 11
ru Россия
Москва
Дата регистрации:
27.06.2019 21:15

На счет «R» и «r» я, видимо прохлопал, - видел, но не придал этому значения.
Иначе, не задавал бы этих вопросов.
Далее все встает на свои места.
Но главный вопрос в задаче мы до конца не разобрали: «…будет ли эта проекция иметь какой-то физический смысл?» Из Вашего утверждения я понял, что – нет.
Предлагаю провести аналогию, не прямую, конечно.
Тяговый винт вертолета классической конструкции служит как для преодоления силы тяжести вертолета, так и для движения его в горизонтальных направлениях. Допустим, винт наклонен под углом 10° к направлению полета, и за счет этого вертолет и держится в воздухе, и летит горизонтально вперед. Получается, что у подъемной силы, образующейся на тяговом винте в данном случае появляются две проекции: на ось Х (10°) и на ось Y (80°), и эти проекции имеют физический смысл.
Или такая аналогия для нашего случая не корректна?


"Напишите ссылку сюда на эти источники, я тоже полюбуюсь на глупость или опечатку:))"

Официальных источников, конечно же, нет. Есть выдержки из форумов, но это не убедительно.

Добавлено 5 дней спустя:

Или вот еще пример:
В 2011-м году была задачка, по условиям которой шарик движется по оси ОХ с равномерной линейной скоростью, изменить которую он не может. Попадая на последовательность трех радиусных поверхностей, он не может от них оторваться, сохраняя постоянную скорость по оси ОХ. Нужно было показать вертикальное ускорение по оси ОY, которое испытывает шарик в каждой (условно) точке пути. Решение было такое: анимация

 
<<< 12