Earth curvature of space2 curvature of space1
Банк задач

ФизМат БАНК / Форумы / Public / Обсуждение задач / Старая задача с новыми вводными

12 >>>
  Автор   Сообщение
Konstruktor Статус
27.06.2019 21:34
Сообщение #1
Аватар
Member
Сообщений: 11
ru Россия
Москва
Дата регистрации:
27.06.2019 21:15

Колесо с радиусом r катится без скольжения с линейной скоростью V по прямому рельсу. На каком участке обода (можно указать в градусах) возникает наибольшая центробежная сила, если за нулевую точку (0 град.) взять точку контакта обода с рельсом?

Задача из жизни автомобилиста.

 
prostoykvaz Статус
01.07.2019 18:30
Сообщение #2
Аватар
Member
Сообщений: 11
ru Россия
Ульяновск
Дата регистрации:
24.02.2019 16:18

Интересно, колесо катится с постоянной скоростью всё время? Так ведь? Тогда почему на одной дуге обода центробежная сила должны быть больше чем на другой дуге обода? Может в условиях что-то не хватает?

 
Konstruktor Статус
02.07.2019 20:58
Сообщение #3
Аватар
Member
Сообщений: 11
ru Россия
Москва
Дата регистрации:
27.06.2019 21:15

Если учесть, что траектория точки на ободе движущегося колеса - это циклоида, то можно ли считать, что по мере изменения скорости этой точки проходящей по циклоиде, изменяются и радиусы дуг, по которым она проходит? Тогда в этом случае, применима ли формула Центробежной силы F=mV2/R?

 
prostoykvaz Статус
03.07.2019 22:07
Сообщение #4
Аватар
Member
Сообщений: 11
ru Россия
Ульяновск
Дата регистрации:
24.02.2019 16:18

Konstruktor, пожалуй Вы правы. Про циклоиду-то я и забыл. Действительно, если точка движется по циклоиде, то кривизна меняется, значит и радиус кривизны меняется. Напишем выражение для центробежной силы F=m•ω2•R. И останется исследовать только кривую на максимальный радиус кривизны, взяв формулу для кривизны кривой, заданной параметрически.

 
Konstruktor Статус
04.07.2019 15:13
Сообщение #5
Аватар
Member
Сообщений: 11
ru Россия
Москва
Дата регистрации:
27.06.2019 21:15

Хотелось бы увидеть результат расчетов.

 
prostoykvaz Статус
04.07.2019 22:51
Сообщение #6
Аватар
Member
Сообщений: 11
ru Россия
Ульяновск
Дата регистрации:
24.02.2019 16:18

Что касается радиуса кривизны, то думаю и так понятно, что радиус кривизны будет максимален в верхних точках арок циклоиды. Хотя я строго вывел формулу для радиуса кривизны циклоиды R=4r⋅sin(t/2), где r - радиус колеса, t - параметр в параметрических уравнениях циклоиды. Хотя это формула есть в справочниках. А этот параметр t имеет смысл как раз угла поворота точки на ободе колеса, которая в начальный момент времени касалась рельса. Таким образом, ответ в задачке: максимальная центробежная сила действующая на точку, лежащую на ободе, будет на угле поворота 180 градусов.

02.07.2019 20:58#5899 Konstruktor : Если учесть, что траектория точки на ободе движущегося колеса - это циклоида, то можно ли считать, что по мере изменения скорости этой точки проходящей по циклоиде, изменяются и радиусы дуг, по которым она проходит? Тогда в этом случае, применима ли формула Центробежной силы F=mV2/R?
Тут следует отметить, что радиус кривизны меняется непрерывно, та как является функцией угла поворота. Скорость тоже непрерывно меняется. Формула F=mV2/R несомненно применима, а вот применима ли формула F=m⋅ω2⋅R я что-то засомневался. Думаю, грамотное решение этой задачи состоит в том, чтобы найти линейную скорость v как функцию времени. Найти радиус кривизны как функцию времени. Потом всё подставить в формулу центробежной силы F=mV2/R. Затем исследовать полученную функцию на экстремум и найдя время, при котором центробежная сила максимальна, уже найти угол поворота.
А начинать надо так, параметрические уравнения циклоиды:
x=r(t-sin(t))
y=r(1-cos(t))

