Earth curvature of space2 curvature of space1
Банк задач

ФизМат БАНК / Форумы / Public / Обсуждение задач / Старая задача с новыми вводными

  Автор   Сообщение
prostoykvaz Статус
08.07.2019 23:21
Сообщение #5910
Аватар
Member
Сообщений: 9
ru Россия
Ульяновск
Дата регистрации:
24.02.2019 16:18

07.07.2019 22:20#5909 Konstruktor : "Так что они друг друга компенсируют и получается, то что получается!"

Получается пропорция =4R. На 180° радиус кривизны циклоиды имеет значение =4 радиуса колеса.

Соотношение между радиусом кривизны циклоиды при 180° и радиусом колеса равно не 4r, а просто 4. То есть пропорция равна 4. Но Вы правильно написали далее, что радиус кривизны равен 4 радиусам колеса. Но я-то писал выше про соотношение между квадратом линейной суммарной скорости и радиусом кривизны при 180°. Раз уж Вы так упорно не выписываете итоговую формулу, то придётся мне. Итак, выражение для линейной суммарной скорости получается:

v=2⋅ω⋅r⋅sin(t/2),

где ω - угловая скорость вращения колеса, r - радиус колеса, t - угол поворота колеса. Подставляем найденную скорость и радиус кривизны в формулу для центробежной силы и после сокращения получаем:

F=m⋅ω2⋅r⋅sin(t/2)


07.07.2019 22:20#5909 Konstruktor : Я посчитал, что если мы рассматриваем процесс в системе отсчёта, в которой колесо движется и поступательно, и вращательно, то и линейные скорости нужно брать соответствующие этой системе отсчета, - что оказалось ошибочным.

Тут главное помнить, что любую силу всегда можно разложить на векторную сумму двух или более сил. Так же как и скорость. И если Вы, когда писали, что скорость не направлена назад, имели ввиду именно суммарную линейную скорость, то были абсолютно правы. Только надо было добавить, что эта суммарная скорость равна нулю. А вот почему она равна нулю - я выше объяснил, разложив эту скорость на сумму двух других скоростей.

07.07.2019 22:20#5909 Konstruktor : prostoykvaz, спасибо Вам за ликбез.

Пожалуйста. Мне тоже было полезно рассмотреть циклоиду с этой точки зрения, так что спасибо и Вам.

07.07.2019 22:20#5909 Konstruktor : Та же точка, на том же ободе при его поступательном и вращательном движении испытывает ускорение вращения. Будет ли она испытывать чередование отрицательных и положительных линейных (параллельных рельсу) ускорений, проходя по циклоиде?

Давайте-ка уточним: колесо при качении по рельсу вращается равномерно? то есть с постоянной угловой скоростью? или колесо катится с ускорением и тогда угловая скорость меняется?

Пока буду отвечать Вам, как будто бы угловая скорость постоянная. Далее опять нужно уточнить: Вы пишите линейное ускорение и тут же в скобках пишите, что оно параллельно рельсу. Линейное ускорение, оно же тангенциальное ускорение, всегда направлено по касательной к траектории криволинейного движения. Значит, если точка движется по циклоиде, то тангенциальное ускорение не может всё время оставаться параллельным рельсу. Угол наклона касательной к циклоиде в разных её точках - разный. Другое дело, что Вы хотите взять проекцию тангенциального ускорения на прямую, совпадающую с рельсом. Вот давайте-ка определитесь с этим делом. А я пока буду отвечать, как будто Вы меня спросили именно о тангенциальном ускорении, которое направлено по касательной к траектории. Для ответа на этот вопрос достаточно взять производную по времени от скорости, которую мы получили выше и посмотреть на выражение для полученной производной. Эта производная и будет ускорением:

a=ω⋅r⋅cos(t/2)

В этом выражении, я снова перешёл от времени и угловой скорости к углу поворота t.

Таким образом, мы видим, что при повороте от 0° до 180° ускорение положительно, а при повороте от 180° до 360° отрицательно. То есть точка сначала ускоряется, и дойдя до своего пика на арке циклоиды, начинает замедляться. На самом пике, при 180° ускорение равно нулю.

07.07.2019 22:20#5909 Konstruktor : P.S. Интересный факт - длина пути точки, проходящей по циклоиде от 0° до 360° НЕ равна длине окружности колеса.

Всё верно, длина арки будет равняться восьми радиусам колеса, то есть пройденный путь будет больше длины окружности. Но оно и понятно, так как, к линейной скорости вращения точки прибавляется ещё линейная скорость поступательного движения центра колеса. Поэтому за тот же период времени, точка проходит большее расстояние.
А длина окружности будет равняться длине пути колеса вдоль рельса при повороте колеса на 360°.