где r - радиус катящегося колеса, а t - параметр, имеющий смысл угла поворота этого колеса.
Перепишем систему уравнений по другому:

x=r(ω⋅t-sin(ω⋅t))
y=r(1-cos(ω⋅t))

где t - уже время, а ω - угловая скорость колеса.

Найдём производные по времени от каждой координаты, эту будут проекции скорости на x и y:

vx=r(ω-ω⋅cos(ω⋅t))
vy=r⋅ω⋅sin(ω⋅t))

Теперь нужная нам скорость - корень квадратный из суммы квадратов этих проекций. Ну, а дальше Вы сами попробуйте.




 
Konstruktor Статус
05.07.2019 00:08
Сообщение #7
Аватар
Member
Сообщений: 11
ru Россия
Москва
Дата регистрации:
27.06.2019 21:15

А Вы учитываете, что центр (ось) вращения точки по циклоиде постоянно смещается? См. график Циклоиды

 
prostoykvaz Статус
05.07.2019 18:53
Сообщение #8
Аватар
Member
Сообщений: 11
ru Россия
Ульяновск
Дата регистрации:
24.02.2019 16:18

05.07.2019 00:08#5903 Konstruktor : А Вы учитываете, что центр (ось) вращения точки по циклоиде постоянно смещается? См. график Циклоиды

Честно говоря, Ваш вопрос меня удивил. Почему Вы решили, что я не учитываю смещение центра? Или так: что послужило основанием для такого вопроса? Отчего у Вас возникли сомнения?
Как, по Вашему, выводятся параметрические уравнения циклоиды? Именно в самих параметрических уравнениях и закладывается смещение центра колеса. Если бы эти уравнения не учитывали сдвиг центра колеса, то эти параметрические уравнения превратились бы в параметрические уравнения окружности. Посмотрите внимательно на параметрические уравнения циклоиды: по мере увеличения параметра t (угла поворота), координата x неограниченно возрастает. Если бы центр колеса не двигался бы, то и координата x не возрастала бы неограниченно.
Кстати, на приведённом Вами рисунке наглядно видно, что в точках максимума кривой радиус кривизны максимален.

 
Konstruktor Статус
05.07.2019 22:52
Сообщение #9
Аватар
Member
Сообщений: 11
ru Россия
Москва
Дата регистрации:
27.06.2019 21:15

Вы правы, - у меня возник вопрос, и не только этот, потому, что я хотел бы быть уверенным, что здесь нет ошибки в расчетах, и физический процесс, а именно, изменение центробежной силы, имеет место быть при движении колеса.
Еще подозрение вызывает такой факт, что при использовании формулы F=mV2/R, центробежные силы действующие на точку на ободе при обычном вращении и на пике вращения (на 180°) по циклоиде совпадают. Следует ли из этого, что при движении колеса, в нулевой точке циклоиды (0° - в точке касания колеса с рельсом) центробежная сила должна отсутствовать (=0)? Формула дает именно этот результат...


 
prostoykvaz Статус
06.07.2019 18:56
Сообщение #10
Аватар
Member
Сообщений: 11
ru Россия
Ульяновск
Дата регистрации:
24.02.2019 16:18

05.07.2019 22:52#5905 Konstruktor : Вы правы, - у меня возник вопрос, и не только этот, потому, что я хотел бы быть уверенным, что здесь нет ошибки в расчетах,..

Выпишите сюда полученную формулу для зависимости центробежной силы от угла поворота. Сравним Ваш и мой результат на всякий случай.
05.07.2019 22:52#5905 Konstruktor : ..и физический процесс, а именно, изменение центробежной силы, имеет место быть при движении колеса.

Несомненно, что центробежная сила меняется. Для наглядности можно так представить себе этот процесс: каждая точка обода колеса совершает одновременно и вращательное, и поступательное движения. Следовательно, в любой момент времени для каждой точки обода колеса линейная скорость равна векторной сумме линейной скорости поступательного движения центра колеса и линейной скорости вращательного движения. Эта сумма будет максимальной именно в верхней точке арки циклоиды, поскольку в этой точки эти две скорости сонаправлены. А где максимальна суммарная скорость, там и максимальна центробежная сила (в данной ситуации). И при вращении угол между этими двумя линейными скоростями постоянно меняется и следовательно, векторная сумма тоже постоянно меняется, и следовательно центробежная сила тоже меняется.

05.07.2019 22:52#5905 Konstruktor : Еще подозрение вызывает такой факт, что при использовании формулы F=mV2/R, центробежные силы действующие на точку на ободе при обычном вращении и на пике вращения (на 180°) по циклоиде совпадают.
Вот это Ваше утверждение я не понял: что значит обычное вращение? И что с чем совпадает, можно поподробнее?

05.07.2019 22:52#5905 Konstruktor : Следует ли из этого, что при движении колеса, в нулевой точке циклоиды (0° - в точке касания колеса с рельсом) центробежная сила должна отсутствовать (=0)? Формула дает именно этот результат...

Так и есть!!! Выше я написал про векторное сложение скоростей и доказал, что при 180° эта векторная сумма максимальна. А вот при 0° и 360° векторная сумма скоростей будет равняться нулю. Линейная скорость поступательного движения центра колеса направлена вперёд, а линейная скорость вращательного движения точки обода в момент касания направлена назад. И эти две скорости равны по модулю, так как движение идёт без проскальзывания. Так что их векторная сумма равна нулю.

Предваряя возможный Ваш вопрос или вопрос иных людей: а как же может центробежная сила равняться в той точке нулю, если колесо, в принципе, вращается относительно оси вращения, и следовательно, все точки обода колеса тоже совершают вращательное движение? Мол, если есть вращательное движение, то и центробежная сила должна быть!

Так тут вступает в игру относительность движения! Скорость любой материальной точки зависит от выбора системы отсчёта. Следовательно, от выбора системы отсчёта зависит и центробежная сила. Относительно системы координат, в которой колесо движется и поступательно, и вращательно, центробежная сила равна нулю в той точке. А относительно системы отсчёта, связанной с центром колеса, центробежная сила в той точке не равна нулю и вообще одинакова для всех точек обода.

 
Konstruktor Статус
07.07.2019 10:17
Сообщение #11
Аватар
Member
Сообщений: 11
ru Россия
Москва
Дата регистрации:
27.06.2019 21:15

"Вот это Ваше утверждение я не понял: что значит обычное вращение? И что с чем совпадает, можно поподробнее?"

Правильнее будет так, - ...при использовании формулы F=mV2/R, центробежная сила, действующая на все точки на ободе в системе отсчёта, связанной с центром колеса будет равна по числовому значению (при заданной скорости и радиусе) центробежной силе, действующей на точку на циклоиде при 180°.

"...Линейная скорость поступательного движения центра колеса направлена вперёд, а линейная скорость вращательного движения точки обода в момент касания направлена назад. И эти две скорости равны по модулю, так как движение идёт без проскальзывания..."

Может быть на физическом языке эта формулировка правильная, но с обычной логикой здесь, по моему мнению, что-то не так.
Если этот процесс рассматривать в системе отсчёта, связанной с центром колеса, тогда - да, линейная скорость точки обода в момент касания направлена назад. А если - относительно системы отсчета, в которой колесо движется и поступательно, и вращательно, то - линейная скорость точки обода в момент касания назад не направлена. Кроме того, в этой системе отсчета, чтобы "эти две скорости..." были "...равны по модулю...", опять же, по моему мнению, - нужно, чтобы движение было, именно, с проскальзыванием.
Удачный пример катящегося велосипедного колеса: Катящееся колесо
Не получается правильно цитировать, - наверное, браузер не тот.

 
prostoykvaz Статус
07.07.2019 16:55
Сообщение #12
Аватар
Member
Сообщений: 11
ru Россия
Ульяновск
Дата регистрации:
24.02.2019 16:18

07.07.2019 10:17#5907 Konstruktor : Правильнее будет так, - ...при использовании формулы F=mV2/R, центробежная сила, действующая на все точки на ободе в системе отсчёта, связанной с центром колеса будет равна по числовому значению (при заданной скорости и радиусе) центробежной силе, действующей на точку на циклоиде при 180°.

Вон оно как! А я даже не пробовал сравнивать. Но теперь сравнил и проанализировал. Да, так и есть. Эти центробежные силы равны. Почему так получается? С одной стороны, при движении по циклоиде, скорость точки на 180° максимальна и равна удвоенной линейной скорости вращательного движения колеса относительно центра колеса. То есть, с этой точки зрения казалось бы, что и центробежная сила должна быть больше центробежной силы при вращательном движении колеса без поступательного движения. Но с другой стороны, центробежная сила зависит не только от скорости, но и от радиуса кривизны. Радиус кривизны циклоиды при 180° поворота колеса тоже максимален и радиус кривизны стоит в знаменателе формулы для центробежной силы. Так что они друг друга компенсируют и получается, то что получается!


07.07.2019 10:17#5907 Konstruktor : Может быть на физическом языке эта формулировка правильная, но с обычной логикой здесь, по моему мнению, что-то не так.
Если этот процесс рассматривать в системе отсчёта, связанной с центром колеса, тогда - да, линейная скорость точки обода в момент касания направлена назад. А если - относительно системы отсчета, в которой колесо движется и поступательно, и вращательно, то - линейная скорость точки обода в момент касания назад не направлена. Кроме того, в этой системе отсчета, чтобы "эти две скорости..." были "...равны по модулю...", опять же, по моему мнению, - нужно, чтобы движение было, именно, с проскальзыванием.

:)) Но, вообще-то в физике, по крайней мере в механике, всё должно быть логично и подчиняться здравому смыслу:) А то Вы противопоставили физику и логику:). Вот Вы пишите, что в системе отсчёта, в которой колесо движется поступательно и вращательно, в момент касания, линейная скорость назад не направлена. Но Вы почему-то не уточняете, а собственно о какой линейной скорости идёт речь? В моих рассуждениях фигурируют три линейных скорости: линейная скорость поступательного движения центра колеса, линейная скорость вращательного движения, которая направлена по касательной к ободу колеса, в направлении вращения и наконец суммарная линейная скорость этих двух вышеперечисленных. Вот если бы Вы указали, что суммарная скорость в момент касания не направлена назад, то я бы с Вами согласился. И тогда между Вашим утверждением и моим утверждением нет противоречия. Ибо, на самом деле линейная скорость в момент касания равна нулю - и эта линейная скорость - векторная сумма двух линейных скоростей - поступательного и вращательного движения. Как я и писал выше. И раз эта скорость равна нулю, то она назад конечно не направлена. Вы просто не поняли видимо один важный момент: любое криволинейное движение может быть разложена на два вида движения: поступательное и вращательное. Но одна из этих составляющих, может равняться нулю, как в случае, когда колесо не катится по дороге, а просто вращается на неподвижной оси. При движении точки по циклоиде, в каждой точке циклоиды мы можем изобразить вектор, направленный по касательной к циклоиде по направлению движения точки. Этот вектор скорости будет как раз представлять суммарный вектор двух скоростей: линейной поступательной и линейной вращательной скоростей. В момент касания рельса этот суммарный вектор равен нулю. Кстати, формула скорости, выраженная через угол поворота колеса, тоже даёт ноль в точке касания. А вот линейная вращательная скорость в момент касания - всегда направлена назад. Как это можно визуализировать? Представьте себе, колесо катится по рельсу или дороге и Вы движетесь параллельно колесу с той же поступательной скоростью, и Ваш взгляд сфокусирован только на колесе, и Вы не замечаете дороги или рельса. Тогда Вы видите только вращательное движение колеса относительно оси и в нижней точке обода колеса линейная вращательная скорость направлена назад.
И конечно же, если колесо вращается и двигается поступательно вперёд, но при этом проскальзывает, то конечно же линейная вращательная и линейная поступательная скорости в точке касания НЕ РАВНЫ друг другу по модулю.

А формулу-то итоговую Вы так и не выписали.


 
Konstruktor Статус
07.07.2019 22:20
Сообщение #13
Аватар
Member
Сообщений: 11
ru Россия
Москва
Дата регистрации:
27.06.2019 21:15

"Так что они друг друга компенсируют и получается, то что получается!"

Получается пропорция =4R. На 180° радиус кривизны циклоиды имеет значение =4 радиуса колеса.

"Вот Вы пишите, что в системе отсчёта, в которой колесо движется поступательно и вращательно, в момент касания, линейная скорость назад не направлена. Но Вы почему-то не уточняете, а собственно о какой линейной скорости идёт речь?"

Я посчитал, что если мы рассматриваем процесс в системе отсчёта, в которой колесо движется и поступательно, и вращательно, то и линейные скорости нужно брать соответствующие этой системе отсчета, - что оказалось ошибочным.
prostoykvaz, спасибо Вам за ликбез.
Если я Вам еще не надоел, то помогите, пожалуйста разобраться в следующем процессе, который вытекает из предыдущего.
Та же точка, на том же ободе при его поступательном и вращательном движении испытывает ускорение вращения. Будет ли она испытывать чередование отрицательных и положительных линейных (параллельных рельсу) ускорений, проходя по циклоиде?

P.S. Интересный факт - длина пути точки, проходящей по циклоиде от 0° до 360° НЕ равна длине окружности колеса.





 
prostoykvaz Статус
08.07.2019 23:21
Сообщение #14
Аватар
Member
Сообщений: 11
ru Россия
Ульяновск
Дата регистрации:
24.02.2019 16:18

07.07.2019 22:20#5909 Konstruktor : "Так что они друг друга компенсируют и получается, то что получается!"

Получается пропорция =4R. На 180° радиус кривизны циклоиды имеет значение =4 радиуса колеса.

Соотношение между радиусом кривизны циклоиды при 180° и радиусом колеса равно не 4r, а просто 4. То есть пропорция равна 4. Но Вы правильно написали далее, что радиус кривизны равен 4 радиусам колеса. Но я-то писал выше про соотношение между квадратом линейной суммарной скорости и радиусом кривизны при 180°. Раз уж Вы так упорно не выписываете итоговую формулу, то придётся мне. Итак, выражение для линейной суммарной скорости получается:

v=2⋅ω⋅r⋅sin(t/2),

где ω - угловая скорость вращения колеса, r - радиус колеса, t - угол поворота колеса. Подставляем найденную скорость и радиус кривизны в формулу для центробежной силы и после сокращения получаем:

F=m⋅ω2⋅r⋅sin(t/2)


07.07.2019 22:20#5909 Konstruktor : Я посчитал, что если мы рассматриваем процесс в системе отсчёта, в которой колесо движется и поступательно, и вращательно, то и линейные скорости нужно брать соответствующие этой системе отсчета, - что оказалось ошибочным.

Тут главное помнить, что любую силу всегда можно разложить на векторную сумму двух или более сил. Так же как и скорость. И если Вы, когда писали, что скорость не направлена назад, имели ввиду именно суммарную линейную скорость, то были абсолютно правы. Только надо было добавить, что эта суммарная скорость равна нулю. А вот почему она равна нулю - я выше объяснил, разложив эту скорость на сумму двух других скоростей.

07.07.2019 22:20#5909 Konstruktor : prostoykvaz, спасибо Вам за ликбез.

Пожалуйста. Мне тоже было полезно рассмотреть циклоиду с этой точки зрения, так что спасибо и Вам.

07.07.2019 22:20#5909 Konstruktor : Та же точка, на том же ободе при его поступательном и вращательном движении испытывает ускорение вращения. Будет ли она испытывать чередование отрицательных и положительных линейных (параллельных рельсу) ускорений, проходя по циклоиде?

Давайте-ка уточним: колесо при качении по рельсу вращается равномерно? то есть с постоянной угловой скоростью? или колесо катится с ускорением и тогда угловая скорость меняется?

Пока буду отвечать Вам, как будто бы угловая скорость постоянная. Далее опять нужно уточнить: Вы пишите линейное ускорение и тут же в скобках пишите, что оно параллельно рельсу. Линейное ускорение, оно же тангенциальное ускорение, всегда направлено по касательной к траектории криволинейного движения. Значит, если точка движется по циклоиде, то тангенциальное ускорение не может всё время оставаться параллельным рельсу. Угол наклона касательной к циклоиде в разных её точках - разный. Другое дело, что Вы хотите взять проекцию тангенциального ускорения на прямую, совпадающую с рельсом. Вот давайте-ка определитесь с этим делом. А я пока буду отвечать, как будто Вы меня спросили именно о тангенциальном ускорении, которое направлено по касательной к траектории. Для ответа на этот вопрос достаточно взять производную по времени от скорости, которую мы получили выше и посмотреть на выражение для полученной производной. Эта производная и будет ускорением:

a=ω⋅r⋅cos(t/2)

В этом выражении, я снова перешёл от времени и угловой скорости к углу поворота t.

Таким образом, мы видим, что при повороте от 0° до 180° ускорение положительно, а при повороте от 180° до 360° отрицательно. То есть точка сначала ускоряется, и дойдя до своего пика на арке циклоиды, начинает замедляться. На самом пике, при 180° ускорение равно нулю.

07.07.2019 22:20#5909 Konstruktor : P.S. Интересный факт - длина пути точки, проходящей по циклоиде от 0° до 360° НЕ равна длине окружности колеса.

Всё верно, длина арки будет равняться восьми радиусам колеса, то есть пройденный путь будет больше длины окружности. Но оно и понятно, так как, к линейной скорости вращения точки прибавляется ещё линейная скорость поступательного движения центра колеса. Поэтому за тот же период времени, точка проходит большее расстояние.
А длина окружности будет равняться длине пути колеса вдоль рельса при повороте колеса на 360°.






 
Konstruktor Статус
10.07.2019 16:47
Сообщение #15
Аватар
Member
Сообщений: 11
ru Россия
Москва
Дата регистрации:
27.06.2019 21:15

"Давайте-ка уточним: колесо при качении по рельсу вращается равномерно? то есть с постоянной угловой скоростью?"

Да.

"...Вы хотите взять проекцию тангенциального ускорения на прямую, совпадающую с рельсом. Вот давайте-ка определитесь с этим делом."

Именно, проекцию, совпадающую с рельсом.
Тогда, проекция будет являться виртуальным параметром, или рабочим?

"...На самом пике, при 180° ускорение равно нулю."

Наверное, и при 0°, и при 360° ускорение тоже будет =0?

"Всё верно, длина арки будет равняться восьми радиусам колеса..."

У меня не сошлось с 8-ю радиусами, есть небольшое различие.
Но этот факт интересен не этим (для физиков, наверное открытия в этом никакого нет), а тем, что, уверен, в 99% обывателей, в том числе и я совсем недавно, скажут, что длина пути точки на колесе будет равна длине его окружности.



 
12 >>>